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पहले समीकरण से दूसरा घटाने पर (4x=16), इसलिए (x=4)। समान (-y) पदों को घटाकर हटाया जा सकता है। / Subtracting the second equation from the first gives (4x=16), so (x=4). Equal (-y) terms can be removed by subtraction.
घटाने पर (4y=16), इसलिए (y=4)। समान (2x) पदों को हटाकर गणना सरल करें। / Subtracting gives (4y=16), so (y=4). Remove equal (2x) terms to simplify calculation.
पहले समीकरण से दूसरा घटाने पर (3x=6), इसलिए (x=2)। समान (y) पदों को घटाकर हटाया जा सकता है। / Subtracting the second equation from the first gives (3x=6), so (x=2). Equal (y) terms can be removed by subtraction.
घटाने पर (3y=9), इसलिए (y=3)। समान (x) पदों को हटाकर सीधे (y) निकालें। / Subtracting gives (3y=9), so (y=3). Remove equal (x) terms to get (y) directly.
द्विघात समीकरण में (x) की सबसे बड़ी घात (2) होती है। परीक्षा में सबसे पहले घात देखें। / A quadratic equation has highest power (2) of (x). In exams first check the degree.
D. पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना है/The first equation is (3) times the second
Explanation
Simple Explanation
(2x+y=13) को (3) से गुणा करने पर (6x+3y=39) मिलता है। समान समीकरणों को पहचानना भी परीक्षा में उपयोगी है। / Multiplying (2x+y=13) by (3) gives (6x+3y=39). Recognizing equivalent equations is also useful in exams.
B. पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना है/The first equation is (2) times the second
Explanation
Simple Explanation
पहला समीकरण (2(x+2y)=18) है, इसलिए यह दूसरे का (2) गुना है। समानुपाती समीकरणों को पहचानना भी जरूरी है। / The first equation is (2(x+2y)=18), so it is (2) times the second. Recognizing proportional equations is also important.
तीनों सारणिक शून्य होने पर समीकरण आश्रित हो सकते हैं। कक्षा (10) में इसे अनंत हल की स्थिति से जोड़कर देखें। / When all three determinants are zero, the equations may be dependent. In Class (10), link this with infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore, both lines are the same and have infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (470/955) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (470/955) is different. Therefore, the system is inconsistent.
C. (7/13 \ne 19 / 35), इसलिए एक अद्वितीय हल / 35), so one unique solution
Explanation
Simple Explanation
पहले दो अनुपात अलग हैं। इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं और एक अद्वितीय हल देती हैं। / The first two ratios are different. Therefore, the lines intersect at one point and give one unique solution.
यहां (12/36=(-7)/(-21)) लेकिन (29/91) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग हैं। / Here (12/36=(-7)/(-21)) but (29/91) is different. Therefore, the lines are parallel and distinct.
अद्वितीय हल के लिए \(11/5 \ne k/4\) होना चाहिए। इसलिए \(k\ne44/5\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(11/5 \ne k/4\) must hold. Therefore, \(k\ne44/5\) is the correct condition.
कोई हल नहीं के लिए (p/14=10/35) और (50/122) अलग होना चाहिए। इसलिए (p=4)। / For no solution, (p/14=10/35) and (50/122) must be different. Therefore, (p=4).
अनंत हल के लिए (6/18=a/33=42/126) होना चाहिए। इसलिए (a=11) सही है। / For infinitely many solutions, (6/18=a/33=42/126) must hold. Therefore, (a=11) is correct.
पहले दो अनुपात बराबर हैं। असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए इसलिए \(t\ne192\)। / The first two ratios are equal. For inconsistency, the constant ratio must be different so \(t\ne192\).
गुणांक अनुपात अलग होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलता है। / When coefficient ratios are different, the lines intersect at one point. Therefore, a unique solution is obtained.
यहां \(29/14 \ne 12/6\), इसलिए रेखाएं कटेंगी। अतः एक अद्वितीय हल है। / Here \(29/14 \ne 12/6\), so the lines will intersect. Hence, there is one unique solution.
