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\(126=2 \times 3^2 \times 7\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(1260=2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7\)। इसमें (11) नहीं है। / \(126=2 \times 3^2 \times 7\) and \(10=2 \times 5\), so \(1260=2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7\). It does not include (11).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों को अभाज्य गुणनखंडन से मिलाएं। / Match the options with the prime factorisation.
दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। / For counting with repetition, add the exponents.
Step 2
Why this answer is correct
(6+4+3+2=15)। / (6+4+3+2=15).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग आधारों की संख्या और दोहराव सहित संख्या में अंतर याद रखें। / Remember the difference between the number of distinct bases and the count with repetition.
जवाहरलाल नेहरू स्वतंत्र भारत के पहले प्रधानमंत्री थे। परीक्षा में स्वतंत्र भारत के पहले पदाधिकारियों को याद रखें। / Jawaharlal Nehru was the first Prime Minister of independent India. Exam tip: remember first office holders of independent India.
A. भारत को युद्ध में डालने के लिए भारतीय सहमति जरूरी है/Indian consent is necessary to involve India in war
Explanation
Simple Explanation
कांग्रेस ने बिना परामर्श युद्ध में शामिल किए जाने का विरोध किया। परीक्षा में द्वितीय विश्व युद्ध और कांग्रेस प्रतिक्रिया याद रखें। / Congress opposed involving India in war without consultation. Exam tip: remember World War II and Congress response.
A. भारतीयों की सहमति के बिना भारत को युद्ध में न झोंका जाए/India should not be pushed into war without Indian consent
Explanation
Simple Explanation
कांग्रेस ने बिना परामर्श युद्ध में शामिल करने का विरोध किया। परीक्षा में युद्धकालीन राजनीति याद रखें। / Congress opposed inclusion in war without consultation. Exam tip: remember wartime politics.
A. लीग ने कांग्रेस शासन की आलोचना और अलग राजनीतिक दावे को मजबूत किया/The League criticized Congress rule and strengthened separate political claims
Explanation
Simple Explanation
कांग्रेस त्यागपत्रों के बाद लीग ने अपनी स्थिति उभारने की कोशिश की। परीक्षा में 1939 से 1940 का क्रम पढ़ें। / After Congress resignations the League tried to highlight its position. Exam tip is to study the sequence from 1939 to 1940.
A. कांग्रेस और ब्रिटिश सरकार के बीच अविश्वास बढ़ा/Distrust between Congress and British government increased
Explanation
Simple Explanation
भारत को बिना सलाह युद्ध में शामिल करने से कांग्रेस ने विरोध किया। परीक्षा में 1939 को द्वितीय विश्व युद्ध से जोड़ें। / Congress protested because India was included in the war without consultation. Exam tip is to link 1939 with World War II.
A. भारत को बिना सहमति युद्ध में शामिल करने का विरोध/Opposition to involving India in war without consent
Explanation
Simple Explanation
भारत को द्वितीय विश्व युद्ध में बिना भारतीय सहमति शामिल किया गया। परीक्षा में युद्ध और कांग्रेस प्रतिक्रिया याद रखें। / India was included in World War II without Indian consent. Exam tip: remember war and Congress response.
B. मुस्लिम लीग को कांग्रेस की आलोचना का अवसर मिला/Muslim League got an opportunity to criticize Congress
Explanation
Simple Explanation
त्यागपत्र के बाद लीग ने अपनी अलग राजनीतिक स्थिति को मजबूत किया। परीक्षा में 1939 और युद्धकालीन राजनीति साथ पढ़ें। / After the resignations the League strengthened its separate political position. Exam tip is to study 1939 with wartime politics.
A. भारत को बिना भारतीय सहमति द्वितीय विश्व युद्ध में शामिल करना/Involving India in World War II without Indian consent
Explanation
Simple Explanation
वायसराय ने भारतीय प्रतिनिधियों से बिना पूछे भारत को युद्ध में शामिल घोषित किया। परीक्षा में युद्ध और राष्ट्रीय राजनीति का संबंध याद रखें। / The Viceroy declared India at war without consulting Indian representatives. Exam tip: remember the link between war and national politics.
A. भारत को बिना परामर्श द्वितीय विश्व युद्ध में शामिल करना/India being involved in World War II without consultation
Explanation
Simple Explanation
ब्रिटिश सरकार ने भारतीय नेताओं से बिना पूछे भारत को युद्ध में शामिल किया। परीक्षा में 1939 को युद्धकालीन राजनीति से जोड़ें। / The British government involved India in the war without consulting Indian leaders. Exam tip is to link 1939 with wartime politics.
पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। / The bases of the first number are (2,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। / The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
समान गुणनखंडों में वही आधार लें जो दोनों में हों। / For common factors, choose bases present in both numbers.
पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। / The bases of the first number are (2,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। / The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
समान गुणनखंडों में केवल दोनों में मौजूद आधार चुनें। / For common factors, choose only bases present in both numbers.
\(9=3^2\) और \(35=5 \times 7\), इसलिए \(315=3^2 \times 5 \times 7\)। इसमें (2) शामिल नहीं है। / \(9=3^2\) and \(35=5 \times 7\), so \(315=3^2 \times 5 \times 7\). It does not include (2).
Step 3
Exam Tip
जो अभाज्य गुणनखंडन में नहीं आता, वह उस संख्या का अभाज्य गुणनखंड नहीं है। / A prime not appearing in the factorisation is not a prime factor of the number.
अभाज्य गुणनखंडन में सभी आधार अभाज्य होने चाहिए। / In prime factorisation, every base must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
(9) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(9=3^2\), इसलिए पहला विकल्प अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। / (9) is not prime because \(9=3^2\), so the first option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
हर आधार को अभाज्य होना चाहिए, केवल घात लिखना काफी नहीं। / Every base must be prime; writing powers alone is not enough.
बेनजीर भुट्टो पहली बार उन्नीस सौ अस्सी के दशक में प्रधानमंत्री बनीं। परीक्षा में उन्हें मुस्लिम बहुल देश की पहली महिला प्रधानमंत्री के रूप में याद रखें। / Benazir Bhutto first became prime minister in the 1980s. For exams remember her as the first woman prime minister of a Muslim-majority country.
A. राष्ट्रीय नेतृत्व में महिलाओं की बढ़ती संभावना/Growing possibility of women in national leadership
Explanation
Simple Explanation
वे विश्व की पहली महिला प्रधानमंत्री मानी जाती हैं। परीक्षा में उन्हें महिला राजनीतिक नेतृत्व के इतिहास से जोड़ें। / She is considered the world's first woman Prime Minister. For exams connect her with the history of women political leadership.
बेनजीर भुट्टो के पिता जुल्फिकार अली भुट्टो पाकिस्तान के प्रधानमंत्री रहे। परीक्षा में भुट्टो परिवार को पाकिस्तान की राजनीति से जोड़ें। / Benazir Bhutto's father Zulfikar Ali Bhutto served as prime minister of Pakistan. For exams connect the Bhutto family with Pakistani politics.
गोल्डा मेयर के प्रधानमंत्री काल में योम किप्पुर युद्ध हुआ। परीक्षा में इसे इजराइल और अरब देशों के संघर्ष से जोड़ें। / The Yom Kippur War occurred during Golda Meir's time as prime minister. For exams connect it with the Arab-Israeli conflict.
कावूर सार्डिनिया पीडमोंट के प्रधानमंत्री थे। परीक्षा में उन्हें इटली के कूटनीतिक एकीकरण से जोड़ें। / Cavour was the prime minister of Sardinia-Piedmont. For exams, connect him with diplomatic unification of Italy.
नवाज शरीफ पाकिस्तान के प्रधानमंत्री रहे हैं। परीक्षा में उन्हें दक्षिण एशियाई राजनीति के प्रमुख नेताओं में याद रखें। / Nawaz Sharif has been Prime Minister of Pakistan. For exams remember him among major leaders of South Asian politics.
राजीव गांधी भारत के प्रधानमंत्री बने। परीक्षा में उन्हें आधुनिक भारत की राजनीति से जोड़ें। / Rajiv Gandhi became Prime Minister of India. For exams connect him with modern Indian politics.
सिल्वियो बर्लुस्कोनी इटली के प्रधानमंत्री थे। परीक्षा में उन्हें आधुनिक इटली की राजनीति से जोड़ें। / Silvio Berlusconi was Prime Minister of Italy. For exams connect him with modern Italian politics.
सिरिमावो बंडारनायके श्रीलंका की प्रधानमंत्री बनीं। परीक्षा में उन्हें विश्व की पहली महिला प्रधानमंत्री के रूप में याद रखें। / Sirimavo Bandaranaike became Prime Minister of Sri Lanka. For exams remember her as the world's first woman prime minister.
टोनी ब्लेयर ब्रिटेन के प्रधानमंत्री थे। परीक्षा में उन्हें आधुनिक ब्रिटिश राजनीति से जोड़ें। / Tony Blair was Prime Minister of Britain. For exams connect him with modern British politics.
क्लेमेंट एटली ब्रिटेन के प्रधानमंत्री थे। परीक्षा में उन्हें द्वितीय विश्व युद्ध के बाद के ब्रिटिश नेतृत्व से जोड़ें। / Clement Attlee was Prime Minister of Britain. For exams connect him with British leadership after World War II.
