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\(0.4\times0.4=0.16\) इसलिए \(\sqrt{0.16}=0.4\)। ध्यान रखें कि गणित में √ का अर्थ प्रिंसिपल (मुख्य) वर्गमूल है, जो हमेशा गैर-नकारात्मक होता है; इसलिए −0.4 का वर्ग भी 0.16 होता है पर वह प्रिंसिपल वर्गमूल नहीं माना जाता। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(0.04^2=0.0016\) और \(4^2=16\)। परीक्षा टिप: квадратमूल लेते समय सकारात्मक मुख्य मान चुनें जब कोई संकेत न दिया गया हो। / Since \(0.4\times0.4=0.16\), \(\sqrt{0.16}=0.4\). Note that the square-root symbol denotes the principal (non-negative) root, so although \((-0.4)^2=0.16\), the principal square root is positive 0.4. The other options are incorrect because \(0.04^2=0.0016\) and \(4^2=16\). Exam tip: when asked for \(\sqrt{\,\cdot\,}\) without sign, take the non-negative root.
14 एक प्राकृतिक संख्या है क्योंकि यह एक सकारात्मक पूर्णांक है। इसे \(\frac{14}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय भी है (परिमेय वह संख्या होती है जिसे \(\frac{p}{q}\), \(q\neq0\), के रूप में लिखा जा सके)। \(\sqrt{14}\) अपरिमेय है, \(-14\) प्राकृतिक नहीं है क्योंकि यह नकारात्मक है, और \(0.14\) परिमेय जरूर है पर प्राकृतिक नहीं। परीक्षा टिप: "प्राकृतिक" शब्द से पॉज़िटिव पूर्णांकों (1,2,3,...) को ही चुनें; किसी दशमलव या नकारात्मक संख्या को प्राकृतिक न मानें। / 14 is a natural number because it is a positive integer, and it can be written as \(\frac{14}{1}\), so it is rational as well (a rational number can be expressed as \(\frac{p}{q}\), \(q\neq0\)). \(\sqrt{14}\) is irrational, -14 is not a natural number (it's negative), and 0.14 is rational but not a natural number. Exam tip: natural numbers are positive integers (1,2,3,...); any number expressible as \(\frac{p}{q}\) with integer p,q (q≠0) is rational.
\(\sqrt[3]{27}=3\) क्योंकि \(3^3=27\)। 3 एक पूर्णांक है और सभी पूर्णांक परिमेय होते हैं (उन्हें एक भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे \(3=3/1\))। विकल्प B गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्या का दशमलव रूप अनन्त और गैर-आवर्ती होता है — यहाँ संख्या संपूर्ण और परिमेय है। विकल्प C गलत है क्योंकि अवास्तविक (complex non-real) संख्याएँ वास्तविक रेखा पर नहीं आतीं; यहाँ परिणाम वास्तविक और पूर्णांक है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि यह विकल्प अनंत और गैर‑दोहराने वाले दशमलव का ब्योरा देता है, जबकि यहाँ दशमलव नहीं बल्कि एक समाप्त पूर्णांक है। परीक्षा सुझाव: घनमूल लेते समय पहले चेक करें कि क्या दी गई संख्या एक परफेक्ट क्यूब है; यदि हाँ तो घनमूल एक पूर्णांक और इसलिए परिमेय होगा। / \(\sqrt[3]{27}=3\) since \(3^3=27\). The result is an integer, and every integer is rational (can be written as a fraction, e.g. \(3=3/1\)). Option B is incorrect because irrational numbers cannot be expressed as a ratio of integers and have non-repeating, non-terminating decimals — that does not apply here. Option C is incorrect because the value is a real integer, not a non-real complex number. Option D is incorrect because the number is not a non-terminating non-repeating decimal but a terminating integer. Exam tip: first check if the radicand is a perfect power; the root of a perfect cube is an integer and hence rational.
घनमूल और वर्गमूल का नियम है कि \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) जब \(a,b\ge0\) हो। यहाँ \(\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\frac{7}{8}\)। इसका मान धनात्मक लिया जाता है क्योंकि मुख्य वर्गमूल हमेशा गैर‑ऋणात्मक होता है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(-\frac{7}{8}\) उसीलिए गलत है क्योंकि वह ऋणात्मक है। अन्य विकल्प जैसे \(\frac{49}{8}\) और \(\frac{7}{64}\) गणना की गलतियों से आते हैं (अर्कों का वर्गमूल न सही ढंग से लेना या भाग स्थानांतरित करना)। परीक्षा टिप: भिन्न के वर्गमूल को अलग‑अलग बलों पर लें और हमेशा मुख्य (positive) वर्गमूल चुनें। / Use the rule \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) for nonnegative \(a,b\). So \(\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\frac{7}{8}\). The principal square root is nonnegative, so \(-\frac{7}{8}\) is not valid. The other distractors come from incorrect manipulation (for example taking root only of numerator or misplaced division). Exam tip: simplify perfect squares in numerator and denominator before taking the square root, and remember the principal root is positive.