यहां (24/4=(-18)/(-3)) लेकिन (102/18) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग हैं। / Here (24/4=(-18)/(-3)) but (102/18) is different. Therefore, the lines are parallel and distinct.
कोई हल नहीं के लिए (10/20=9/a) और (38/91) अलग होना चाहिए। इससे (a=18) मिलता है। / For no solution, (10/20=9/a) and (38/91) must be different. This gives (a=18).
पहले दो अनुपात बराबर हैं। असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए इसलिए \(r\ne98\)। / The first two ratios are equal. For inconsistency, the constant ratio must be different so \(r\ne98\).
संगत और आश्रित होने के लिए दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना होना चाहिए। अतः (s=231)। / To be consistent and dependent, the second equation must be (3) times the first. Hence, (s=231).
B. (12/24 \ne 13 / 25), इसलिए एक अद्वितीय हल / 25), so one unique solution
Explanation
Simple Explanation
यहां \(12/24 \ne 13/25\), इसलिए रेखाएं कटती हैं। इस कारण एक अद्वितीय हल है। / Here \(12/24 \ne 13/25\), so the lines intersect. Therefore, there is one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन स्थिर पद का अनुपात अलग है। इसलिए कोई हल नहीं है। / The first two ratios are equal but the constant ratio is different. Therefore, there is no solution.
यहां (7/4 \ne 5/(-3)), इसलिए रेखाएं कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here (7/4 \ne 5/(-3)), so the lines intersect. Such a pair has one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (380/775) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (380/775) is different. Therefore, the system is inconsistent.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
यहां \(18/9 \ne 7/4\), इसलिए रेखाएं कटती हैं। अतः युग्म संगत और स्वतंत्र है। / Here \(18/9 \ne 7/4\), so the lines intersect. Hence, the pair is consistent and independent.
यहां (26/2=39/3) लेकिन (117/10) अलग है। इसलिए यह असंगत युग्म है। / Here (26/2=39/3) but (117/10) is different. Therefore, this is an inconsistent pair.
पहला समीकरण दूसरे का (15) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और युग्म आश्रित है। / The first equation is (15) times the second. Therefore, both are the same line and the pair is dependent.
C. (19/9 \ne 12 / 6), इसलिए एक अद्वितीय हल / 6), so one unique solution
Explanation
Simple Explanation
यहां पहले दो अनुपात अलग हैं। इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं और एक हल देती हैं। / Here the first two ratios are different. Therefore, the lines intersect at one point and give one solution.
अद्वितीय हल के लिए \(17/8 \ne p/3\) होना चाहिए। इसलिए \(p\ne51/8\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(17/8 \ne p/3\) must hold. Therefore, \(p\ne51/8\) is the correct condition.
यहां \(15/30 \ne 8/17\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। ऐसी स्थिति में एक अद्वितीय हल मिलता है। / Here \(15/30 \ne 8/17\), so the lines intersect at one point. In this case, one unique solution is obtained.
पहले दो अनुपात बराबर हैं और तीसरा अलग है। इसलिए कोई हल नहीं होगा। / The first two ratios are equal and the third is different. Therefore, there will be no solution.
यहां तीनों अनुपात बराबर हैं। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / Here all three ratios are equal. Therefore, both lines are coincident and have infinitely many solutions.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(5/12 \ne 17/41\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(5/12 \ne 17/41\), so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (6) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (6) times the second. Therefore, both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (22/2=33/3) लेकिन (99/12) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (22/2=33/3) but (99/12) is different. Therefore, the graph will show distinct parallel lines.
अद्वितीय हल के लिए \(12/3 \ne p/5\) होना चाहिए। इसलिए \(p\ne20\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(12/3 \ne p/5\) must hold. Therefore, \(p\ne20\) is the correct condition.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए (q/18=1/2) होना चाहिए। अतः (q=9)। / The second equation is (2) times the first, so (q/18=1/2) must hold. Hence, (q=9).
