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औसत \(\frac{-5+3}{2}=-1\) है। टिप: दो शून्यकों का औसत परवलय के मध्य से जुड़ता है। / The average is \(\frac{-5+3}{2}=-1\). Tip: the average of two zeroes is linked to the middle of a parabola.
शून्यक (r) और (s) हैं, इसलिए औसत \(\frac{r+s}{2}\) है। टिप: औसत में योग को संख्या से भाग दें। / The zeroes are (r) and (s), so the average is \(\frac{r+s}{2}\). Tip: divide the sum by the number of values.
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: खुलने की दिशा संकेत क्षेत्र बदलती है। / For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: opening direction changes sign regions.
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: खुलने की दिशा संकेत क्षेत्र बदलती है। / For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: opening direction changes sign regions.
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: दिशा बदलने पर संकेत क्षेत्र भी बदलता है। / For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: when the direction changes, sign regions also change.
खुलने की दिशा शून्यकों की संख्या अकेले तय नहीं करती। दो कटान स्पष्ट रूप से दो वास्तविक शून्यक देते हैं। / The opening direction alone does not decide the number of zeroes. Two intersections clearly give two real zeroes.
नीचे खुलने वाले परवलय में दो शून्यकों के बीच मान धनात्मक होते हैं। टिप: (x=2) दोनों शून्यकों के बीच है। / For a downward-opening parabola, values between the two zeroes are positive. Tip: (x=2) lies between the zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
(x=-4) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाला परवलय बीच में नीचे रहता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत क्षेत्र देखें। / (x=-4) lies between the two zeroes and an upward-opening parabola stays below there. Tip: check the sign region between zeroes.
नीचे खुलने वाले परवलय में दो शून्यकों के बीच मान धनात्मक होते हैं। टिप: (x=4) दोनों शून्यकों के बीच है। / For a downward-opening parabola, values between the two zeroes are positive. Tip: (x=4) lies between the zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
(0) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाला परवलय बीच में नीचे रहता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत क्षेत्र देखें। / (0) lies between the two zeroes and an upward parabola stays below there. Tip: check the sign region between zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है (\frac{(c-7)+(c+3)}{2}=c-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(c-7)+(c+3)}{2}=c-2). Tip: the average rule also works with symbols.
(x=-1) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाले परवलय में बीच का भाग नीचे होता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत क्षेत्र देखें। / (x=-1) lies between the zeroes and an upward-opening parabola is below the axis there. Tip: check the sign region between zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2). Tip: the average rule also works with symbols.
(x=-3) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाले परवलय में बीच का भाग नीचे होता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत देखें। / (x=-3) lies between the two zeroes, and an upward parabola is below the axis there. Tip: check the sign between zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(a-2)+(a+4)}{2}=a+1)। टिप: प्रतीकात्मक शून्यकों में भी औसत लें। / The axis of symmetry is at the average of zeroes, (\frac{(a-2)+(a+4)}{2}=a+1). Tip: take the average even for symbolic zeroes.
ऊपर खुलने वाले परवलय में दो शून्यकों के बीच ग्राफ (x)-अक्ष के नीचे होता है। टिप: शून्यकों के बीच के क्षेत्र का संकेत पहचानें। / For an upward-opening parabola, the graph lies below the (x)-axis between the two zeroes. Tip: identify the sign region between zeroes.
शून्यक (-1) और (4) हैं, इसलिए योग (3) है। टिप: पहले बिंदुओं से (x)-मान पढ़ें। / The zeroes are (-1) and (4), so their sum is (3). Tip: first read the (x)-values from the points.
A. दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटेगा/It will cut at two distinct points
Explanation
Simple Explanation
दो वास्तविक शून्यक दो अलग (x)-अक्ष कटाव बताते हैं। इसलिए परवलय (x)-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटेगा। / Two real zeroes show two distinct (x)-axis intersections. Hence the parabola cuts the (x)-axis at two points.
शून्यक कटाव बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (-5) और (2) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the intersection points. Hence the zeroes are (-5) and (2).
