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बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। यही बहुपद की मूल पहचान है। / In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the basic identification rule.
\(x^2+y+1\) में दो चर (x) और (y) हैं। इसलिए यह एक चर वाला बहुपद नहीं है। / \(x^2+y+1\) has two variables (x) and (y). Therefore it is not a polynomial in one variable.
एक चर के बहुपद में चर की घात केवल अशून्य पूर्णांक या शून्य होती है। परीक्षा में ऋणात्मक घात और मूल से बचें। / In a polynomial in one variable, powers of the variable are non-negative integers. In exams, reject negative powers and roots of the variable.
एक चर (x) में बहुपद में केवल (x) चर होता है। अन्य विकल्पों में एक से अधिक चर हैं। / A polynomial in one variable (x) contains only the variable (x). The other options have more than one variable.
\(x^{\frac{3}{2}}\) में चर की घात भिन्न है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। बहुपद में घातें अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। / In \(x^{\frac{3}{2}}\), the power of the variable is fractional, so it is not a polynomial. In a polynomial, powers are non-negative integers.
\(x^2+3x+1\) में केवल (x) चर है। इसलिए यह (x) में एक चर वाला बहुपद है। / \(x^2+3x+1\) has only the variable (x). So it is a one-variable polynomial in (x).
\(4x^3+x-9\) बहुपद है और इसकी घात (3) है। इसलिए यह द्विघात नहीं है। / \(4x^3+x-9\) is a polynomial and its degree is (3). Therefore it is not quadratic.
\(\sqrt{2}\) एक वास्तविक संख्या है और (x) की घातें पूर्ण संख्याएँ हैं। इसलिए यह बहुपद है। / \(\sqrt{2}\) is a real number and the powers of (x) are whole numbers. So it is a polynomial.
\(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) है और चर की घात ऋणात्मक है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\), so the variable has a negative power. Therefore it is not a polynomial.
\(z^4-2z+1\) में केवल (z) है और घातें ऋणात्मक नहीं हैं। इसलिए यह (z) में बहुपद है। / The expression \(z^4-2z+1\) has only (z) and no negative powers. So it is a polynomial in (z).
A. क्योंकि इसमें दो चर हैं/Because it has two variables
Explanation
Simple Explanation
इसमें (x) और (y) दोनों चर हैं। एक चर वाले बहुपद में केवल एक ही चर होना चाहिए। / It contains both (x) and (y). A polynomial in one variable should contain only one variable.
\(3x^2-5x+7\) में केवल (x) है और घातें पूर्ण संख्याएँ हैं। परीक्षा में चर की घात ऋणात्मक या भिन्न नहीं होनी चाहिए। / The expression \(3x^2-5x+7\) has only (x) and non-negative integer powers. In exams, the variable power must not be negative or fractional.
सबसे बड़ी घात \(x^4\) है, इसलिए घात (4) है। शून्य गुणांक वाले पदों को घात तय करने में नहीं गिनते। / The highest power is \(x^4\), so the degree is (4). Terms with zero coefficients do not affect the degree.
(p(1)=a+b+c) और (p(-1)=a-b+c) हैं, घटाने पर (2b=0) मिलता है। परीक्षा में सममित मानों पर जोड़-घटाव जल्दी करें। / (p(1)=a+b+c) and (p(-1)=a-b+c); subtracting gives (2b=0). In exams, use addition or subtraction for symmetric inputs.
\(y^2-3y+2\) में (y) की घातें पूर्ण संख्याएँ हैं। बहुपद किसी एक चर जैसे (y) में भी हो सकता है। / In \(y^2-3y+2\), the powers of (y) are whole numbers. A polynomial can be in one variable such as (y).
\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) है और \(\frac{1}{2}\) पूर्ण संख्या नहीं है। इसलिए यह (x) में बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), and \(\frac{1}{2}\) is not a whole number. So it is not a polynomial in (x).
