फलन \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=\frac{1}{x}), सर्वाच्छादक क्यों नहीं है?
Why is \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=\frac{1}{x}), not onto?
#onto function
#reciprocal function
#not onto
#class 12
A क्योंकि (0) सहप्रांत में है पर छवि नहीं बनता / Because (0) is in the codomain but is not an image
B क्योंकि (1) छवि नहीं बनता / Because (1) is not an image
C क्योंकि (-1) छवि नहीं बनता / Because (-1) is not an image
D क्योंकि सभी वास्तविक संख्याएँ छवि बनती हैं / Because all real numbers are images
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Correct Answer
A. क्योंकि (0) सहप्रांत में है पर छवि नहीं बनता / Because (0) is in the codomain but is not an image
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) कभी (0) के बराबर नहीं हो सकता। / \(\frac{1}{x}\) can never be equal to (0).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) शामिल है, इसलिए एक अवयव छूट गया। / The codomain \(\mathbb{R}\) includes (0), so one element is missed.
Step 3
Exam Tip
हर में चर वाले फलनों में शून्य छवि बन सकता है या नहीं, यह जरूर देखें। / For reciprocal-type functions, always check whether (0) can be an output.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) और (f(x)=\frac{2x+1}{x-1}), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) and (f(x)=\frac{2x+1}{x-1}), is (f) onto or not?
#onto function
#rational function
#preimage
#codomain
A सर्वाच्छादक है / It is onto
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (2) सहप्रांत में है / Not onto because (2) is in the codomain
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / Not onto because (0) is not obtained
D सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / Not onto because (1) is not obtained
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Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x+1}{x-1}\) मानकर \(x=\frac{y+1}{y-2}\) मिलता है। / Put \(y=\frac{2x+1}{x-1}\), which gives \(x=\frac{y+1}{y-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में \(y\ne2\), इसलिए यह (x) परिभाषित है और \(x\ne1\) भी रहता है। / Since the codomain has \(y\ne2\), this (x) is defined and also \(x\ne1\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For rational functions, solve for (x) in terms of (y) to test onto.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=x-4 ), सर्वाच्छादक नहीं है क्योंकि
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=x-4 ), is not onto because
#onto function
#not onto
#even power
#range
A (-1) किसी भी (x) की छवि नहीं हो सकता / (-1) cannot be the image of any (x)
B (0) किसी भी (x) की छवि नहीं हो सकता / (0) cannot be the image of any (x)
C (1) किसी भी (x) की छवि नहीं हो सकता / (1) cannot be the image of any (x)
D (16) किसी भी (x) की छवि नहीं हो सकता / (16) cannot be the image of any (x)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (-1) किसी भी (x) की छवि नहीं हो सकता / (-1) cannot be the image of any (x)
Step 1
Concept
\(x^4\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए होता है। / \(x^4\ge0\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (-1) जैसा ऋणात्मक सहप्रांत अवयव छवि नहीं बनता। / So a negative codomain element such as (-1) is not an image.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में ऋणात्मक मानों पर तुरंत ध्यान दें। / For even powers, check negative codomain values first.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 ), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 ), which statement about (f) is correct?
#onto function
#cubic function
#real numbers
#class 12
A (f) सर्वाच्छादक है / (f) is onto
B (f) सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / (f) is not onto because negative values are not obtained
C (f) सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / (f) is not onto because (0) is not obtained
D (f) केवल धनात्मक सहप्रांत पर परिभाषित है / (f) is defined only on positive codomain
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) सर्वाच्छादक है / (f) is onto
Step 1
Concept
किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) वास्तविक होता है। / For any real (y), \(x=\sqrt[3]{y}\) is real.
Step 2
Why this answer is correct
तब (f(x)=\left\(\sqrt[3]{y}\right\)3 =y) मिल जाता है। / Then (f(x)=\left\(\sqrt[3]{y}\right\)3 =y).
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सरल बहुपद अक्सर पूरे वास्तविक सहप्रांत को ढकते हैं। / Simple odd-power polynomial functions often cover the whole real codomain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)) जहाँ (f(x)=x-2 +1), सर्वाच्छादक है या नहीं?
