89 results found for "diagonal count" in Class 10.
C. झुकी हुई रेखाSlanting line
तिरछी रेखा सीधी होते हुए भी झुकी होती है। परीक्षा में diagonal को slant से पहचानें। / A diagonal line is straight but slanting. Exam tip: identify diagonal by slant.
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In a battle scene heavy use of broken diagonal lines will strengthen which effect?
B. तनाव गति और अव्यवस्थाTension movement and disorder
टूटी तिरछी रेखाएं अशांति और गति दिखाती हैं। परीक्षा में line direction और line character साथ पढ़ें। / Broken diagonal lines show unrest and movement. Exam tip: study line direction and line character together.
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A. ऊर्जा प्रगति और उत्साहEnergy progress and excitement
ऊपर जाती तिरछी रेखाएं और गर्म रंग सक्रिय संदेश देते हैं। परीक्षा में poster mood में elements combination देखें। / Rising diagonal lines and warm colours give active message. Exam tip: observe element combination in poster mood.
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Which mood will be strengthened by combination of warm colours and diagonal lines?
B. ऊर्जा और क्रियाEnergy and action
गर्म रंग और तिरछी रेखाएं दोनों ऊर्जा बढ़ाते हैं। परीक्षा में combined effect को पहचानें। / Warm colours and diagonal lines both increase energy. Exam tip: identify combined effect.
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If many diagonal lines move in one direction in a picture what may the viewer feel?
C. गति और दिशाMotion and direction
तिरछी रेखाएं सामूहिक रूप से गति और दिशा मजबूत करती हैं। परीक्षा में diagonal lines को movement से जोड़ें। / Diagonal lines together strengthen motion and direction. Exam tip: connect diagonal lines with movement.
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In which situation would the use of diagonal line be most appropriate?
C. दौड़ते खिलाड़ी की गति दिखाने मेंShowing motion of a running player
तिरछी रेखा गति और ऊर्जा का संकेत देती है। परीक्षा में चलती वस्तु के लिए diagonal line याद रखें। / A diagonal line suggests motion and energy. Exam tip: remember diagonal line for moving objects.
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What can a diagonal line show in a picture?
D. गति और ऊर्जाMovement and energy
तिरछी रेखा गति और बदलाव का संकेत देती है। परीक्षा में तिरछी दिशा को गतिशीलता से जोड़ें। / A diagonal line suggests movement and change. Exam tip: connect diagonal direction with dynamism.
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A. (7) सेमी(7) cm
चौड़ाई (x) हो तो लंबाई (x+17) है। (x-2+(x+17)2=252) से (x=7) मिलता है। / If breadth is (x), length is (x+17). From (x-2+(x+17)2=252), (x=7).
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C. (15,सेमी)(15,cm)
यदि चौड़ाई (x) है तो (x-2+(x+5)2=252)। हल करने पर (x=15) मिलता है। / If breadth is (x), then (x-2+(x+5)2=252). Solving gives (x=15).
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D. (120 cm\(^2)\)
चौड़ाई (x) हो, तो (x-2+(x+7)2=172)। \(इससे (x=8), लंबाई (15) और क्षेत्रफल (120\) cm-2) है। \(/ Let breadth be (x), then (x^2+(x+7)^2=17^2). This gives (x=8), length (15), and area (120\) cm\(^2).\)
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A rectangle has length (15) m more than its breadth and diagonal (75) m. What is the breadth?
A. (45) मीटर(45) m
चौड़ाई (x) हो तो (x-2+(x+15)2=752), जिससे (x=45) है। विकर्ण वाले आयत में पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ। / If breadth is (x), then (x-2+(x+15)2=752), giving (x=45). Use Pythagoras for a rectangle with a diagonal.
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A rectangle has length (7) m more than its breadth and diagonal (97) m. What is the breadth?
