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A. त्रिभुज जिसके शीर्ष ((2,5)), ((5,2)), ((5,5)) हैं/Triangle with vertices ((2,5)), ((5,2)), ((5,5))
Explanation
Simple Explanation
वर्ग \(0\leq x\leq 5\), \(0\leq y\leq 5\) में रेखा (x+y=7) के ऊपर का कोना बचता है। उसके शीर्ष ((2,5)), ((5,2)), ((5,5)) हैं। / Inside the square \(0\leq x\leq 5\), \(0\leq y\leq 5\), the part above (x+y=7) remains. Its vertices are ((2,5)), ((5,2)), and ((5,5)).
C. यह चेतावनी को अनुमानित खतरे के मार्ग पर अधिक केंद्रित करता है/It focuses the warning more on the expected hazard path
Explanation
Simple Explanation
बहुभुज क्षेत्र खतरे की संभावित दिशा और पट्टी को अधिक सटीक दिखाता है। परीक्षा में चेतावनी में स्थानिक सटीकता याद रखें। / A polygon area shows the likely direction and track of danger more precisely. In exams remember spatial precision in warning.
समबहुभुज का आंतरिक कोण (\frac{(n-2)\pi}{n}) होता है। (\frac{(n-2)\pi}{n}=\frac{5\pi}{6}) से (n=12) मिलता है। / The interior angle of a regular polygon is (\frac{(n-2)\pi}{n}). From (\frac{(n-2)\pi}{n}=\frac{5\pi}{6}) we get (n=12).
दो शीर्ष चुनने के तरीके \(^{18}C_{2}\) हैं। इनमें से (18) भुजाएं घटाने पर (135) विकर्ण मिलते हैं। / The ways to choose two vertices are \(^{18}C_{2}\). Subtracting (18) sides gives (135) diagonals.
किसी भी (4) शीर्षों से एक चतुर्भुज बनता है। इसलिए संख्या \(^{12}C_{4}=495\) है। / Any (4) vertices form one quadrilateral. Thus the number is \(^{12}C_{4}=495\).
दो शीर्ष चुनने के कुल तरीके \(^{10}C_{2}\) हैं। भुजाएं (10) घटाने पर विकर्ण (35) मिलते हैं। / Total ways to choose two vertices are \(^{10}C_{2}\). Subtract (10) sides to get (35) diagonals.
\(x+y\ge 5\) वाला प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र बाहर की ओर अनंत फैलता है। बंद बहुभुज के लिए हर दिशा में सीमा चाहिए। / The first-quadrant region \(x+y\ge 5\) extends outward infinitely. A closed polygon needs bounds in every direction.
((5,0)) में \(5-0\le 2\) असत्य है। परीक्षा में एक भी असमिका false हो तो point feasible नहीं होता। / For ((5,0)), \(5-0\le 2\) is false. If even one inequality fails, the point is not feasible.
((2,4)) में \(x\ge 1\), \(y\ge 2\), और \(2+4\le 7\) सत्य हैं। परीक्षा में सभी असमिकाएं एक-एक करके जांचें। / For ((2,4)), \(x\ge 1\), \(y\ge 2\), and \(2+4\le 7\) are true. Check all inequalities one by one.
दोनों रेखाओं (2x+y=6) और (x+2y=6) का प्रतिच्छेद ((2,2)) है। परीक्षा में vertices के लिए boundary lines solve करें। / The intersection of (2x+y=6) and (x+2y=6) is ((2,2)). Solve boundary lines to find vertices.
A. पहले चतुर्थांश में सीमित त्रिभुज/Bounded triangle in first quadrant
Explanation
Simple Explanation
दोनों अक्षों और रेखा (x+y=8) से सीमित त्रिभुज बनता है। परीक्षा में vertices पहचानना उपयोगी है। / The axes and the line (x+y=8) form a bounded triangle. Identifying vertices is useful in exams.
((0,4)) रेखा (2x+y=4) पर है लेकिन क्षेत्र का कोना नहीं बनता। वास्तविक कोने ((0,5)), ((5,0)), ((2,0)), ((0,4)) में जांच से ((0,4)) भी वैध कोना है इसलिए विकल्पों में भ्रम है। / The point ((0,4)) lies on (2x+y=4), but checking the feasible polygon shows it is a valid corner, so this option set is inconsistent.
