A. उनकी मूल संरचना और उत्पत्ति अलग है/Their basic structure and origin are different
Step 1
Concept
Similar function alone is not evidence of homology.
Step 2
Why this answer is correct
Bird and insect wings have different basic structures.
Step 3
Exam Tip
Therefore they are analogous not homologous. चरण 1: केवल समान कार्य समजात होने का प्रमाण नहीं है। चरण 2: पक्षी और कीट के पंखों की मूल संरचना अलग है। चरण 3: इसलिए वे समरूप अंग हैं समजात नहीं।
A. उड़ान का कार्य समान है पर मूल संरचना भिन्न है/Function of flight is similar but basic structure is different
Step 1
Concept
Both wings help in flight.
Step 2
Why this answer is correct
Bird wing is a bony forelimb.
Step 3
Exam Tip
Insect wing has a different basic structure so they are analogous. चरण 1: दोनों पंख उड़ान में सहायक हैं। चरण 2: पक्षी का पंख अस्थियों वाला अग्र अंग है। चरण 3: कीट का पंख अलग मूल संरचना का होता है इसलिए ये असमजात हैं।
A. क्योंकि उनका कार्य समान है पर मूल संरचना अलग है/Because their function is similar but basic structure is different
Step 1
Concept
Both wings help in flying.
Step 2
Why this answer is correct
Bird wing and insect wing have different basic structures.
Step 3
Exam Tip
Similar function and different structure make them analogous organs. चरण 1: दोनों पंख उड़ने में सहायता करते हैं। चरण 2: पक्षी पंख और कीट पंख की मूल संरचना अलग होती है। चरण 3: समान कार्य और अलग संरचना उन्हें समरूप अंग बनाती है।
A. उनकी मूल संरचना और उत्पत्ति अलग है/Their basic structure and origin are different
Step 1
Concept
Both wings help in flying.
Step 2
Why this answer is correct
Bird wing is a bony forelimb while insect wing has a different structure.
Step 3
Exam Tip
Therefore they are analogous organs. चरण 1: दोनों पंख उड़ने में सहायता करते हैं। चरण 2: पक्षी का पंख अस्थियों वाला अग्र अंग है जबकि कीट का पंख अलग बनावट का है। चरण 3: इसलिए वे असमजात अंग हैं।
A. क्योंकि उनका कार्य समान है पर मूल संरचना अलग है/Because their function is similar but basic structure is different
Step 1
Concept
Both birds and insects can fly with wings.
Step 2
Why this answer is correct
But the structure and origin of their wings are different.
Step 3
Exam Tip
Similar function and different structure identify analogous organs. चरण 1: पक्षी और कीट दोनों पंखों से उड़ सकते हैं। चरण 2: पर उनके पंखों की संरचना और उत्पत्ति अलग होती है। चरण 3: समान कार्य और अलग संरचना समरूप अंगों की पहचान है।
A. क्योंकि दोनों उड़ने में मदद करते हैं पर उनकी मूल संरचना अलग है/Because both help in flying but their basic structure is different
Step 1
Concept
Both wings help in flying.
Step 2
Why this answer is correct
Bird wing is a forelimb with bones while insect wing has a different structure.
Step 3
Exam Tip
Therefore they are analogous organs. चरण 1: दोनों पंख उड़ान में मदद करते हैं। चरण 2: पक्षी का पंख अस्थियों वाला अग्र अंग है जबकि कीट का पंख अलग संरचना का होता है। चरण 3: इसलिए ये असमजात अंग हैं।
Therefore they are examples of analogous organs. चरण 1: दोनों पंख उड़ने में मदद करते हैं। चरण 2: उनकी मूल संरचना और उत्पत्ति अलग होती है। चरण 3: इसलिए वे समरूप अंगों के उदाहरण हैं।
Therefore they are examples of homologous organs. चरण 1: मानव हाथ और पक्षी पंख का कार्य अलग है। चरण 2: उनकी मूल अस्थि संरचना में समानता होती है। चरण 3: इसलिए वे समजात अंगों के उदाहरण हैं।
Therefore they are examples of analogous organs. चरण 1: दोनों उड़ने में मदद करते हैं। चरण 2: लेकिन उनकी मूल संरचना अलग होती है। चरण 3: इसलिए ये असमजात अंगों के उदाहरण हैं।
Human hand and bird wing show similarity in basic structure.
