Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि हर \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) लेने पर (f(x)=k) है/Because for every \(k\in\mathbb{Z}\), choosing (x=k) gives (f(x)=k)
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी पूर्णांक (k) लें। / Take any integer (k) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(x=k) रखने पर \(\lceil x\rceil=k\), इसलिए हर पूर्णांक छवि बनता है। / Putting (x=k) gives \(\lceil x\rceil=k\), so every integer is an image.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मूल्य फलन में सहप्रांत यदि \(\mathbb{Z}\) हो तो सीधे पूर्वप्रतिबिंब खोजें। / For integer-valued functions with codomain \(\mathbb{Z}\), directly find a preimage.
\(x+\frac{1}{x}\ge2\) और (x=1) पर (2) मिलता है। / \(x+\frac{1}{x}\ge2\), and (2) is obtained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से बड़े हर (y) के लिए समीकरण \(x+\frac{1}{x}=y\) का धनात्मक हल मिल जाता है। / For every (y>2), the equation \(x+\frac{1}{x}=y\) has a positive solution.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान मिलता है या केवल सीमा है, यह अलग से जाँचें। / Check separately whether the minimum value is actually attained or only approached.
C. यह सतत है और \(x\to0^+\) पर \(-\infty\), \(x\to\infty\) पर \(\infty\) की ओर जाता है/It is continuous and tends to \(-\infty\) as \(x\to0^+\), and to \(\infty\) as \(x\to\infty\)
Step 1
Concept
(\(0,\infty\)) पर \(x-\frac{1}{x}\) सतत है। / On (\(0,\infty\)), \(x-\frac{1}{x}\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to0^+\) पर मान \(-\infty\) की ओर और \(x\to\infty\) पर \(\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to0^+\), it tends to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), it tends to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
सतत फलन यदि दोनों छोरों पर सभी वास्तविक मानों को पार करे, तो सर्वाच्छादकता मिलती है। / A continuous function crossing all real values gives onto property.
A. हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\)) है/For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\))
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\ge0\) लें। / Take any \(y\ge0\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(x\ge1\) और (f(x)=y) हो जाता है। / Choosing \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(x\ge1\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
प्रतिबंधित प्रांत में मिला हुआ (x) सच में उसी प्रांत में है या नहीं, यह जरूर देखें। / In restricted domains, always check that the found (x) really lies in the domain.
A. (f) सर्वाच्छादक है पर एकैकी नहीं/(f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
किसी भी \(k\in\mathbb{N}\) के लिए (n=2k-1) लेने पर (f(n)=k) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{N}\), taking (n=2k-1) gives (f(n)=k).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (n=2k-1) और (n=2k) दोनों कई बार उसी (k) पर जा सकते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। / But (n=2k-1) and (n=2k) can give the same (k), so the function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादकता और एकैकता को अलग-अलग जाँचना चाहिए। / Onto and one-one properties must be checked separately.
B. क्योंकि सम पूर्णांक नहीं मिलते/Because even integers are not obtained
Step 1
Concept
(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। / (2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (0), (2), (-2) जैसे सम पूर्णांक भी हैं, पर वे छवि नहीं बनते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains even integers such as (0), (2), and (-2), but they are not images.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक फलनों में सम-विषम प्रकृति से सर्वाच्छादकता जल्दी जाँची जाती है। / For integer functions, parity is a quick way to test onto property.
सर्वाच्छादक फलन में सहप्रांत के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every codomain element must have at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
प्रांत में केवल (3) अवयव हैं और सहप्रांत में (5), इसलिए सभी (5) अवयव ढकना असंभव है। / The domain has only (3) elements and the codomain has (5), so covering all (5) elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
यदि प्रांत का आकार सहप्रांत से कम हो, तो सर्वाच्छादक फलन नहीं बनता। / If the domain size is less than the codomain size, no onto function exists.
कुल फलन \(3^5\) हैं। / The total number of functions is \(3^5\).