(p(1)=12+3\cdot1+2=6) है। मान निकालते समय हर (x) की जगह दी गई संख्या रखें। / (p(1)=12+3\cdot1+2=6). While evaluating, replace every (x) with the given number.
इस बहुपद में \(x^2\) पद नहीं है, इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद का गुणांक हमेशा (0) माना जाता है। / There is no \(x^2\)-term in this polynomial, so its coefficient is (0). The coefficient of a missing term is always taken as (0).
बहुपद में (x) की घात केवल पूर्णांक और अशून्य नहीं बल्कि ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। परीक्षा में हर पद की घात जांचें। / A polynomial has only non-negative integer powers of (x). In exams check the power of every term.
(p(x+1)=2x-2-3x-2) और (p(x-1)=2x-2-11x+12), इसलिए अंतर (8x-14) है। पूरे व्यंजक को (x) की जगह रखें। / (p(x+1)=2x-2-3x-2) and (p(x-1)=2x-2-11x+12), so the difference is (8x-14). Substitute the whole expression in place of (x).
(p(x+2)=2(x+2)2-5(x+2)+3=2x-2+3x+1), इसलिए अंतर (8x+2) है। पूरे (x+2) को सही जगह रखें। / (p(x+2)=2(x+2)2-5(x+2)+3=2x-2+3x+1), so the difference is (8x+2). Substitute the whole (x+2) correctly.
C. बहुत से असंबंधित दिशा संकेत/Too many unrelated directional cues
Explanation
Simple Explanation
असंबंधित रेखाएं दृष्टि मार्ग को भ्रमित करती हैं। परीक्षा में दिशा एकता जांचें। / Unrelated lines confuse the visual path. Exam tip: check direction unity.
D. रेखा भार और विवरण को नियंत्रित करना चाहिए/Line weight and details should be controlled
Explanation
Simple Explanation
रेखा को विषय की सेवा करनी चाहिए, उसे दबाना नहीं चाहिए। परीक्षा में दृश्य पदानुक्रम जांचें। / Line should serve the subject, not overpower it. Exam tip: check visual hierarchy.
C. दिशात्मक रेखाओं को भीतर की ओर मोड़ा जा सकता है/Directional lines can be turned inward
Explanation
Simple Explanation
भीतर की दिशा रचना को बंद और केंद्रित रखती है। परीक्षा में दृष्टि गति नियंत्रण याद रखें। / Inward direction keeps composition closed and focused. Exam tip: remember eye movement control.
C. मोटाई, गहराई, लंबाई और स्थिति से/By thickness, darkness, length, and placement
Explanation
Simple Explanation
रेखा का दृश्य भार कई गुणों से बनता है। परीक्षा में केवल मोटाई को ही कारण न लिखें। / Visual weight of line comes from many qualities. Exam tip: do not write thickness as the only cause.
दृश्य मार्ग दर्शक को केंद्र तक ले जाता है। परीक्षा में focus के साथ eye movement देखें। / Visual path leads viewer to focus. Exam tip: observe eye movement with focus.
दृश्य मार्ग दर्शक को केंद्र तक ले जाता है। परीक्षा में focus के साथ eye movement देखें। / Visual path leads viewer to focus. Exam tip: observe eye movement with focus.
A. दोहराए रंग आकार या दृश्य थीम जोड़ना/Add repeated colour shape or visual theme
Explanation
Simple Explanation
दोहराए तत्व रचना को जोड़ते हैं। परीक्षा में scattered design में unity tool खोजें। / Repeated elements connect the composition. Exam tip: find a unity tool in scattered design.
A. दृश्य मार्ग असंगठित होगा/Visual path will be disorganized
Explanation
Simple Explanation
दिशाहीन रेखाएं नजर को भ्रमित करती हैं। परीक्षा में रेखाओं को केंद्र बिंदु की ओर व्यवस्थित करें। / Directionless lines confuse the eye. Exam tip: arrange lines toward the focal point.