Is the function \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), where (f(x)=x-2 +1), onto?
#onto function
#quadratic
#codomain
#range
A हाँ क्योंकि हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) लिया जा सकता है / Yes because for every \(y\ge1\), \(x=\sqrt{y-1}\) can be taken
B नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / No because (1) is not obtained
C नहीं क्योंकि (2) नहीं मिलता / No because (2) is not obtained
D नहीं क्योंकि (y-1) ऋणात्मक है / No because (y-1) is negative
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Correct Answer
A. हाँ क्योंकि हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) लिया जा सकता है / Yes because for every \(y\ge1\), \(x=\sqrt{y-1}\) can be taken
Step 1
Concept
\(x^2+1\) का न्यूनतम मान (1) है। / The minimum value of \(x^2+1\) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) वास्तविक है और (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge1\), \(x=\sqrt{y-1}\) is real and gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम या अधिकतम मान देखकर सहप्रांत मिलाएँ। / Use the minimum or maximum value to match the codomain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) जहाँ (f(x)=\sin x), क्या सर्वाच्छादक है?
Is the function \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), where (f(x)=\sin x), onto?
#onto function
#sine function
#trigonometry
#range
A हाँ क्योंकि ([-1,1]) का हर मान \(\sin x\) से मिल सकता है / Yes because every value in ([-1,1]) can be obtained by \(\sin x\)
B नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / No because (0) is not obtained
C नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / No because (1) is not obtained
D नहीं क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / No because negative values are not obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ क्योंकि ([-1,1]) का हर मान \(\sin x\) से मिल सकता है / Yes because every value in ([-1,1]) can be obtained by \(\sin x\)
Step 1
Concept
\(\sin x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([-1,1]) ही है, इसलिए कोई सहप्रांत अवयव नहीं छूटता। / The codomain is also ([-1,1]), so no codomain element is missed.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में ज्ञात परास तुरंत उपयोग करें। / In trigonometric functions, use the standard range directly.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) और (f(x)=e^x), तो सही कथन चुनिए।
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=e^x), choose the correct statement.
#onto function
#exponential
#logarithm
#range
A (f) सर्वाच्छादक है / (f) is onto
B (f) सर्वाच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता / (f) is not onto because (1) is not obtained
C (f) सर्वाच्छादक नहीं है क्योंकि (e) नहीं मिलता / (f) is not onto because (e) is not obtained
D (f) का परास \(\mathbb{R}\) है / The range of (f) is \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. (f) सर्वाच्छादक है / (f) is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत (\(0,\infty\)) दिया गया है। / The codomain is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) वास्तविक है और \(e^x=y\) है। / For every (y>0), \(x=\ln y\) is real and \(e^x=y\).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन को सही सहप्रांत देने पर वह सर्वाच्छादक हो सकता है। / An exponential function can be onto when its codomain is chosen as its natural range.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=e^x), सर्वाच्छादक नहीं है क्योंकि
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=e^x), is not onto because
#onto function
#exponential function
#range
#codomain
A शून्य और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं / Zero and negative real numbers are not images
B सभी वास्तविक संख्याएँ छवि बनती हैं / All real numbers are images
C केवल (1) छवि बनती है / Only (1) is an image
D कोई धनात्मक संख्या छवि नहीं बनती / No positive number is an image
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Correct Answer
A. शून्य और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं / Zero and negative real numbers are not images
Step 1
Concept
\(e^x\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक होता है। / \(e^x\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं पर वे नहीं मिलतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative numbers, but they are not obtained.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में परास को सहप्रांत से मिलाकर देखें। / For exponential functions, compare the range carefully with the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2x-7), तो (f) सर्वाच्छादक क्यों है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-7), why is (f) onto?
