Class 10 real-roots MCQ Questions

Question 151/158 Hard Mathematics Quadratic Equations Introduction to Quadratic Equations Class 10 Level 30

समीकरण \(x^2+2kx+16=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए \(k\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है?

What condition on \(k\) is necessary for the equation \(x^2+2kx+16=0\) to have real roots?

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Correct Answer

A. \(k\leq -4\) या \(k\geq 4\)\(k\leq -4\) or \(k\geq 4\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=2k, c=16\), इसलिए \(D=(2k)^2-4(1)(16)=4k^2-64\)। अतः \(4k^2-64\geq0\Rightarrow k^2\geq16\), जिससे \(k\leq-4\) या \(k\geq4\)। विकल्प B में \(k\) का मान \(-4\) और \(4\) के बीच होता है, जहाँ विविक्तकर ऋणात्मक है। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have real roots, its discriminant must satisfy \(D=b^2-4ac\geq0\). Here, \(a=1, b=2k, c=16\), so \(D=(2k)^2-4(1)(16)=4k^2-64\). Thus, \(4k^2-64\geq0\Rightarrow k^2\\geq16\), which gives \(k\leq-4\) or \(k\geq4\). In option B, \(k\) lies between \(-4\) and \(4\), making the discriminant negative. Exam tip: Whenever real roots are asked for, begin with the condition \(D\geq0\).

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Question 152/158 Hard Mathematics Quadratic Equations Introduction to Quadratic Equations Class 10 Level 29

समीकरण \(x^2+2kx+9=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए \(k\) की कौन-सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त है?

What condition on \(k\) is necessary and sufficient for the equation \(x^2+2kx+9=0\) to have real roots?

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Correct Answer

A. \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)\(k\leq -3\) or \(k\geq 3\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2k\) और \(c=9\) हैं, इसलिए \(D=(2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\)। अतः \(4k^2-36\geq 0\), यानी \(k^2\geq 9\), जिससे \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)। विकल्प B में \(D<0\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq 0\) जाँचें। / A quadratic equation has real roots only when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is non-negative. Here, \(a=1\), \(b=2k\), and \(c=9\), so \(D=(2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\). Thus \(4k^2-36\geq 0\), which gives \(k^2\geq 9\), and hence \(k\leq -3\) or \(k\geq 3\). In option B, \(D<0\), so the roots are not real. Exam tip: For real roots, always check the condition \(D\geq 0\).

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Question 153/158 Expert Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Class 10 Level 25

यदि \(p(x)=x^2-6\sqrt{2}x+17\) हो, तो इसके शून्यकों का अंतर कितना है?

If \(p(x)=x^2-6\sqrt{2}x+17\), what is the difference between its zeroes?

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Correct Answer

A. \(2\)

Explanation

Simple Explanation

क्वाड्रैटिक समीकरण \(ax^2+bx+c\) के शून्यकों \(\alpha,\beta\) का अंतर \(|\alpha-\beta|=\dfrac{\sqrt{D}}{|a|}\) होता है जहाँ \(D=b^2-4ac\)। यहाँ \(a=1,\;b=-6\sqrt{2},\;c=17\)। अतः \(D=(6\sqrt{2})^2-4\cdot1\cdot17=72-68=4\)। इसलिए \(|\alpha-\beta|=\sqrt{4}=2\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(4\) गलत है क्योंकि वह डिस्क्रिमिनेंट \(D\) है, जबकि प्रश्न शून्यकों के वास्तविक अन्तर के बारे में है। परीक्षा-सुझाव: तुरंत अंतर निकालने के लिए \(|\alpha-\beta|=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\) या \(|\alpha-\beta|=\dfrac{\sqrt{D}}{|a|}\) याद रखें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\) with roots \(\alpha,\beta\), the difference is \(|\alpha-\beta|=\dfrac{\sqrt{D}}{|a|}\) where \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\;b=-6\sqrt{2},\;c=17\), so \(D=(6\sqrt{2})^2-4\cdot1\cdot17=72-68=4\). Hence \(|\alpha-\beta|=\sqrt{4}=2\). The common distractor \(4\) is the discriminant itself, not the root difference. Exam tip: use \(|\alpha-\beta|=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\) or \(|\alpha-\beta|=\dfrac{\sqrt{D}}{|a|}\) to get the answer quickly.

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Question 154/158 Expert Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 24

यदि \(p(x)=x^2+6x+10\) है तो उसका ग्राफ \(x\)-अक्ष के साथ कैसा सम्बन्ध रखेगा?