A. दोहराए रंग या आकार से संबंध बनाना/Create relation with repeated colour or shape
Explanation
Simple Explanation
दोहराव unity बनाता है। परीक्षा में scattered composition में repeated element जोड़ें। / Repetition creates unity. Exam tip: add repeated element in scattered composition.
विविधता visual interest बनाती है। परीक्षा में monotony को low variety से जोड़ें। / Variety creates visual interest. Exam tip: connect monotony with low variety.
A. दोहराए रंग आकार या दृश्य थीम का उपयोग/Use repeated colour shape or visual theme
Explanation
Simple Explanation
दोहराव रचना को जोड़ता है। परीक्षा में unity के लिए repeated elements लिखें। / Repetition connects composition. Exam tip: write repeated elements for unity.
A. मुख्य सममिति रखते हुए रंग मान या बनावट में सूक्ष्म बदलाव/Keep main symmetry with subtle changes in colour value or texture
Explanation
Simple Explanation
सूक्ष्म विविधता सममिति में रुचि जोड़ती है। परीक्षा में formal balance में variation याद रखें। / Subtle variety adds interest to symmetry. Exam tip: remember variation in formal balance.
A. एक प्रमुख विरोधी क्षेत्र और शांत सहायक क्षेत्र रखना/Keep one main contrasting area and calm supporting areas
Explanation
Simple Explanation
मुख्य और सहायक क्षेत्रों का अंतर दृश्य पदानुक्रम बनाता है। परीक्षा में focal hierarchy याद रखें। / Difference between main and supporting areas creates visual hierarchy. Exam tip: remember focal hierarchy.
A. रचना में चयन और आलोचना में कारण बताने में मदद करती है/It helps in selection for composition and reasoning in criticism
Explanation
Simple Explanation
तत्व बनाते समय और विश्लेषण करते समय दोनों में उपयोगी हैं। परीक्षा में practical and analytical use लिखें। / Elements are useful in both making and analysing art. Exam tip: write practical and analytical use.
A. दर्शक की नजर चित्र से बाहर जा सकती है/Viewer eye may move out of picture
Explanation
Simple Explanation
किनारे का जोर visual flow को बाहर ले जा सकता है। परीक्षा में focal placement पर ध्यान दें। / Edge emphasis can take visual flow outside. Exam tip: pay attention to focal placement.
A. वे मुख्य विषय से ध्यान हटा सकती हैं/They can take attention away from main subject
Explanation
Simple Explanation
दिशात्मक रेखाएं attention flow नियंत्रित करती हैं। परीक्षा में leading lines को focal point से जोड़ें। / Directional lines control attention flow. Exam tip: connect leading lines with focal point.
C. वह संतुलन स्पष्टता और भाव को प्रभावित करता है/It affects balance clarity and mood
Explanation
Simple Explanation
खाली स्थान रचना के अर्थ और संतुलन में योगदान देता है। परीक्षा में negative space को important element लिखें। / Empty space contributes to meaning and balance of composition. Exam tip: write negative space as important element.
A. रेखा रंग मान स्थान और संतुलन का उपयोग/Use of line colour value space and balance
Explanation
Simple Explanation
रचना सुधार में प्रमुख तत्व और व्यवस्था देखनी चाहिए। परीक्षा में correction में specific elements लिखें। / In improving composition main elements and arrangement should be observed. Exam tip: write specific elements in correction.
A. जब दृश्य भार एक तरफ बहुत अधिक हो/When visual weight is too much on one side
Explanation
Simple Explanation
एक तरफ अधिक भार असंतुलन बनाता है। परीक्षा में balance analysis में weight distribution देखें। / Too much weight on one side creates imbalance. Exam tip: observe weight distribution in balance analysis.
A. मंद ठंडे रंग और कोमल मान/Muted cool colours and soft values
Explanation
Simple Explanation
मंद ठंडे रंग और कोमल मान शांत प्रभाव देते हैं। परीक्षा में mood के अनुसार element choice करें। / Muted cool colours and soft values give calm effect. Exam tip: choose elements according to mood.