#onto function
#linear function
#preimage
#class 12
A क्योंकि किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+7}{2}\) मिल जाता है / Because for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+7}{2}\) exists
B क्योंकि (2x-7) सदैव धनात्मक है / Because (2x-7) is always positive
C क्योंकि (x=0) पर (y=0) है / Because at (x=0), (y=0)
D क्योंकि इसका प्रांत सीमित है / Because its domain is finite
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Correct Answer
A. क्योंकि किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+7}{2}\) मिल जाता है / Because for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+7}{2}\) exists
Step 1
Concept
सहप्रांत की कोई भी वास्तविक संख्या (y) लें। / Take any real number (y) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
समीकरण (y=2x-7) हल करने पर \(x=\frac{y+7}{2}\) वास्तविक मिलता है। / Solving (y=2x-7) gives \(x=\frac{y+7}{2}\), which is real.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में गुणांक शून्य न हो तो वास्तविक से वास्तविक पर सर्वाच्छादकता मिलती है। / A non-constant linear function from real numbers to real numbers is onto.
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फलन (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,3]\) जहाँ (f(x)=3-x-2 ), सर्वाच्छादक है या नहीं?
Is the function (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,3]\), where (f(x)=3-x-2 ), onto?
#onto function
#quadratic range
#codomain
#class 12
A हाँ क्योंकि हर \(y\le3\) के लिए \(x=\sqrt{3-y}\) लिया जा सकता है / Yes because for every \(y\le3\), \(x=\sqrt{3-y}\) can be taken
B नहीं क्योंकि (3) नहीं मिलता / No because (3) is not obtained
C नहीं क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / No because negative values are not obtained
D हाँ केवल जब (x>0) हो / Yes only when (x>0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ क्योंकि हर \(y\le3\) के लिए \(x=\sqrt{3-y}\) लिया जा सकता है / Yes because for every \(y\le3\), \(x=\sqrt{3-y}\) can be taken
Step 1
Concept
\(3-x^2\) का अधिकतम मान (3) है। / The maximum value of \(3-x^2\) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(y\le3\), तो \(x=\sqrt{3-y}\) वास्तविक है और (f(x)=y) मिलता है। / If \(y\le3\), then \(x=\sqrt{3-y}\) is real and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
परास और सहप्रांत समान हों तो फलन सर्वाच्छादक होता है। / A function is onto when its range equals its codomain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=x-2 ), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=x-2 ), is (f) onto or not?
#onto function
#codomain
#range
#square function
A सर्वाच्छादक है क्योंकि हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) है / It is onto because for every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) exists
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि ऋणात्मक संख्याएँ नहीं मिलतीं / Not onto because negative numbers are not obtained
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / Not onto because (0) is not obtained
D केवल एकैकी है पर सर्वाच्छादक नहीं / Only one-one but not onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है क्योंकि हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) है / It is onto because for every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) exists
Step 1
Concept
यहाँ सहप्रांत केवल \([0,\infty\)) है। / Here the codomain is only \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
इस सहप्रांत के हर (y) के लिए \(\sqrt{y}\) भी प्रांत में है और (f\(\sqrt{y}\)=y) है। / For every (y) in this codomain, \(\sqrt{y}\) lies in the domain and (f\(\sqrt{y}\)=y).
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र अलग सहप्रांत के साथ अलग उत्तर दे सकता है। / The same formula may give a different answer when the codomain changes.
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फलन \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) जहाँ (f(n)=n+2), किस कारण सर्वाच्छादक नहीं है?
The function \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), where (f(n)=n+2), is not onto for which reason?
#onto function
#natural numbers
#not surjective
#class 12
A क्योंकि (1) और (2) छूट जाते हैं / Because (1) and (2) are missed
B क्योंकि सभी प्राकृतिक संख्याएँ मिलती हैं / Because all natural numbers are obtained
C क्योंकि (n+2) पूर्णांक नहीं है / Because (n+2) is not an integer
D क्योंकि (0) प्रांत में नहीं है / Because (0) is not in the domain
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) और (2) छूट जाते हैं / Because (1) and (2) are missed
Step 1
Concept
\(n\in\mathbb{N}\) होने पर \(n+2\ge3\) होगा। / For \(n\in\mathbb{N}\), \(n+2\ge3\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) और (2) हैं पर वे छवि नहीं बनते। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1) and (2), but they are not images.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं के फलन में आरंभिक छूटे हुए मान जल्दी पहचानें। / In functions on natural numbers, quickly check the first few codomain values.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) इस प्रकार है कि (f(n)=n+5), तो क्या (f) सर्वाच्छादक है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is defined by (f(n)=n+5), is (f) onto?