अनंत हल के लिए (k/18=14/21=42/63) होना चाहिए। इसलिए (k=12) सही है। / For infinitely many solutions, (k/18=14/21=42/63) must hold. Therefore, (k=12) is correct.
यहां \(11/17 \ne 14/22\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। पहले दो अनुपात अलग हों तो एक अद्वितीय हल मिलता है। / Here \(11/17 \ne 14/22\), so the lines intersect at one point. If the first two ratios are different, one unique solution is obtained.
यहां (9/18=5/10) लेकिन (41/85) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग हैं। / Here (9/18=5/10) but (41/85) is different. Therefore, the lines are parallel and distinct.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both lines are coincident and have infinitely many solutions.
कोई हल नहीं के लिए (p/20=9/30) और (45/103) अलग होना चाहिए। इससे (p=6) मिलता है। / For no solution, (p/20=9/30) and (45/103) must be different. This gives (p=6).
अनंत हल के लिए (4/12=a/21=32/96) होना चाहिए। इसलिए (a=7) सही है। / For infinitely many solutions, (4/12=a/21=32/96) must hold. Therefore, (a=7) is correct.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore, both lines are the same and have infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (360/1090) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (360/1090) is different. Therefore, the system is inconsistent.
C. (6/11 \ne 17 / 31), इसलिए एक अद्वितीय हल / 31), so one unique solution
Explanation
Simple Explanation
यहां पहले दो अनुपात अलग हैं। इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं और एक अद्वितीय हल देती हैं। / Here the first two ratios are different. Therefore, the lines intersect at one point and give one unique solution.
यहां (14/21=(-8)/(-12)) लेकिन (25/40) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग हैं। / Here (14/21=(-8)/(-12)) but (25/40) is different. Therefore, the lines are parallel and distinct.
अद्वितीय हल के लिए \(13/6 \ne p/5\) होना चाहिए। इसलिए \(p \ne 65/6\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(13/6 \ne p/5\) must hold. Therefore, \(p \ne 65/6\) is the correct condition.
अनंत हल के लिए (5/20=a/28=45/180) होना चाहिए। इसलिए (a=7) सही है। / For infinitely many solutions, (5/20=a/28=45/180) must hold. Therefore, (a=7) is correct.
पहले दो अनुपात बराबर हैं। असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए इसलिए \(t \ne 93\)। / The first two ratios are equal. For inconsistency, the constant ratio must be different so \(t \ne 93\).
यहां \(23/11 \ne 10/5\) इसलिए रेखाएं कटेंगी। अतः एक अद्वितीय हल है। / Here \(23/11 \ne 10/5\) so the lines will intersect. Hence, there is one unique solution.
यहां (20/4=(-15)/(-3)) लेकिन (85/18) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग हैं। / Here (20/4=(-15)/(-3)) but (85/18) is different. Therefore, the lines are parallel and distinct.
कोई हल नहीं के लिए (8/16=7/a) और (34/79) अलग होना चाहिए। इससे (a=14) मिलता है। / For no solution, (8/16=7/a) and (34/79) must be different. This gives (a=14).
पहले दो अनुपात बराबर हैं। असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए इसलिए \(r \ne 74\)। / The first two ratios are equal. For inconsistency, the constant ratio must be different so \(r \ne 74\).
संगत और आश्रित होने के लिए दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना होना चाहिए। अतः (s=201)। / To be consistent and dependent, the second equation must be (3) times the first. Hence, (s=201).
B. (10/20 \ne 11 / 21) इसलिए एक अद्वितीय हल / 21) so one unique solution
Explanation
Simple Explanation
यहां \(10/20 \ne 11/21\) इसलिए रेखाएं कटती हैं। इस कारण एक अद्वितीय हल है। / Here \(10/20 \ne 11/21\) so the lines intersect. Therefore, there is one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन स्थिर पद का अनुपात अलग है। इसलिए कोई हल नहीं है। / The first two ratios are equal but the constant ratio is different. Therefore, there is no solution.
