किस प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम मिलना अंतिम विरोधाभास देता है?
In which proof does finding both (p) and (q) even give the final contradiction?
#sqrt2 proof
#even contradiction
#class 10
A \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{9}\) की परिमेयता में / In the rationality of \(\sqrt{9}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं। / This proves both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / Both even contradict the coprime condition.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि (p=2k) और (q=2r) मिल जाएं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में क्या कहा जाएगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p=2k) and (q=2r) are obtained, what can be said about \(\frac{p}{q}\)?
#sqrt2 proof
#lowest form
#class 10
A यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह अवश्य (2) है / It is necessarily (2)
C यह शून्य है / It is zero
D यह अपरिमेय है / It is irrational
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Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
(p=2k) और (q=2r) से अंश और हर दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (p=2k) and (q=2r) mean numerator and denominator are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। / So the fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता से टकराता है। / This contradicts the lowest-form assumption.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने का महत्व क्या है?
What is the importance of getting \(q^2=2k^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#q even
#contradiction
#class 10
A इससे (q) भी सम सिद्ध होता है / It proves (q) is also even
B इससे (q=0) सिद्ध होता है / It proves (q=0)
C इससे (p=q) सिद्ध होता है / It proves (p=q)
D इससे \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / It proves \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. इससे (q) भी सम सिद्ध होता है / It proves (q) is also even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक सम होता है। / If a square is even, the original integer is even.
Step 3
Exam Tip
(p) पहले सम था और (q) भी सम मिला, यही विरोधाभास बनाता है। / (p) was already even and (q) is also even, creating contradiction.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि का सही क्रम कौन सा है?
What is the correct order of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#proof order
#class 10
A परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना / Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
B दशमलव मान लिखना, उत्तर याद करना, प्रमाण रोकना / Write decimal value, memorize answer, stop proof
C \(\sqrt{2}=2\) मानना, वर्ग करना, निष्कर्ष लिखना / Assume \(\sqrt{2}=2\), square, write conclusion
D (q=0) मानना, भिन्न बनाना, निष्कर्ष लिखना / Assume (q=0), make fraction, write conclusion
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Correct Answer
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना / Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। / In contradiction, first assume \(\sqrt{2}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से समता के निष्कर्ष मिलते हैं। / Squaring gives evenness conclusions.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। / Finding both even contradicts the coprime condition.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में सही नहीं है?
Which option is not correct in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#wrong step
#class 10
A \(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम है / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even
B \(a^2\) सम है, इसलिए (a) सम है / Since \(a^2\) is even, (a) is even
C (a=2k) रखने पर \(a^2=4k^2\) / If (a=2k), then \(a^2=4k^2\)
D \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) / From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
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Correct Answer
D. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) / From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम मिलता है। / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a) सम है, लेकिन सीधे (a=2b) नहीं मिलता। / This gives (a) even, but not directly (a=2b).
Step 3
Exam Tip
सही कदम (a=2k) लिखना है। / The correct step is to write (a=2k).
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(a^2=2b^2\) मिलने पर (a) के लिए सही रूप कौन सा है?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\), after getting \(a^2=2b^2\), which is the correct form for (a)?
#sqrt2 proof
#even number
#class 10
A (a=2k)
B (a=3k)
C (a=5k)
D (a=bk)
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Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम है। / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक भी सम होता है। / If a square is even, the original integer is even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (a=2k) लिखते हैं, जहां (k) पूर्णांक है। / Therefore we write (a=2k), where (k) is an integer.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) लिखा गया है। यदि \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में है, तो (a) और (b) के बारे में क्या सही है?
Assume \(\sqrt{2}\) is rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\). If \(\frac{a}{b}\) is in lowest form, what is true about (a) and (b)?
#sqrt2 proof
#coprime
#lowest form
#class 10
A वे सहअभाज्य हैं / They are coprime
B वे दोनों सम हैं / Both are even
C वे दोनों (2) के बराबर हैं / Both are equal to (2)
D वे दोनों शून्य हैं / Both are zero
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Correct Answer
A. वे सहअभाज्य हैं / They are coprime
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को प्रमाण में सरलतम भिन्न के रूप में लिखा जाता है। / In the proof, a rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है। / Later, finding a common factor creates the contradiction.
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एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) से (q=2k) लिख दिया। सही टिप्पणी क्या है?
A student writes (q=2k) from \(q^2=2k^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\). What is the correct comment?