C. (65) मीटर(65) m
चौड़ाई (x) हो तो (x-2+(x+7)2=972), जिससे (x=65) है। विकर्ण वाले आयत में पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ। / If breadth is (x), then (x-2+(x+7)2=972), giving (x=65). Use Pythagoras for a rectangle with a diagonal.
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A rectangle has length (10) m more than its breadth and diagonal (74) m. What is the breadth?
C. (48) मीटर(48) m
चौड़ाई (x) हो तो (x-2+(x+10)2=742), जिससे (x=48) है। विकर्ण वाले आयत में पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ। / If breadth is (x), then (x-2+(x+10)2=742), giving (x=48). Use Pythagoras for a rectangle with a diagonal.
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A. (7)
यदि चौड़ाई (x) है, तो लंबाई (x+17) है। (x-2+(x+17)2=252) से (x=7)। / If the breadth is (x), the length is (x+17). From (x-2+(x+17)2=252), (x=7).
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A rectangle has length (7) m more than its breadth and diagonal (65) m. What is the breadth?
A. (33) मीटर(33) m
चौड़ाई (x) हो तो (x-2+(x+7)2=652), जिससे (x=33) है। विकर्ण वाले आयत में पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ। / If breadth is (x), then (x-2+(x+7)2=652), giving (x=33). Use Pythagoras for a rectangle with diagonal.
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A. (5)
यदि चौड़ाई (x) है, तो लंबाई (x+7) है। (x-2+(x+7)2=132) से (x=5)। / If the breadth is (x), the length is (x+7). From (x-2+(x+7)2=132), (x=5).
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What was the Maya Long Count calendar used for?
B. लंबे ऐतिहासिक समय को दर्ज करने के लिएTo record long historical time
लंबी गणना प्रणाली लंबी तिथियों और राजकीय घटनाओं को दर्ज करने में सहायक थी। परीक्षा में माया कालगणना को उन्नत मानें। / The Long Count system helped record long dates and royal events. For exams treat Maya chronology as advanced.
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The Maya Long Count calendar is evidence of what intellectual ability?
A. लंबी अवधि की तिथि गणना और खगोलीय समझLong-term date reckoning and astronomical understanding
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में इसे माया गणित और खगोल से जोड़ें। / The Long Count calendar is famous for long-term date reckoning. Link it with Maya mathematics and astronomy.
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The Maya Long Count calendar is evidence of which intellectual achievement?
A. लंबी अवधि की तिथि गणनाLong-term date reckoning
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना में उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया गणित और खगोल ज्ञान से जोड़ें। / The Long Count calendar was useful for long date reckoning. Link it with Maya mathematics and astronomy.
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What was the main use of the Maya Long Count calendar?
A. लंबे समय की तिथि गणनाLong term date reckoning
लांग काउंट कैलेंडर लंबी अवधि की तिथियों को दर्ज करने के लिए उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया खगोल और गणना से जोड़ें। / The Long Count calendar was useful for recording long periods of dates. Link it with Maya astronomy and calculation.
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The Maya Long Count calendar was useful for what purpose?
A. लंबे समय की तिथियों को दर्ज करने के लिएRecording long periods of dates
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना के लिए उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया गणना और खगोल ज्ञान से जोड़ें। / The Long Count calendar was useful for long date reckoning. Connect it with Maya mathematics and astronomy.
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Why does a diagonal line create instability and movement in a composition?
A. क्योंकि वह स्थिर क्षैतिजता को तोड़ती हैBecause it breaks static horizontality
सही विकल्प रेखा के दृश्य कार्य को स्पष्ट करता है। परीक्षा में रेखा को केवल सीमा नहीं, अभिव्यक्ति और संरचना का साधन मानें। / The correct option clarifies the visual function of line. Exam tip: treat line not only as boundary but as expression and structure.
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What does a diagonal line usually create in a composition?
A. गतिशीलताMovement
तिरछी रेखा आंख को दिशा और गति देती है। परीक्षा में इसे सक्रिय रेखा समझें। / A diagonal line gives direction and movement to the eye. In exams treat it as an active line.