7.03125 एक निश्चित संख्या के बाद समाप्त हो जाता है, यानी यह समाप्त होने वाला दशमलव है। इसे भिन्न के रूप में लिखें तो हर बार हराश के हर भाग का हरोम भाग का हरोम भाग (उदा. 7.03125 = 703125/100000) के हरको गुणन करने पर हरमूल हरांश में केवल 2 और 5 का घात होता है \(10^5\)। इसलिए यह परिमेय है और terminating है। विकल्प B में "03" बार-बार दोहराया जा रहा है इसलिए वह आवर्ती (repeating) दशमलव है—परिमेय पर न समाप्त होने वाला। विकल्प C एक गैर-आवर्ती अनन्त क्रम दिखाता है (non-terminating, non-repeating) और इसलिए तर्कसंगत नहीं माना जा सकता; विकल्प D (�\(\pi\)\u0000) एक अप्रमेय अनन्त दशमलव है। परीक्षा-नुस्खा: किसी दशमलव के भिन्न में जितना छोटा समीकरण मिले, उसका हर (denominator) केवल 2 और/या 5 का गुणज होना चाहिए ताकि दशमलव समाप्त हो। / 7.03125 stops after a finite number of digits, so it is a terminating decimal. As a fraction 7.03125 = 703125/100000 and the denominator 100000 = 105 has only prime factors 2 and 5, which is the criterion for a terminating decimal. Option B (7.030303...) is repeating (periodic) and thus non-terminating though rational. Option C shows a non-terminating, non-repeating expansion (hence not terminating and typically irrational), and option D (\(\pi\)) is an irrational non-terminating, non-repeating decimal. Exam tip: convert to lowest-term fraction—if the denominator has only 2 and/or 5 as prime factors, the decimal terminates.
\(4.\overline{56}\) में "56" का समूह बार-बार दोहराया जा रहा है, इसलिए यह एक आवर्ती (repeating) और अनन्त दशमलव है। आवर्ती दशमलव परिमेय (rational) संख्या का प्रतिनिधित्व करती है। विकल्प B में कोई स्थिर दोहराने वाला ब्लॉक नहीं दिखता इसलिए वह अनन्त परंतु अनावर्ती (non-repeating) है; विकल्प C समाप्त (terminating) दशमलव है; विकल्प D का मान \(\sqrt{4}=2\) है जो पूर्ण संख्या और समाप्त रूप है। परीक्षा-सूत्र: आवर्ती दशमलव में एक निश्चित अंक-समूह हमेशा नियमित अंतराल पर बार-बार आता है — उसे पहचानने के लिए दोहराए जाने वाले ब्लॉक की तलाश करें। / In \(4.\overline{56}\) the block "56" repeats indefinitely, so it is a non-terminating repeating decimal (hence rational). Option B shows digits continuing without a fixed repeating block, so it is non-repeating; option C is a terminating decimal; option D equals \(\sqrt{4}=2\), an integer (terminating). Exam tip: look for a fixed group of digits that repeats periodically — that identifies a repeating decimal.
(0.875) सांत दशमलव है इसलिए परिमेय है। सांत दशमलव को भिन्न में लिखा जा सकता है। / (0.875) is a terminating decimal so it is rational. A terminating decimal can be written as a fraction.
परिमेय संख्याएँ भाग के रूप में लिखी जा सकती हैं: मान लें \(m=\dfrac{a}{b}\) और \(n=\dfrac{c}{d}\) जहाँ \(a,b,c,d\) पूर्णांक और \(b,d\neq0\)। तब \(m\times n=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\) जो फिर से दो पूर्णांकों का अनुपात है, इसलिए परिमेय है। विकल्प C गलत है क्योंकि गुणनफल हमेशा पूर्णांक नहीं होता (उदा. \(\tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}\)) और D गलत है क्योंकि गुणनफल नकारात्मक जरूरी नहीं (दो धनात्मक परिमेयों का गुणन धनात्मक होगा)। परीक्षा सुझाव: परिमेय संख्याओं के लिए हमेशा भिन्न के रूप में प्रतिनिधित्व करके बंद होने (closure) की जाँच करें। / Write rationals as fractions: let \(m=\frac{a}{b}\) and \(n=\frac{c}{d}\) with integers \(a,b,c,d\) and \(b,d\neq0\). Then \(m\times n=\frac{ac}{bd}\), a ratio of integers, so it is rational. Option C is wrong because the product need not be an integer (e.g. \(1/2\times1/3=1/6\)); option D is wrong because the product need not be negative. Exam tip: test closure by expressing numbers as fractions and multiplying numerator with numerator, denominator with denominator.