#sqrt2 proof
#student error
#class 10
A सीधे (q=2k) नहीं लिखना चाहिए, पहले \(q^2\) सम और फिर (q) सम कहना चाहिए / We should not directly write (q=2k); first say \(q^2\) is even and then (q) is even
B यह पूरी तरह सही है / It is completely correct
C इससे (q=0) सिद्ध होता है / This proves (q=0)
D इससे \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / This proves \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सीधे (q=2k) नहीं लिखना चाहिए, पहले \(q^2\) सम और फिर (q) सम कहना चाहिए / We should not directly write (q=2k); first say \(q^2\) is even and then (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम मिलता है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर नियम से (q) सम कहा जाता है और (q=2r) लिखा जा सकता है। / Then by rule (q) is even and can be written as (q=2r).
Step 3
Exam Tip
सीधे (q=2k) लिखना सावधानी के बिना किया गया कदम है। / Directly writing (q=2k) is a careless step.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो (p=2k) और (q=2r) मिलना क्यों असंभव है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p) and (q) are coprime, why is getting (p=2k) and (q=2r) impossible?
#sqrt2 proof
#coprime impossibility
#class 10
A क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (2)
B क्योंकि दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (3)
C क्योंकि (q=0) हो जाएगा / Because (q) will become (0)
D क्योंकि (p=q) हो जाएगा / Because (p=q) will happen
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Correct Answer
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (2)
Step 1
Concept
(p=2k) का अर्थ है (p) सम है। / (p=2k) means (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(q=2r) का अर्थ है (q) भी सम है। / (q=2r) means (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे। / Both have common factor (2), so they cannot be coprime.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if both (p) and (q) are even, which statement about \(\frac{p}{q}\) is correct?
#sqrt2 proof
#fraction
#lowest form
#class 10
A यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह अवश्य (2) है / It is necessarily (2)
C यह शून्य है / It is zero
D यह अपरिमेय भिन्न है / It is an irrational fraction
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर अंश और हर में (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (2) से और घटाया जा सकता है। / So the fraction can be reduced further by (2).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है। / This contradicts the lowest-form assumption.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कौन सा कथन सही है लेकिन अधूरा निष्कर्ष है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), which statement is correct but an incomplete conclusion?
#sqrt2 proof
#incomplete conclusion
#class 10
A \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
B \(\sqrt{2}=2\)
C (q=0)
D (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम होना सही है। / From \(p^2=2q^2\), saying \(p^2\) is even is correct.
Step 2
Why this answer is correct
पर यह अंतिम निष्कर्ष नहीं है, इसके बाद (p) और (q) दोनों सम दिखाने होंगे। / But it is not the final conclusion; both (p) and (q) must then be shown even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण को विरोधाभास तक पूरा करें। / Complete the proof up to contradiction.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (2) के गुणनखंड की भूमिका सही बताता है?
Which statement correctly tells the role of factor (2) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#factor 2
#class 10
A यह (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है / It becomes a common factor of both (p) and (q) and gives contradiction
B यह (q=0) बना देता है / It makes (q=0)
C यह \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध करता है / It proves \(\sqrt{2}=2\)
D यह (p=q) सिद्ध करता है / It proves (p=q)
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Correct Answer
A. यह (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है / It becomes a common factor of both (p) and (q) and gives contradiction
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से पहले (p) में (2) का गुणनखंड आता है। / From \(p^2=2q^2\), factor (2) first appears in (p).
Step 2
Why this answer is correct
बाद में (q) में भी (2) का गुणनखंड मिलता है। / Later factor (2) also appears in (q).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) साझा होना सहअभाज्य शर्त से टकराता है। / Common factor (2) contradicts the coprime condition.
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यदि \(a^2=2b^2\) और (a=2k), तो \(b^2\) के बारे में क्या सही है?
If \(a^2=2b^2\) and (a=2k), what is true about \(b^2\)?
#sqrt2 proof
#b square
#medium
#class 10
A \(b^2=2k^2\)
B \(b^2=4k^2\)
C \(b^2=k^2\)
D \(b^2=8k^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(b^2=2k^2\)
Step 1
Concept
(a=2k) रखने पर \(a^2=4k^2\) होगा। / If (a=2k), then \(a^2=4k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4k^2=2b^2\) से \(b^2=2k^2\) मिलता है। / From \(4k^2=2b^2\), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे \(b^2\) सम और (b) सम सिद्ध होता है। / This proves \(b^2\) and then (b) are even.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने के बाद कौन सा तर्क सही है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after getting \(q^2=2k^2\), which reasoning is correct?
