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द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2, c=p+3\), इसलिए \(D=(-2)^2-4(1)(p+3)=-4(p+2)\)। अतः \(-4(p+2)<0\), जिससे \(p>-2\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(D=0\) होने पर एक वास्तविक समान मूल होती है, इसलिए \(p=-2\) शामिल नहीं है। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is less than zero. Here, \(a=1\), \(b=-2\), and \(c=p+3\), so \(D=(-2)^2-4(1)(p+3)=-4(p+2)\). Thus, \(-4(p+2)<0\), which gives \(p>-2\). Remember that \(D=0\) gives one repeated real root, so \(p=-2\) is not included.
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\alpha\beta=1\) होता है। यहाँ \(\alpha\beta=k\), इसलिए (k=1), और (D=12>0) से जड़ें वास्तविक भी हैं। / For reciprocal roots, \(\alpha\beta=1\). Here \(\alpha\beta=k\), so (k=1), and (D=12>0) confirms real roots.
वास्तविक जड़ों के लिए \(D=36-36k\ge0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\le1\) और द्विघात के लिए \(k\ne0\) भी जरूरी है। / For real roots, \(D=36-36k\ge0\) is required. Thus \(k\le1\), and \(k\ne0\) is also needed for a quadratic equation.
द्विघात समीकरण की जड़ें वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\) है। अतः \(8(a-1)\ge 0\), जिससे \(a\ge 1\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \(a=1\) छूट जाता है, जबकि इस स्थिति में दोनों जड़ें समान और वास्तविक होती हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge 0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\ge 0\). Here, \(D=[-2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\). Therefore, \(8(a-1)\ge 0\), which gives \(a\ge 1\). Option A incorrectly excludes \(a=1\), although at \(a=1\) the equation has equal real roots. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \(D\ge 0\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=m+4\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=16-4(m+4)=-4m\)। अतः \(-4m<0\), जिससे \(m>0\) प्राप्त होता है। \(m=0\) पर \(D=0\) होगा और दो समान वास्तविक मूल मिलेंगे, इसलिए विकल्प C सही नहीं है। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों की जाँच के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=m+4\), so \(D=b^2-4ac=16-4(m+4)=-4m\). Thus, \(-4m<0\), which gives \(m>0\). If \(m=0\), then \(D=0\), giving two equal real roots; therefore, option C is incorrect. Exam tip: For questions about the nature of roots, first determine the sign of the discriminant.
यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=13\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4^2-4(1)(13)=16-52=-36<0\) है। इसलिए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और उत्तर 0 है। ध्यान रखें: \(D<0\) होने पर वास्तविक मूलों की संख्या हमेशा शून्य होती है; 1 या 2 वास्तविक मूल तभी संभव हैं जब \(D=0\) या \(D>0\) हो। / Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=13\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=4^2-4(1)(13)=16-52=-36<0\). Therefore, the quadratic equation has no real roots, so the answer is 0. Exam tip: \(D<0\) means zero real roots; one or two real roots occur only when \(D=0\) or \(D>0\), respectively.
वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-6, c=k\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\)। अतः \(36-4k=0\), जिससे \(k=9\) प्राप्त होता है। विकल्प 6 केवल \(b\) के परिमाण से जुड़ा है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For real and equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1, b=-6, c=k\), so \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\). Setting \(D=0\) gives \(36-4k=0\), hence \(k=9\). The value 6 is only the magnitude of the coefficient of \(x\), so it is not correct. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, always use \(b^2-4ac=0\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से कम होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2, c=m+1\) हैं, इसलिए \(D=(-2)^2-4(1)(m+1)=-4m\)। अतः \(-4m<0\) से \(m>0\) प्राप्त होता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि \(m=0\) पर दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं और \(m<0\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा टिप: वास्तविक मूलों की संख्या जाँचने के लिए पहले विविक्तकर का चिन्ह निर्धारित करें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is negative. Here, \(a=1, b=-2, c=m+1\), so \(D=(-2)^2-4(1)(m+1)=-4m\). Therefore, \(-4m<0\), which gives \(m>0\). Option D is incorrect because \(m=0\) gives equal real roots, while \(m<0\) gives two distinct real roots. Exam tip: Always determine the sign of the discriminant to identify the nature of quadratic roots.
वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-4, c=k\), इसलिए \(D=b^2-4ac=16-4k\)। अतः \(16-4k=0\), जिससे \(k=4\) प्राप्त होता है। विकल्प 2 केवल \(4k=8\) जैसी गलत गणना से आ सकता है। परीक्षा-टिप: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(D=0\) लगाएँ। / For real and equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1, b=-4, c=k\), so \(D=b^2-4ac=16-4k\). Thus, \(16-4k=0\), giving \(k=4\). The value 2 may result from an incorrect calculation of the discriminant equation. Exam tip: Set \(D=0\) whenever a quadratic equation has equal roots.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=6\) और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=36-4k\)। अतः \(36-4k\ge0\) से \(k\le9\) प्राप्त होता है। \(k=9\) केवल समान मूलों की विशेष स्थिति है, जबकि \(k>9\) पर मूल काल्पनिक होंगे। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों की शर्त के लिए सबसे पहले \(D\ge0\) लिखें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D=b^2-4ac\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=6\), and \(c=k\), so \(D=36-4k\). Therefore, \(36-4k\ge0\) gives \(k\le9\). The value \(k=9\) is only the special case of equal roots, whereas \(k>9\) produces non-real roots. Exam tip: For real roots, begin by imposing the condition \(D\ge0\).
विविक्तकर का सूत्र �\(D=b^2-4ac\)� है। जब �(D>0)�, जैसे यहाँ �(81>0)�, तब द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। �(D=0)� होने पर मूल समान होते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति बताने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / The discriminant is given by �\(D=b^2-4ac\)�. Since �(D=81>0)�, the quadratic equation has two distinct real roots. Equal roots occur only when �(D=0)�, so option B is not correct. Exam tip: check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=16-4k\)। अतः \(16-4k\ge0\) से \(k\le4\) प्राप्त होता है। विकल्प D केवल एक पर्याप्त स्थिति बताता है, पूरी आवश्यक शर्त नहीं; क्योंकि \(0\le k\le4\) के लिए भी मूल वास्तविक होते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D=b^2-4ac\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=k\), so \(D=16-4k\). Therefore, \(16-4k\ge0\) gives \(k\le4\). Option D describes only a sufficient subset, not the complete condition, since roots are also real for \(0\le k\le4\). Exam tip: For questions about real roots, first apply \(D\ge0\).
द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0\)� के बराबर वास्तविक मूल होने की शर्त विविक्तकर �D=b-2-4ac=0� है। यहाँ �a=1,b=-8,c=k� हैं, इसलिए �D=(-8)2-4(1)(k)=64-4k�। अतः �64-4k=0� से �k=16� प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: बराबर मूलों के प्रश्नों में सीधे �D=0� लगाएँ। / A quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0\)� has equal real roots when its discriminant �D=b-2-4ac� is zero. Here, �a=1,b=-8,c=k�, so �D=(-8)2-4(1)(k)=64-4k�. Setting �D=0� gives �64-4k=0�, hence �k=16�. Exam tip: For equal-root questions, apply �D=0� directly.
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=13\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(13)=16-52=-36\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। समान वास्तविक मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति बताने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का मान जाँचें। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=13\). Its discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(13)=16-52=-36\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Equal real roots would require \(D=0\), so option B is incorrect. Exam tip: use the sign of the discriminant to determine the nature of the roots quickly.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में \(a=3\), \(b=-6\) और \(c=3\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(3)=36-36=0\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। परीक्षा-युक्ति: यदि \(D=0\), तो द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), here \(a=3\), \(b=-6\), and \(c=3\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(3)=36-36=0\). Therefore, the two roots are real and equal. Exam tip: when \(D=0\), a quadratic equation has two equal real roots.