Step 2
Why this answer is correct
एक सहप्रांत अवयव छूटने वाले \(\binom{3}{1}2^5\) घटाएँ और दो छूटने वाले \(\binom{3}{2}1^5\) जोड़ें। / Subtract functions missing one codomain element, \(\binom{3}{1}2^5\), and add those missing two, \(\binom{3}{2}1^5\).
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादक फलनों की गिनती में समावेशन-बहिष्करण विधि याद रखें। / Use inclusion-exclusion for counting onto functions.
B. (f) सर्वाच्छादक नहीं है क्योंकि बहुत बड़ी ऋणात्मक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं/(f) is not onto because very large negative numbers are not images
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\) और \(\sin x\ge-1\), इसलिए (f(x)\ge-1)। / Since \(x^2\ge0\) and \(\sin x\ge-1\), (f(x)\ge-1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-2) जैसे मान हैं, पर वे छवि नहीं बन सकते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-2), but they cannot be images.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण परास न मिले तब भी निचली सीमा दिखाकर सर्वाच्छादकता तोड़ी जा सकती है। / Even without the exact range, a lower bound can disprove onto property.
C. यह सतत है और (\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty), (\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty)/It is continuous and (\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty), (\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty)
Step 1
Concept
\(x+\sin x\) सतत फलन है। / \(x+\sin x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) सीमित है, पर (x) असीमित है, इसलिए फलन दोनों दिशाओं में असीमित जाता है। / \(\sin x\) is bounded, but (x) is unbounded, so the function goes unbounded in both directions.
Step 3
Exam Tip
सीमित जोड़ किसी रैखिक असीमित व्यवहार को नहीं रोकता। / A bounded added term does not stop the unbounded linear behavior.
\(e^x+e^{-x}\ge2\), इसलिए (f(x)\ge0)। / \(e^x+e^{-x}\ge2\), so (f(x)\ge0).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर (0) मिलता है और (|x|) बढ़ने पर मान लगातार \(\infty\) तक जाता है, इसलिए सभी गैरऋणात्मक मान मिलते हैं। / At (x=0), (0) is obtained, and as (|x|) increases, the value continuously goes to \(\infty\), so every non-negative value is obtained.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में असमता और सततता दोनों का उपयोग करें। / Use both inequality and continuity in such questions.
हर (x) के लिए \(e^x>0\), इसलिए मान (0) और (1) के बीच रहता है। / For every (x), \(e^x>0\), so the value lies between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (0<y<1) के लिए \(e^x=\frac{1-y}{y}\), अतः \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) वास्तविक है। / For any (0<y<1), \(e^x=\frac{1-y}{y}\), so \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) is real.
Step 3
Exam Tip
खुले अंतराल में अंतिम बिंदु चाहिए ही नहीं, इसलिए भ्रम न करें। / In an open interval codomain, endpoints are not required.
(x=0) पर (0) मिलता है और (x=1) पर \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), (0) is obtained, and at (x=1), \(\frac{1}{2}\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) हर वास्तविक (x) के लिए है, इसलिए (1) कभी नहीं मिलता।
Step 3
Exam Tip
जहाँ हर अंश से बड़ा हो, वहाँ अंतिम सीमा मान को सावधानी से देखें। / When the denominator is larger than the numerator, check endpoint limit values carefully.
\(y=\frac{3x+1}{x-2}\) मानकर हल करने पर \(x=\frac{2y+1}{y-3}\) मिलता है। / Put \(y=\frac{3x+1}{x-2}\), then solving gives \(x=\frac{2y+1}{y-3}\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में \(y\ne3\), इसलिए यह (x) परिभाषित है और जाँचने पर \(x\ne2\) रहता है। / Since \(y\ne3\) in the codomain, this (x) is defined and it also satisfies \(x\ne2\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में छूटे हुए मान को हर के शून्य से जोड़कर देखें। / In rational functions, relate the missed value to the denominator restriction.