#sqrt2 proof
#q even
#contradiction
#class 10
A \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है / \(q^2\) is even, so (q) is even
B \(q^2\) सम है, इसलिए (q) विषम है / \(q^2\) is even, so (q) is odd
C \(q^2=2k^2\) से \(q=2k^2\) / From \(q^2=2k^2\), \(q=2k^2\)
D (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है / \(q^2\) is even, so (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक भी सम होता है। / If a square is even, the original integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इससे (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं और विरोधाभास बनता है। / Then both (p) and (q) are even and contradiction occurs.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में गलत निष्कर्ष है?
Which option is a wrong conclusion in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#error spotting
#class 10
A \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
B \(p^2\) सम है इसलिए (p) सम है / Since \(p^2\) is even, (p) is even
C (p=2k) इसलिए \(p^2=4k^2\) / (p=2k), so \(p^2=4k^2\)
D \(p^2=2q^2\) इसलिए (p=2q) / \(p^2=2q^2\), so (p=2q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. \(p^2=2q^2\) इसलिए (p=2q) / \(p^2=2q^2\), so (p=2q)
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से केवल \(p^2\) के सम होने का निष्कर्ष आता है। / From \(p^2=2q^2\), we only conclude that \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p) सम है और (p=2k) लिखा जाता है। / Then (p) is even and (p=2k) is written.
Step 3
Exam Tip
सीधे (p=2q) लिखना बीजगणितीय गलती है। / Writing (p=2q) directly is an algebraic mistake.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p=2k) रखने के बाद \(p^2=2q^2\) से कौन सा समीकरण मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after putting (p=2k), which equation follows from \(p^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#substitution
#algebra
#class 10
A \(2k^2=2q^2\)
B \(4k^2=2q^2\)
C \(k^2=2q^2\)
D \(p^2=4q^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(4k^2=2q^2\)
Step 1
Concept
(p=2k) होने पर (p-2 =(2k)2 =4k-2 )। / If (p=2k), then (p-2 =(2k)2 =4k-2 ).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। / Substituting in \(p^2=2q^2\) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
((2k)2 ) को \(2k^2\) लिखना सामान्य गलती है। / Writing ((2k)2 ) as \(2k^2\) is a common mistake.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा गया है। यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो \(p^2=2q^2\) से सही अगला निष्कर्ष कौन सा है?
\(\sqrt{2}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\). If (p) and (q) are coprime, what is the correct next conclusion from \(p^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#irrationality
#even square
#class 10
A \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
B \(q^2\) सम है / \(q^2\) is even
C (p=q)
D (q=2p)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) सम है और फिर (p) भी सम होगा। / So \(p^2\) is even and then (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर मूल संख्या की। / In proofs, first write divisibility of the square, then of the number.
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किस स्थिति में \(\sqrt{2}\) की परिमेय मान्यता गलत सिद्ध हो जाती है?
In which situation is the rational assumption for \(\sqrt{2}\) proved false?
#sqrt2 proof
#false assumption
#class 10
A जब सरलतम रूप के (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हों / When (p) and (q) in lowest form are both proved even
B जब (p) और (q) पूर्णांक हों / When (p) and (q) are integers
C जब \(q\neq 0\) हो / When \(q\neq 0\)
D जब \(\sqrt{2}\) धनात्मक हो / When \(\sqrt{2}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जब सरलतम रूप के (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हों / When (p) and (q) in lowest form are both proved even
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम सिद्ध होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा। / If both are proved even, both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यह असंभव है, इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / This is impossible, so the rational assumption is false.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p=2k) रखने के बाद गलत सरलीकरण है?
Which statement is a wrong simplification after putting (p=2k) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#wrong simplification
#class 10
A \(p^2=4k^2\)
B \(4k^2=2q^2\)
C \(q^2=2k^2\)
D \(p^2=2k^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. \(p^2=2k^2\)
Step 1
Concept
(p=2k) है तो (p-2 =(2k)2 )। / If (p=2k), then (p-2 =(2k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
इसका सही मान \(4k^2\) है, \(2k^2\) नहीं। / Its correct value is \(4k^2\), not \(2k^2\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग करते समय गुणांक का भी वर्ग करें। / Square the coefficient while squaring.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में परिमेय संख्या की परिभाषा का सही उपयोग है?