Step 2
Why this answer is correct
Their functions are different.
Step 3
Exam Tip
Therefore they are examples of homologous organs. चरण 1: मनुष्य का हाथ और पक्षी का पंख मूल संरचना में समानता दिखाते हैं। चरण 2: इनके कार्य अलग हैं। चरण 3: इसलिए ये समजात अंगों के उदाहरण हैं।
Pulicat Lake lies in the Andhra Pradesh-Tamil Nadu region and is famous for birds. For exams, remember Pulicat as a brackish lagoon with rich bird life.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पुलिकट झील / Pulicat Lake. Pulicat Lake lies in the Andhra Pradesh-Tamil Nadu region and is famous for birds. For exams, remember Pulicat as a brackish lagoon with rich bird life.
Step 3
Exam Tip
पुलिकट झील आंध्र प्रदेश और तमिलनाडु क्षेत्र में स्थित है और पक्षियों के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में पुलिकट को खारे लैगून और पक्षी जीवन से याद रखें।
Pulicat is a coastal lagoon known for bird life. In coastal lakes, remember biodiversity-related clues.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पुलिकट झील / Pulicat Lake. Pulicat is a coastal lagoon known for bird life. In coastal lakes, remember biodiversity-related clues.
Step 3
Exam Tip
पुलिकट झील तटीय लैगून है और पक्षी जीवन के लिए जानी जाती है। तटीय झीलों में जैव विविधता संबंधी संकेत याद रखें।
A. पंखों के प्रवाह के साथ छोटी रेखाएं/Short lines following feather flow
Step 1
Concept
Short lines along feather direction show feather texture. In exams observe surface direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पंखों के प्रवाह के साथ छोटी रेखाएं / Short lines following feather flow. Short lines along feather direction show feather texture. In exams observe surface direction.
Step 3
Exam Tip
पंखों की दिशा में छोटी रेखाएं पंखों की बनावट दिखाती हैं। परीक्षा में सतह की दिशा देखें।
B. क्योंकि दोनों उड़ने में सहायक हैं पर उत्पत्ति अलग है/Because both help in flight but have different origin
Step 1
Concept
Both wings help in flight.
Step 2
Why this answer is correct
The basic structure of insect and bird wings is not the same.
Step 3
Exam Tip
Same function with different origin makes them analogous organs. चरण 1: दोनों पंख उड़ान में मदद करते हैं। चरण 2: कीट और पक्षी के पंखों की मूल बनावट एक जैसी नहीं है। चरण 3: समान कार्य और अलग उत्पत्ति के कारण ये समवृत्ति अंग हैं।
Their basic structure and origin are not the same.
Step 3
Exam Tip
Same function but different origin makes them analogous organs. चरण 1: कीट और पक्षी दोनों में पंख उड़ने में सहायता करते हैं। चरण 2: उनकी मूल रचना और उत्पत्ति समान नहीं होती। चरण 3: समान कार्य पर अलग उत्पत्ति होने से ये समवृत्ति अंग कहलाते हैं।
The forelimbs of birds and bats show a similar basic bone plan.
Step 2
Why this answer is correct
Both help in flight, but evolved along different paths.
Step 3
Exam Tip
Similar basic structure makes them homologous in this comparison. चरण 1: पक्षी और चमगादड़ के अग्रपादों की मूल अस्थि योजना में समानता मिलती है। चरण 2: दोनों उड़ने में काम आते हैं पर उनका विकास अलग दिशा में हुआ। चरण 3: मूल बनावट की समानता उन्हें समजात अंगों का उदाहरण बनाती है।
A. समजातता मूल संरचना की समानता बताती है कार्य की समानता जरूरी नहीं/Homology indicates similarity in basic structure not necessarily same function
Step 1
Concept
Homologous organs are identified by basic structure.
Step 2
Why this answer is correct
Their functions may be different.
Step 3
Exam Tip
Human hand helps grasping and bird wing helps flying. चरण 1: समजात अंगों की पहचान मूल संरचना से होती है। चरण 2: उनके कार्य अलग अलग हो सकते हैं। चरण 3: मनुष्य का हाथ पकड़ने और पक्षी का पंख उड़ने में उपयोगी है।
A. क्योंकि वे समान कार्य करते हैं पर उनकी मूल संरचना अलग है/Because they perform similar function but have different basic structure
Step 1
Concept
Birds and insects can both fly using wings.