( (3,2) ) पर (8<10) और (9<12), इसलिए यह अंदर है। सीमा पर होने के लिए कम से कम एक असमानता बराबरी बननी चाहिए। / At ( (3,2) ), (8<10) and (9<12), so it is strictly inside. A boundary point must make at least one inequality an equality.
D. सर्वश्रेष्ठ विकल्प का चयन/Selecting the best alternative
Explanation
Simple Explanation
जो योजना अपनाई जाती है वह selected alternative होती है। परीक्षा में feasible और low risk को selection clue मानें। / The plan adopted is the selected alternative. In exams, take feasible and low risk as selection clues.
A. सर्वश्रेष्ठ विकल्प का चयन/Selecting the best alternative
Explanation
Simple Explanation
मूल्यांकन के बाद अंतिम विकल्प चुना जाता है। परीक्षा में feasible option को selection से जोड़ें। / After evaluation, the final option is selected. In exams, connect feasible option with selection.
वृत्तीय गैर-आसन्न चयन का सूत्र \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\) है। यहां \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\)। / The circular non-adjacent selection formula is \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\). Here \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\).
हर आंतरिक प्रतिच्छेद (4) शीर्षों के चयन से बनता है। इसलिए संख्या \(^{10}C_{4}=210\) है। / Each interior intersection is determined by choosing (4) vertices. Hence the number is \(^{10}C_{4}=210\).
कुल रेखाखंड \( \binom{10}{2} \) हैं और (10) भुजाएँ घटाने पर (35) बचते हैं। बहुभुज में पहले सभी शीर्ष-युग्म गिनें। / The total segments are \( \binom{10}{2} \), and subtracting (10) sides gives (35). For polygons, first count all vertex pairs.
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद ((2,2)) है और अक्षों पर सीमाएँ ((3,0)), ((0,3)) देती हैं। परीक्षा सुझाव: सभी संभावित शीर्षों को असमानताओं से सत्यापित करें। / The two lines intersect at ((2,2)), and the axes give the limits ((3,0)) and ((0,3)). Exam tip: Verify all possible vertices with the inequalities.
क्षेत्र वर्ग \(0\le x\le 4\), \(0\le y\le 4\) के भीतर और (x+y=4) के ऊपर है। परीक्षा में पहले बड़ा rectangle बनाकर कटे भाग पहचानें। / The region lies inside the square \(0\le x\le 4\), \(0\le y\le 4\) and above (x+y=4). Draw the larger rectangle first in exams.
B. समस्या, ग्राहक आवश्यकता और व्यवहार्य समाधान/Problem, customer need and feasible solution
Explanation
Simple Explanation
अच्छा अवसर वास्तविक समस्या, स्पष्ट ग्राहक और व्यवहार्य समाधान से बनता है। परीक्षा में इन तीनों का मेल देखें। / A strong opportunity combines a real problem, a clear customer and a feasible solution. Look for all three in exams.
शीर्ष ((0,0)), ((6,0)), ((4,4)), ((0,6)) हैं। शूलेस विधि से क्षेत्रफल (24) वर्ग इकाई मिलता है। / The vertices are ((0,0)), ((6,0)), ((4,4)), and ((0,6)). The shoelace method gives area (24) square units.
पूरे वर्ग का क्षेत्रफल (25) है और रेखा (x+y=4) के नीचे का त्रिभुज क्षेत्रफल (8) है। इसलिए बचा क्षेत्रफल (17) है। / The square has area (25), and the triangle below (x+y=4) has area (8). Therefore the remaining area is (17).
(x=1,2,3,4) के लिए क्रमशः (4,3,2,1) मान मिलते हैं। इसलिए कुल (10) बिंदु हैं। / For (x=1,2,3,4), the possible counts are (4,3,2,1). Hence the total is (10) points.
(y) को अधिकतम करने के लिए (x) का न्यूनतम मान (1) लें। तब \(2+y\leq 9\) और \(1+y\leq 7\) से \(y\leq 6\) मिलता है। / To maximize (y), take the minimum allowed (x=1). Then \(2+y\leq 9\) and \(1+y\leq 7\) give \(y\leq 6\).
कोने ((0,0)), ((6,0)), ((4,2)), ((0,4)) हैं। इसलिए कुल (4) कोने बनते हैं। / The corners are ((0,0)), ((6,0)), ((4,2)), and ((0,4)). Hence there are (4) corner points.