दो अलग-अलग (x)-अक्ष कटाव दो वास्तविक शून्यक बताते हैं। यहाँ शून्यक (-1) और (5) हैं। / Two distinct (x)-axis intersections show two real zeroes. Here the zeroes are (-1) and (5).
द्विघात बहुपद का ग्राफ परवलय होता है। (x)-अक्ष पर दो अलग-अलग कटाव दो वास्तविक शून्यक बताते हैं। / The graph of a quadratic polynomial is a parabola. Two distinct intersections with the (x)-axis show two real zeroes.
मध्य मान \(\frac{-4+6}{2}=1\) है। टिप: दो शून्यकों का औसत उनके बीच का मध्य देता है। / The middle value is \(\frac{-4+6}{2}=1\). Tip: the average of two zeroes gives the middle value.
ग्राफ (x)-अक्ष से न मिले तो वास्तविक शून्यक नहीं होता। केवल (y=0) वाले बिंदु गिने जाते हैं। / If the graph does not meet the (x)-axis there is no real zero. Only points with (y=0) are counted.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-17+9}{2},0\right\)=(-4,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-17+9}{2},0\right\)=(-4,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-7+1}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-7+1}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
छूना भी (x)-अक्ष से मिलना है, लेकिन बिंदु केवल एक है। इसलिए एक वास्तविक शून्यक होगा। / Touching also means meeting the (x)-axis, but there is only one point. Hence there is one real zero.
वास्तविक शून्यक तभी मिलते हैं जब ग्राफ (x)-अक्ष से मिले। साझा बिंदु न होने पर वास्तविक शून्यक (0) होंगे। / Real zeroes are found only when the graph meets the (x)-axis. With no common point, there are (0) real zeroes.
परवलय (x)-अक्ष से केवल एक बिंदु पर मिलता है। इसलिए उसका एक वास्तविक शून्यक (2) होगा। / The parabola meets the (x)-axis at only one point. Therefore it has one real zero, (2).
यदि ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता, तो (p(x)=0) का कोई वास्तविक मान नहीं मिलता। इसलिए वास्तविक शून्यक (0) होंगे। / If the graph does not meet the (x)-axis, no real value satisfies (p(x)=0). Therefore it has (0) real zeroes.
जब परवलय (x)-अक्ष को केवल एक बिंदु पर छूता है, तो एक वास्तविक शून्यक होता है। परीक्षा में छूना भी (x)-अक्ष से मिलना माना जाता है। / When a parabola touches the (x)-axis at one point, it has one real zero. In exams, touching the (x)-axis also counts as meeting it.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-11+5}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-11+5}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-9+3}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-9+3}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
दो शून्यकों का औसत (2) होगा, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: परवलय में सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (7). Tip: in a parabola the axis of symmetry passes through the midpoint of the zeroes.
शून्यक (-5) और (1) हैं, जिनमें (1) बड़ा है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर वाला मान बड़ा होता है। / The zeroes are (-5) and (1), and (1) is greater. Tip: the value to the right on the number line is greater.
(y)-अक्ष कटान शून्यक नहीं देता, क्योंकि (p(x)=0) नहीं है। टिप: शून्यक के लिए (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। / A (y)-axis intercept does not give a zero because (p(x)\neq0). Tip: meeting the (x)-axis is necessary for a zero.
आलेख पूरा (x)-अक्ष से ऊपर रह सकता है इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: कटान न हो तो शून्यक न लिखें। / The graph can stay above the (x)-axis so there is no real zero. Tip: if there is no intersection do not write a zero.
औसत \(\frac{2+14}{2}=8\) है। टिप: औसत में (x)-निर्देशांकों का प्रयोग करें। / The average is \(\frac{2+14}{2}=8\). Tip: use the (x)-coordinates for the average.
औसत \(\frac{3+12}{2}=7.5\) है। टिप: औसत में योग को (2) से भाग दें। / The average is \(\frac{3+12}{2}=7.5\). Tip: divide the sum by (2) for the average.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((-14,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-14,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((12,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((12,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय ((-5,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-5,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((4,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((4,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
स्पर्श बिंदु केवल एक अलग शून्यक (3) देता है। टिप: दोहराए हुए शून्यक को अलग शून्यक में एक बार गिनें। / The touching point gives only one distinct zero (3). Tip: count a repeated zero once when distinct zeroes are asked.