Step 2
Why this answer is correct
But their wing origin and structure are different.
Step 3
Exam Tip
Similar function with different basic structure makes them analogous organs. चरण 1: पक्षी और कीट दोनों पंखों से उड़ सकते हैं। चरण 2: पर उनके पंखों की उत्पत्ति और बनावट अलग होती है। चरण 3: समान कार्य और अलग मूल संरचना के कारण वे सदृश अंग हैं।
Their wings have different basic structure and origin.
Step 3
Exam Tip
Therefore they are called analogous organs. चरण 1: पक्षी और कीट दोनों उड़ सकते हैं। चरण 2: उनके पंखों की मूल रचना और उत्पत्ति अलग होती है। चरण 3: इसलिए ये सदृश अंग कहलाते हैं।
A. क्योंकि वह जर्मन शक्ति और साम्राज्य का प्रतीक था/Because it was a symbol of German power and empire
Step 1
Concept
In visual nationalism objects often become symbols.
Step 2
Why this answer is correct
Germania's eagle was linked with power and empire.
Step 3
Exam Tip
Therefore it should be read symbolically. चरण 1: दृश्य राष्ट्रवाद में वस्तुएं सामान्य रूप से प्रतीक बन जाती हैं। चरण 2: जर्मानिया का बाज शक्ति और साम्राज्य से जुड़ा था। चरण 3: इसलिए उसे प्रतीकात्मक अर्थ में पढ़ना चाहिए।
B. लंबे ऐतिहासिक समय को दर्ज करने के लिए/To record long historical time
Step 1
Concept
The Long Count system helped record long dates and royal events. For exams treat Maya chronology as advanced.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. लंबे ऐतिहासिक समय को दर्ज करने के लिए / To record long historical time. The Long Count system helped record long dates and royal events. For exams treat Maya chronology as advanced.
Step 3
Exam Tip
लंबी गणना प्रणाली लंबी तिथियों और राजकीय घटनाओं को दर्ज करने में सहायक थी। परीक्षा में माया कालगणना को उन्नत मानें।
A. लंबी अवधि की तिथि गणना और खगोलीय समझ/Long-term date reckoning and astronomical understanding
Step 1
Concept
The Long Count calendar is famous for long-term date reckoning. Link it with Maya mathematics and astronomy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. लंबी अवधि की तिथि गणना और खगोलीय समझ / Long-term date reckoning and astronomical understanding. The Long Count calendar is famous for long-term date reckoning. Link it with Maya mathematics and astronomy.
Step 3
Exam Tip
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में इसे माया गणित और खगोल से जोड़ें।
A. लंबी अवधि की तिथि गणना/Long-term date reckoning
Step 1
Concept
The Long Count calendar was useful for long date reckoning. Link it with Maya mathematics and astronomy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. लंबी अवधि की तिथि गणना / Long-term date reckoning. The Long Count calendar was useful for long date reckoning. Link it with Maya mathematics and astronomy.
Step 3
Exam Tip
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना में उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया गणित और खगोल ज्ञान से जोड़ें।
The Long Count calendar was useful for recording long periods of dates. Link it with Maya astronomy and calculation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. लंबे समय की तिथि गणना / Long term date reckoning. The Long Count calendar was useful for recording long periods of dates. Link it with Maya astronomy and calculation.
Step 3
Exam Tip
लांग काउंट कैलेंडर लंबी अवधि की तिथियों को दर्ज करने के लिए उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया खगोल और गणना से जोड़ें।
A. लंबे समय की तिथियों को दर्ज करने के लिए/Recording long periods of dates
Step 1
Concept
The Long Count calendar was useful for long date reckoning. Connect it with Maya mathematics and astronomy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. लंबे समय की तिथियों को दर्ज करने के लिए / Recording long periods of dates. The Long Count calendar was useful for long date reckoning. Connect it with Maya mathematics and astronomy.
Step 3
Exam Tip
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना के लिए उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया गणना और खगोल ज्ञान से जोड़ें।
A. वे संबद्ध आर्थिक संस्थाएं हैं मुख्य चार्टर अंग नहीं/They are affiliated economic institutions not principal Charter organs
Step 1
Concept
The World Bank and IMF are economic institutions linked with the UN system but not principal organs. Exam tip: remember institution types.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे संबद्ध आर्थिक संस्थाएं हैं मुख्य चार्टर अंग नहीं / They are affiliated economic institutions not principal Charter organs. The World Bank and IMF are economic institutions linked with the UN system but not principal organs. Exam tip: remember institution types.