बेनजीर भुट्टो पाकिस्तान की प्रधानमंत्री थीं। परीक्षा में उन्हें मुस्लिम देश की पहली महिला प्रधानमंत्री के रूप में याद रखें। / Benazir Bhutto was the prime minister of Pakistan. For exams, remember her as the first woman prime minister of a Muslim-majority country.
जवाहरलाल नेहरू स्वतंत्र भारत के पहले प्रधानमंत्री थे। परीक्षा में उन्हें आधुनिक भारत के निर्माण से जोड़ें। / Jawaharlal Nehru was the first prime minister of independent India. For exams, connect him with the making of modern India.
मार्गरेट थैचर ब्रिटेन की पहली महिला प्रधानमंत्री थीं। परीक्षा में उन्हें आयरन लेडी नाम से भी याद रखें। / Margaret Thatcher was the first woman prime minister of Britain. For exams, also remember her as the Iron Lady.
विंस्टन चर्चिल द्वितीय विश्व युद्ध के समय ब्रिटेन के प्रधानमंत्री थे। परीक्षा में उन्हें युद्धकालीन नेतृत्व से जोड़ें। / Winston Churchill was Britain's prime minister during World War II. For exams, connect him with wartime leadership.
गोल्डा मेयर इजराइल की प्रधानमंत्री थीं। परीक्षा में उन्हें मध्य पूर्व की राजनीति से जोड़ें। / Golda Meir was the prime minister of Israel. Exam tip: connect her with Middle Eastern politics.
ली कुआन यू सिंगापुर के संस्थापक प्रधानमंत्री माने जाते हैं। परीक्षा में उन्हें सिंगापुर के विकास से जोड़ें। / Lee Kuan Yew is considered the founding prime minister of Singapore. Exam tip: connect him with Singapore's development.
विंस्टन चर्चिल द्वितीय विश्व युद्ध के समय ब्रिटेन के प्रमुख नेता थे। परीक्षा में उन्हें युद्धकालीन नेतृत्व से जोड़ें। / Winston Churchill was a major British leader during the Second World War. Exam tip: connect him with wartime leadership.
जवाहरलाल नेहरू भारत के प्रथम प्रधानमंत्री थे। परीक्षा में उन्हें स्वतंत्र भारत की प्रारंभिक नीतियों से जोड़ें। / Jawaharlal Nehru was the first Prime Minister of India. For exams connect him with early policies of independent India.
इंदिरा गांधी भारत की प्रधानमंत्री थीं। परीक्षा में उन्हें दक्षिण एशिया की प्रसिद्ध महिला नेता के रूप में याद रखें। / Indira Gandhi was the Prime Minister of India. For exams remember her as a famous woman leader of South Asia.
मार्गरेट थैचर ब्रिटेन की प्रधानमंत्री थीं। परीक्षा में उन्हें आयरन लेडी के नाम से याद रखें। / Margaret Thatcher was the Prime Minister of Britain. For exams remember her as the Iron Lady.
नेविल चेम्बरलेन म्यूनिख समझौते और तुष्टीकरण नीति से जुड़े हैं। परीक्षा में नेता और नीति को साथ याद रखें। / Neville Chamberlain is linked with the Munich Agreement and appeasement. For exams remember leaders with policies.
विंस्टन चर्चिल युद्धकालीन ब्रिटिश प्रधानमंत्री थे। परीक्षा में उन्हें ब्रिटेन के नेतृत्व से जोड़ें। / Winston Churchill was the wartime British Prime Minister. For exams connect him with Britain's leadership.
सरदार पटेल को 1991 में मरणोपरांत भारत रत्न मिला था। उन्हें रियासतों के एकीकरण से जोड़ें। / Sardar Patel received the Bharat Ratna posthumously in 1991. Link him with the integration of princely states.
प्रधानमंत्री श्रम पुरस्कार 1985 में शुरू किए गए थे। इन्हें श्रमिकों के उत्कृष्ट योगदान और उत्पादकता से जोड़ें। / The Prime Minister's Shram Awards were instituted in 1985. Link them with outstanding contribution and productivity of workers.
कैबिनेट मिशन 1946 में एटली सरकार के समय आया। परीक्षा में इसे सत्ता हस्तांतरण की प्रक्रिया से जोड़ें। / The Cabinet Mission came in 1946 under Attlee's government. Exam tip is to link it with the transfer of power process.
कम्युनल अवार्ड रैम्जे मैकडोनाल्ड ने घोषित किया था। परीक्षा में व्यक्ति और घटना साथ याद रखें। / The Communal Award was announced by Ramsay MacDonald. Exam tip: remember person and event together.
कम्युनल अवार्ड 1932 रैम्जे मैकडोनाल्ड ने घोषित किया था। परीक्षा में इसे पूना समझौते की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The Communal Award of 1932 was announced by Ramsay MacDonald. Exam tip: connect it with the background of the Poona Pact.