Which option is the correct use of the definition of rational number in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#rational definition
#sqrt2 proof
#class 10
A \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहां (p), (q) पूर्णांक हैं और \(q\neq 0\) / \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p), (q) are integers and \(q\neq 0\)
B \(\sqrt{2}=p+q\), जहां (p), (q) पूर्णांक हैं / \(\sqrt{2}=p+q\), where (p), (q) are integers
C \(\sqrt{2}=pq\), जहां (p), (q) धनात्मक हैं / \(\sqrt{2}=pq\), where (p), (q) are positive
D \(\sqrt{2}=0\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहां (p), (q) पूर्णांक हैं और \(q\neq 0\) / \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p), (q) are integers and \(q\neq 0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(q\neq 0\) जरूरी है। / The denominator cannot be zero, so \(q\neq 0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
सबसे सरल रूप में (p) और (q) सहअभाज्य भी लिए जाते हैं। / In lowest form, (p) and (q) are also taken coprime.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) के दोनों सम होने पर भिन्न \(\frac{p}{q}\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if both (p) and (q) are even, what can be said about the fraction \(\frac{p}{q}\)?
#sqrt2 proof
#fraction lowest form
#class 10
A यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह अवश्य (1) है / It is necessarily (1)
C यह हर हाल में पूर्णांक है / It is always an integer
D यह शून्य है / It is zero
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Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों सम होने का अर्थ है कि अंश और हर में (2) साझा गुणनखंड है। / Both even means numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती। / So it cannot be in lowest form.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) के सहअभाज्य होने की शर्त का सही अर्थ देता है?
Which option gives the correct meaning of the coprime condition for (p) and (q) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#coprime meaning
#sqrt2 proof
#class 10
A (p) और (q) का साझा गुणनखंड केवल (1) है / The only common factor of (p) and (q) is (1)
B (p) और (q) दोनों सम हैं / Both (p) and (q) are even
C (p=q) है / (p=q)
D (p) और (q) दोनों (2) हैं / Both (p) and (q) are (2)
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Correct Answer
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड केवल (1) है / The only common factor of (p) and (q) is (1)
Step 1
Concept
सहअभाज्य का अर्थ है कि दो संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड न हो। / Coprime means two numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दोनों सम मिलना इस अर्थ को तोड़ता है। / So finding both even breaks this meaning.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा साफ समझने से प्रमाण सरल होता है। / Understanding the definition makes the proof easier.
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यदि \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने से अंत में (q=2s) मिले, तो प्रमाण में यह क्यों महत्वपूर्ण है?
If assuming \(\sqrt{2}\) rational finally gives (q=2s), why is this important in the proof?
#sqrt2 proof
#q even
#class 10
A क्योंकि इससे (q) सम सिद्ध होता है और (p) पहले ही सम था / Because it proves (q) even and (p) was already even
B क्योंकि इससे (q=0) सिद्ध होता है / Because it proves (q=0)
C क्योंकि इससे \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / Because it proves \(\sqrt{2}=2\)
D क्योंकि इससे (p=q) सिद्ध होता है / Because it proves (p=q)
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Correct Answer
A. क्योंकि इससे (q) सम सिद्ध होता है और (p) पहले ही सम था / Because it proves (q) even and (p) was already even
Step 1
Concept
प्रमाण में पहले (p) सम सिद्ध किया जाता है। / First (p) is proved even in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (q=2s) मिल गया, तो (q) भी सम है। / If (q=2s), then (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने से (2) साझा गुणनखंड मिलता है और विरोधाभास बनता है। / Both even gives common factor (2) and creates a contradiction.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि (q) भी सम सिद्ध हो जाए, तो (p) और (q) के बारे में कौन सा निष्कर्ष बनेगा?
In proving \(\sqrt{2}\), if (q) is also proved even, what conclusion follows about (p) and (q)?
#sqrt2 proof
#even
#coprime
#class 10
A दोनों में (2) साझा गुणनखंड है / Both have (2) as a common factor
B दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Both have (3) as a common factor
C दोनों बराबर हैं / Both are equal
D दोनों शून्य हैं / Both are zero
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Correct Answer
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है / Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
पहले (p) सम सिद्ध होता है। / First (p) is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (q) भी सम सिद्ध हो जाए, तो दोनों (2) से विभाज्य होंगे। / If (q) is also proved even, both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
साझा गुणनखंड (2) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है। / Common factor (2) breaks the coprime condition.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि का सही संक्षिप्त ढांचा देता है?