दो परिमेय संख्याएँ परिमेय ही रहती हैं (बंदत्व)। यदि \(m=\frac{a}{b}\) और \(n=\frac{c}{d}\) जहाँ \(a,b,c,d\) पूर्णांक और \(b,d\neq0\), तो \(m+n=\frac{ad+bc}{bd}\)। हर भागफल दो पूर्णांकों का अनुपात है इसलिए परिमेय होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि सामान्यतः दो परिमेयों का योग अपरिमेय नहीं बनता। विकल्प C और D विशिष्ट मामलों के लिए ही सत्य हो सकते हैं (उदाहरण: \(m=1,n=1\) सहित), पर सामान्य नियम नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: किसी भी परिमेय जोड़ को भिन्न के रूप में लिखकर परिणाम की परिमेयता जांचें। / Rational numbers are closed under addition. If \(m=\frac{a}{b}\) and \(n=\frac{c}{d}\) with integers \(a,b,c,d\) and \(b,d\neq0\), then \(m+n=\frac{ad+bc}{bd}\), which is a ratio of integers and thus rational. Option B is incorrect because the sum of two rationals is not generally irrational. Options C and D hold only in special cases, not in general. Exam tip: express numbers as fractions and add to verify rationality quickly.
\(0.\overline{12}\) एक अनंत आवर्ती दशमलव है और किसी आवर्ती दशमलव को हमेशा भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए \(0.\overline{12}=\dfrac{12}{99}=\dfrac{4}{33}\), इसलिए यह परिमेय है और समाप्त नहीं होता। विकल्प B (\(0.875\)) परिमेय जरूर है पर यह समाप्त होने वाला दशमलव है, इसलिए प्रश्न की शर्त पर खरा नहीं उतरता। विकल्प C (\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)) और D (\(\pi\)) अपरिमेय हैं। परीक्षा-सूत्र: आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए आवर्ती भाग को उपयुक्त 9, 99, 999 आदि से भाग करें (यह तेज़ तरीके से परिमेयता दिखा देता है)। / \(0.\overline{12}\) is a non-terminating recurring decimal; every recurring decimal is rational because it can be expressed as a fraction. For example \(0.\overline{12}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}\), so it is rational and non-terminating. Option B (\(0.875\)) is rational but terminating (\(0.875=\frac{875}{1000}=\frac{7}{8}\)), so it does not meet the "non-terminating" condition. Options C (\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)) and D (\(\pi\)) are irrational. Exam tip: convert recurring decimals to fractions using 9, 99, 999... under the recurring block to quickly test rationality.
\(0.125\) एक समाप्त दशमलव (terminating decimal) है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। इसे भिन्न के रूप में लिख सकते हैं: \(0.125 = \dfrac{125}{1000} = \dfrac{1}{8}\)। अपरिमेय संख्या ऐसी होती है जिसे \(\dfrac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता; इसलिए विकल्प B गलत है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(0.125\) एक वास्तविक संख्या है। विकल्प D गलत है क्योंकि पूर्णांक में दशांश भाग नहीं होता, जबकि \(0.125\) में दशांश भाग मौजूद है। परीक्षा टिप: किसी भी समाप्त दशमलव को सरलीकृत भिन्न में बदलकर तुरंत परिमेयता पहचानें। / \(0.125\) is a terminating decimal, so it is a rational number. Converting to a fraction gives \(0.125 = \dfrac{125}{1000} = \dfrac{1}{8}\), which shows it equals \(p/q\). Option B is wrong because irrational numbers cannot be written as \(p/q\). Option C is wrong because \(0.125\) is a real number. Option D is wrong because integers have no fractional part, whereas \(0.125\) does. Exam tip: Convert a terminating decimal to a simplified fraction to confirm it is rational.
\(\frac{3}{8}\) परिमेय है क्योंकि इसे पूर्णांकों के अनुपात \(\frac{p}{q}\) (जहाँ \(q\neq 0\)) के रूप में लिखा जा सकता है, पर यह पूर्ण संख्या नहीं है क्योंकि पूर्ण संख्याएँ हैं \(0,1,2,\dots\)। विकल्प B (6) और C (0) पूर्ण संख्याएँ हैं, इसलिए गलत हैं। विकल्प D (\(\sqrt{2}\)) परिमेय नहीं बल्कि अपरीमेय (irrational) है, इसलिए वह भी सही विकल्प नहीं है। परीक्षा टिप: पहले जाँचें कि संख्या किसी पूर्ण संख्या के रूप में है या नहीं; यदि नहीं तो देखें क्या उसे \(p/q\) (\(q\neq0\)) के रूप में लिखा जा सकता है। / \(\frac{3}{8}\) is rational because it can be expressed as a ratio of integers \(\frac{p}{q}\) with \(q\neq0\), and it is not a whole number (whole numbers are 0,1,2,...). Options B (6) and C (0) are whole numbers, so they are incorrect. Option D (\(\sqrt{2}\)) is irrational, so it is not a rational number. Exam tip: first check whether the number is an integer/whole number; if not, check if it can be written as \(p/q\) with \(q\neq0\).