यहां (6/3 \ne 5/(-2)) इसलिए रेखाएं कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here (6/3 \ne 5/(-2)) so the lines intersect. Such a pair has one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (280/575) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (280/575) is different. Therefore, the system is inconsistent.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
यहां \(16/8 \ne 7/4\) इसलिए रेखाएं कटती हैं। अतः युग्म संगत और स्वतंत्र है। / Here \(16/8 \ne 7/4\) so the lines intersect. Hence, the pair is consistent and independent.
पहला समीकरण दूसरे का (12) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और युग्म आश्रित है। / The first equation is (12) times the second. Therefore, both are the same line and the pair is dependent.
C. (17/8 \ne 10 / 5) इसलिए एक अद्वितीय हल / 5) so one unique solution
Explanation
Simple Explanation
यहां पहले दो अनुपात अलग हैं। इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं और एक हल देती हैं। / Here the first two ratios are different. Therefore, the lines intersect at one point and give one solution.
अद्वितीय हल के लिए \(15/7 \ne p/2\) होना चाहिए। इसलिए \(p \ne 30/7\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(15/7 \ne p/2\) must hold. Therefore, \(p \ne 30/7\) is the correct condition.
यहां \(13/26 \ne 6/13\) इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। ऐसी स्थिति में एक अद्वितीय हल मिलता है। / Here \(13/26 \ne 6/13\) so the lines intersect at one point. In this case, one unique solution is obtained.
पहले दो अनुपात बराबर हैं और तीसरा अलग है। इसलिए कोई हल नहीं होगा। / The first two ratios are equal and the third is different. Therefore, there will be no solution.
यहां तीनों अनुपात बराबर हैं। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / Here all three ratios are equal. Therefore, both lines are coincident and have infinitely many solutions.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(4/9 \ne 15/31\) इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(4/9 \ne 15/31\) so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (5) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (5) times the second. Therefore, both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (20/2=30/3) लेकिन (90/11) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (20/2=30/3) but (90/11) is different. Therefore, the graph will show distinct parallel lines.
अद्वितीय हल के लिए \(10/2 \ne p/7\) होना चाहिए। इसलिए \(p \ne 35\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(10/2 \ne p/7\) must hold. Therefore, \(p \ne 35\) is the correct condition.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है इसलिए (q/18=1/2) होना चाहिए। अतः (q=9)। / The second equation is (2) times the first so (q/18=1/2) must hold. Hence, (q=9).
अनंत हल के लिए (k/15=12/20=36/60) होना चाहिए। इसलिए (k=9) सही है। / For infinitely many solutions, (k/15=12/20=36/60) must hold. Therefore, (k=9) is correct.
यहां \(8/15 \ne 13/24\) इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। पहले दो अनुपात अलग हों तो एक अद्वितीय हल मिलता है। / Here \(8/15 \ne 13/24\) so the lines intersect at one point. If the first two ratios are different, one unique solution is obtained.
यहां (6/12=11/22) लेकिन (29/63) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग हैं। / Here (6/12=11/22) but (29/63) is different. Therefore, the lines are parallel and distinct.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both lines are coincident and have infinitely many solutions.
कोई हल नहीं के लिए (p/10=8/20) और (24/61) अलग होना चाहिए। इससे (p=4) मिलता है। / For no solution, (p/10=8/20) and (24/61) must be different. This gives (p=4).
अनंत हल के लिए (5/15=2/a=18/54) होना चाहिए। इसलिए (a=6) सही है। / For infinitely many solutions, (5/15=2/a=18/54) must hold. Therefore, (a=6) is correct.
C. (7/5 \ne 10 / 8), इसलिए एक अद्वितीय हल / 8), so one unique solution
Explanation
Simple Explanation
यहां पहले दो अनुपात अलग हैं। इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं और एक अद्वितीय हल देती हैं। / Here the first two ratios are different. Therefore, the lines intersect at one point and give one unique solution.