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A. रेखा स्वभाव विषय के शांत भाव से टकरा रहा हैLine character conflicts with the calm mood of the subject
तीखी टूटी रेखाएं तनाव और गति दे सकती हैं। परीक्षा में रेखा का भाव विषय से मिलाकर देखें। / Sharp broken lines can create tension and movement. Exam tip: match line mood with subject.
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If diagonal background lines go against the main character what advanced effect can form?
A. दृश्य संघर्ष और मानसिक तनावVisual conflict and mental tension
विरोधी दिशाएं तनाव का भाव बना सकती हैं। परीक्षा में direction contrast को अर्थ से जोड़ें। / Opposing directions can create tension. Exam tip: connect direction contrast with meaning.
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Straight diagonal curved and wavy are types of which element?
A. रेखाLine
ये सभी रेखा के प्रकार हैं। परीक्षा में रेखाओं के प्रकार उदाहरण सहित याद रखें। / These are all types of lines. Exam tip: remember types of lines with examples.
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A. \(x^2+144=1369\)
पाइथागोरस से \(x^2+12^2=37^2\) बनता है। इसलिए सही समीकरण \(x^2+144=1369\) है। / By Pythagoras, \(x^2+12^2=37^2\). Hence the correct equation is \(x^2+144=1369\).
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Why is it wrong to count the World Bank and IMF among the six principal organs of the UN?
A. वे संबद्ध आर्थिक संस्थाएं हैं मुख्य चार्टर अंग नहींThey are affiliated economic institutions not principal Charter organs
विश्व बैंक और आई एम एफ संयुक्त राष्ट्र प्रणाली से जुड़े आर्थिक संस्थान हैं पर छह प्रमुख अंग नहीं हैं। परीक्षा में संस्था प्रकार याद रखें। / The World Bank and IMF are economic institutions linked with the UN system but not principal organs. Exam tip: remember institution types.
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C. (50)
कुल गिनती (x(x-18)=1600) है। इससे (x=50) मिलता है। / The total count is (x(x-18)=1600). This gives (x=50).
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D. (42)
कुल गिनती (x(x-11)=1050) है। इससे (x=42) मिलता है। / The total count is (x(x-11)=1050). This gives (x=42).
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B. (29)
कुल गिनती (x(x-7)=725) है। इससे (x=29) मिलता है। / The total count is (x(x-7)=725). This gives (x=29).
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B. (23)
कुल गिनती (x(x-5)=414) है। इससे (x=23) मिलता है। / The total count is (x(x-5)=414). This gives (x=23).
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Why can even a small injury become serious when platelet count is very low?
A. रक्त का थक्का बनने में कठिनाई होगीBlood clotting will be difficult
प्लेटलेट्स थक्का बनाने में सहायता करते हैं। / Platelets help form clots.
थक्का रक्त बहना रोकता है। / Clots stop bleeding.
प्लेटलेट्स कम होने पर अधिक रक्त हानि का खतरा बढ़ जाता है। / Low platelets increase the risk of excessive blood loss.
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How was Count Cavour's diplomacy different from Mazzini's nationalist vision?
A. कावूर ने राज्य शक्ति और विदेशी सहयोग का प्रयोग कियाCavour used state power and foreign alliances
मैजिनी विचार और प्रेरणा से जुड़े थे। / Mazzini was linked with ideas and inspiration.
कावूर ने सार्डिनिया पीडमोंट की सरकार, सेना और कूटनीति का उपयोग किया। / Cavour used the government, army, and diplomacy of Sardinia-Piedmont.
इसलिए दोनों की विधियां अलग थीं पर लक्ष्य राष्ट्रीय एकता था। / Their methods were different but the goal was national unity.
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What method did Count Cavour mainly use in Italian unification?