दोहराया शून्यक होने पर अलग (x)-मान केवल (2) है। टिप: अलग शून्यक गिनते समय समान बिंदु दो बार न गिनें। / For a repeated zero the only distinct (x)-value is (2). Tip: do not count the same point twice for distinct zeroes.
शून्यक (0) और (6) हैं इसलिए गुणनफल (0) है। टिप: किसी भी संख्या से (0) गुणा करने पर (0) मिलता है। / The zeroes are (0) and (6) so the product is (0). Tip: any number multiplied by (0) gives (0).
स्पर्श करने पर केवल एक समान शून्यक मिलता है। टिप: छूना भी (x)-अक्ष से मिलना है। / When it touches the axis there is only one repeated zero. Tip: touching also means meeting the (x)-axis.
दो शून्यकों का औसत (5) है इसलिए दूसरा शून्यक (11) होगा। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
दो शून्यकों का औसत (-2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-9) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (-2), so the other zero is (-9). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
दो शून्यकों का औसत (3) है इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \(\frac{a+b}{2}\) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (3), so the other zero is (-5). Tip: set \(\frac{a+b}{2}\) equal to the axis of symmetry.
दोनों शून्यकों का औसत (4) है इसलिए दूसरा शून्यक (10) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य मान से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (4), so the other zero is (10). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
दो शून्यकों का औसत (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \( \frac{a+b}{2} \) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (-5). Tip: set \( \frac{a+b}{2} \) equal to the axis of symmetry.
दो शून्यकों का औसत (1) होगा इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (1), so the other zero is (7). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
दो शून्यकों का औसत (-1) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-6) होगा। टिप: औसत को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (-1), so the other zero is (-6). Tip: set the average equal to the axis of symmetry.
A. यह (x=1) पर स्पर्श करेगा/It will touch at (x=1)
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय वहाँ स्पर्श करता है। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो स्पर्श की जाँच करें। / The vertex is on the (x)-axis, so the parabola touches there. Tip: if the vertex has (y=0), check for touching.
एक वास्तविक शून्यक का अर्थ है ग्राफ (x)-अक्ष से केवल एक बिंदु पर मिलता है। परवलय में यह सामान्यतः छूने की स्थिति होती है। / One real zero means the graph meets the (x)-axis at only one point. For a parabola, this is usually the touching case.
परवलय (x)-अक्ष से केवल ((-2,0)) पर मिलता है। इसलिए उसका वास्तविक शून्यक (-2) है। / The parabola meets the (x)-axis only at ((-2,0)). Hence its real zero is (-2).
जब परवलय (x)-अक्ष को शीर्ष पर छूता है, तो एक ही वास्तविक शून्यक होता है। उसका (x)-निर्देशांक (4) है। / When a parabola touches the (x)-axis at its vertex, it has one real zero. Its (x)-coordinate is (4).
\(-x^2+25=0\) से \(x^2=25\), इसलिए \(x=\pm5\) है। टिप: ऋण चिह्न देखकर भी (y=0) रखना न भूलें। / From \(-x^2+25=0\), \(x^2=25\), so \(x=\pm5\). Tip: even with a negative sign, set (y=0).
A. जब उसका ग्राफ (x)-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटे/When its graph cuts the (x)-axis at two distinct points
Explanation
Simple Explanation
द्विघात बहुपद के वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष से मिलने वाले बिंदुओं से मिलते हैं। दो अलग कटाव दो वास्तविक शून्यक देते हैं। / Real zeroes of a quadratic polynomial are found from points where it meets the (x)-axis. Two distinct intersections give two real zeroes.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,25)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
दूसरा शून्यक (8) है और औसत \(\frac{-10+8}{2}=-1\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (8), and the average is \(\frac{-10+8}{2}=-1\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-20)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
दूसरा शून्यक (4) है और औसत \(\frac{-8+4}{2}=-2\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (4), and the average is \(\frac{-8+4}{2}=-2\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,18)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,12)) शून्यक नहीं है। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,12)) is not a zero.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत \(x=\frac{1+7}{2}=4\) से गुजरता है। टिप: परवलय में दो शून्यकों का मध्य उपयोगी है। / The axis of symmetry passes through the average \(x=\frac{1+7}{2}=4\). Tip: the middle of two zeroes is useful in a parabola.
सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है, \(\frac{-2+6}{2}=2\)। टिप: परवलय में दो शून्यकों का औसत उपयोगी होता है। / The axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes, \(\frac{-2+6}{2}=2\). Tip: the average of two zeroes is useful for a parabola.
दोहराया (5) अलग शून्यक में एक बार ही गिना जाता है। टिप: अलग मानों की सूची बनाएं। / The repeated (5) is counted only once among distinct zeroes. Tip: make a list of distinct values.
दोहराया (2) अलग शून्यक में एक बार गिना जाता है। टिप: अलग शून्यक में समान मान पुनः न लिखें। / The repeated (2) is counted once for distinct zeroes. Tip: do not rewrite the same value for distinct zeroes.
दिशा ऊपर या नीचे होने से संख्या नहीं बदलती, कटान दो हैं। टिप: शून्यकों की संख्या (x)-अक्ष कटान से तय करें। / The opening direction does not change the count, there are two intersections. Tip: decide zeroes by (x)-axis intersections.
A. केवल (-2) अलग शून्यक है/Only (-2) is the distinct zero
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय ((-2,0)) पर स्पर्श करता है। टिप: खुलने की दिशा स्पर्श बिंदु का (x)-मान नहीं बदलती। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-2,0)). Tip: the opening direction does not change the touching (x)-value.
आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है। टिप: (p(x)=0) ग्राफ पर (x)-अक्ष कटान है। / The graph does not meet the (x)-axis, so there is no real solution. Tip: (p(x)=0) means an (x)-axis intersection on the graph.
मूल शून्यक (2) और (4) हैं, इसलिए नए शून्यक (4) और (16) हैं। नया बहुपद \(x^2-20x+64\) है। / The original zeroes are (2) and (4), so the new zeroes are (4) and (16). The new polynomial is \(x^2-20x+64\).
योग (\(3+\sqrt{2}\)+\(3-\sqrt{2}\)=6) है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यकों का योग हमेशा परिमेय होता है। / The sum is (\(3+\sqrt{2}\)+\(3-\sqrt{2}\)=6). In exams the sum of conjugate zeroes is always rational.
\(x^2-4x+1\) में योग (4) है और (D=16-4=12) से शून्यक अपरिमेय हैं। परिमेय योग का अर्थ परिमेय शून्यक होना नहीं है। / In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
\(x^2-8=0\) से \(x=\pm2\sqrt{2}\), जो अपरिमेय वास्तविक हैं। पूर्ण वर्ग और धनात्मकता दोनों जाँचें। / From \(x^2-8=0\), \(x=\pm2\sqrt{2}\), which are irrational real. Check both perfect-square status and positivity.
क्योंकि \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), योग \(\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\) है। पहले करणी को सरल करें। / Since \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), the sum is \(\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). Simplify radicals first.
तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद तीन शून्यक देते हैं। संख्या के प्रकार से नहीं बल्कि प्रतिच्छेदों से गिनें। / Three distinct (x)-intercepts give three zeroes. Count by intersections not by the type of numbers.
A. दिए गए आधार पर कोई शून्यक नहीं दिखता/No zero is shown from the given data
Explanation
Simple Explanation
शून्यक केवल (x)-अक्ष यानी (y=0) से जुड़े होते हैं। (y=2) से प्रतिच्छेद शून्यक नहीं बताता। / Zeroes are linked only with the (x)-axis where (y=0). Intersections with (y=2) do not show zeroes.
बाहर का ऋण चिह्न शून्यकों को नहीं बदलता। गुणनखंडों को शून्य रखकर उत्तर निकालें। / The outside negative sign does not change the zeroes. Set the factors equal to zero.