A. सकारात्मक और ऋणात्मक स्थान की समझ/Understanding positive and negative space
Explanation
Simple Explanation
सकारात्मक और ऋणात्मक स्थान दोनों रचना बनाते हैं। परीक्षा में empty area को भी महत्वपूर्ण मानें। / Positive and negative space both make composition. Exam tip: consider empty area important too.
A. तत्वों की स्थिति और दृश्य भार/Position and visual weight of elements
Explanation
Simple Explanation
स्थिति और दृश्य भार बदलने से संतुलन सुधरता है। परीक्षा में correction में placement सोचें। / Changing position and visual weight improves balance. Exam tip: think of placement in correction.
A. दर्शक की नजर बाहर जा सकती है/Viewer eye may move out
Explanation
Simple Explanation
बहुत किनारे का केंद्र बिंदु नजर को रचना से बाहर ले जा सकता है। परीक्षा में placement को focal control से जोड़ें। / A focal point at the edge can lead the eye out of composition. Exam tip: connect placement with focal control.
A. औपचारिक और शांत रचना/Formal and calm composition
Explanation
Simple Explanation
सममित संतुलन औपचारिक और स्थिर प्रभाव देता है। परीक्षा में symmetrical balance को formal mood से जोड़ें। / Symmetrical balance gives formal and stable effect. Exam tip: connect symmetrical balance with formal mood.
गलत स्थान निर्धारण दृश्य संतुलन को बिगाड़ सकता है। परीक्षा में placement को composition balance से जोड़ें। / Wrong placement can disturb visual balance. Exam tip: connect placement with composition balance.
अंतर और बदलाव से विविधता बढ़ती है। परीक्षा में variety को visual interest से जोड़ें। / Difference and change increase variety. Exam tip: connect variety with visual interest.
समानता रचना में एकता और संबंध बनाती है। परीक्षा में unity के लिए similarity याद रखें। / Similarity creates unity and relation in composition. Exam tip: remember similarity for unity.
कम खाली स्थान रचना को भारी और भीड़भाड़ वाला बना सकता है। परीक्षा में space balance पर ध्यान दें। / Little empty space can make composition heavy and crowded. Exam tip: pay attention to space balance.
समरसता में तत्व मिलकर सुखद प्रभाव बनाते हैं। परीक्षा में समरसता को एकता से जोड़ें। / In harmony elements work together for a pleasant effect. Exam tip: connect harmony with unity.
कम खाली स्थान चित्र को भरा और भारी बना सकता है। परीक्षा में स्थान संतुलन पर ध्यान दें। / Little empty space can make a picture full and heavy. Exam tip: pay attention to space balance.
संतुलन बिगड़ने से रचना अस्थिर महसूस हो सकती है। परीक्षा में balance को visual comfort से जोड़ें। / When balance is disturbed the composition can feel unstable. Exam tip: connect balance with visual comfort.
दोहराव रचना में लय और गति का भाव बनाता है। परीक्षा में rhythm का आधार repetition याद रखें। / Repetition creates rhythm and a sense of movement in composition. Exam tip: remember repetition as the base of rhythm.
केंद्र बिंदु रचना में सबसे अधिक ध्यान खींचता है। परीक्षा में focal point को मुख्य आकर्षण समझें। / A focal point attracts the most attention in a composition. Exam tip: understand focal point as the main attraction.
समान आकार रचना में एकता और संबंध बनाते हैं। परीक्षा में unity के लिए repeated similarity याद रखें। / Similar shapes create unity and relation in composition. Exam tip: remember repeated similarity for unity.
D. संतुलन और स्पष्टता देता है/Gives balance and clarity
Explanation
Simple Explanation
उचित खाली स्थान रचना को सांस और संतुलन देता है। परीक्षा में space को composition का जरूरी भाग मानें। / Proper empty space gives breathing room and balance to composition. Exam tip: treat space as an important part of composition.