0 परिमेय संख्या है और किसी भी संख्या में 0 जोड़ने से संख्या नहीं बदलती (a+0=a)। परिमेय संख्याएँ जोड़ने पर भी परिमेय रहती हैं — यह परिमेय संख्याओं का closure (बंदता) गुण है। इसलिए a+0 भी परिमेय होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि 0 जोड़ने से कोई परिमेय संख्या अपरिमेय नहीं बन सकती; विकल्प C गलत है क्योंकि परिमेय संख्या वास्तविक संख्या होती है, अवास्तविक नहीं; विकल्प D गलत है क्योंकि परिमेय संख्याएँ निश्चित रूप से प्राकृतिक होने की शर्त पर नहीं होतीं (वे भिन्न, ऋणात्मक इत्यादि हो सकती हैं)। परीक्षा टिप: याद रखें कि 0 जोड़ना संख्या नहीं बदलता (additive identity) और परिमेय संख्याएँ जोड़ के लिए बंद रहती हैं। / 0 is a rational number and adding 0 does not change the value (a+0=a). Rational numbers are closed under addition, so a+0 remains rational. Option B is wrong because adding 0 cannot turn a rational into an irrational; C is wrong because rationals are real numbers, not non‑real; D is wrong because a rational need not be a natural number (it can be a fraction or negative). Exam tip: remember the additive identity (0) and the closure property of rational numbers under addition.
\(\sqrt[3]{8}=2\) क्योंकि 8 का घनमूल पूर्ण घन का पूरा भाग है। 2 एक पूर्णांक है और प्रत्येक पूर्णांक परिमेय होता है (उदा. \(2=\tfrac{2}{1}\))। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर‑परिमेय, अनंत और असमाप्त दशमलव होती हैं, जबकि यहाँ संख्या 2 समाप्त दशमलव/पूर्णांक है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(2\) वास्तविक संख्या है, आवास्तविक (complex-only) नहीं। विकल्प D गलत है क्योंकि यह संख्या समाप्त दशमलव (2.0) है न कि अनंत/असमाप्त दशमलव। परीक्षा संकेत: किसी भी समपूर्ण घन का घनमूल निकालते समय पहले जाँचें कि वह पूर्ण वर्ग/घन है — यदि हाँ और घनमूल पूर्णांक आए तो संख्या परिमेय होगी। / \(\sqrt[3]{8}=2\). Since 8 is a perfect cube, its cube root is an integer (2), and every integer is rational (for example \(2=\frac{2}{1}\)). Thus option A is correct. Option B is incorrect because irrational numbers are non‑terminating, non‑repeating decimals, which does not apply to 2. Option C is wrong because 2 is a real number (not a non‑real/complex‑only number). Option D is incorrect because 2 is a terminating decimal (2.0), not a non‑terminating decimal. Exam tip: first check if the radicand is a perfect power; a perfect cube gives an integer cube root which is rational.
\(\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}\). यहाँ हम मुख्य (principal) वर्गमूल लेते हैं, जो हमेशा नॉन-नेगेटिव होता है, इसलिए उत्तर \(\frac{4}{5}\) है। विकल्प B गलत इसलिए कि वह नकारात्मक मान दर्शाता है; विकल्प C केवल मूल भिन्न \(\frac{16}{25}\) है न कि उसका वर्गमूल; विकल्प D गलत गणना है। परीक्षा टिप: वर्गमूल लेते समय मुख्य (positive) मूल ही लें जब प्रश्न में ± स्पष्ट न दिया हो। / \(\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}\). The principal square root is non-negative, so the value is \(\frac{4}{5}\). Option B is the negative of the principal root and hence incorrect; option C is the original fraction, not its square root; option D is a wrong computation. Exam tip: unless ± is specified, take the principal (non-negative) square root.
\(0.09=\dfrac{9}{100}\)। इसका वर्गमूल लेने पर \(\sqrt{0.09}=\sqrt{\dfrac{9}{100}}=\dfrac{3}{10}=0.3\)। यहाँ \(\sqrt{\ }\) प्रतीक से तात्पर्य प्रमुख (non-negative) वर्गमूल है, इसलिए \(-0.3\) गलत है। परीक्षा टिप: दशमलव को भिन्न में बदल कर जल्दी वर्गमूल निकालें — जैसे \(0.09=9/100\)। / Since \(0.09=\tfrac{9}{100}\), we have \(\sqrt{0.09}=\sqrt{\tfrac{9}{100}}=\tfrac{3}{10}=0.3\). The square root symbol denotes the principal (non‑negative) root, so \(-0.3\) is not the value of \(\sqrt{0.09}\). Exam tip: convert decimals to fractions (e.g. \(0.09=9/100\)) to make square roots easier to compute.