A. कूटनीति और युद्धDiplomacy and war
कावूर व्यावहारिक नेता थे। / Cavour was a practical leader.
उन्होंने विदेशी सहायता और युद्ध का उपयोग कर सार्डिनिया पीडमोंट को मजबूत किया। / He used foreign support and war to strengthen Sardinia-Piedmont.
कावूर की भूमिका को कूटनीति से जोड़ें। / Connect Cavour's role with diplomacy.
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Which line quality increases tension in a conflict scene made with line?
D. तिरछी, तीक्ष्ण और टूटती रेखाएंDiagonal, sharp, and broken lines
तीक्ष्ण और तिरछी रेखाएं संघर्ष का भाव बढ़ाती हैं। परीक्षा में भाव के अनुसार रेखा गुण चुनें। / Sharp and diagonal lines increase the mood of conflict. Exam tip: choose line quality according to emotion.
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Which line can give feeling of running?
A. तिरछी गतिशील रेखाDiagonal dynamic line
तिरछी रेखा गति दिखाने में मदद करती है। परीक्षा में running action में diagonal lines देखें। / Diagonal line helps show movement. Exam tip: observe diagonal lines in running action.
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Which line can give a feeling of energy and movement?
A. तिरछी रेखाDiagonal line
तिरछी रेखा गति और ऊर्जा दिखा सकती है। परीक्षा में diagonal को movement से जोड़ें। / Diagonal line can show motion and energy. Exam tip: connect diagonal with movement.
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If a player is clear in a sports poster but motion is not visible what is the expert correction?
D. तिरछी रेखाएं गतिशील मुद्रा और लय जोड़नाAdd diagonal lines dynamic pose and rhythm
खेल विषय में गति संकेत जरूरी हैं। परीक्षा में subject requirement के अनुसार तत्व जोड़ें। / Sports subject needs motion cues. Exam tip: add elements according to subject requirement.
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If subject is sports but composition has no motion cues what correction is needed?
A. तिरछी रेखाएं गतिशील मुद्रा और लय जोड़नाAdd diagonal lines dynamic pose and rhythm
खेल विषय गति मांगता है। परीक्षा में subject requirement के अनुसार तत्व जोड़ें। / Sports subject needs motion. Exam tip: add elements according to subject requirement.
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If subject is sports but composition has no motion cue which correction is suitable?
A. तिरछी रेखाएं गतिशील मुद्रा और लय जोड़नाAdd diagonal lines dynamic pose and rhythm
खेल में गति का संकेत जरूरी है। परीक्षा में subject requirement के अनुसार elements जोड़ें। / Motion cue is needed in sports. Exam tip: add elements according to subject requirement.
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Which combination will create the most dynamism and excitement?
B. तिरछी रेखाएं और चमकीले गर्म रंगDiagonal lines and bright warm colours
तिरछी रेखाएं गति और गर्म चमकीले रंग ऊर्जा देते हैं। परीक्षा में कई तत्वों के संयुक्त प्रभाव को देखें। / Diagonal lines give motion and bright warm colours give energy. Exam tip: observe combined effect of elements.
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Which answer most correctly states the effect of line?
C. तिरछी रेखाएं खिलाड़ी की गति और ऊर्जा बढ़ाती हैंDiagonal lines increase the player's motion and energy
विशिष्ट रेखा और उसका प्रभाव बताना बेहतर है। परीक्षा में line type plus effect लिखें। / Naming specific line and its effect is better. Exam tip: write line type plus effect.
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Which answer clearly explains the use of line?
A. तिरछी रेखाएं दौड़ते खिलाड़ी की गति दिखाती हैंDiagonal lines show movement of running player
अच्छा उत्तर रेखा के प्रकार और प्रभाव दोनों बताता है। परीक्षा में element plus effect लिखें। / A good answer tells both type of line and effect. Exam tip: write element plus effect.
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Which method is better to make a fast moving car look more dynamic with lines?