Which option gives the correct short structure of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#proof structure
#class 10
A परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradict coprime
B वर्ग करें, दशमलव निकालें, उत्तर याद करें / Square, find decimal, memorize answer
C पूर्ण वर्ग मानें, हर शून्य करें, निष्कर्ष लें / Assume perfect square, make denominator zero, conclude
D परिमेय मानें, (p=q) लिखें, प्रमाण पूरा करें / Assume rational, write (p=q), finish proof
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Correct Answer
A. परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradict coprime
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर दोनों (p) और (q) सम निकलते हैं। / Squaring leads to both (p) and (q) being even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। / Both even contradict the coprime condition.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में गलत कदम है?
Which statement is a wrong step in the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#common mistake
#sqrt2 proof
#class 10
A \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
B \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है / Since \(p^2\) is even, (p) is even
C (p=2r) रखने पर \(p^2=4r^2\) / If (p=2r), then \(p^2=4r^2\)
D \(p^2=2q^2\) से सीधे (p=2q) / From \(p^2=2q^2\), directly (p=2q)
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Correct Answer
D. \(p^2=2q^2\) से सीधे (p=2q) / From \(p^2=2q^2\), directly (p=2q)
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) के सम होने का निष्कर्ष निकलता है। / From \(p^2=2q^2\), we conclude \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) सम है, लेकिन सीधे (p=2q) नहीं लिख सकते। / This gives (p) even, but not directly (p=2q).
Step 3
Exam Tip
सही रूप (p=2r) होता है, जहां (r) पूर्णांक है। / The correct form is (p=2r), where (r) is an integer.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p=2r) रखने पर \(p^2=2q^2\) किस रूप में बदलेगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p=2r), how does \(p^2=2q^2\) change?
#sqrt2 proof
#substitution
#algebra
#class 10
A \(2r^2=2q^2\)
B \(4r^2=2q^2\)
C \(p^2=4q^2\)
D \(r^2=q^2\)
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Correct Answer
B. \(4r^2=2q^2\)
Step 1
Concept
(p=2r) है, इसलिए (p-2 =(2r)2 =4r-2 )। / Since (p=2r), (p-2 =(2r)2 =4r-2 ).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4r^2=2q^2\) मिलता है। / Substituting in \(p^2=2q^2\) gives \(4r^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग करना न भूलें। / Do not forget to square the coefficient.
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) सबसे सरल रूप में माना जाए, तो \(p^2=2q^2\) से पहले कौन सा निष्कर्ष लेना चाहिए?
If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form, what should be concluded first from \(p^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#irrationality
#real numbers
#class 10
A (q) सम है / (q) is even
B \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
C (p=q)
D (q=2p)
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Correct Answer
B. \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणन है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has a factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सबसे पहले \(p^2\) को सम कहा जाता है, फिर (p) सम निकाला जाता है। / So first we say \(p^2\) is even, then conclude (p) is even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में निष्कर्षों का क्रम सही रखना जरूरी है। / Keep the order of conclusions correct in the proof.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में सहअभाज्य शर्त टूटने को सही दिखाता है?
Which option correctly shows the breaking of the coprime condition in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#coprime condition
#class 10
A (p=2m) और (q=2n) मिलना / Getting (p=2m) and (q=2n)
B \(\sqrt{2}\) धनात्मक होना / \(\sqrt{2}\) being positive
C (p) और (q) पूर्णांक होना / (p) and (q) being integers
D \(q\neq 0\) होना / \(q\neq 0\)
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Correct Answer
A. (p=2m) और (q=2n) मिलना / Getting (p=2m) and (q=2n)
Step 1
Concept
(p=2m) और (q=2n) का अर्थ है कि दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (p=2m) and (q=2n) mean both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
तब (2) उनका साझा गुणनखंड बन जाता है। / Then (2) becomes their common factor.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / A lowest-form fraction should not have such a common factor.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि \(q^2=2k^2\) मिल जाए, तो (q) के बारे में क्या निष्कर्ष होगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if \(q^2=2k^2\) is obtained, what conclusion follows about (q)?
#sqrt2 proof
#even square
#irrationality
#class 10
A (q) सम है / (q) is even
B (q) विषम है / (q) is odd
C (q=1) है / (q=1)
D (q) अपरिमेय है / (q) is irrational
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Correct Answer
A. (q) सम है / (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) (2) से विभाज्य है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (q) सम मिलेगा और यही विरोधाभास बनाने में मदद करता है। / So (q) is even, which helps form the contradiction.
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