#onto function
#integers
#preimage
#linear function
A हाँ क्योंकि \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-5 ) लिया जा सकता है / Yes because for \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-5 ) can be taken
B नहीं क्योंकि (5) छूट जाता है / No because (5) is missed
C नहीं क्योंकि ऋणात्मक संख्याएँ छूट जाती हैं / No because negative numbers are missed
D हाँ केवल धनात्मक पूर्णांकों पर / Yes only on positive integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ क्योंकि \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-5 ) लिया जा सकता है / Yes because for \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-5 ) can be taken
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी अवयव \(m\in\mathbb{Z}\) मानें। / Take any codomain element \(m\in\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=m-5 ) भी पूर्णांक है और (f(n)=m) हो जाता है। / (n=m-5 ) is also an integer and (f(n)=m).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर स्थानांतरण वाले फलन सामान्यतः सर्वाच्छादकता के लिए उल्टा मान देकर जाँचे जाते हैं। / For translation functions on integers, test onto by writing the preimage directly.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=x-2 +1), सर्वाच्छादक क्यों नहीं है?
Why is the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=x-2 +1), not onto?
#onto function
#not onto
#quadratic function
#range
#class 12
A क्योंकि (0) किसी भी (x) की छवि नहीं है / Because (0) is not the image of any (x)
B क्योंकि (2) किसी भी (x) की छवि नहीं है / Because (2) is not the image of any (x)
C क्योंकि (1) किसी भी (x) की छवि नहीं है / Because (1) is not the image of any (x)
D क्योंकि हर वास्तविक संख्या छवि है / Because every real number is an image
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (0) किसी भी (x) की छवि नहीं है / Because (0) is not the image of any (x)
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\) होने से \(x^2+1\ge1\) होता है। / Since \(x^2\ge0\), we get \(x^2+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (0) और सभी (1) से छोटी वास्तविक संख्याएँ परास में नहीं आतीं। / So (0) and all real numbers less than (1) are not in the range.
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादकता तोड़ने के लिए सहप्रांत का एक छूटा हुआ अवयव दिखाना काफी है। / To disprove onto, it is enough to show one missed codomain element.
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यदि (A) में (6) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं, तो (A) से (B) तक आच्छादी फलनों की संख्या क्या है?
If (A) has (6) elements and (B) has (3) elements, what is the number of onto functions from (A) to (B)?
#onto function
#counting
#inclusion exclusion
#class 12
A (540)
B (729)
C (486)
D (216)
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Step 1
Concept
कुल फलन \(3^6\) होंगे। / Total functions are \(3^6\).
Step 2
Why this answer is correct
समावेशन-बहिष्करण से आच्छादी फलन \(3^6-\binom{3}{1}2^6+\binom{3}{2}1^6=729-192+3=540\) मिलते हैं। / By inclusion-exclusion, onto functions \(=3^6-\binom{3}{1}2^6+\binom{3}{2}1^6=729-192+3=540\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी फलनों की गिनती में पहले सभी फलन लें, फिर छूटे हुए सहप्रांत तत्वों वाले फलन घटाएँ। / For counting onto functions, start with all functions and subtract those missing codomain elements.
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फलन \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x) के लिए कौन सा निष्कर्ष सही है?
For \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x), which conclusion is correct?