B. पीछे की ओर तिरछी गति रेखाएं बनानाDrawing backward slanting motion lines
तिरछी गति रेखाएं दिशा और तेजी का संकेत देती हैं। परीक्षा में motion lines को movement से जोड़ें। / Slanting motion lines suggest direction and speed. Exam tip: connect motion lines with movement.
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Which combination is suitable to show energy and excitement?
A. गर्म चमकीले रंग और तिरछी रेखाएंWarm bright colours and diagonal lines
गर्म रंग और तिरछी रेखाएं ऊर्जा का भाव बढ़ाते हैं। परीक्षा में combined visual effect पहचानें। / Warm colours and diagonal lines increase energy. Exam tip: identify combined visual effect.
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What kind of line can an artist use to show a moving figure?
B. गतिशील तिरछी रेखाDynamic diagonal line
तिरछी रेखा गति और ऊर्जा का प्रभाव देती है। परीक्षा में गति के लिए तिरछी रेखा याद रखें। / A diagonal line gives the effect of movement and energy. Exam tip: remember diagonal line for movement.
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How was national language debate linked with power and identity in newly independent countries?
A. भाषा प्रशासन शिक्षा रोजगार और सांस्कृतिक सम्मान से जुड़ी थीLanguage was linked with administration education employment and cultural respect
भाषा नीति अवसर और पहचान दोनों को प्रभावित करती है। परीक्षा में सांस्कृतिक राष्ट्र निर्माण याद रखें। / Language policy affects both opportunity and identity. For exams remember cultural nation building.
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Which statement is correct when comparing 2014 and 2024 in the context of Bharat Ratna?
B. 2014 में दो और 2024 में पांच नाम थे2014 had two names and 2024 had five names
2014 में दो प्राप्तकर्ता थे जबकि 2024 में पांच नाम घोषित हुए। परीक्षा में हाल के वर्षों की संख्या याद रखें। / There were two recipients in 2014 while five names were announced in 2024. Remember the counts of recent years.
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In which year was the number of Bharat Ratna recipients five?
C. 20242024
2024 में पांच व्यक्तियों के नाम भारत रत्न के लिए घोषित हुए। परीक्षा में 2024 की संख्या विशेष रूप से याद रखें। / In 2024 five persons were announced for the Bharat Ratna. Remember the 2024 count especially.
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In which year was the number of Bharat Ratna recipients in this list the highest at five?
C. 20242024
2024 में पांच व्यक्तियों के नाम घोषित हुए जो इस सूची में सबसे बड़ा समूह है। परीक्षा में 2024 की संख्या विशेष रूप से याद रखें। / In 2024 five names were announced making it the largest group in this list. Remember the 2024 count especially.
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Which is the correct match of recipient counts for Bharat Ratna years 2019 and 2024?
B. 2019 तीन 2024 पांच2019 three 2024 five
2019 में तीन और 2024 में पांच व्यक्तियों को भारत रत्न मिला या घोषित किया गया। परीक्षा में हाल के वर्षों की संख्या याद रखें। / In 2019 three persons and in 2024 five persons received or were announced for the Bharat Ratna. Remember the recent year counts.
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In the AP \(75,98,121,\ldots\), how many terms are less than (2500)?
C. (106)
(75+23(n-1)<2500) से (23(n-1)<2425)। सबसे बड़ा (n=106) है। / From (75+23(n-1)<2500), (23(n-1)<2425). The greatest (n=106).
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In the AP \(56,73,90,\ldots\), how many terms are less than (1500)?
B. (85)
(56+17(n-1)<1500) से (17(n-1)<1444)। सबसे बड़ा (n=85) है। / From (56+17(n-1)<1500), (17(n-1)<1444). The greatest (n=85).
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In the AP \(42,55,68,\ldots\), how many terms are less than (1000)?