\(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय संख्याएँ हैं, पर उनका योग \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0\) परिमेय है। इसलिए विकल्प A सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प B में \(\sqrt{2}+\sqrt{7}\) सामान्यतः अपरिमेय रहता है (दो भिन्न गैर‑वर्गाकार मूलों का योग सामान्यतः अपरिमेय होता है)। विकल्प C में \(\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\) जो अपरिमेय है। विकल्प D में एक परिमेय और एक अपरिमेय का योग है, इसलिए वह अपरिमेय होगा। परीक्षा‑सुझाव: किसी जोड़ में अगर संख्या और उसकी प्रतिक (additive inverse) दोनों हों तो योग तुरंत 0 यानी परिमेय होगा। / Both \(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are irrational, but their sum \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0\) is rational, so A is correct. Closest distractor B, \(\sqrt{2}+\sqrt{7}\), remains irrational (sums of distinct square‑free roots are generally irrational). C gives \(\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), still irrational. D is a sum of a rational and an irrational, which is irrational. Exam tip: look for additive inverses — if both terms cancel each other, the sum is rational (often 0).
A. परिमेय और वास्तविक संख्या/Rational and real number
Explanation
Simple Explanation
(-8) को \\(-8=\\frac{-8}{1}\\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह दो पूर्णांकों का अनुपात है और परिमेय है। सभी पूर्णांक वास्तविक संख्या भी होते हैं, इसलिए यह वास्तविक भी है।
बारीक अंतर: अपरिमेय संख्या वह होती है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता (जैसे \(\sqrt{2}\)), इसलिए विकल्प B गलत है। विकल्प C गलत है क्योंकि प्राकृतिक संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक (1,2,3,...) होती हैं; \(-8\) प्राकृतिक नहीं है। विकल्प D गलत है क्योंकि अवास्तविक/गैर-रेअल संख्याएँ कल्पनीय भाग रखती हैं (जैसे \(3+2i\)); \(-8\) का कोई कल्पनीय भाग नहीं है।
परीक्षा-टिप: किसी संख्या को परिमेय जानने के लिए जाँचें कि क्या उसे दो पूर्णांकों के अनुपात \(\frac{p}{q}\) (जहाँ \(q\neq0\)) के रूप में लिखा जा सकता है। / You can write (-8) as \( -8=\frac{-8}{1}\), so it is a ratio of two integers and therefore rational. Every integer is also a real number, so (-8) is real as well.
Why other choices are wrong: B is incorrect because irrational numbers cannot be expressed as a ratio of integers (e.g. \(\sqrt{2}\)). C is wrong because natural numbers are positive integers (1,2,3,...); -8 is not natural. D is wrong because non-real (complex) numbers have a nonzero imaginary part (e.g. \(3+2i\)); -8 has no imaginary part.
Exam tip: To decide if a number is rational, try to express it as \(\frac{p}{q}\) with integers \(p,q\) and \(q\neq0\).
पूर्णांक और सांत दशमलव परिमेय होते हैं। जिन विकल्पों में अपरिमेय जड़ या \(\pi\) है वे केवल परिमेय नहीं हैं। / Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
\(\sqrt{121}=11\) होता है। 11 एक पूर्णांक है जिसे \(11/1\) के रूप में भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, अतः यह परिमेय संख्या है। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं; 11 को भिन्न रूप में लिखा जा सकता है। विकल्प C (अवास्तविक) गलत है क्योंकि 11 एक वास्तविक संख्या है। विकल्प D (शून्य) गलत है क्योंकि मान 0 नहीं बल्कि 11 है। परीक्षा‑टिप: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल हमेशा एक पूर्णांक (और इसलिए परिमेय) होगा। / \(\sqrt{121}=11\). The number 11 is an integer and can be written as the fraction \(11/1\), so it is rational. Option B (irrational) is incorrect because irrational numbers cannot be expressed as a ratio of integers; 11 can. Option C (non‑real) is wrong because 11 is a real number. Option D (zero) is wrong because the value is 11, not 0. Exam tip: the square root of a perfect square integer is an integer and thus rational.