कम खाली स्थान रचना को भरा और भारी बना सकता है। परीक्षा में space balance को composition से जोड़ें। / Very little empty space can make a composition look full and heavy. Exam tip: connect space balance with composition.
C. यह दृश्य को सांस और स्पष्टता देता है/It gives breathing space and clarity
Explanation
Simple Explanation
खाली स्थान चित्र को भीड़भाड़ से बचाता है। परीक्षा में clear composition के लिए space याद रखें। / Empty space saves a picture from crowding. Exam tip: remember space for clear composition.
खाली स्थान रचना को संतुलित और स्पष्ट बनाता है। परीक्षा में खाली क्षेत्र को स्थान तत्व में रखें। / Empty space makes a composition balanced and clear. Exam tip: place empty area under the element of space.
(p(x+1)=x-2-2x+3) और (p(x+1)-p(x)=2x-3) है। ऐसे प्रश्नों में पहले (x+1) को सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / (p(x+1)=x-2-2x+3) and (p(x+1)-p(x)=2x-3). In such questions, substitute (x+1) carefully first.
(p(x)=(x-4)2), इसलिए (p(4+t)=t-2)। ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग बनाना आसान होता है। / (p(x)=(x-4)2), so (p(4+t)=t-2). In such questions, first form a perfect square.
शून्यकों का योग बहुपद से (a) और गुणनफल (b) है। इसलिए यदि शून्यक (a,b) हैं, तो (a+b=a) और (ab=b) होना चाहिए। / The sum of zeroes from the polynomial is (a) and the product is (b). Hence if the zeroes are (a,b), then (a+b=a) and (ab=b).
शून्यक (1) और (2) हैं, इसलिए बहुपद \(x^2-3x+2\) है। अतः (p=-3,\ q=2) और (p+q=-1)। / The zeroes are (1) and (2), so the polynomial is \(x^2-3x+2\). Thus (p=-3,\ q=2), and (p+q=-1).
मूल शून्यक (2) और (4) हैं, इसलिए नए शून्यक (4) और (16) हैं। नया बहुपद \(x^2-20x+64\) है। / The original zeroes are (2) and (4), so the new zeroes are (4) and (16). The new polynomial is \(x^2-20x+64\).
कोई वास्तविक शून्यक नहीं होने के लिए विविक्तकर (4-4c<0) चाहिए। इससे (c>1) मिलता है। / For no real zero, the discriminant must satisfy (4-4c<0). This gives (c>1).
(x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), इसलिए शून्यक (3) और (4) हैं। (x)-अक्ष पर बिंदु ((3,0)) और ((4,0)) होंगे। / (x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), so the zeroes are (3) and (4). The (x)-axis points are ((3,0)) and ((4,0)).
(p(x)) के शून्यक (-2) और (-3) हैं। (p(-x)=0) के लिए (-x=-2) या (-x=-3), इसलिए (x=2,3)। / The zeroes of (p(x)) are (-2) and (-3). For (p(-x)=0), (-x=-2) or (-x=-3), so (x=2,3).
समूहीकरण से (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)) मिलता है। इसलिए गुणनखंड ((x-3)(x-2)(x+2)) हैं। / By grouping, (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)). Thus the factors are ((x-3)(x-2)(x+2)).
(p(x)=(x-1)(x-3)) है और (1<x<3) में मान ऋणात्मक होता है। इसलिए (x=2) सही है। / (p(x)=(x-1)(x-3)), and it is negative for (1<x<3). Therefore (x=2) is correct.
A. यह कोई वास्तविक शून्यक नहीं देता/It gives no real zero
Explanation
Simple Explanation
(x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)) है। \(x^2+4\) वास्तविक (x) के लिए कभी (0) नहीं होता। / (x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)). The factor \(x^2+4\) is never (0) for real (x).
योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-20}{5}=4\) है। पहले सामान्य गुणनखंड निकालना चाहें तो भी योग वही रहेगा। / The sum is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-20}{5}=4\). Even if a common factor is removed first, the sum remains the same.