जवाहरलाल नेहरू स्वतंत्र भारत के पहले प्रधानमंत्री बने। परीक्षा में 15 अगस्त 1947 से उनका संबंध याद रखें। / Jawaharlal Nehru became the first Prime Minister of independent India. Exam tip is to remember his link with 15 August 1947.
महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। / HCF uses only common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), \(3^2\) और (5) हैं। / The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), \(3^2\), and (5).
Step 3
Exam Tip
हर अभाज्य आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें। / Choose the smaller power for each prime base separately.
महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड आते हैं। / HCF contains only common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^3\), \(3^3\) और (5) हैं। / The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^3\), \(3^3\), and (5).
Step 3
Exam Tip
हर अभाज्य आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें। / Choose the smaller power for each prime base separately.
महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। / HCF uses only common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), \(3^2\) और (5) हैं। / The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), \(3^2\), and (5).
Step 3
Exam Tip
घातों वाले प्रश्न में हर आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें। / In exponent questions, choose the smaller power for each base separately.
महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। / HCF includes only the common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
समान गुणनखंड (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), (3) और (5) हैं। / The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), (3), and (5).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक में हमेशा छोटी घात चुनें। / For HCF, always choose the smaller power.
महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। / HCF uses only the common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
समान गुणनखंड (2) और (3) हैं, छोटी घातें \(2^3\) और \(3^2\) हैं, इसलिए उत्तर \(2^3\times3^2\) है। / The common primes are (2) and (3), and the smaller powers are \(2^3\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक निकालते समय छोटी घात चुनें। / For HCF, always choose the smaller power of each common prime.
पहले दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें। / Write both numbers in prime factor form.
Step 2
Why this answer is correct
\(180=2^2\times3^2\times5\) और \(252=2^2\times3^2\times7\), इसलिए समान छोटी घातें \(2^2\times3^2\) हैं। / \(180=2^2\times3^2\times5\) and \(252=2^2\times3^2\times7\), so the common smaller powers give \(2^2\times3^2\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक में (5) या (7) जैसे असमान गुणनखंड न लें। / Do not include non-common factors like (5) or (7) in HCF.
महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। / For HCF, take only the common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
समान गुणनखंड (2) और (3) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं, इसलिए मान \(4\times9=36\) है। / The common factors are (2) and (3), and the smaller powers are \(2^2\) and \(3^2\), so the HCF is (36).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में महत्तम समापवर्तक के लिए छोटी घात चुनना याद रखें। / In exams, remember that HCF uses the minimum powers of common primes.
लघुत्तम समापवर्त्य में दोनों संख्याओं में आने वाली सभी अभाज्य संख्याएँ शामिल होती हैं। / LCM includes every prime factor appearing in either number.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ अभाज्य संख्याएँ (2), (3), (5), और (11) हैं। इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या (4) है। / The primes are (2), (3), (5), and (11). So there are (4) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग गुणनखंड गिनते समय घातांक को अलग से न गिनें। / While counting distinct factors, do not count powers separately.
\(2160=2^4\times 3^3\times 5\) और \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\)। / \(2160=2^4\times 3^3\times 5\) and \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\).
Step 2
Why this answer is correct
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक लिए जाते हैं, इसलिए \(2^2\times 3^3\times 5=540\)। / For HCF, take the smaller exponents of common prime factors, so \(2^2\times 3^3\times 5=540\).
Step 3
Exam Tip
ऐसी गणना में छोटे घातांक चुनना न भूलें। / In such questions, carefully choose the smaller powers.
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
(1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। / Every integer greater than (1) can be written as a product of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
यह रूप क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है, और यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। / This form is unique apart from order, and this comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से याद रखें। / Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem.
A. (1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता/(1) has no prime factor
Step 1
Concept
अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होते हैं। / A prime number has exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
(1) का केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, इसलिए वह अभाज्य नहीं है और उसका कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। / (1) has only one positive factor, so it is not prime and has no prime factor.
Step 3
Exam Tip
(1) को अभाज्य मानने की गलती से बचें। / Avoid the common mistake of treating (1) as prime.
सभी अभाज्य घातों की तुलना करें। / Compare all prime exponents.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (3), (3) की घात (2) और (7) की घात (2) है। सबसे बड़ी घात (3) है, जो (2) के साथ है। / The exponent of (2) is (3), of (3) is (2), and of (7) is (2). The greatest exponent is (3), attached to (2).
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ी घात देखते समय आधार और घात को अलग-अलग पढ़ें। / Read the base and exponent separately while comparing.
अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। / In prime factorisation, every base must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
(21) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(21=3 \times 7\), इसलिए तीसरा विकल्प अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। / (21) is not prime because \(21=3 \times 7\), so the third option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में छिपी संयुक्त संख्याएं जरूर पहचानें। / Always identify hidden composite numbers in options.