यहाँ (27) लगातार दोहराता है, यानी यह आवर्ती दशमलव है। आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं क्योंकि उन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रत्यक्ष रूप से: मान लें \\(x=3.2727\ldots\\), तब \\(100x=327.2727\ldots\\) और घटाने पर \\(99x=324\\) मिलकर \\(x=\frac{324}{99}=\frac{36}{11}\\) मिलता है। इसलिए यह परिमेय है। निकटतम गलत विकल्प — "अपरिमेय" — उस पर लागू नहीं होता क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर-आवर्ती, अनन्त दशमलव होती हैं। "पूर्णांक" भी गलत है क्योंकि मान पूर्णांक नहीं है, और "अवास्तविक संख्या" गलत है क्योंकि हर दशमलव पुनरावर्ती वास्तविक संख्या होती है। परीक्षा टिप: आवर्ती भाग की लंबाई के अनुसार दशमलव को शिफ्ट करने के लिए 10,100,... से गुणा करके घटाना करें और भिन्न प्राप्त करें। / The block (27) repeats, so this is a recurring (repeating) decimal. Every repeating decimal is rational because it can be written as a fraction. For example let \\(x=3.2727\ldots\\). Then \\(100x=327.2727\ldots\\) and subtracting gives \\(99x=324\\), so \\(x=\frac{324}{99}=\frac{36}{11}\\). Thus the number is rational. The closest distractor, "irrational", is wrong because irrational numbers are non-terminating and non-repeating decimals. "Integer" is wrong since the value is not an integer, and "non-real" is wrong because this is a real number. Exam tip: convert repeating decimals to fractions by multiplying to align repeats and subtracting to eliminate the repeating part.
एक समाप्त दशमलव को पूर्णांक को 10 की किसी घात से भाग देकर भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है (उदा. 0.75 = 75/100 = 3/4)। ऐसी संख्याएँ दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त की जाती हैं, अतः वे परिमेय होती हैं। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय दशमलव न तो समाप्त होते हैं और न ही आवर्ती रूप में होते हैं (उदा. √2 का दशमलव अनंत तथा आवर्तित नहीं है)। विकल्प C (अवास्तविक) गलत है क्योंकि दशमलव विस्तार केवल वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित होता है। विकल्प D (केवल प्राकृतिक) भी गलत है क्योंकि समाप्त दशमलव में भिन्न भी आ सकते हैं (जैसे 0.5 जो परिमेय परन्तु प्राकृतिक नहीं)। परीक्षा टिप: किसी समाप्त दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए दशमलव को बिना दशमलव बिंदु के पूरा अंक लिखें और हर अंक के लिए हरक 10 से घात का हरक लगाकर सरल करें (उदा. 0.125 = 125/1000 = 1/8)। / A terminating decimal can be expressed as a ratio of two integers by writing it over an appropriate power of 10 (for example 0.75 = 75/100 = 3/4). Therefore such numbers are rational. Option B (irrational) is incorrect because irrational numbers have non-terminating, non-repeating decimal expansions (e.g. √2). Option C (non‑real) is wrong since decimal expansions represent real numbers. Option D (natural number only) is incorrect because terminating decimals include non-integer rationals (e.g. 0.5). Exam tip: To convert a terminating decimal to a fraction, write the decimal without the point as the numerator and use 10^n as denominator where n is number of decimal places, then simplify (e.g. 0.125 = 125/1000 = 1/8).
A. वह परिमेय संख्या होती है/It is a rational number
Explanation
Simple Explanation
समाप्त (terminating) दशमलव को पूर्णांक पर 10 की घात के भाजक के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए उसे सरल रूप में \\(
\\frac{p}{q}\\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण: \\(0.125=125/1000=1/8\\)। अतः ऐसी संख्या परिमेय और वास्तविक दोनों होती है। विकल्प B गलत है क्योंकि समाप्त दशमलव अपरिमेय नहीं होते — अपरिमेयों का दशमलव आवर्ती नहीं और न ही समाप्त होता है। विकल्प C गलत है क्योंकि सभी दशमलव वास्तविक संख्याएं हैं। विकल्प D भी गलत है: कुछ समाप्त दशमलव पूर्णांक या प्राकृतिक हो सकती हैं (जैसे 1.0), पर अधिकांश समाप्त दशमलव भिन्न रूप में प्राकृतिक नहीं होते (जैसे 0.5)। परीक्षा टिप: किसी दशमलव को भिन्न \\(\frac{p}{q}\\) में बदलकर देखें; यदि संभव हो तो वह परिमेय है। / A terminating decimal can be written as an integer divided by a power of 10, so after reducing it can be expressed as \\(\frac{p}{q}\\). For example, \\(0.125=125/1000=1/8\\). Therefore a terminating decimal is rational and (since all rationals are real) also a real number. Option B is wrong because irrational numbers have nonterminating, nonrepeating decimals. Option C is incorrect because decimals represent real numbers. Option D is wrong since terminating decimals need not be natural numbers (only some, like 1.0, are). Exam tip: convert the decimal to a fraction or check if its decimal expansion terminates or repeats — terminating or repeating implies rationality.