If \(p(x)=x^2+6x+10\), how does its graph relate to the x-axis?

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Correct Answer

A. यह \(x\)-अक्ष को नहीं मिलेगाIt will not meet the \(x\)-axis

Explanation

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पूर्ण वर्ग बनाकर \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\) मिलता है। क्योंकि \((x+3)^2\ge0\) है, मान हमेशा कम से कम 1 होगा इसलिए पारबोला \(x\)-अक्ष को कभी काटता ही नहीं। समान रूप से डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac=36-40=-4<0\) होने से कोई वास्तविक शून्य नहीं है। निकटतम विकल्प (छूना एक बार) गलत है क्योंकि उसके लिए डिस्क्रिमिनेंट शून्य होना चाहिए। परीक्षा-सुझाव: तीव्रता से जाँचने के लिए तुरंत डिस्क्रिमिनेंट निकालें या पूर्ण-वर्ग में बदलकर शीर्षबिंदु देखें। / Completing the square gives \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\). Since \((x+3)^2\ge0\), the minimum value is 1, so the parabola never reaches 0 and does not meet the x-axis. Equivalently, the discriminant is \(b^2-4ac=36-40=-4<0\), so there are no real roots. The closest distractor (touch once) is wrong because that requires discriminant zero. Exam tip: use the discriminant or complete the square to quickly decide if real x-intercepts exist.

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Question 155/158 Expert Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 24

एक बहुपद का ग्राफ़ \\((-5,0)\\) पर \(x\)-अक्ष को काटता और \\((2,0)\\) पर \(x\)-अक्ष को छूता है। इस सूचना के आधार पर वास्तविक (distinct) शून्यकों की संख्या क्या है?

A polynomial's graph crosses the \(x\)-axis at \\((-5,0)\\) and touches the \(x\)-axis at \\((2,0)\\). Based on this information, what is the number of real (distinct) zeros?

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Correct Answer

A. दोTwo

Explanation

Simple Explanation

ग्राफ़ पर \\((-5,0)\\) पर काटना दर्शाता है कि \(x=-5\) एक वास्तविक शून्यक है (आम तौर पर विषम बहुलकता)। \\((2,0)\\) पर छूना दर्शाता है कि \(x=2\) भी वास्तविक शून्यक है (समान्यतः सम बहुलकता, जैसे गुणनफल में द्वि-गुणकता)। दोनों अलग-अलग \(x\)-मान हैं इसलिए अलग-अलग वास्तविक शून्यक की कुल संख्या 2 है। विकल्प तीन उस भ्रम पर आधारित हो सकता है कि multiplicity के साथ गिने तो \(x=2\) की बहुलकता 2 होने पर कुल शून्यक 3 हो सकते हैं — पर प्रश्न में distinct (अलग) शून्यक माँगे गए हैं। परीक्षा टिप: ध्यान दें कि प्रश्न में "distinct" या "with multiplicity" पूछा गया है; छूना (touch) हमेशा एक वास्तविक शून्यक देता है भले ही उसकी बहुलकता 2 या सम हो। / Crossing at \((-5,0)\) means \(x=-5\) is a real root (typically odd multiplicity). Touching at \((2,0)\) means \(x=2\) is also a real root (typically even multiplicity, e.g. multiplicity 2). These are two distinct real zeros, so the answer is two. The option "three" might arise if one counts multiplicities (for example multiplicity 1 at \(-5\) and multiplicity 2 at \(2\) gives three roots counting multiplicity), but the question asks for distinct real zeros. Exam tip: always check whether the question asks for distinct roots or roots counted with multiplicity when interpreting touch vs. cross.

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Question 156/158 Medium Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 24

यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल (m, 0) बिंदु पर छूता है और किसी अन्य स्थान पर x-अक्ष को नहीं काटता, तो उस बहुपद के अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या क्या होगी?

If the graph of a polynomial touches the x-axis at the single point (m, 0) and does not meet the x-axis anywhere else, how many distinct real zeros does the polynomial have?