Step 3
Exam Tip
विश्व बैंक और आई एम एफ संयुक्त राष्ट्र प्रणाली से जुड़े आर्थिक संस्थान हैं पर छह प्रमुख अंग नहीं हैं। परीक्षा में संस्था प्रकार याद रखें।
A. रक्त का थक्का बनने में कठिनाई होगी/Blood clotting will be difficult
Step 1
Concept
Platelets help form clots.
Step 2
Why this answer is correct
Clots stop bleeding.
Step 3
Exam Tip
Low platelets increase the risk of excessive blood loss. चरण 1: प्लेटलेट्स थक्का बनाने में सहायता करते हैं। चरण 2: थक्का रक्त बहना रोकता है। चरण 3: प्लेटलेट्स कम होने पर अधिक रक्त हानि का खतरा बढ़ जाता है।
A. कावूर ने राज्य शक्ति और विदेशी सहयोग का प्रयोग किया/Cavour used state power and foreign alliances
Step 1
Concept
Mazzini was linked with ideas and inspiration.
Step 2
Why this answer is correct
Cavour used the government, army, and diplomacy of Sardinia-Piedmont.
Step 3
Exam Tip
Their methods were different but the goal was national unity. चरण 1: मैजिनी विचार और प्रेरणा से जुड़े थे। चरण 2: कावूर ने सार्डिनिया पीडमोंट की सरकार, सेना और कूटनीति का उपयोग किया। चरण 3: इसलिए दोनों की विधियां अलग थीं पर लक्ष्य राष्ट्रीय एकता था।
He used foreign support and war to strengthen Sardinia-Piedmont.
Step 3
Exam Tip
Connect Cavour's role with diplomacy. चरण 1: कावूर व्यावहारिक नेता थे। चरण 2: उन्होंने विदेशी सहायता और युद्ध का उपयोग कर सार्डिनिया पीडमोंट को मजबूत किया। चरण 3: कावूर की भूमिका को कूटनीति से जोड़ें।
A. आर्द्रभूमि और पक्षी आवास/Wetlands and bird habitats
Step 1
Concept
These are wetlands linked with water birds and biodiversity. For exams study wetlands as both lake and environment topics.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. आर्द्रभूमि और पक्षी आवास / Wetlands and bird habitats. These are wetlands linked with water birds and biodiversity. For exams study wetlands as both lake and environment topics.
Step 3
Exam Tip
ये जल पक्षियों और जैव विविधता से जुड़ी आर्द्रभूमियां हैं। परीक्षा में आर्द्रभूमि को झील और पर्यावरण दोनों रूप में पढ़ें।
Keoladeo National Park is a bird sanctuary in Rajasthan. For exams remember Bharatpur and bird migration.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. राजस्थान / Rajasthan. Keoladeo National Park is a bird sanctuary in Rajasthan. For exams remember Bharatpur and bird migration.
Step 3
Exam Tip
केवलादेव राष्ट्रीय उद्यान राजस्थान में स्थित पक्षी अभयारण्य है। परीक्षा में भरतपुर और पक्षी प्रवास याद रखें।
A. भाषा प्रशासन शिक्षा रोजगार और सांस्कृतिक सम्मान से जुड़ी थी/Language was linked with administration education employment and cultural respect
Step 1
Concept
Language policy affects both opportunity and identity. For exams remember cultural nation building.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भाषा प्रशासन शिक्षा रोजगार और सांस्कृतिक सम्मान से जुड़ी थी / Language was linked with administration education employment and cultural respect. Language policy affects both opportunity and identity. For exams remember cultural nation building.
Step 3
Exam Tip
भाषा नीति अवसर और पहचान दोनों को प्रभावित करती है। परीक्षा में सांस्कृतिक राष्ट्र निर्माण याद रखें।
B. 2014 में दो और 2024 में पांच नाम थे/2014 had two names and 2024 had five names
Step 1
Concept
There were two recipients in 2014 while five names were announced in 2024. Remember the counts of recent years.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. 2014 में दो और 2024 में पांच नाम थे / 2014 had two names and 2024 had five names. There were two recipients in 2014 while five names were announced in 2024. Remember the counts of recent years.