C. (74)
(42+13(n-1)<1000) से (13(n-1)<958)। सबसे बड़ा (n=74) है। / From (42+13(n-1)<1000), (13(n-1)<958). The greatest (n=74).
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In the AP \(35,46,57,\ldots\), how many terms are less than (600)?
C. (52)
(35+11(n-1)<600) से (11(n-1)<565)। सबसे बड़ा (n=52) है। / From (35+11(n-1)<600), (11(n-1)<565). The greatest (n=52).
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In the AP \(24,33,42,\ldots\), how many terms are less than (400)?
C. (42)
(24+9(n-1)<400) से (9(n-1)<376)। सबसे बड़ा (n=42) है। / From (24+9(n-1)<400), (9(n-1)<376). The greatest (n=42).
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In the AP \(18,25,32,\ldots\), how many terms are less than (200)?
D. (27)
(18+7(n-1)<200) से (7(n-1)<182)। सबसे बड़ा (n=26) है। / From (18+7(n-1)<200), (7(n-1)<182). The greatest (n=26).
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If (x-2-2(a+4)x+a-2+8a+20=0), what will be the number of real roots?
A. (0)
यहाँ (D=4(a+4)2-4\(a^2+8a+20\)=-16<0) है। इसलिए वास्तविक मूलों की संख्या (0) है। / Here (D=4(a+4)2-4\(a^2+8a+20\)=-16<0). So the number of real roots is (0).
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If the discriminant is (D=-\(t^2+4\)), what will be the number of real roots?
A. (0)
किसी भी वास्तविक (t) के लिए \(t^2+4>0\), इसलिए (D<0) है। अतः वास्तविक मूल (0) होंगे। / For any real (t), \(t^2+4>0\), so (D<0). Hence the number of real roots is (0).
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What is the number of real roots of \(x^2+3x+7=0\)?
A. (0)
इसमें (D=-19<0) है इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है। (D<0) दिखते ही वास्तविक मूल (0) लिखें। / Here (D=-19<0), so there is no real root. When (D<0), write (0) real roots.
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How many real roots does the equation \(5x^2+2x+1=0\) have?
A. (0)
क्योंकि (D=-16<0) है इसलिए वास्तविक मूल (0) हैं। परीक्षा में (D<0) दिखते ही यही निष्कर्ष लिखें। / Because (D=-16<0), the number of real roots is (0). In exams write this conclusion as soon as (D<0) appears.
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If \(b^2-4ac=0\), how many different real roots will a quadratic equation have?
A. (1) अलग वास्तविक मूल(1) different real root
(D=0) होने पर दोनों मूल समान होते हैं इसलिए अलग वास्तविक मूल (1) होता है। समान और भिन्न में अंतर याद रखें। / When (D=0), both roots are equal, so there is (1) different real root. Remember the difference between equal and distinct.
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If (D=0) and \(a\neq0\), how many distinct real roots will the quadratic equation have?
A. (1)
(D=0) पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए अलग-अलग वास्तविक मूलों की संख्या (1) है। ध्यान रखें मूल दो बार दोहरता है। / At (D=0), both roots are equal, so the number of distinct real roots is (1). Remember the root is repeated.
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B. दोTwo
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,25)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
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B. दोTwo
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-20)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
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B. दोTwo
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,18)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
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B. दोTwo
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
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B. दोTwo
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,12)) शून्यक नहीं है। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,12)) is not a zero.
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D. (5)
पाँच अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (5) होनी चाहिए। टिप: शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For five distinct real zeroes the degree must be at least (5). Tip: the number of zeroes cannot exceed the degree.
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B. चारFour
हर अलग कटान या स्पर्श बिंदु एक अलग वास्तविक शून्यक देता है। टिप: अलग बिंदुओं को गिनें। / Each distinct crossing or touching point gives a distinct real zero. Tip: count distinct points.
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D. (4)
चार अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (4) होना चाहिए। टिप: शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of zeroes cannot exceed the degree.