\(\alpha+\beta=12\) और \(\alpha\beta=35\) हैं। \(\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}=\frac{\alpha+\beta-2}{\alpha\beta-\alpha-\beta+1}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\)। / \(\alpha+\beta=12\) and \(\alpha\beta=35\). \(\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}=\frac{\alpha+\beta-2}{\alpha\beta-\alpha-\beta+1}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\).
शून्यकों का योग (-3) है, इसलिए (p=3)। युग्म गुणनफलों का योग (-3+5-15=-13), इसलिए (q=-13) और (p+q=-10)। / The sum of zeroes is (-3), so (p=3). The pairwise product sum is (-3+5-15=-13), so (q=-13) and (p+q=-10).
(p(x)=(x+2)2), इसलिए (p(-2+h)=h-2)। पूर्ण वर्ग रूप से प्रतिस्थापन आसान हो जाता है। / (p(x)=(x+2)2), so (p(-2+h)=h-2). Perfect square form makes substitution easier.
योग \(\frac{7}{2}\) और गुणनफल \(\frac{5}{2}\) है। उनका अंतर \(\frac{7}{2}-\frac{5}{2}=1\) है। / The sum is \(\frac{7}{2}\) and the product is \(\frac{5}{2}\). Their difference is \(\frac{7}{2}-\frac{5}{2}=1\).
शून्यक (t) और (4t) मानें, तो \(4t^2=36\) से (t=3) है। योग (15) है, इसलिए (k=15)। / Let the zeroes be (t) and (4t), then \(4t^2=36\) gives (t=3). The sum is (15), so (k=15).
A. (p(x)) शून्य बहुपद है/(p(x)) is the zero polynomial
Explanation
Simple Explanation
अधिकतम द्विघात बहुपद के तीन अलग-अलग शून्यक तभी हो सकते हैं जब वह शून्य बहुपद हो। घात से अधिक अलग शून्यक असंभव होते हैं। / A polynomial of degree at most (2) can have three distinct zeroes only if it is the zero polynomial. A non-zero polynomial cannot have more distinct zeroes than its degree.
(2) और (3), (p(x)) के शून्यक हैं, इसलिए (p(2)=0) और (p(3)=0)। इसलिए योग (0) है। / (2) and (3) are zeroes of (p(x)), so (p(2)=0) and (p(3)=0). Hence the sum is (0).
(p(x)) के शून्यक (4) और (-2) हैं। (x+3=4) या (x+3=-2) से शून्यक (1) और (-5) मिलते हैं। / The zeroes of (p(x)) are (4) and (-2). From (x+3=4) or (x+3=-2), the zeroes are (1) and (-5).
(x-3-9x=x(x-3)(x+3)), इसलिए शून्यक (-3,0,3) हैं। अतः भिन्न वास्तविक शून्यक (3) हैं। / (x-3-9x=x(x-3)(x+3)), so the zeroes are (-3,0,3). Hence there are (3) distinct real zeroes.
योग (1+3-4=0) है, इसलिए (a=0)। युग्म गुणनफलों का योग (3-4-12=-13), इसलिए (b=-13) और (a+b=-13)। / The sum (1+3-4=0), so (a=0). The sum of pairwise products is (3-4-12=-13), so (b=-13) and (a+b=-13).
(x-4-5x-2+4=\(x^2-1\)\(x^2-4\)) है। इसलिए वास्तविक शून्यक (-2,-1,1,2) हैं। / (x-4-5x-2+4=\(x^2-1\)\(x^2-4\)). Therefore the real zeroes are (-2,-1,1,2).
(4x-2-4x+1=(2x-1)2), इसलिए शून्यक \(\frac{1}{2}\) दो बार है। पूर्ण वर्ग रूप तुरंत समान शून्यक देता है। / (4x-2-4x+1=(2x-1)2), so the zero \(\frac{1}{2}\) occurs twice. Perfect square form gives equal zeroes directly.