Step 3
Exam Tip
2014 में दो प्राप्तकर्ता थे जबकि 2024 में पांच नाम घोषित हुए। परीक्षा में हाल के वर्षों की संख्या याद रखें।
In 2019 three persons and in 2024 five persons received or were announced for the Bharat Ratna. Remember the recent year counts.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. 2019 तीन 2024 पांच / 2019 three 2024 five. In 2019 three persons and in 2024 five persons received or were announced for the Bharat Ratna. Remember the recent year counts.
Step 3
Exam Tip
2019 में तीन और 2024 में पांच व्यक्तियों को भारत रत्न मिला या घोषित किया गया। परीक्षा में हाल के वर्षों की संख्या याद रखें।
When (D=0), both roots are equal, so there is (1) different real root. Remember the difference between equal and distinct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1) अलग वास्तविक मूल / (1) different real root. When (D=0), both roots are equal, so there is (1) different real root. Remember the difference between equal and distinct.
Step 3
Exam Tip
(D=0) होने पर दोनों मूल समान होते हैं इसलिए अलग वास्तविक मूल (1) होता है। समान और भिन्न में अंतर याद रखें।
Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दो / Two. Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,25)) शून्यक नहीं बताता।
Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दो / Two. Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-20)) शून्यक नहीं बताता।
Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दो / Two. Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,18)) शून्यक नहीं बताता।
Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दो / Two. Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता।
There is only one intersection, so there is one real zero. Tip: a cubic can have at most three real zeroes, not necessarily three.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. एक / One. There is only one intersection, so there is one real zero. Tip: a cubic can have at most three real zeroes, not necessarily three.
Step 3
Exam Tip
कटान केवल एक है इसलिए एक वास्तविक शून्यक है। टिप: घन बहुपद में अधिकतम तीन वास्तविक शून्यक हो सकते हैं, जरूरी नहीं कि तीन हों।
Three distinct (x)-values give three distinct (x)-axis points. Tip: distinct zeroes make distinct intersection points.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. तीन / Three. Three distinct (x)-values give three distinct (x)-axis points. Tip: distinct zeroes make distinct intersection points.
Step 3
Exam Tip
तीन अलग (x)-मान तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु देते हैं। टिप: अलग शून्यक अलग कटान बिंदु बनाते हैं।
A degree (4) polynomial can have at most (4) real zeroes. Tip: the number of real zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. चतुर्थ घात बहुपद / Fourth degree polynomial. A degree (4) polynomial can have at most (4) real zeroes. Tip: the number of real zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
घात (4) वाला बहुपद अधिकतम (4) वास्तविक शून्यक रख सकता है। टिप: वास्तविक शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं होती।
Only one (x)-axis intersection is visible so there is one real zero. Tip: the count comes from the number of points.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. एक / One. Only one (x)-axis intersection is visible so there is one real zero. Tip: the count comes from the number of points.
Step 3
Exam Tip
केवल एक (x)-अक्ष कटान दिख रहा है इसलिए एक वास्तविक शून्यक है। टिप: संख्या बिंदुओं की गिनती से आती है।
Therefore this fact is used twice in an important way. चरण 1: पहले \(p^2\) सम होने से (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: फिर \(q^2\) सम होने से (q) सम सिद्ध होता है। चरण 3: इसलिए यह नियम प्रमाण में दो बार महत्वपूर्ण रूप से आता है।
Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=6930), so \(mn=385=5\times7\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
Do not count the reversed order again. चरण 1: संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (18mn=6930), इसलिए \(mn=385=5\times7\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। चरण 3: जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें।
Let the numbers be (30m) and (30n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(30mn=2730), so \(mn=91=7\times13\); the unordered coprime pairs are ((1,91)) and ((7,13)).