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Correct Answer

B. एकOne

Explanation

Simple Explanation

छूने का अर्थ है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य है, यानी \(p(m)=0\)। जब ग्राफ x-अक्ष को स्पर्श करता है और पार नहीं करता तो उस शून्य का गुणन‑घात (multiplicity) सम (even) होता है — उदाहरण के लिए 2 या 4 आदि। इसलिए, बावजूद गुणन‑घात के बड़े होने के, अलग वास्तविक शून्य का मान केवल एक ही होता है, अर्थात् x = m। नज़ीर के तौर पर, निकटतम भ्राँतिक (दो) गलत है क्योंकि दो अलग बिंदुओं पर छूने के लिए ग्राफ को x-अक्ष को कम-से-कम दो अलग स्थानों पर शून्य होना चाहिए। परीक्षा‑टिप: किसी छूने वाले बिंदु पर हमेशा जाँचें कि वह शून्य है (\(p(m)=0\)) और गुणन‑घात सम होने पर ग्राफ छूता है न कि पार करता है। / A touch at (m,0) means the polynomial satisfies \(p(m)=0\). If the graph only touches and does not cross the x-axis at that point, the root at x = m has even multiplicity (2, 4, ...). Regardless of that multiplicity, it represents a single distinct real zero — x = m. The distractor 'two' is incorrect because two distinct real zeros would require the graph to meet the x-axis at two different x-values. Exam tip: check \(p(m)=0\) and use root multiplicity (even → touch, odd → cross) to decide crossing vs touching.

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Question 157/158 Medium Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 24

यदि किसी बहुपद के ग्राफ में \(x=1\) पर ग्राफ धुरी को काटता है (cut) और \(x=6\) पर केवल स्पर्श करता है (touch), तो कितने भिन्न वास्तविक शून्यक हैं?

If the graph of a polynomial crosses the x-axis at \(x=1\) and only touches the x-axis at \(x=6\), how many distinct real zeros does the polynomial have?

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Correct Answer

B. दोTwo

Explanation

Simple Explanation

कटना (cross) दर्शाता है कि उस शून्य की गुणांक (multiplicity) विषम है और स्पर्श (touch) दर्शाता है कि गुणांक सम है; परन्तु दोनों ही स्थितियों में \(p(x)=0\) हो जाता है। यहाँ दिए गए भिन्न x‑मान \(x=1\) और \(x=6\) हैं, इसलिए भिन्न वास्तविक शून्यक दो हैं। नज़दीकी भ्रमितिकर विकल्प “तीन” गलत है क्योंकि गुणांश की संख्या अलग‑अलग शून्यों की संख्या नहीं बढ़ाती — वही x‑मान ही अलग शून्य गिनते हैं। परीक्षात्मक टिप: केवल अलग‑अलग x‑मान गिनें; कटान/स्पर्श से गुणांक का प्रकार समझें पर वह भिन्न शून्यों की संख्या नहीं बदलता। / A crossing at a point means the zero has odd multiplicity and a touch means even multiplicity, but in both cases the polynomial satisfies \(p(x)=0\). The x‑values given are \(x=1\) and \(x=6\), so there are two distinct real zeros. The distractor “three” is incorrect because multiplicities (odd/even) do not create additional distinct x‑values. Exam tip: count distinct x‑values where the graph meets the axis; use crossing vs touching only to infer multiplicity, not the number of distinct zeros.

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Question 158/158 Medium Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 22

यदि \(p(x)=x^2+9\) है, तो इसका ग्राफ x-अक्ष को कितनी बार काटेगा?

If \(p(x)=x^2+9\), how many times will its graph cut the x-axis?

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Correct Answer

A. शून्य बारZero times

Explanation

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कारण: वास्तविक मानों के लिए \(x^2\ge0\) होता है, अतः \(x^2+9\ge9>0\)। इसलिए \(x^2+9=0\) का कोई वास्तविक समाधान नहीं है और ग्राफ x-अक्ष को कभी नहीं काटेगा। डिस्क्रिमिनेंट से भी देख सकते हैं: \(D=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot9=-36<0\), जिससे कोई वास्तविक मूल नहीं है। निकटतम विकर्षक “दो बार” इसलिए गलत है क्योंकि द्विघात समीकरण में दो छेद तभी होते हैं जब \(D>0\)। परीक्षा-सुझाव: किसी द्विघात के वास्तविक मूल जानने के लिए तुरंत डिस्क्रिमिनेंट की जांच करें या शीर्ष-बिंदु/न्यूनतम मान देखें। / Reason: For real x, \(x^2\ge0\), so \(x^2+9\ge9>0\). Thus \(x^2+9=0\) has no real solution and the parabola never meets the x-axis. Using the discriminant: \(D=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot9=-36<0\), confirming no real roots. The closest distractor “Two times” is wrong because a quadratic has two x-intercepts only when \(D>0\). Exam tip: check the discriminant or the vertex/minimum value to decide intersection with the x-axis quickly.

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