#onto function
#sine
#closed interval
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (-1) नहीं मिलता / It is not onto because (-1) is not obtained
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) increases continuously.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=-\frac{\pi}{2}\) पर मान (-1) और \(x=\frac{\pi}{2}\) पर मान (1) है, इसलिए बीच के सभी मान मिलते हैं। / At \(x=-\frac{\pi}{2}\), the value is (-1), and at \(x=\frac{\pi}{2}\), the value is (1), so all values between them are obtained.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल में अंतिम बिंदुओं के मान जाँचकर आच्छादी को जल्दी पहचाना जा सकता है। / On a closed interval, checking endpoint values helps identify onto behavior quickly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 -2x+5) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -2x+5), why is it not onto?
#onto function
#not onto
#completing square
#class 12
A क्योंकि (3) का कोई वास्तविक पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (3) has no real preimage
B क्योंकि (4) का कोई वास्तविक पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (4) has no real preimage
C क्योंकि (5) का कोई वास्तविक पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (5) has no real preimage
D क्योंकि (10) का कोई वास्तविक पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (10) has no real preimage
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (3) का कोई वास्तविक पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (3) has no real preimage
Step 1
Concept
(x-2 -2x+5=(x-1)2 +4), इसलिए इसका न्यूनतम मान (4) है। / (x-2 -2x+5=(x-1)2 +4), so its minimum value is (4).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (3) है, लेकिन परास \([4,\infty\)) है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (3), but the range is \([4,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूर्ण करके परास निकालना परीक्षा में तेज और सुरक्षित तरीका है। / Completing the square is a fast and reliable exam method for finding range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{-2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\) और (f(x)=\frac{3x+1}{x+2}) है, तो सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\setminus{-2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\) and (f(x)=\frac{3x+1}{x+2}), choose the correct statement.
#onto function
#rational function
#preimage
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (3) सहप्रांत में है / It is not onto because (3) is in the codomain
D यह केवल स्थिर फलन है / It is only a constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(y=\frac{3x+1}{x+2}\) मानकर (x) निकालें। / Put \(y=\frac{3x+1}{x+2}\) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
(yx+2y=3x+1), इसलिए \(x=\frac{1-2y}{y-3}\), जो हर \(y\ne3\) के लिए परिभाषित है। / (yx+2y=3x+1), so \(x=\frac{1-2y}{y-3}\), which is defined for every \(y\ne3\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में जिस मान पर हर कटता है, उसे सहप्रांत से हटाकर आच्छादी जाँची जाती है। / In rational functions, the value that makes solving impossible is often excluded from the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor) है, तो आच्छादी होने के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), what is the correct statement about being onto?
#onto function
#greatest integer function
#not onto
#class 12
A यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
B यह आच्छादी है / It is onto
C यह हर वास्तविक मान देता है / It gives every real value
D यह \(\frac{1}{2}\) देता है / It gives \(\frac{1}{2}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) always gives an integer value.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे अपूर्णांक मान हैं, जिनका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integers such as \(\frac{1}{2}\), with no preimage.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन में परास \(\mathbb{Z}\) होता है, \(\mathbb{R}\) नहीं। / The greatest integer function has range \(\mathbb{Z}\), not \(\mathbb{R}\).
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फलन (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\ln x) के लिए कौन सा निष्कर्ष सही है?
For (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\ln x), which conclusion is correct?
#onto function
#logarithm
#codomain validity
#class 12
A यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
B यह आच्छादी है / It is onto
C यह हमेशा धनात्मक होता है / It is always positive
D यह (1) को नहीं देता / It does not give (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
Step 1
Concept
\(\ln x\) ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक सभी वास्तविक मान लेता है। / \(\ln x\) takes negative, zero, and positive real values.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, लेकिन \(\ln x\) के धनात्मक मान ही सहप्रांत में आते हैं; हर धनात्मक (y) के लिए \(x=e^y\) मिलता है, पर फलन का मान सहप्रांत से बाहर भी जाता है। / Although every positive (y) has \(x=e^y\), many outputs of \(\ln x\) are outside (\(0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
फलन \(A\to B\) तभी ठीक से परिभाषित माना जाता है जब हर छवि (B) में हो, इसलिए यहाँ दिए गए सहप्रांत के साथ यह मान्य फलन नहीं बनता। / A function \(A\to B\) must have every output inside (B), so with this codomain it is not a valid function into (B).
