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द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। विकल्प A में \(D=(-8)^2-4(1)(16)=64-64=0\), इसलिए इसके दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। विकल्प B और D में \(D>0\) है, इसलिए उनके मूल वास्तविक लेकिन अलग-अलग हैं, जबकि विकल्प C में \(D<0\) है। परीक्षा-युक्ति: समान वास्तविक मूल के लिए हमेशा \(D=0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). In option A, \(D=(-8)^2-4(1)(16)=64-64=0\), so its roots are real and equal. Options B and D have \(D>0\), giving two distinct real roots, while option C has \(D<0\), so it has no real roots. Exam tip: equal real roots occur exactly when \(D=0\).
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर Δ = b² − 4ac होता है। विकल्प A में Δ = (−3)² − 4(1)(2) = 1 > 0, इसलिए इसके मूल वास्तविक और भिन्न हैं। विकल्प B और D में Δ = 0 है, इसलिए उनके मूल समान हैं, जबकि विकल्प C में Δ = −3 < 0 है, इसलिए उसके मूल वास्तविक नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: Δ > 0 होने पर मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the discriminant is Δ = b² − 4ac. In option A, Δ = (−3)² − 4(1)(2) = 1 > 0, so its roots are real and distinct. Options B and D have Δ = 0, giving equal roots, while option C has Δ = −3 < 0, so its roots are not real. Exam tip: Δ > 0 indicates real and distinct roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=2\) और \(c=1\), इसलिए \(D=(2)^2-4(3)(1)=4-12=-8\)। अतः सही उत्तर A है। धनात्मक 8 लेना सामान्यतः \(-4ac\) में ऋण चिह्न भूलने की गलती है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) पहचानकर सूत्र में क्रमशः रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3\), \(b=2\), and \(c=1\), so \(D=(2)^2-4(3)(1)=4-12=-8\). Therefore, option A is correct. Choosing 8 usually results from missing the minus sign in \(-4ac\). Exam tip: identify \(a\), \(b\), and \(c\) first, then substitute them carefully.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विभेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=5\), \(b=2\) और \(c=1\) हैं, इसलिए \(D=2^2-4(5)(1)=4-20=-16\)। अतः सही उत्तर A है और क्योंकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) के चिह्न सहित मान पहचानकर सूत्र में रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=5\), \(b=2\), and \(c=1\), so \(D=2^2-4(5)(1)=4-20=-16\). Therefore, option A is correct; since \(D<0\), the equation has no real roots. Exam tip: identify \(a\), \(b\), and \(c\) carefully, including their signs, before applying the formula.
A. दो वास्तविक और भिन्न मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D>0\), तो \(\sqrt{D}\) का मान धनात्मक और वास्तविक होता है, इसलिए सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) से दो अलग-अलग वास्तविक मूल प्राप्त होते हैं। \(D=0\) पर मूल समान और \(D<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा में मूलों की प्रकृति पहचानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When \(D>0\), \(\sqrt{D}\) is positive and real, so the two signs in \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) give two distinct real roots. Equal roots occur when \(D=0\), while no real roots occur when \(D<0\); therefore, options B and C are incorrect. In an exam, first check the sign of the discriminant to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) से निर्धारित होती है। यदि \(D>0\) हो, तो दो भिन्न वास्तविक मूल; यदि \(D=0\) हो, तो दो समान वास्तविक मूल; और यदि \(D<0\) हो, तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता। इसलिए सही राशि विविक्तकर है। परीक्षा-युक्ति: पहले समीकरण को मानक रूप में लिखकर \(a\), \(b\) और \(c\) पहचानें, फिर \(D\) का मान निकालें। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined by its discriminant, \(D=b^2-4ac\). If \(D>0\), the roots are real and distinct; if \(D=0\), the roots are real and equal; and if \(D<0\), there are no real roots. Therefore, the discriminant is the correct quantity. Exam tip: first write the equation in standard form and identify \(a\), \(b\), and \(c\) before calculating \(D\).