((5,1)) पर (x-y=4) है जो (2) से बड़ा है। विकल्प जांच में एक भी गलत असमानता बिंदु को बाहर कर देती है। / At ((5,1)), (x-y=4), which is greater than (2). In option testing, one failed inequality excludes the point.
शीर्ष ((1,0)), ((4,0)), ((3,2)), ((1,3)) हैं। शूलेस विधि से क्षेत्रफल (6) वर्ग इकाई मिलता है। / The vertices are ((1,0)), ((4,0)), ((3,2)), and ((1,3)). The shoelace method gives area (6) square units.
दो तिरछी सीमाएं ((3,2)) पर मिलती हैं। (x=1) और (y=0) की वैध सीमाओं से बाकी कोने मिलते हैं। / The two slant boundaries meet at ((3,2)). The remaining corners come from valid parts of (x=1) and (y=0).
(y=0) पर \(4\leq x\leq 12\) संभव है और (x=0) पर अधिकतम (y=4) मिलता है। इसलिए \(0\leq y\leq 4\) है। / At (y=0), \(4\leq x\leq 12\) is possible, and at (x=0), the maximum is (y=4). Hence \(0\leq y\leq 4\).
(x) को अधिकतम करने के लिए (y) का न्यूनतम मान (1) लें। तब \(x+2\leq 8\) से \(x\leq 6\) मिलता है। / To maximize (x), take the minimum allowed value (y=1). Then \(x+2\leq 8\) gives \(x\leq 6\).
C. \(\frac{25}{2}\) वर्ग इकाई/\(\frac{25}{2}\) square units
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष ((2,1)), ((7,1)), ((2,6)) हैं। आधार और ऊंचाई (5) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{25}{2}\) है। / The vertices are ((2,1)), ((7,1)), and ((2,6)). The base and height are (5), so the area is \(\frac{25}{2}\).
A. ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)), ((0,5))
Explanation
Simple Explanation
दोनों तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)) है। अक्षों पर वैध अवरोध लेकर सभी कोने चुनें। / The slant boundaries intersect at (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)). Use valid intercepts on the axes to list all corners.
शीर्ष ((2,0)), ((6,0)), ((3,6)), ((2,7)) हैं। शूलेस विधि या भागों में बांटकर क्षेत्रफल (20) मिलता है। / The vertices are ((2,0)), ((6,0)), ((3,6)), and ((2,7)). Using the shoelace method or splitting into parts gives area (20).
A. ((0,0)), ((6,0)), (\left\(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right\)), ((0,5))
Explanation
Simple Explanation
दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right\)) है। अक्षों पर वैध अवरोध लेकर पूरे बहुभुज के कोने चुनें। / The intersection of the two slant lines is (\left\(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right\)). Use valid intercepts on the axes to choose all polygon corners.
दोनों सीमा समीकरण हल करने पर \(x=\frac{16}{5}\) और \(y=\frac{27}{5}\) मिलता है। प्रतिच्छेद को सभी असमानताओं से जांचना अच्छा तरीका है। / Solving the two boundary equations gives \(x=\frac{16}{5}\) and \(y=\frac{27}{5}\). It is a good method to test the intersection in all inequalities.
A. यह दोनों तिरछी सीमाओं के प्रतिच्छेद पर स्थित हल है/It is a solution at the intersection of both slant boundaries
Explanation
Simple Explanation
((6,4)) पर (x+y=10) और (x-y=2) दोनों बराबरी देते हैं। इसलिए यह दोनों सीमा-रेखाओं का वैध प्रतिच्छेद है। / At ((6,4)), both (x+y=10) and (x-y=2) hold as equalities. So it is the valid intersection of both boundary lines.
दोनों समीकरणों को हल करने पर \(x=\frac{44}{7}\) और \(y=\frac{24}{7}\) मिलता है। प्रतिच्छेद को बाद में सभी असमानताओं से जरूर जांचें। / Solving the two equations gives \(x=\frac{44}{7}\) and \(y=\frac{24}{7}\). Always test the intersection in all inequalities afterward.
मुख्य कोना दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद ((3,4)) है। कोनों पर (x+y) जांचने से अधिकतम (7) मिलता है। / The key corner is the intersection ((3,4)) of the two slant lines. Checking (x+y) at the corners gives the maximum (7).