(f(x)=(x-1)2+4) है और \(1\in[-2,3]\)। / (f(x)=(x-1)2+4), and \(1\in[-2,3]\).
Step 2
Why this answer is correct
न्यूनतम मान (4) है, और सिरों पर (f(-2)=13), (f(3)=8), इसलिए अधिकतम (13) है। / The minimum is (4), and at the endpoints (f(-2)=13), (f(3)=8), so the maximum is (13).
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल पर शीर्ष और दोनों सिरों की जाँच करें। / On a closed interval, check the vertex and both endpoints.
इसका परास \([2,\infty\)) है, इसलिए सर्वाच्छादक होने के लिए सहप्रांत भी \([2,\infty\)) होना चाहिए। / Its range is \([2,\infty\)), so the codomain must be \([2,\infty\)) for onto property.
Step 3
Exam Tip
द्विघात में पूर्ण वर्ग बनाकर न्यूनतम मान निकालें। / Complete the square to find the minimum value of a quadratic.
B. क्योंकि (-1) छवि नहीं बनता/Because (-1) is not an image
Step 1
Concept
\(x^4\ge0\) और \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^4+x^2\ge0\)। / Since \(x^4\ge0\) and \(x^2\ge0\), we have \(x^4+x^2\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) है, पर कोई वास्तविक (x) इसे छवि नहीं बना सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-1), but no real (x) can map to it.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले योग में ऋणात्मक सहप्रांत मान तुरंत जाँचें। / For sums of even powers, check negative codomain values first.
B. (f) सर्वाच्छादक है क्योंकि यह सतत है और दोनों दिशाओं में असीमित फैलता है/(f) is onto because it is continuous and unbounded in both directions
Step 1
Concept
यह विषम घात का सतत बहुपद है। / This is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है, इसलिए बीच के सभी वास्तविक मान मिलते हैं। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
स्थानीय मोड़ देखकर घबराएँ नहीं, अंत व्यवहार सर्वाच्छादकता में बहुत उपयोगी होता है। / Do not be confused by turning points; end behavior is very useful for onto property.
A. क्योंकि (0) और (1) कभी छवि नहीं बनते/Because (0) and (1) are never images
Step 1
Concept
\(e^{-x}\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक होता है। / \(e^{-x}\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) हमेशा (0) और (1) के बीच रहता है, पर (0) या (1) के बराबर नहीं होता। / So \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) always lies between (0) and (1), but never equals (0) or (1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत में अंतिम बिंदु हों तो जाँचें कि वे वास्तव में छवि बनते हैं या नहीं। / When endpoints are in the codomain, check whether they are actually attained.
(t=|x|) रखने पर \(t\ge0\) और (f(x)=t-2+t+1) है। / Put (t=|x|), so \(t\ge0\) and (f(x)=t-2+t+1).
Step 2
Why this answer is correct
यह (t=0) पर (1) देता है और (t) बढ़ने पर बिना अंतराल छोड़े \(\infty\) तक जाता है। / It gives (1) at (t=0) and increases continuously to \(\infty\) without missing values.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \([1,\infty\)) बिल्कुल इसी परास के बराबर है। / The codomain \([1,\infty\)) exactly matches this range.
(t=|x|) रखने पर \(t\ge0\) और (f(x)=t-2+t)। / Put (t=|x|), so \(t\ge0\) and (f(x)=t-2+t).
Step 2
Why this answer is correct
\(t^2+t\) \([0,\infty\)) पर (0) से \(\infty\) तक सभी मान लेता है, क्योंकि \(t=\frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}\) मिल जाता है। / On \([0,\infty\)), \(t^2+t\) takes every value from (0) to \(\infty\), since \(t=\frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}\) works.
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले कठिन प्रश्नों में नया चर रखना उपयोगी है। / For harder modulus questions, substitution is useful.