द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 का भेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D<0\), तो समीकरण के वास्तविक संख्या में कोई मूल नहीं होते; इसके स्थान पर दो संयुक्त जटिल (complex conjugate) मूल होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प C (2) तब सही होता है जब \(D>0\) — तब दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परिक्षा टिप: पहले भेदक की गणना करें; उसके साइन से तुरंत वास्तविक मूलों की संख्या पता चल जाती है (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0)। / For a quadratic ax-2+bx+c=0 the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), there are no real roots; instead the equation has two complex conjugate roots. The closest distractor C (2) would be correct only when \(D>0\), which gives two distinct real roots; when \(D=0\) there is one repeated real root. Exam tip: compute the discriminant first — its sign immediately tells you the number of real roots (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2\), और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=2^2-4(1)(k)=4-4k\)। अतः \(4-4k\ge0\), जिससे \(k\le1\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(k>1\) होने पर विविक्तकर ऋणात्मक हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों की शर्त पूछे जाने पर सबसे पहले \(D\ge0\) लिखें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D=b^2-4ac\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=2\), and \(c=k\), so \(D=2^2-4(1)(k)=4-4k\). Therefore, \(4-4k\ge0\), which gives \(k\le1\). Hence, option A is correct. If \(k>1\), as stated in option B, the discriminant becomes negative, so the roots are not real. Exam tip: For real roots of a quadratic, always begin with the condition \(D\ge0\).
\(x^2-100=0\) को \(x^2=100\) या \(x^2-(10)^2=0\) लिख सकते हैं। अतः \((x-10)(x+10)=0\), इसलिए इसके मूल \(10\) और \(-10\) हैं। \(x=0\) रखने पर \(0^2-100=-100\neq0\), इसलिए विकल्प C गलत है। परीक्षा में किसी संख्या के मूल होने की जाँच के लिए उसे सीधे समीकरण में रखकर देखें। / The equation \(x^2-100=0\) gives \(x^2=100=10^2\). Thus, \((x-10)(x+10)=0\), so its roots are \(10\) and \(-10\). Substituting \(x=0\) gives \(-100\neq0\), so statement C is incorrect. Exam tip: check a proposed root by substituting it directly into the equation.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D>0\), तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। \(D=0\) पर दोनों मूल समान होते हैं और \(D<0\) पर मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) का मान जाँचें। / For the quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When \(D>0\), the equation has two distinct real roots. If \(D=0\), the roots are equal, while \(D<0\) gives non-real roots. In exams, first calculate \(D=b^2-4ac\) to determine the nature of the roots.
क्वाड्राटिक समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए विविक्तांक (discriminant) \(D=b^2-4ac\) देखकर निर्णय लिया जाता है। यहाँ \(a=1,\;b=0,\;c=16\) इसलिए \(D=0^2-4\times1\times16=-64<0\)। विविक्तांक ऋणात्मक होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। वैकल्पिक दृष्टिकोण: किसी भी वास्तविक संख्या के लिए \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+16\) कभी शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा सुझाव: वास्तविक मूल के लिए पहले विविक्तांक जांचें; यदि \(D<0\) है तो उत्तर तुरंत 0 होगा। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the number of real roots depends on the discriminant \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\;b=0,\;c=16\), so \(D=0^2-4\times1\times16=-64<0\). A negative discriminant means no real roots. Alternatively, since for any real x, \(x^2\ge0\), \(x^2+16\) cannot be zero. Exam tip: check the discriminant first — \(D>0\) gives 2 roots, \(D=0\) gives 1, \(D<0\) gives 0 real roots. The option “cannot be determined” is wrong because all coefficients are given.
चूँकि \(x^2\ge 0\) होता है, इसलिए \(x^2+4\ge 4>0\)। अतः \(x^2+4\) कभी शून्य नहीं होगा और वास्तविक मूल मौजूद नहीं हैं। इसी को द्विघात समीकरण के वर्णक से भी देख सकते हैं: \(\Delta=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot4=-16<0\), जिससे वास्तविक मूल नहीं होते। सबसे घातक भ्रम यह है कि सभी द्विघातों के दो मूल होते हैं — यह तभी सच है जब \(\Delta>0\) हो। परीक्षा-सूत्र: किसी भी द्विघात के वास्तविक मूलों की संख्या के लिए वर्णक \(\Delta=b^2-4ac\) देख लें। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+4\ge 4>0\), so \(x^2+4\) can never be zero and there are no real roots. Using the quadratic discriminant: \(\Delta=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot4=-16<0\), which confirms no real solutions. Common distractor: students may think a quadratic always has two roots — that requires \(\Delta>0\). Exam tip: check \(\Delta\) or the minimum value of \(x^2\) to decide real roots quickly.