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x) है, तो सही कथन कौन सा है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x), which statement is correct?
#onto function
#logarithm
#preimage
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / It is not onto because negative values are not obtained
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
D यह केवल (\(0,\infty\)) में मान देता है / It gives values only in (\(0,\infty\))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\ln x\) का परास पूरा \(\mathbb{R}\) है जब (x>0)। / The range of \(\ln x\) is all \(\mathbb{R}\) for (x>0).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=e^y>0\), इसलिए (x) प्रांत में है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=e^y>0\), so (x) is in the domain.
Step 3
Exam Tip
लघुगणक और घातीय फलन एक-दूसरे के पूर्वप्रतिबिंब खोजने में सहायक हैं। / Logarithmic and exponential functions help find preimages of each other.
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फलन \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 -1) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 -1).
#onto function
#domain restriction
#quadratic
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (3) नहीं मिलता / It is not onto because (3) is not obtained
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x\ge1\) होने से \(x^2-1\ge0\)। / Since \(x\ge1\), \(x^2-1\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\ge1\), इसलिए वह प्रांत में है। / For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y+1}\ge1\), so it lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
प्रांत की शर्त को निकाले गए (x) पर जरूर जाँचें। / Always check the domain condition for the (x) you find.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-6 +1) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-6 +1), which statement is correct?
#onto function
#not onto
#even power
#class 12
A यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
B यह आच्छादी है / It is onto
C यह (-1) देता है / It gives (-1)
D यह सभी वास्तविक मान देता है / It gives all real values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
Step 1
Concept
\(x^6\ge0\), इसलिए \(x^6+1\ge1\)। / Since \(x^6\ge0\), \(x^6+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
सम घात और धनात्मक जोड़ वाले फलन का परास नीचे से सीमित होता है। / Even powers with a positive shift have a range bounded below.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,4]\), (f(x)=4-x-2 ) है, तो फलन के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,4]\), (f(x)=4-x-2 ), what is the correct statement about the function?
#onto function
#quadratic
#maximum range
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (4) नहीं मिलता / It is not onto because (4) is not obtained
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\), इसलिए \(4-x^2\le4\)। / Since \(x^2\ge0\), \(4-x^2\le4\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\le4\) के लिए \(x=\sqrt{4-y}\) वास्तविक है और (f(x)=y)। / For every \(y\le4\), \(x=\sqrt{4-y}\) is real and gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
नीचे की ओर खुलने वाले वर्ग फलन में अधिकतम मान से परास देखें। / For a downward quadratic, use the maximum value to identify the range.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to[-3,\infty\)), (f(x)=x-2 -3) के लिए सही विकल्प कौन सा है?
For \(f:\mathbb{R}\to[-3,\infty\)), (f(x)=x-2 -3), which option is correct?
#onto function
#quadratic
#range
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (-3) नहीं मिलता / It is not onto because (-3) is not obtained
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (5) नहीं मिलता / It is not onto because (5) is not obtained
D यह सभी वास्तविक संख्याएँ देता है / It gives all real numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-3\ge-3\)। / Since \(x^2\ge0\), \(x^2-3\ge-3\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge-3\) के लिए \(x=\sqrt{y+3}\) लेने पर (f(x)=y)। / For every \(y\ge-3\), choosing \(x=\sqrt{y+3}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन के न्यूनतम मान से परास तय करें। / Use the minimum value of a square function to decide its range.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=x-3 +1) है, तो यह आच्छादी क्यों है?
If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=x-3 +1), why is it onto?
#onto function
#cubic
#preimage
#class 12
A हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) प्रांत में है / For every \(y\ge1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) is in the domain
B हर \(y\ge1\) के लिए (x=y+1) चाहिए / For every \(y\ge1\), (x=y+1) is needed
C क्योंकि यह स्थिर है / Because it is constant
D क्योंकि यह केवल (1) देता है / Because it gives only (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) प्रांत में है / For every \(y\ge1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) is in the domain
Step 1
Concept
\(y=x^3+1\) से \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिलता है। / From \(y=x^3+1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y\ge1\) होने पर \(y-1\ge0\), इसलिए \(x\ge0\) और प्रांत में है। / If \(y\ge1\), then \(y-1\ge0\), so \(x\ge0\) and belongs to the domain.