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If the graph of a cubic polynomial cuts the (x)-axis only once, what is the number of real zeroes?
A. एकOne
कटान केवल एक है इसलिए एक वास्तविक शून्यक है। टिप: घन बहुपद में अधिकतम तीन वास्तविक शून्यक हो सकते हैं, जरूरी नहीं कि तीन हों। / There is only one intersection, so there is one real zero. Tip: a cubic can have at most three real zeroes, not necessarily three.
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C. तीनThree
तीन अलग (x)-मान तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु देते हैं। टिप: अलग शून्यक अलग कटान बिंदु बनाते हैं। / Three distinct (x)-values give three distinct (x)-axis points. Tip: distinct zeroes make distinct intersection points.
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C. चतुर्थ घात बहुपदFourth degree polynomial
घात (4) वाला बहुपद अधिकतम (4) वास्तविक शून्यक रख सकता है। टिप: वास्तविक शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं होती। / A degree (4) polynomial can have at most (4) real zeroes. Tip: the number of real zeroes cannot exceed the degree.
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A polynomial graph cuts the (x)-axis twice and the (y)-axis once. How many real zeroes does it have?
B. दोTwo
वास्तविक शून्यक केवल (x)-अक्ष कटान से गिने जाते हैं। टिप: (y)-अक्ष कटान को शून्यक में न जोड़ें। / Real zeroes are counted only from (x)-axis intersections. Tip: do not add the (y)-axis intercept to zeroes.
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A. एकOne
केवल एक (x)-अक्ष कटान दिख रहा है इसलिए एक वास्तविक शून्यक है। टिप: संख्या बिंदुओं की गिनती से आती है। / Only one (x)-axis intersection is visible so there is one real zero. Tip: the count comes from the number of points.
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A. दो बारTwice
पहले \(p^2\) सम होने से (p) सम सिद्ध होता है। / First \(p^2\) even proves (p) even.
फिर \(q^2\) सम होने से (q) सम सिद्ध होता है। / Then \(q^2\) even proves (q) even.
इसलिए यह नियम प्रमाण में दो बार महत्वपूर्ण रूप से आता है। / Therefore this fact is used twice in an important way.
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B. (4)
संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
(18mn=6930), इसलिए \(mn=385=5\times7\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। / (18mn=6930), so \(mn=385=5\times7\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें। / Do not count the reversed order again.
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B. (2)
संख्याओं को (30m) और (30n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (30m) and (30n), where (m) and (n) are coprime.
(30mn=2730), इसलिए \(mn=91=7\times13\); अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े ((1,91)) और ((7,13)) हैं। / (30mn=2730), so \(mn=91=7\times13\); the unordered coprime pairs are ((1,91)) and ((7,13)).
जोड़ों की गिनती में उल्टे क्रम को अलग न गिनें। / Do not count reversed order as a new pair.
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The HCF of two numbers is (21) and their LCM is (2310). How many unordered pairs are possible?
B. (4)
संख्याओं को (21m) और (21n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (21m) and (21n), where (m) and (n) are coprime.
(21mn=2310), इसलिए \(mn=110=2\times5\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। / (21mn=2310), so \(mn=110=2\times5\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें। / Do not count the reversed order again.
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B. (4)
संख्याओं को (48m) और (48n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (48m) and (48n), where (m) and (n) are coprime.
(48mn=2112), इसलिए \(mn=44=2^2\times11\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,44)) और ((4,11)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (48mn=2112), so \(mn=44=2^2\times11\); the unordered coprime pairs are ((1,44)) and ((4,11)), so the count is (2).
समान अभाज्य गुणनखंड दोनों भागों में न जाने दें। / Do not split the same prime factor into both parts.
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B. (4)
संख्याओं को (42m) और (42n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (42m) and (42n), where (m) and (n) are coprime.
