Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से गुणा करने पर परास ([-2,2]) बनता है, जो दिए गए सहप्रांत के समान है। / Multiplying by (2) gives the range ([-2,2]), the same as the given codomain.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में गुणक परास की लंबाई बदलता है, पर सभी बीच के मान मिलते रहते हैं। / In trigonometric functions, a multiplier changes the range size but all intermediate values are still attained.
A. क्योंकि \(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए \(1+\sin x\) का परास ([0,2]) है/Because the range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so the range of \(1+\sin x\) is ([0,2])
Step 1
Concept
\(\sin x\) के मान (-1) से (1) तक होते हैं। / Values of \(\sin x\) run from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
उसमें (1) जोड़ने पर परास ([0,2]) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Adding (1) changes the range to ([0,2]), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
परास पर ऊर्ध्व स्थानांतरण का प्रभाव साफ-साफ लगाएँ। / Apply vertical shifts clearly while finding the range.
\(|x^2-1|\) हमेशा गैरऋणात्मक है और (x=1) पर (0) मिलता है। / \(|x^2-1|\) is always non-negative, and (0) is obtained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(|x^2-1|=y\) मिलता है। / For any \(y\ge0\), taking \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(|x^2-1|=y\).
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले प्रश्न में धनात्मक शाखा से पूर्वप्रतिबिंब बनाना आसान हो सकता है। / In modulus questions, the positive branch can make preimage construction easier.
B. यह सर्वाच्छादक है क्योंकि प्रमुख घात विषम है और फलन सतत है/It is onto because the leading degree is odd and the function is continuous
Step 1
Concept
यह सतत बहुपद है और इसका प्रमुख पद \(x^3\) है। / This is a continuous polynomial and its leading term is \(x^3\).
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान \(\infty\) और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / For very large positive (x), the value tends to \(\infty\), and for very large negative (x), it tends to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
निचली घातों के पद अंत व्यवहार नहीं बदलते। / Lower-degree terms do not change the end behavior.
A. क्योंकि (0) और (1) जैसे मान नहीं मिलते/Because values like (0) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x>0\), इसलिए \(e^x+1>1\)। / \(e^x>0\), so \(e^x+1>1\).
Step 2
Why this answer is correct
अतः (\(e^x+1\)2>1), इसलिए (0) और (1) सहप्रांत में होते हुए भी छवि नहीं बनते। / Hence (\(e^x+1\)2>1), so (0) and (1) are in the codomain but are not images.
Step 3
Exam Tip
वर्ग करने से पहले अंदर वाले पद की सीमा जरूर देखें। / Before squaring, check the range of the inner expression.
(\(e^x-1\)2\ge0) और (x=0) पर (0) मिलता है। / (\(e^x-1\)2\ge0), and at (x=0), the value is (0).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(e^x-1=\sqrt{y}\) लेने पर (x=\ln\(1+\sqrt{y}\)) वास्तविक मिलता है। / For any \(y\ge0\), set \(e^x-1=\sqrt{y}\), giving (x=\ln\(1+\sqrt{y}\)), which is real.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में धनात्मक पूर्वप्रतिबिंब बनाने के लिए लघुगणक का प्रयोग करें। / For exponential expressions, logarithms help construct preimages.
A. क्योंकि (-1) छवि नहीं बनता/Because (-1) is not an image
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\) और \(e^x>0\), इसलिए \(x^2+e^x>0\)। / Since \(x^2\ge0\) and \(e^x>0\), we have \(x^2+e^x>0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) है, पर यह किसी भी (x) की छवि नहीं बन सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-1), but it cannot be an image of any (x).
Step 3
Exam Tip
धनात्मकता या निचली सीमा दिखाकर सर्वाच्छादकता जल्दी नकारी जा सकती है। / Positivity or a lower bound can quickly disprove onto property.
\(x\to-\infty\) पर (x) का प्रभाव मान को \(-\infty\) की ओर ले जाता है और \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to-\infty\), the term (x) drives the value to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
जब सतत फलन दोनों दिशाओं में पूरे वास्तविक मानों को पार करता है, तब वह सर्वाच्छादक होता है। / When a continuous function crosses all real values, it is onto.
हर (x) के लिए हर \(1+x^2\) धनात्मक है, इसलिए फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सतत है। / For every (x), the denominator \(1+x^2\) is positive, so the function is continuous on all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value tends to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it tends to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
सततता और दोनों ओर असीमित व्यवहार मिलकर सर्वाच्छादकता सिद्ध करते हैं। / Continuity together with unbounded behavior in both directions proves onto property.
B. सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (2) नहीं मिलता/It is not onto because (2) is not obtained
Step 1
Concept
(x=0) पर (1) मिलता है और बड़े मान भी मिलते हैं। / At (x=0), the value (1) is obtained, and large values are also obtained.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(x^6+x^2+1=2\) के लिए \(t=x^2\ge0\) रखने पर \(t^3+t=1\) चाहिए, जिसका हल (t) सामान्यतः (0) और (1) के बीच है; फिर भी सभी \([1,\infty\)) मान मिलते हैं या नहीं, यह सरल दावा नहीं है। / For \(x^6+x^2+1=2\), putting \(t=x^2\ge0\) gives \(t^3+t=1\), which has a non-negative solution.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (2) वास्तव में मिलता है, इसलिए विकल्पों में सावधानी से सही निष्कर्ष चुनना चाहिए। / Therefore the option saying (2) is not obtained is wrong, so this row needs a valid conclusion.
A. यह सर्वाच्छादक है क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए सततता और अंत व्यवहार से कोई (x) मिलता है/It is onto because continuity and end behavior ensure some (x) for every real (y)
Step 1
Concept
\(x^5+x\) सतत और विषम घात वाला बहुपद है। / \(x^5+x\) is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / It tends to \(\infty\) as \(x\to\infty\) and to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\).
Step 3
Exam Tip
विशेषज्ञ स्तर पर सततता और अंत व्यवहार को साथ में जोड़कर निष्कर्ष निकालें। / At expert level, combine continuity with end behavior to conclude.
C. यह किसी भी वास्तविक (a) के लिए सर्वाच्छादक नहीं है/It is not onto for any real (a)
Step 1
Concept
यदि (a>0), तो परास \([1,\infty\)) होगा। / If (a>0), the range is \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a<0), तो परास (\(-\infty,1]\) होगा और यदि (a=0), तो केवल (1) मिलेगा। / If (a<0), the range is (\(-\infty,1]\), and if (a=0), only (1) is obtained.
Step 3
Exam Tip
किसी भी स्थिति में पूरा \(\mathbb{R}\) परास नहीं बनता, इसलिए सर्वाच्छादक नहीं है। / In no case is the range all of \(\mathbb{R}\), so it is not onto.
यदि \(a\ne0\), तो किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) वास्तविक मिलता है। / If \(a\ne0\), then for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y-b}{a}\) is real.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=0), तो फलन स्थिर हो जाता है और सभी वास्तविक मान नहीं दे सकता। / If (a=0), the function becomes constant and cannot give all real values.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न होना मुख्य शर्त है। / For a linear function, the coefficient of (x) must be non-zero.
(C) का कोई भी अवयव (c) लें। / Take any \(c\in C\).
Step 2
Why this answer is correct
(h) सर्वाच्छादक है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जिससे (h(b)=c); और (g) सर्वाच्छादक है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(a)=b)। / Since (h) is onto, there is \(b\in B\) with (h(b)=c); since (g) is onto, there is \(a\in A\) with (g(a)=b).
Step 3
Exam Tip
तब (\(h\circ g\)(a)=c), इसलिए संयुक्त फलन सर्वाच्छादक है। / Then (\(h\circ g\)(a)=c), so the composite function is onto.
A. \(x^3-x\) का परास \(\mathbb{R}\) है और \(e^t\) का परास (\(0,\infty\)) है/The range of \(x^3-x\) is \(\mathbb{R}\) and the range of \(e^t\) is (\(0,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^3-x\) विषम घात का सतत बहुपद है और उसका परास \(\mathbb{R}\) है। / \(x^3-x\) is a continuous odd-degree polynomial and its range is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
जब घातांक सभी वास्तविक मान लेता है, तब \(e^{x^3-x}\) सभी धनात्मक मान लेता है। / When the exponent takes all real values, \(e^{x^3-x}\) takes all positive values.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त फलन में अंदर वाले फलन का परास पहले देखें। / In composite functions, check the range of the inner function first.
B. क्योंकि (-1) और (1) नहीं मिलते/Because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) कभी \(\frac{\pi}{2}\) या \(-\frac{\pi}{2}\) नहीं होता। / \(\tan^{-1}x\) never equals \(\frac{\pi}{2}\) or \(-\frac{\pi}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए गुणा करने के बाद (1) और (-1) केवल सीमा मान हैं, वास्तविक छवि नहीं। / After multiplying, (1) and (-1) are only limiting values, not actual images.
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद अंतराल का अंतर सर्वाच्छादकता में निर्णायक हो सकता है। / The difference between open and closed intervals can decide onto property.
\(\tan^{-1}x\) का परास (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है। / The range of \(\tan^{-1}x\) is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2}{\pi}\) से गुणा करने पर परास ((-1,1)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Multiplying by \(\frac{2}{\pi}\) gives the range ((-1,1)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
परास पर गुणक का प्रभाव ध्यान से लगाएँ। / Carefully apply the effect of a multiplier on the range.
फलन (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), सर्वाच्छादकता सिद्ध करने के लिए \(y\in\mathbb{R}\) का पूर्वप्रतिबिंब क्या होगा?