शीर्ष ((2,1)), (\left\(\frac{15}{2},1\right\)), (\(2,\frac{14}{3}\)) हैं। आधार \(\frac{11}{2}\) और ऊंचाई \(\frac{11}{3}\) से क्षेत्रफल \(\frac{121}{12}\) नहीं बल्कि सही गणना के लिए अक्षों के समांतर दूरी जांचें। / The vertices are ((2,1)), (\left\(\frac{15}{2},1\right\)), and (\(2,\frac{14}{3}\)). Check parallel distances carefully before using triangle area.
तीन सीमा रेखाओं के जोड़ीदार प्रतिच्छेद लेकर वैध बिंदु चुनें। वैध कोने ((3,1)), ((7,1)), ((3,5)) हैं। / Take pairwise intersections of the three boundary lines and keep valid points. The valid corners are ((3,1)), ((7,1)), and ((3,5)).
दोनों समीकरण हल करने पर \(x=\frac{18}{5}\) और \(y=\frac{14}{5}\) मिलता है। ग्राफ में यही आंतरिक कोना है। / Solving the two equations gives \(x=\frac{18}{5}\) and \(y=\frac{14}{5}\). This is the inner corner on the graph.
शीर्ष ((1,2)), ((5,2)), ((1,6)) मिलते हैं। आधार और ऊंचाई (4) हैं इसलिए क्षेत्रफल (8) है। / The vertices are ((1,2)), ((5,2)), and ((1,6)). Base and height are (4), so the area is (8).
A. शीर्ष ((2,0)), ((6,0)), ((4,2)) वाला बंद त्रिभुज/Closed triangle with vertices ((2,0)), ((6,0)), ((4,2))
Explanation
Simple Explanation
तीनों अर्द्ध-तल मिलकर बंद त्रिभुज बनाते हैं। परीक्षा में पहले रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु निकालें। / The three half-planes form a closed triangle. In exams, first find the intersection points of boundary lines.
रेखाओं (x+2y=16) और (2x+y=14) को साथ हल करने पर (\left\(\frac{22}{3},\frac{13}{3}\right\)) मिलता है। ग्राफ में मुख्य शीर्ष हमेशा सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद से जांचें। / Solving (x+2y=16) and (2x+y=14) together gives (\left\(\frac{22}{3},\frac{13}{3}\right\)). In a graph, always check key vertices from boundary intersections.
(x=0) पर शर्तें \(y\le 10\) और \(3y\le 18\) देती हैं, इसलिए अधिकतम (y=6)। किसी चर का अधिकतम पाने के लिए उस दिशा की कठोर सीमा देखें। / At (x=0), the conditions give \(y\le 10\) and \(3y\le 18\), so the maximum is (y=6). To maximize a variable, look for the tightest bound in that direction.
((4,2)) पर \(10\le 9\) गलत है; सही जांच में कोई विकल्प सभी शर्तें पूरा नहीं करता। इसलिए विकल्पों को सावधानी से सत्यापित करें। / For ((4,2)), \(10\le 9\) is false, and no listed option satisfies all conditions. Verify every option carefully against all constraints.
((2,2)) पर (4<5) और (6>4), इसलिए यह अंदर है और सीमा पर नहीं। अंदरूनी बिंदु में कोई भी सीमा बराबरी नहीं देती। / At ((2,2)), (4<5) and (6>4), so it is inside and not on a boundary. An interior point does not satisfy any boundary as equality.
शीर्ष ((2,2)), ((8,2)), ((2,5)) हैं; क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 6\times 3=9\) है। इसलिए सही मान (9) होना चाहिए। / The vertices are ((2,2)), ((8,2)), and ((2,5)); the area is \(\frac{1}{2}\times 6\times 3=9\). So the correct value should be (9).
((0,4)) पर \(4\ge 6\) गलत है; सही अक्षीय जांच में ((3,0)) होता, पर विकल्पों में ((0,4)) नहीं चलता। इसलिए दिए विकल्पों में कोई पूर्ण सही नहीं है। / None of the listed points fully satisfies the system, because each fails at least one inequality. Always verify all inequalities before choosing an axial point.
((3,1)) पर \(1\le 2\) और \(1\ge 2\) नहीं, इसलिए नहीं; सही जांच में ((1,4)) पर \(4\le 4\) और \(4\ge 0\), अतः सही है। दोनों शर्तों में एक साथ जांच आवश्यक है। / For ((1,4)), \(4\le 4\) and \(4\ge 0\), so both inequalities hold. Both conditions must be checked together.