Step 3
Exam Tip
Do not count reversed order as a new pair. चरण 1: संख्याओं को (30m) और (30n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (30mn=2730), इसलिए \(mn=91=7\times13\); अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े ((1,91)) और ((7,13)) हैं। चरण 3: जोड़ों की गिनती में उल्टे क्रम को अलग न गिनें।
Let the numbers be (21m) and (21n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(21mn=2310), so \(mn=110=2\times5\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
Do not count the reversed order again. चरण 1: संख्याओं को (21m) और (21n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (21mn=2310), इसलिए \(mn=110=2\times5\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। चरण 3: जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें।
Let the numbers be (48m) and (48n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(48mn=2112), so \(mn=44=2^2\times11\); the unordered coprime pairs are ((1,44)) and ((4,11)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
Do not split the same prime factor into both parts. चरण 1: संख्याओं को (48m) और (48n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (48mn=2112), इसलिए \(mn=44=2^2\times11\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,44)) और ((4,11)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंड दोनों भागों में न जाने दें।
Let the numbers be (42m) and (42n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(42mn=2772), so \(mn=66=2\times3\times11\). Splitting three distinct prime factors into two groups gives (4) unordered pairs.
Step 3
Exam Tip
While counting pairs, make sure (m) and (n) remain coprime. चरण 1: संख्याओं को (42m) और (42n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (42mn=2772), इसलिए \(mn=66=2\times3\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों को दो समूहों में बाँटने से (4) अव्यवस्थित जोड़े मिलते हैं। चरण 3: जोड़ों की गिनती में यह जरूर देखें कि (m) और (n) सहाभाज्य रहें।
Let the numbers be (15m) and (15n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(15mn=420), so \(mn=28=2^2\times7\); the unordered coprime pairs are ((1,28)) and ((4,7)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
(m) and (n) must not share a prime factor. चरण 1: संख्याओं को (15m) और (15n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (15mn=420), इसलिए \(mn=28=2^2\times7\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,28)) और ((4,7)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। चरण 3: (m) और (n) में समान अभाज्य नहीं आना चाहिए।
Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=1260), so \(mn=70=2\times5\times7\); this gives (4) unordered coprime factor pairs.
Step 3
Exam Tip
For a square-free product, split prime factors into two groups to count unordered pairs. चरण 1: संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (18mn=1260), इसलिए \(mn=70=2\times5\times7\); इसके अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े (4) बनते हैं। चरण 3: वर्गमुक्त गुणनफल में अव्यवस्थित जोड़े गिनते समय अभाज्य गुणनखंडों को दो भागों में बाँटें।
Make an equation when finding an exponent from factor count. चरण 1: कुल गुणनखंड ((a+1)(b+1)) होते हैं। चरण 2: (a=4), इसलिए ((4+1)(b+1)=20), यानी (5(b+1)=20), अतः (b=3)। चरण 3: गुणनखंडों की संख्या से घात खोजने में समीकरण बनाएं।
If \(d=2^a\times3^b\times7^c\), then \(d^2=2^{2a}\times3^{2b}\times7^{2c}\).
Step 2
Why this answer is correct
Conditions are \(2a\le6\), \(2b\le2\), \(2c\le2\), so choices are (4,2,2). Total (=16).
Step 3
Exam Tip
For square divisibility, double the exponents and compare. चरण 1: यदि \(d=2^a\times3^b\times7^c\), तो \(d^2=2^{2a}\times3^{2b}\times7^{2c}\) होगा। चरण 2: \(2a\le6\), \(2b\le2\), \(2c\le2\), इसलिए (a=0,1,2,3) चार तरीके, (b=0,1) दो तरीके, (c=0,1) दो तरीके। कुल \(4\times2\times2=16\)। चरण 3: वर्ग विभाजन में घातों को दुगना करके सीमा लगाएं।
A factor divisible by (5) must have power of (5) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (4) for (5). Total \(=4\times3\times4=48\).
Step 3
Exam Tip
Do not include zero power for the required prime. चरण 1: (5) से विभाज्य गुणनखंड में (5) की घात कम से कम (1) होगी। चरण 2: (2) के लिए (4) तरीके, (3) के लिए (3) तरीके, और (5) के लिए (1,2,3,4) यानी (4) तरीके। कुल \(4\times3\times4=48\)। चरण 3: शर्त वाले अभाज्य की शून्य घात को शामिल न करें।
On division by (7), remainders can be from (0) to (6).
Step 2
Why this answer is correct
There are (7) possible remainders in total.
Step 3
Exam Tip
For a divisor (b), the number of possible remainders is (b). चरण 1: (7) से भाग देने पर शेषफल (0) से (6) तक हो सकते हैं। चरण 2: कुल (7) शेषफल मिलते हैं। चरण 3: किसी भाजक (b) के लिए संभावित शेषफलों की संख्या (b) होती है।