\(\sqrt{0.04}\)=\(0.2\)=\(\frac{1}{5}\). यह एक समाप्त दशमलव है और भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। विकल्प B गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ अनिर्धारित, अपरावर्ती दशमलव होती हैं (जैसे \(\sqrt{2}\))। विकल्प C गलत है क्योंकि अवास्तविक संख्याएँ काल्पनिक घटक रखती हैं; \(0.2\) एक साधारण वास्तविक संख्या है। विकल्प D गलत है क्योंकि प्राकृतिक संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक होती हैं और \(0.2\) पूर्णांक नहीं है। परीक्षा टिप: यदि दशमलव समाप्त या आवर्ती है तो संख्या परिमेय होती है। / \(\sqrt{0.04}\)=\(0.2\)=\(\frac{1}{5}\). Since it is a terminating decimal and can be expressed as a fraction, it is a rational number. Option B is incorrect because irrational numbers have non-terminating, non-repeating decimals (e.g. \(\sqrt{2}\)). Option C is wrong because non‑real numbers have an imaginary part; \(0.2\) is a real number. Option D is wrong because natural numbers are positive integers and \(0.2\) is not an integer. Exam tip: terminating or repeating decimals always represent rational numbers.
किसी भी आवर्ती दशमलव को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए वह परिमेय होता है। उदाहरण: यदि \(x=0.\overline{3}\) तो \(10x-x=3\) से \(x=3/9=1/3\) मिलता है। आम भ्रम यह है कि "अनंत" देखकर संख्या अपरिमेय मान ली जाएँ—परंतु अपरिमेय संख्याओं की दशमलव विस्तार अनंत और गैर-आवर्ती (non-repeating) होता है। विकल्प C (अवास्तविक) गलत है क्योंकि दशमलव विस्तार केवल वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित संदर्भ देता है; विकल्प D (केवल पूर्णांक) भी गलत है क्योंकि पूर्णांक का दशमलव विस्तार समाप्त होता (जैसे 5 = 5.000...) या विशेष रूप से पूर्णांक होता। परीक्षा-सूत्र: अगर दशमलव में एक निश्चित पैटर्न आवर्ती है तो तुरंत परिमेय समझें — आप उसे बीजगणितीय तरीके से भिन्न में बदलकर जाँच सकते हैं। / Any repeating (periodic) decimal represents a ratio of two integers, so it is rational. For example, if \(x=0.\overline{3}\) then \(10x-x=3\) which gives \(x=3/9=1/3\). A common mistake is to call every non-terminating decimal irrational; however irrationals are non-terminating and non-repeating. Option C (non-real) is incorrect because decimal expansions describe real numbers; option D (integer only) is wrong because integers have terminating decimal forms (e.g. 5 = 5.000...). Exam tip: spot the repeating block—if present, convert by the usual algebraic shift-and-subtract method to get a fraction.
4.125 कुछ अंकों के बाद समाप्त हो जाता है। इसे भिन्न के रूप में लिखें: 4.125 = 4125/1000 = 33/8, जिसका हरिका (denominator) 8 = 23 है — केवल 2 के गुणनखंड हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होते हैं। विकल्प B (0.666...) हमेशा दोहराव वाला (repeating) है और समाप्त नहीं होता (0.666... = 2/3)। विकल्प C (�\(\pi\)\u0000) अवर्गीक (irrational) है और न तो समाप्त होता है न ही आवर्ती रूप रखता है। विकल्प D अनियमित रूप से बढ़ते शून्य/एक पैटर्न के साथ अनंत-दशमलव है और समाप्त नहीं होता। परीक्षा सुझाव: किसी दशमलव के समाप्त होने के लिए उसके भिन्न के सरलतम रूप में हरिका में केवल 2 और/या 5 ही होने चाहिए। / 4.125 terminates after a finite number of decimal digits. As a fraction: 4.125 = 4125/1000 = 33/8, and 8 = 23 has only 2 as prime factors, so the decimal terminates. Option B (0.666...) is repeating (0.6 = 2/3) and thus non-terminating repeating. Option C (\(\pi\)) is irrational and non-terminating non-repeating. Option D is a non-terminating, non-repeating decimal pattern, so it does not terminate. Exam tip: a decimal terminates iff, in its simplest fractional form, the denominator has no prime factors other than 2 and/or 5.
