Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. ऋणात्मक संख्याएँ और (0) छवि नहीं बनते/Negative numbers and (0) are not images
Step 1
Concept
\(2^x\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक है। / \(2^x\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (0) और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ सहप्रांत में होकर भी परास में नहीं हैं। / Therefore (0) and negative real numbers are in the codomain but not in the range.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलनों का प्राकृतिक परास (\(0,\infty\)) ध्यान रखें। / Remember that the natural range of exponential functions is (\(0,\infty\)).
इस फलन का परास ((-1,1)) है। / The range of this function is ((-1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in(-1,1)\) के लिए \(y\ge0\) होने पर \(x=\frac{y}{1-y}\) और (y<0) होने पर \(x=\frac{y}{1+y}\) लिया जा सकता है। / For \(y\ge0\), take \(x=\frac{y}{1-y}\), and for (y<0), take \(x=\frac{y}{1+y}\).
Step 3
Exam Tip
खंडों में परिभाषित व्यवहार को अलग-अलग जाँचना लाभदायक है। / For modulus-based expressions, checking cases separately is helpful.
A. क्योंकि हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी प्रांत में होता है/Because for every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this domain
Step 1
Concept
\(\tan x\) का मुख्य अंतराल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) पूरे \(\mathbb{R}\) पर फैलता है। / On the principal interval (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), \(\tan x\) covers all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में मिलता है। / For every real (y), \(x=\tan^{-1}y\) lies in that interval.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय मान सर्वाच्छादकता दिखाने में मदद करते हैं। / Inverse trigonometric values help prove onto property.
A. (1) किसी भी (x) की छवि नहीं हो सकता/(1) cannot be the image of any (x)
Step 1
Concept
\(-x^2\) कभी धनात्मक नहीं होता। / \(-x^2\) is never positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है पर कोई वास्तविक (x) ऐसा नहीं कि \(-x^2=1\)। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), but no real (x) satisfies \(-x^2=1\).
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादकता न होने के लिए एक छूटा मान दिखाना पर्याप्त है। / Showing one missed codomain value is enough to prove not onto.
(|x-2|) का परास \([0,\infty\)) है। / The range of (|x-2|) is \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए (x=y+2) लेने पर (|x-2|=y) मिलता है। / For any \(y\ge0\), choosing (x=y+2) gives (|x-2|=y).
Step 3
Exam Tip
मापांक में स्थानांतरण परास को नहीं बदलता, केवल शिखर की जगह बदलता है। / A horizontal shift of a modulus function changes the vertex location but not the range type.
A. हाँ क्योंकि यह विषम घात का सतत बहुपद है और दोनों दिशाओं में असीमित जाता है/Yes because it is a continuous odd-degree polynomial and is unbounded in both directions
Step 1
Concept
\(x^3-3x\) सतत है। / \(x^3-3x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
स्थानीय मोड़ होने पर भी अंत व्यवहार सर्वाच्छादकता दिखा सकता है। / Even with turning points, end behavior can show onto property.
A. क्योंकि (5) छवि नहीं बनता/Because (5) is not an image
Step 1
Concept
\(x\in[0,2]\) होने पर \(x^2\in[0,4]\) होता है। / If \(x\in[0,2]\), then \(x^2\in[0,4]\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में (5) है पर \(x^2=5\) के लिए \(x=\sqrt{5}\), जो प्रांत में नहीं है। / The codomain contains (5), but \(x^2=5\) gives \(x=\sqrt{5}\), which is not in the domain.
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में सबसे बड़े और सबसे छोटे संभव मान जाँचना जरूरी है। / With restricted domains, check the maximum and minimum possible output values.
A. \(\frac{1}{2}\) जैसे वास्तविक मान छवि नहीं बनते/Real values like \(\frac{1}{2}\) are not images
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) always gives an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) है, पर वह कभी छवि नहीं बनता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains \(\frac{1}{2}\), but it is never an image.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन में परास पूर्णांकों तक सीमित रहता है। / The greatest integer function has range limited to integers.
A. क्योंकि (1) कभी छवि नहीं बनता/Because (1) is never an image
Step 1
Concept
\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) हर वास्तविक (x) के लिए है।
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर (0) मिलता है, पर (1) नहीं मिलता जबकि (1) सहप्रांत में है। / (0) is obtained at (x=0), but (1) is not obtained though it is in the codomain.
Step 3
Exam Tip
जहाँ चर हर और अंश दोनों में हो, सीमा मानों को ध्यान से जाँचें। / When a variable occurs in both numerator and denominator, check endpoint values carefully.
A. हाँ क्योंकि हर (y\in(0,1]) के लिए \(x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}\) लिया जा सकता है/Yes because for every (y\in(0,1]), \(x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}\) can be taken
Step 1
Concept
\(\frac{1}{1+x^2}\) का मान (0) से बड़ा और (1) तक होता है। / \(\frac{1}{1+x^2}\) takes values greater than (0) and up to (1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(0<y\le1\) के लिए \(\frac{1}{y}-1\ge0\), इसलिए उपयुक्त (x) मिल जाता है। / For any \(0<y\le1\), \(\frac{1}{y}-1\ge0\), so a suitable (x) exists.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले परास की सीमा पहचानें। / In such questions, identify the range interval first.
A. यह सतत है और \(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty), \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty)/It is continuous and (f(x)\to\infty) as \(x\to\infty\), (f(x)\to-\infty) as \(x\to-\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x\) सतत बहुपद है। / \(x^3+x\) is a continuous polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत बड़ा धनात्मक और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर बहुत बड़ा ऋणात्मक होता है। / For very large positive (x), its value is very large positive, and for very large negative (x), its value is very large negative.
Step 3
Exam Tip
सतत बहुपद के अंत व्यवहार से पूरे वास्तविक परास का संकेत मिलता है। / The end behavior of a continuous odd-degree polynomial supports onto over \(\mathbb{R}\).
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं/Because negative real numbers are not images
Step 1
Concept
(|x|) हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / (|x|) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ हैं, पर वे परास में नहीं आतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers, but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले फलनों में ऋणात्मक सहप्रांत मानों की जाँच जल्दी करें। / For modulus functions, quickly check negative codomain values.
कुल फलन \(3^5\) हैं। / The total number of functions is \(3^5\).
Step 2
Why this answer is correct
कम से कम एक सहप्रांत अवयव छूटने वाले फलनों को घटाएँ: \(\binom{3}{1}2^5\), और दो छूटने पर \(\binom{3}{2}1^5\) जोड़ें। / Subtract functions missing at least one codomain element: \(\binom{3}{1}2^5\), then add those missing two: \(\binom{3}{2}1^5\).
Step 3
Exam Tip
समावेशन-बहिष्करण विधि सर्वाच्छादक फलनों की गिनती में बहुत उपयोगी है। / Inclusion-exclusion is the key tool for counting onto functions.
A. नहीं क्योंकि प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव हैं/No because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
सर्वाच्छादक फलन में सहप्रांत का हर अवयव कम से कम एक बार छवि बनना चाहिए। / In an onto function, every codomain element must be hit at least once.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (3) अवयव हैं पर (B) में (4) अवयव हैं। / (A) has only (3) elements, while (B) has (4) elements.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में सर्वाच्छादकता के लिए प्रांत का आकार सहप्रांत से कम नहीं होना चाहिए। / For finite sets, the domain size cannot be less than the codomain size for an onto function.