Step 3
Exam Tip
पूर्वप्रतिबिंब प्रांत में मिलना आच्छादी सिद्ध करने की मुख्य शर्त है। / Finding a valid preimage in the domain is the key condition for onto.
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फलन \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-3 +1) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-3 +1).
#onto function
#domain restriction
#cubic
#class 12
A यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
B यह आच्छादी है / It is onto
C यह (0) देता है / It gives (0)
D यह सभी ऋणात्मक मान देता है / It gives all negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
Step 1
Concept
\(x\ge0\) होने से \(x^3+1\ge1\)। / Since \(x\ge0\), \(x^3+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
सूत्र के साथ प्रांत की सीमा बदलने से परास बदल जाता है। / Changing the domain restriction changes the range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +1) है, तो किसी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x) क्या होगा जिससे (f(x)=y)?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +1), what is (x) for any \(y\in\mathbb{R}\) such that (f(x)=y)?
#onto function
#cube root
#preimage
#class 12
A \(x=\sqrt[3]{y-1}\)
B \(x=\sqrt{y-1}\)
C \(x=y^3-1\)
D \(x=\frac{1}{y-1}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(x=\sqrt[3]{y-1}\)
Step 1
Concept
\(y=x^3+1\) से \(x^3=y-1\) मिलता है। / From \(y=x^3+1\), we get \(x^3=y-1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(\sqrt[3]{y-1}\) वास्तविक होता है। / For every real (y), \(\sqrt[3]{y-1}\) is real.
Step 3
Exam Tip
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है, इसलिए यह आच्छादी सिद्ध करने में सहायक है। / Cube root is defined for every real number, so it helps prove onto.
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यदि \(g:B\to C\) और \(f:A\to B\) दोनों आच्छादी हैं, तो \(g\circ f:A\to C\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If \(g:B\to C\) and \(f:A\to B\) are both onto, what can be said about \(g\circ f:A\to C\)?
#onto function
#composition
#surjective
#class 12
A \(g\circ f\) आच्छादी है / \(g\circ f\) is onto
B \(g\circ f\) कभी आच्छादी नहीं होता / \(g\circ f\) is never onto
C \(g\circ f\) केवल स्थिर होता है / \(g\circ f\) is always constant
D \(g\circ f\) परिभाषित नहीं होता / \(g\circ f\) is undefined
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Correct Answer
A. \(g\circ f\) आच्छादी है / \(g\circ f\) is onto
Step 1
Concept
(C) का कोई भी तत्व (c) लें। / Take any element \(c\in C\).
Step 2
Why this answer is correct
(g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) ऐसा है कि (g(b)=c); और (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) ऐसा है कि (f(a)=b)। / Since (g) is onto, some \(b\in B\) has (g(b)=c); since (f) is onto, some \(a\in A\) has (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में पूर्वप्रतिबिंब को पीछे की ओर खोजें। / In composition, trace the preimage backward.
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादी है और (A), (B) सीमित समुच्चय हैं, तो कौन सा संबंध हमेशा सत्य है?
If \(f:A\to B\) is onto and (A), (B) are finite sets, which relation is always true?
#onto function
#finite sets
#cardinality
#class 12
A (n(A)\ge n(B))
B (n(A)<n(B))
C (n(A)=1)
D (n(B)=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (n(A)\ge n(B))
Step 1
Concept
आच्छादी फलन में (B) के हर तत्व को (A) से कम से कम एक तत्व चाहिए। / In an onto function, every element of (B) needs at least one element from (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (A) में तत्वों की संख्या (B) से कम नहीं हो सकती। / Therefore, (A) cannot have fewer elements than (B).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में (n(A)\ge n(B)) आच्छादी की जरूरी शर्त है। / For finite sets, (n(A)\ge n(B)) is a necessary condition for onto.
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