A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=3, b=10, c=3\\), इसलिए \\(D=10^2-4(3)(3)=64\\)। चूँकि \\(D>0\\), दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। यदि \\(D=0\\) होता, तो मूल वास्तविक और समान होते—इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिह्न देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित की जा सकती है। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=3, b=10, c=3\\), so \\(D=10^2-4(3)(3)=64\\). Since \\(D>0\\), the two roots are real and distinct. If \\(D=0\\), the roots would be real and equal, so option B is incorrect. Exam tip: The sign of the discriminant directly determines the nature of the roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=-11\) और \(c=30\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-11)^2-4(1)(30)=121-120=1\) है। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। वास्तव में समीकरण \((x-5)(x-6)=0\) है, इसलिए मूल 5 और 6 हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से वास्तविक और असमान, \(D=0\) से वास्तविक और समान, तथा \(D<0\) से अवास्तविक मूल मिलते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-11\), and \(c=30\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-11)^2-4(1)(30)=121-120=1\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct. In fact, the equation factors as \((x-5)(x-6)=0\), giving roots 5 and 6. Exam tip: \(D>0\) indicates real and distinct roots, \(D=0\) indicates real and equal roots, and \(D<0\) indicates non-real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=-2\) और \(c=4\), इसलिए \(D=(-2)^2-4(3)(4)=4-48=-44\)। चूँकि \(D<0\), विविक्तकर ऋणात्मक है और समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसे शून्य न समझें; शून्य विविक्तकर तभी होता है जब \(b^2=4ac\) हो। परीक्षा में पहले \(a,b,c\) पहचानकर \(D=b^2-4ac\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3\), \(b=-2\), and \(c=4\), so \(D=(-2)^2-4(3)(4)=4-48=-44\). Since \(D<0\), the discriminant is negative and the equation has no real roots. It is not zero; a zero discriminant occurs only when \(b^2=4ac\). In an exam, first identify \(a,b,c\) and then apply \(D=b^2-4ac\).
A. \(\Delta=1\), दो वास्तविक और भिन्न मूल/\(\Delta=1\), two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
दिए गए समीकरण में \(a=1\), \(b=5\) और \(c=6\) हैं। इसलिए \(\Delta=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=25-24=1\)। चूँकि \(\Delta>0\), इसके दो वास्तविक और भिन्न मूल होते हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(\Delta=0\) होता। परीक्षा में पहले विविक्तकर निकालें, फिर उसके चिह्न से मूलों की प्रकृति तय करें। / For the given equation, \(a=1\), \(b=5\), and \(c=6\). Thus, \(\Delta=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=25-24=1\). Since \(\Delta>0\), the equation has two real and distinct roots. Option B would be correct only if \(\Delta=0\). In exams, calculate the discriminant first and then use its sign to determine the nature of the roots.
यहाँ \(a=2\), \(b=-7\) और \(c=3\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(3)=49-24=25\) है। चूँकि \(D>0\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। विकल्प D गलत है क्योंकि मूलों का योग \(-b/a=7/2\) धनात्मक है, अतः दोनों मूल ऋणात्मक नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से वास्तविक और असमान, \(D=0\) से वास्तविक और समान, तथा \(D<0\) से अवास्तविक मूल मिलते हैं। / Here, \(a=2\), \(b=-7\), and \(c=3\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(3)=49-24=25\). Since \(D>0\), the equation has two real and distinct roots. Option D is incorrect because the sum of the roots is \(-b/a=7/2\), which is positive, so both roots cannot be negative. Exam tip: \(D>0\) indicates real and distinct roots, \(D=0\) indicates real and equal roots, and \(D<0\) indicates no real roots.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D<0\), तब वर्गमूल \(\sqrt{D}\) वास्तविक नहीं होता, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। \(D=0\) होने पर दो समान वास्तविक मूल और \(D>0\) होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) और कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) याद रखें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), then \(\sqrt{D}\) is not real, so the equation has no real roots. When \(D=0\), there are two equal real roots, while \(D>0\) gives two distinct real roots. Exam tip: remember that real roots require \(D\geq0\), whereas no real roots require \(D<0\).
द्विघात समीकरण के असमान वास्तविक मूल तब प्राप्त होते हैं जब विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) धनात्मक हो, अर्थात \(D>0\)। \(D=0\) होने पर दोनों मूल समान होते हैं, जबकि \(D<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। परीक्षा में असमान वास्तविक मूल के लिए सीधे \(D>0\) याद रखें। / A quadratic equation has two distinct real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is positive, that is, \(D>0\). When \(D=0\), the roots are equal, and when \(D<0\), there are no real roots. In an exam, remember the direct correspondence: distinct real roots mean \(D>0\).