A. इससे शून्यक निश्चित नहीं होता/A zero cannot be determined from this alone
Explanation
Simple Explanation
(y)-प्रतिच्छेद (p(0)) बताता है न कि सभी शून्यक। शून्यक के लिए (x)-अक्ष से प्रतिच्छेद चाहिए। / The (y)-intercept tells (p(0)) not all zeroes. Zeroes need (x)-axis intersections.
A. दो भिन्न वास्तविक शून्यक/Two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
दो अलग कटान दो अलग वास्तविक शून्यक देते हैं। ग्राफ में अलग (x)-प्रतिच्छेद अलग शून्यक होते हैं। / Two separate intersections give two distinct real zeroes. Different (x)-intercepts mean different zeroes.
शून्यक प्रतिच्छेद बिंदु का (x)-निर्देशांक होता है। (y=0) को शून्यक न लिखें। / A zero is the (x)-coordinate of the intercept point. Do not write (y=0) as the zero.
ग्राफ जहाँ (x)-अक्ष को काटता है वही शून्यक होता है। परीक्षा में काटने वाले बिंदुओं की संख्या गिनें। / A zero occurs where the graph meets the (x)-axis. In exams count the (x)-intercepts.
माध्य \(\frac{-4+6+16}{3}=6\) है। टिप: पहले कटान बिंदुओं से (x)-मान पढ़ें। / The mean is \(\frac{-4+6+16}{3}=6\). Tip: first read the (x)-values from intersection points.
यह ((x-d)2-36) है, इसलिए \(x-d=\pm6\) और शून्यक (d-6), (d+6) हैं। टिप: वर्गों के अंतर का उपयोग करें। / It is ((x-d)2-36), so \(x-d=\pm6\) and the zeroes are (d-6), (d+6). Tip: use difference of squares.
A. (22) को (10) करना होगा/(22) must be changed to (10)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-10) के साथ (10) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (10) is needed with (-10). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
(-12), (4), (15) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-2)=6) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-12), (4), and (15). Tip: do not treat (p(-2)=6) as a zero.
(x-2-19x+90=(x-9)(x-10)) है, इसलिए दूरी (10-9=1) है। टिप: पहले शून्यक निकालें फिर दूरी लें। / (x-2-19x+90=(x-9)(x-10)), so the distance is (10-9=1). Tip: find zeroes first and then take distance.
(x-3-12x-2+35x=x(x-5)(x-7)) है, इसलिए शून्यक (0), (5), (7) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-12x-2+35x=x(x-5)(x-7)), so the zeroes are (0), (5), (7). Tip: first take (x) as the common factor.
शून्यक (-12) और (12) हैं, इसलिए गुणनफल (-144) और योग (0) है। टिप: विपरीत शून्यकों का योग (0) होता है। / The zeroes are (-12) and (12), so the product is (-144) and the sum is (0). Tip: opposite zeroes have sum (0).
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=-9) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=-9) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
परास सबसे बड़े और सबसे छोटे शून्यक का अंतर है (13-(-18)=31)। टिप: परास हमेशा गैरऋणात्मक होती है। / The range is the difference between the greatest and smallest zero, (13-(-18)=31). Tip: range is always non-negative.
(x-c=0) से (c) और (x+d=0) से (-d) मिलता है। टिप: अलग शून्यकों में दोहराव न गिनें। / From (x-c=0) we get (c), and from (x+d=0) we get (-d). Tip: do not count repetition among distinct zeroes.
दो अलग शून्यक (-2) और (5) हैं तथा दोनों की घात सम है। टिप: सम घात वाले शून्यक पर ग्राफ सामान्यतः स्पर्श करता है। / There are two distinct zeroes (-2) and (5), and both have even powers. Tip: at an even-power zero the graph usually touches.
(p(x)=x(x-3)(x-6)) है इसलिए शून्यक (0), (3), (6) और माध्य (3) है। टिप: पहले गुणनखंड करें। / (p(x)=x(x-3)(x-6)), so the zeroes are (0), (3), (6), and the mean is (3). Tip: factor first.