\(2x^2-8=0\) को पहले दोनों पक्षों को 2 से भाग देकर सरल करें: \(x^2=4\)। अब वर्गमूल लेने पर \(x=\pm 2\) मिलते हैं, अर्थात् 2 और −2। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ पर गलती से \(x^2=16\) मान लिया गया होगा; विकल्प C में 0 जोड़ा गया है पर \(0\) समीकरण को संतुष्ट नहीं करता; विकल्प D केवल धनात्मक जड़ ले रहा है और ऋणात्मक जड़ \(-2\) छोड़ रहा है। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्गमूल लेते समय दोनों चिन्ह \(+\) और \(-\) दोनों परखें। / Divide both sides by 2: from \(2x^2-8=0\) we get \(x^2=4\). Taking square roots gives \(x=\pm 2\), i.e. 2 and −2. Option B would come from incorrectly assuming \(x^2=16\); option C is wrong because 0 does not satisfy the equation; option D is incomplete because it omits the negative root. Exam tip: when taking square roots always include both \(+\) and \(-\) solutions after squaring.
द्विघात समीकरण के गुण के अनुसार डिस्क्रिमिनेंट \(D= b^2-4ac\) की मान्यता तय करती है कि मूल वास्तविक हैं या नहीं। यदि \(D>0\) तो दो अलग-अलग वास्तविक मूल होंगे, यदि \(D=0\) तो सममूल (दो बराबर वास्तविक मूल) होंगे, इसलिए वास्तविक मूलों के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त \(D\ge 0\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(D<0\) होने पर मूल सम्मिश्र/कॉम्प्लेक्स होते हैं; विकल्प C बेकार-विशिष्ट मान है और सभी समीकरणों पर लागू नहीं होता; विकल्प D गलत है क्योंकि \(a=0\) पर समीकरण द्विघात नहीं रह जाता। परीक्षा-सुझाव: किसी द्विघात के मूल जल्दी जानने के लिए पहले हमेशा \(D=b^2-4ac\) निकालें। / The discriminant \(D=b^2-4ac\) determines the nature of roots. If \(D>0\) there are two distinct real roots, if \(D=0\) there is one repeated real root; hence real roots occur exactly when \(D\ge 0\). Option A is incorrect because \(D<0\) gives complex (non-real) roots. Option C is just a specific value and not a general condition. Option D is incorrect because \(a=0\) makes the equation linear, not quadratic. Exam tip: compute \(D=b^2-4ac\) first to decide root nature quickly.
A. \(p\leq -7\) या \(p\geq 7\)/\(p\leq -7\) or \(p\geq 7\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए द्विघात का डिस्क्रिमिनेंट \(D\geq0\) होना आवश्यक है। यहाँ \(D=(2p)^2-4\cdot1\cdot49=4p^2-196=4(p^2-49)\). \(D\geq0\) से \(p^2-49\geq0\) अर्थात् \(p^2\geq49\) जो देता है \(p\leq-7\) या \(p\geq7\)। विकल्प B गलत है क्योंकि उस पर \(p^2<49\) होगा और \(D<0\) होगा; विकल्प C बहुत संकुचित है और विकल्प D भी गलत है क्योंकि \(p\neq7\) में कई मान ऐसे हैं जिनसे \(D<0\)। परीक्षा टिप: किसी भी पैरामीट्रिक द्विघात के लिए सबसे पहले \(D=(b^2-4ac)\) की शर्त \(\ge0\) पर निर्णय लें। / For real roots the discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here \(D=(2p)^2-4\cdot1\cdot49=4p^2-196=4(p^2-49)\). Requiring \(D\ge0\) gives \(p^2-49\ge0\) or \(p^2\ge49\), hence \(p\le-7\) or \(p\ge7\). Option B is incorrect because for \(-7<p<7\) we have \(p^2<49\) so \(D<0\); option C is just a special value and not the general condition; option D is too broad and includes values that do not give real roots. Exam tip: For parameter problems, compute \(D=b^2-4ac\) first and set \(D\ge0\) to find the range of the parameter.