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति विविक्तकर �\(D=b^2-4ac\)� से निर्धारित होती है। दो समान वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए, अर्थात �D=0�। �1�, �-1� और �4� जैसे मान क्रमशः अलग-अलग मूलों या कोई वास्तविक मूल न होने जैसी स्थितियों से संबंधित हो सकते हैं, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: समान वास्तविक मूल �� विविक्तकर शून्य याद रखें। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined by the discriminant �\(D=b^2-4ac\)�. For two equal real roots, the discriminant must be zero, so �D=0�. Values such as �1�, �-1� and �4� do not represent the condition for equal real roots. Exam tip: remember the rule �� for equal real roots.
A. दो वास्तविक और असमान मूल/two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=0\) और \(c=-9\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0^2-4(1)(-9)=36>0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे; वास्तव में मूल \(3\) और \(-3\) हैं। समान मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से वास्तविक और असमान मूल, \(D=0\) से समान मूल तथा \(D<0\) से अवास्तविक मूल मिलते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=0\), and \(c=-9\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=0^2-4(1)(-9)=36>0\). Therefore, the roots are real and distinct; in fact, they are \(3\) and \(-3\). Equal roots require \(D=0\), so option B is incorrect. Exam tip: \(D>0\) indicates real and distinct roots, \(D=0\) indicates equal roots, and \(D<0\) indicates non-real roots.
A. मूल वास्तविक और असमान होंगे/The roots will be real and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D>0\), तब दोनों मूल वास्तविक और असमान होते हैं। यहाँ \(D=25>0\), इसलिए विकल्प A सही है। \(D=0\) होने पर मूल समान होते और \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक होते। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर के चिन्ह को देखें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When \(D>0\), the two roots are real and distinct. Since \(D=25>0\), option A is correct. Equal roots occur when \(D=0\), while non-real roots occur when \(D<0\). Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। विकल्प A में D = 3² − 4(1)(5) = −11 < 0 है, इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B और D में D > 0 होने से दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं, जबकि विकल्प C में D = 0 होने से दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिन्ह जाँचें। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the discriminant is D = b² − 4ac. In option A, D = 3² − 4(1)(5) = −11 < 0, so the equation has no real roots. Options B and D have D > 0 and therefore two distinct real roots, while option C has D = 0 and therefore two equal real roots. Exam tip: check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
यहाँ \(a=1, b=-5, c=6\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(1)(6)=25-24=1\) है, और \(D>0\) होने पर द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होते हैं। वास्तव में, समीकरण के मूल \(2\) और \(3\) हैं। याद रखें: \(D>0\) के लिए मूल वास्तविक और असमान, \(D=0\) के लिए समान तथा \(D<0\) के लिए अवास्तविक होते हैं। / Here, \(a=1, b=-5, c=6\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(1)(6)=25-24=1\). Since \(D>0\), the quadratic equation has two real and distinct roots; in fact, the roots are \(2\) and \(3\). Remember: \(D>0\) gives real and distinct roots, \(D=0\) gives equal roots, and \(D<0\) gives no real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब (D>0), तब x=\((-b\pm\sqrt{D})/(2a)\) से दो वास्तविक और भिन्न मूल प्राप्त होते हैं। विकल्प B तब सही होता है जब (D=0) हो, जबकि (D<0) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर के चिह्न से मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When (D>0), the term \(\sqrt{D}\) is real and non-zero, so the two roots \((-b+\sqrt{D})/(2a)\) and \((-b-\sqrt{D})/(2a)\) are real and distinct. Option B applies when (D=0), while (D<0) gives no real roots. Exam tip: determine the nature of roots by checking the sign of the discriminant first.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) का विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। इसी के आधार पर मूलों की प्रकृति निर्धारित होती है: \\(D>0\\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल, \\(D=0\\) पर समान वास्तविक मूल और \\(D<0\\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। इसलिए सही विकल्प A है; अन्य व्यंजक विविक्तकर का सूत्र नहीं हैं। परीक्षा में पहले \\(a,b,c\\) के सही मान पहचानें। / The discriminant of \\(ax^2+bx+c=0\\) is \\(D=b^2-4ac\\). It determines the nature of the roots: \\(D>0\\) gives two distinct real roots, \\(D=0\\) gives equal real roots, and \\(D<0\\) gives no real roots. Therefore, option A is correct; the other expressions are not the discriminant formula. Exam tip: identify the coefficients \\(a,b,c\\) correctly before substituting their values.
(D>0) होने पर दो अलग-अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में (D) का चिह्न ध्यान से देखें। / When (D>0), two distinct real roots are obtained. In exams, check the sign of (D) carefully.