(42mn=2772), इसलिए \(mn=66=2\times3\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों को दो समूहों में बाँटने से (4) अव्यवस्थित जोड़े मिलते हैं। / (42mn=2772), so \(mn=66=2\times3\times11\). Splitting three distinct prime factors into two groups gives (4) unordered pairs.
जोड़ों की गिनती में यह जरूर देखें कि (m) और (n) सहाभाज्य रहें। / While counting pairs, make sure (m) and (n) remain coprime.
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The HCF of two numbers is (15) and their LCM is (420). How many unordered pairs are possible?
B. (2)
संख्याओं को (15m) और (15n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (15m) and (15n), where (m) and (n) are coprime.
(15mn=420), इसलिए \(mn=28=2^2\times7\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,28)) और ((4,7)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (15mn=420), so \(mn=28=2^2\times7\); the unordered coprime pairs are ((1,28)) and ((4,7)), so the count is (2).
(m) और (n) में समान अभाज्य नहीं आना चाहिए। / (m) and (n) must not share a prime factor.
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B. (4)
संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
(18mn=1260), इसलिए \(mn=70=2\times5\times7\); इसके अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े (4) बनते हैं। / (18mn=1260), so \(mn=70=2\times5\times7\); this gives (4) unordered coprime factor pairs.
वर्गमुक्त गुणनफल में अव्यवस्थित जोड़े गिनते समय अभाज्य गुणनखंडों को दो भागों में बाँटें। / For a square-free product, split prime factors into two groups to count unordered pairs.
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If \(N=2^a \times 3^b\) has (20) total factors and (a=4), what is the value of (b)?
A. 3
कुल गुणनखंड ((a+1)(b+1)) होते हैं। / The total number of factors is ((a+1)(b+1)).
(a=4), इसलिए ((4+1)(b+1)=20), यानी (5(b+1)=20), अतः (b=3)। / With (a=4), (5(b+1)=20), so (b+1=4) and (b=3).
गुणनखंडों की संख्या से घात खोजने में समीकरण बनाएं। / Make an equation when finding an exponent from factor count.
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If \(N=2^6\times3^2\times7^2\), how many factors (d) are there such that \(d^2\) also divides (N)?
A. (32)
यदि \(d=2^a\times3^b\times7^c\), तो \(d^2=2^{2a}\times3^{2b}\times7^{2c}\) होगा। / If \(d=2^a\times3^b\times7^c\), then \(d^2=2^{2a}\times3^{2b}\times7^{2c}\).
\(2a\le6\), \(2b\le2\), \(2c\le2\), इसलिए (a=0,1,2,3) चार तरीके, (b=0,1) दो तरीके, (c=0,1) दो तरीके। कुल \(4\times2\times2=16\)। / Conditions are \(2a\le6\), \(2b\le2\), \(2c\le2\), so choices are (4,2,2). Total (=16).
वर्ग विभाजन में घातों को दुगना करके सीमा लगाएं। / For square divisibility, double the exponents and compare.
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A. (48)
(5) से विभाज्य गुणनखंड में (5) की घात कम से कम (1) होगी। / A factor divisible by (5) must have power of (5) at least (1).
(2) के लिए (4) तरीके, (3) के लिए (3) तरीके, और (5) के लिए (1,2,3,4) यानी (4) तरीके। कुल \(4\times3\times4=48\)। / Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (4) for (5). Total \(=4\times3\times4=48\).
शर्त वाले अभाज्य की शून्य घात को शामिल न करें। / Do not include zero power for the required prime.
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How many possible remainders can occur when a positive integer is divided by (7)?
B. (7)
(7) से भाग देने पर शेषफल (0) से (6) तक हो सकते हैं। / On division by (7), remainders can be from (0) to (6).
कुल (7) शेषफल मिलते हैं। / There are (7) possible remainders in total.
किसी भाजक (b) के लिए संभावित शेषफलों की संख्या (b) होती है। / For a divisor (b), the number of possible remainders is (b).
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