((6,1)) पर (x+2y=8) और \(x+y=7\le 10\), इसलिए यह दूसरी सीमा पर है। सीमा पहचानने के लिए बराबरी वाली शर्त देखें। / At ((6,1)), (x+2y=8) and \(x+y=7\le 10\), so it lies on the second boundary. To identify a boundary point, check equality.
((2,3)) पर (x+y=5), इसलिए यह रेखा (x+y=6) पर नहीं है। किसी सीमा पर होना जांचने के लिए बिंदु को समीकरण में रखें। / At ((2,3)), (x+y=5), so it is not on (x+y=6). To test a boundary, substitute the point into the equation.
रेखाएं (x=2) और (y=1) मिलकर ((2,1)) देती हैं और यह \(x+y\le 8\) को भी संतुष्ट करता है। हर शीर्ष को सभी असमानताओं में जांचें। / The lines (x=2) and (y=1) meet at ((2,1)), and it also satisfies \(x+y\le 8\). Check every vertex in all inequalities.
A. समानांतर रेखाओं के बीच पट्टी/Strip between parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों सीमाएं समानांतर हैं और क्षेत्र उनके बीच है। समान बाईं ओर वाली असमानताओं में स्थिर पदों की तुलना करें। / Both boundaries are parallel, and the region lies between them. For inequalities with the same left side, compare the constants.
दोनों रेखाओं को साथ हल करने पर (x=4), (y=4) मिलता है। साझा सीमा का कटान अक्सर मुख्य शीर्ष होता है। / Solving both lines together gives (x=4), (y=4). The intersection of shared boundaries is often the key vertex.
((3,2)) रखने पर \(7\le 10\) और \(4\ge 3\) दोनों सत्य हैं। विकल्पों को सीधे रखने से समय बचता है। / For ((3,2)), \(7\le 10\) and \(4\ge 3\), both true. Direct substitution in options saves time.
शीर्ष ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), और ((0,4)) हैं। सभी वैध कोनों को क्रम से सूचीबद्ध करें। / The vertices are ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), and ((0,4)). List all valid corners in order.
(x=2) को (x+y=9) में रखने पर (y=7), इसलिए ((2,7)) शीर्ष है। सीमा रेखाओं की जोड़ी से संभावित शीर्ष निकालें। / Putting (x=2) in (x+y=9) gives (y=7), so ((2,7)) is a vertex. Use pairs of boundary lines to find possible vertices.
दो तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{10}{3},\frac{10}{3}\right\)) है और वहां \(x+y=\frac{20}{3}\) मिलता है। रैखिक अभिव्यक्ति का अधिकतम कोनों पर जांचें। / The slant lines intersect at (\left\(\frac{10}{3},\frac{10}{3}\right\)), where \(x+y=\frac{20}{3}\). Check linear expressions at vertices for maxima.
((0,4)) पर (x-y=-4), जो \(x-y \ge 0\) को संतुष्ट नहीं करता। हर संभावित शीर्ष को सभी सीमाओं से जांचें। / At ((0,4)), (x-y=-4), which does not satisfy \(x-y \ge 0\). Check every possible vertex against all boundaries.
((3,2)) पर (2x+y=8) और (x+y=5), इसलिए सभी शर्तें पूरी होती हैं। संयुक्त समाधान में हर असमानता सत्य होनी चाहिए। / At ((3,2)), (2x+y=8) and (x+y=5), so all conditions are satisfied. In a common solution, every inequality must be true.
सीमा रेखाओं को बराबर करने पर (2x+1=-x+4), इसलिए (x=1) और (y=3)। ग्राफ में कोना अक्सर सीमा रेखाओं के हल से मिलता है। / Equating boundary lines gives (2x+1=-x+4), so (x=1) and (y=3). A corner on the graph often comes from solving boundary lines.
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=7) अक्षों को ((7,0)) और ((0,7)) पर काटती है। अक्षों और रेखा के प्रतिच्छेद ही शीर्ष देते हैं। / In the first quadrant, (x+y=7) cuts the axes at ((7,0)) and ((0,7)). Intersections of axes and the line give the vertices.
(x=2), (y=1), और (x+y=6) के प्रतिच्छेदों से ये तीन vertices मिलते हैं। परीक्षा में boundary lines pairwise solve करें। / Pairwise intersections of (x=2), (y=1), and (x+y=6) give these vertices. Solve boundary lines pairwise in exams.