यहाँ \(a=1\), \(b=-10\) और \(c=29\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(29)=100-116=-16\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना आवश्यक है, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: द्विघात समीकरण में \(D<0\) का अर्थ हमेशा ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ होता है। / Here, \(a=1\), \(b=-10\), and \(c=29\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(29)=100-116=-16\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; its roots are complex. Option B would be correct only if \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) always indicates that there are no real roots.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए भेदांक \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=2p, c=36\), इसलिए \(D=(2p)^2-4(1)(36)=4p^2-144\)। अतः \(4p^2-144\geq 0\), जिससे \(p^2\geq 36\) और \(p\leq -6\) या \(p\geq 6\) प्राप्त होता है। विकल्प B में भेदांक ऋणात्मक होता है, इसलिए वहाँ वास्तविक मूल नहीं मिलते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों में समान मूल की स्थिति भी शामिल होती है, इसलिए \(D=0\) को अवश्य शामिल करें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\geq 0\). Here, \(a=1, b=2p, c=36\), so \(D=(2p)^2-4(1)(36)=4p^2-144\). Thus, \(4p^2-144\geq 0\), which gives \(p^2\geq 36\) and hence \(p\leq -6\) or \(p\geq 6\). In option B, the discriminant is negative, so the roots are not real. Exam tip: include \(D=0\), because equal roots are also real roots.
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और अलग-अलग मूल होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k^2\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\)। अतः \(4(2k+1)>0\), जिससे \(k>- rac{1}{2}\) मिलता है। \(k=-\frac{1}{2}\) पर मूल समान हो जाते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) याद रखें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k^2\), so \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\). Therefore, \(4(2k+1)>0\), giving \(k>- rac{1}{2}\). At \(k=-\frac{1}{2}\), the roots are equal, so option B is not sufficient. Exam tip: use \(D>0\) for distinct real roots, \(D=0\) for equal roots, and \(D<0\) for non-real roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=-8\) और \(c=17\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4(1)(17)=64-68=-4\) है। चूँकि \(\Delta<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B तभी सही होता जब \(\Delta=0\) होता। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta<0\) पर वास्तविक मूल नहीं, \(\Delta=0\) पर समान मूल और \(\Delta>0\) पर भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-8\), and \(c=17\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4(1)(17)=64-68=-4\). Since \(\Delta<0\), the equation has no real roots, so option A is correct. Option B would be correct only if \(\Delta=0\). Exam tip: \(\Delta<0\) means no real roots, \(\Delta=0\) means equal real roots, and \(\Delta>0\) means distinct real roots.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विभेदक \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2p\) और \(c=25\), इसलिए \(D=(2p)^2-4(1)(25)=4p^2-100\)। अतः \(4p^2-100\geq 0\), जिससे \(p^2\geq 25\) और \(p\leq -5\) या \(p\geq 5\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता उलटी है और \(p=\pm5\) जैसे दोहरे वास्तविक मूलों को भी बाहर कर दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) लगाएँ, केवल \(D>0\) नहीं। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\geq 0\). Here, \(a=1\), \(b=2p\), and \(c=25\), so \(D=(2p)^2-4(1)(25)=4p^2-100\). Thus, \(4p^2-100\geq 0\), which gives \(p^2\geq 25\), and hence \(p\leq -5\) or \(p\geq 5\). Option B reverses the required inequality and also excludes the double real roots occurring at \(p=\pm5\). Exam tip: For real roots, use \(D\geq0\), not only \(D>0\).
A. इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं/It has no real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ द्विघात समीकरण के गुणांक \(a=1\), \(b=-6\) और \(c=11\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(11)=36-44=-8\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। याद रखें: \(D=0\) पर समान वास्तविक मूल और \(D>0\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। / For this quadratic equation, \(a=1\), \(b=-6\), and \(c=11\). Its discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(11)=36-44=-8\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Exam tip: \(D=0\) gives equal real roots, while \(D>0\) gives two distinct real roots.