\(\frac{9}{3}=3\) है। 3 एक गिनती (प्राकृतिक) संख्या है और इसे \(\frac{3}{1}\) के रूप में परिमेय रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह दोनों है। विकल्प C (\(-\frac{5}{2}\)) परिमेय जरूर है पर नकारात्मक है, इसलिए प्राकृतिक नहीं है। विकल्प B (\(\sqrt{10}\)) और D (\(\pi\)) अपरिमेय (irrational) हैं और परिमेय नहीं हैं। परीक्षा युक्ति: प्राकृतिक संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक हैं (1,2,3,...) और परिमेय संख्या वह है जिसे \(\frac{p}{q}\) \(p,q पूर्णांक, q\neq0\) के रूप में लिखा जा सके। / \(\frac{9}{3}=3\). The number 3 is a counting (natural) number and can be written as \(\frac{3}{1}\), so it is rational as well. Option C (\(-\frac{5}{2}\)) is rational but negative, so not a natural number. Options B (\(\sqrt{10}\)) and D (\(\pi\)) are irrational and not rational. Exam tip: natural numbers are positive integers (1,2,3,...) and a rational number can be expressed as \(\frac{p}{q}\) with integers p,q and \(q\neq0\).
2.454545... में ‘45’ का समूह बार‑बार आवर्ती है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है और परिमेय होता है। गणितीय रूप में 0.454545... = 45/99 = 5/11 और इसलिए 2.454545... = 2 + 5/11 = \(\frac{27}{11}\)। विकल्प B में समूहों की लंबाई बदलती है इसलिए यह गैर‑आवर्ती है; विकल्प C (π के दशमलव) और विकल्प D (1,2,3,... को जोड़कर बना दशमलव) भी गैर‑आवर्ती होते हैं। परीक्षा सुझाव: आवर्ती या समाप्त होने वाला दशमलव हमेशा परिमेय होता है — आवर्ती भाग को भिन्न में बदलकर जाँचें। / 2.454545... has the block “45” repeating, so it is a repeating (periodic) decimal and therefore rational. In fact 0.454545... = 45/99 = 5/11, so 2.454545... = 2 + 5/11 = \(\frac{27}{11}\). Option B (1.010010001...) has increasing block lengths and is non‑repeating; option C (3.14159265...) represents the non‑repeating decimal expansion of π; option D (0.1234567891011...) is the concatenation of natural numbers — both C and D are non‑repeating (irrational). Exam tip: terminating or repeating decimals are rational — convert a repeating part to a fraction to verify.
1.25 एक समाप्त दशमलव है और इसे भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है: \(1.25=\frac{5}{4}\)। परिमेय संख्याएँ उन्हीं संख्याओं को कहते हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के भाग के रूप में लिखा जा सके, इसलिए 1.25 परिमेय है। निकटतम ग़लत विकल्प 'अपरिमेय संख्या' है; अपरीमेय संख्याओं के दशमलव अनंत और गैर‑आवर्ती होते हैं (जैसे \(\sqrt{2}\)), जबकि 1.25 समाप्त और आवर्ती नहीं है। परीक्षा सुझाव: समाप्त दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए दशमलव के स्थानों से गुणा कर के पूरे अंक बनाएँ या सीधे दशमलव स्थान से हर के रूप में लिखें (यहाँ 1.25 = 125/100 = 5/4)। / 1.25 is a terminating decimal and can be expressed as a fraction: \(1.25=\frac{5}{4}\). Rational numbers are numbers that can be written as a ratio of two integers, so 1.25 is rational. The closest distractor is 'irrational number' — irrational decimals are non‑terminating and non‑repeating (e.g. \(\sqrt{2}\)), which 1.25 is not. Exam tip: convert a terminating decimal to a fraction by multiplying to remove the decimal places or by using place value (e.g. 1.25 = 125/100 = 5/4).
0 को \\(\frac{0}{1}\\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय है (दो पूर्णांकों का अनुपात)। परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का ही भाग हैं, अतः 0 वास्तविक भी है। विकल्प B गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ ऐसे वास्तविक होते हैं जिन्हें पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा नहीं जा सकता (जैसे √2)। विकल्प C और D तर्कसंगत नहीं हैं—0 न तो आवास्तविक है और न ही केवल ऋणात्मक। परीक्षा टिप: किसी संख्या को परिमेय साबित करने के लिए उसे \\(\frac{p}{q}\\) (p और q पूर्णांक, q≠0) के रूप में लिखें या दशमलव रूप देखें (0 का दशमलव 0.000… है)। / 0 can be written as \\(\frac{0}{1}\\), so it is rational (a ratio of two integers). All rational numbers are also real, therefore 0 is real. Option B is incorrect because irrational numbers cannot be expressed as a ratio of integers (they have non-terminating, non-repeating decimals). Options C and D are false—0 is not non-real and not only negative. Exam tip: To check if a number is rational, try expressing it as \\(\frac{p}{q}\\) with integers p,q (q≠0) or check whether its decimal expansion terminates/repeats.