(x)-अक्ष पर (y=0), इसलिए \(4x\le 8\) और \(x\le 2\)। परीक्षा में axis पर दूसरे variable को (0) रखें। / On the (x)-axis, (y=0), so \(4x\le 8\) and \(x\le 2\). Put the other variable (0) on an axis.
क्षेत्र \(2\times 3\) का आयत है, इसलिए क्षेत्रफल (6) है। परीक्षा में bounded rectangle को तुरंत पहचानें। / The region is a \(2\times 3\) rectangle, so its area is (6). Recognize bounded rectangles quickly.
पहले चतुर्थांश में रेखा (x+y=7) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक जाता है। परीक्षा में bounded और unbounded में अंतर करें। / In the first quadrant, the region above (x+y=7) extends infinitely. Distinguish bounded and unbounded regions in exams.
((3,3)) में \(y\le 2\) असत्य है। संयुक्त हल में आने के लिए सभी शर्तें सत्य होनी चाहिए। / For ((3,3)), the condition \(y\le 2\) is false. To lie in the common solution, all conditions must be true.
(x=6) और (y=0) मिलने पर ((6,0)) आता है और यह \(x+2y\le 8\) को संतुष्ट करता है। इसलिए यह क्षेत्र का शीर्ष है। / The intersection of (x=6) and (y=0) is ((6,0)), and it satisfies \(x+2y\le 8\). Hence it is a vertex of the region.
(x=2) और (y=3) का प्रतिच्छेद ((2,3)) है और यह \(x+y\le 10\) को संतुष्ट करता है। इसलिए यह एक शीर्ष है। / The intersection of (x=2) and (y=3) is ((2,3)), and it satisfies \(x+y\le 10\). Therefore it is a vertex.
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=9) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक फैलता है। इसलिए हल क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above (x+y=9) extends infinitely. Hence the solution region is unbounded.
((3,2)) सभी शर्तों को संतुष्ट करता है क्योंकि \(3\ge 2\), \(2\ge 1\) और \(3+2\le 7\)। हर शर्त अलग से जांचें। / The point ((3,2)) satisfies all conditions because \(3\ge 2\), \(2\ge 1\), and \(3+2\le 7\). Check each condition separately.
प्रथम चतुर्थांश में दोनों रेखाओं के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक फैलता है। इसलिए हल क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above both lines extends infinitely. Therefore the solution region is unbounded.
((5,0)) पर \(x\le 4\) असत्य है। सभी शर्तों को अलग-अलग जांचना जरूरी है। / At ((5,0)), \(x\le 4\) is false. It is necessary to check every condition separately.
B. एक-आयामी सीमित हल/one-dimensional bounded solution
Explanation
Simple Explanation
रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं लेकिन वह क्षेत्रफल वाला द्वि-आयामी भाग नहीं होता। इसे सीमित रैखिक हल माना जाता है। / A line segment has infinitely many points but not a two-dimensional area. It is considered a bounded linear solution.
((2,2)) पर (x+y=4) है जो (3) से बड़ा है। विकल्पों को असमानताओं में रखकर जांचें। / At ((2,2)), (x+y=4), which is greater than (3). Test options by substituting them into the inequalities.
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=4) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक जाता है। इसलिए क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above (x+y=4) extends infinitely. Hence the region is unbounded.
(x=1) और (y=2) का प्रतिच्छेद ((1,2)) है और यह \(x+y\le 7\) को संतुष्ट करता है। शीर्ष खोजते समय सीमा रेखाओं को जोड़ी में काटें। / The intersection of (x=1) and (y=2) is ((1,2)), and it satisfies \(x+y\le 7\). To find vertices, intersect boundary lines pairwise.
अक्षों और रेखा (x+2y=10) से बंद त्रिभुज बनता है। प्रथम चतुर्थांश की शर्तें क्षेत्र को सीमित कर सकती हैं। / The axes and the line (x+2y=10) form a closed triangle. First-quadrant conditions can make the region bounded.
पहले चतुर्थांश में रेखा (x+y=4) अक्षों के साथ त्रिभुज बनाती है। यह बहुत सामान्य परीक्षा पैटर्न है। / In the first quadrant, the line (x+y=4) forms a triangle with the axes. This is a very common exam pattern.