यहाँ \(A=9\), \(B=-6(a-1)\) और \(C=a^2-4a-5\) हैं। वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC\ge 0\) होना चाहिए। अतः \(D=36(a-1)^2-36(a^2-4a-5)=72(a+3)\), इसलिए \(72(a+3)\ge0\), अर्थात् \(a\ge-3\)। विकल्प B केवल विपरीत दिशा की असमानता देता है और सामान्यतः वास्तविक जड़ों की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / Here, \(A=9\), \(B=-6(a-1)\), and \(C=a^2-4a-5\). For real roots, the discriminant must satisfy \(D=B^2-4AC\ge0\). Thus, \(D=36(a-1)^2-36(a^2-4a-5)=72(a+3)\), so \(72(a+3)\ge0\), giving \(a\ge-3\). Option B reverses the required inequality and is therefore not the general condition for real roots. Exam tip: For a quadratic to have real roots, begin by applying \(D\ge0\).
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72a+216), इसलिए \(a\ge-\frac{7}{2}\) नहीं बल्कि \(a\ge-3\) होगा। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72a+216), so the exact condition is \(a\ge-3\), not \(a\ge-\frac{7}{2}\).
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=64(a-2)2-64\(a^2-6a\)=128(a+2)), इसलिए \(a\ge-2\) होगा, अतः विकल्पों में सही शर्त नहीं है। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=64(a-2)2-64\(a^2-6a\)=128(a+2)), so \(a\ge-2\); hence none of these options is exact.
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le36\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le36\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(144-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le36\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(144-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le36\).
वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2m\) और \(c=m^2-m\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(m^2-m)=4m\)। अतः \(4m\ge 0\), जिससे \(m\ge 0\)। विकल्प A गलत है क्योंकि \(m=0\) पर भी दो समान वास्तविक जड़ें प्राप्त होती हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के प्रश्नों में सबसे पहले विविक्तकर की शर्त लगाएँ। / For real roots, the discriminant must satisfy \(D\ge 0\). Here \(a=1\), \(b=-2m\), and \(c=m^2-m\), so \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(m^2-m)=4m\). Therefore, \(4m\ge 0\), giving \(m\ge 0\). Option A is incorrect because \(m=0\) also gives two equal real roots. Exam tip: For questions about real roots, first apply the discriminant condition.
द्विघात समीकरण की जड़ें वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=9\), \(B=-6(a+1)\) और \(C=a^2-3a\), इसलिए \(D=B^2-4AC=36(a+1)^2-36(a^2-3a)=36(5a+1)\)। अतः \(36(5a+1)\ge0\), जिससे \(a\ge-\frac{1}{5}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलटी है और वह \(a=-\frac{1}{5}\) को भी गलत रूप से बाहर कर देता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के लिए हमेशा \(D\ge0\) लगाएँ; समान जड़ों के लिए \(D=0\) भी मान्य है। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(A=9\), \(B=-6(a+1)\), and \(C=a^2-3a\). Thus, \(D=B^2-4AC=36(a+1)^2-36(a^2-3a)=36(5a+1)\). Therefore, \(36(5a+1)\ge0\), giving \(a\ge-\frac{1}{5}\). Option B reverses the inequality and incorrectly excludes the boundary value \(a=-\frac{1}{5}\). Exam tip: for real roots, use \(D\ge0\); the case \(D=0\) represents equal real roots and is included.
C. \(k\neq0\) और \(k^2\le25\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le25\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(100-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le25\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(100-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le25\).
द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=4\), \(B=-4(a-1)\) और \(C=a^2-4a\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=16(a-1)^2-16(a^2-4a)=16(2a+1)\)। अतः \(16(2a+1)\ge0\), जिससे \(a\ge-\frac12\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B \(a\le1\) विविक्तकर की सही असमिका नहीं है। परीक्षा-टिप: पहले \(D\) को सरल रूप में लिखकर ही पैरामीटर की शर्त निकालें। / A quadratic equation has real roots only when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(A=4\), \(B=-4(a-1)\), and \(C=a^2-4a\). Thus, \(D=B^2-4AC=16(a-1)^2-16(a^2-4a)=16(2a+1)\). Therefore, \(16(2a+1)\ge0\), giving \(a\ge-\frac12\). Hence, option A is correct; the condition \(a\le1\) in option B does not follow from the discriminant. Exam tip: simplify the discriminant completely before solving the parameter inequality.
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le16\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le16\)
Explanation
Simple Explanation
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(64-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le16\)। / For reciprocal roots, \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(64-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le16\).
