When the dividend is a multiple of the divisor, the remainder is always (0). चरण 1: (56) को (7) से भाग देने पर \(7 \times 8=56\) मिलता है। चरण 2: कोई संख्या बचती नहीं है इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: जब भाज्य भाजक का गुणज हो तो शेषफल हमेशा (0) होता है।
In the correct answer, the remainder must be less than (5). चरण 1: (5) का (38) से छोटा निकट गुणज (35) है। चरण 2: (38-35=3), इसलिए (q=7) और (r=3) है। चरण 3: सही उत्तर में शेषफल (5) से छोटा होना चाहिए।
The remainder is always less than the divisor, so division by (6) gives remainders from (0) to (5).
Step 3
Exam Tip
Do not include the divisor itself while listing possible remainders. चरण 1: शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। चरण 2: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है, इसलिए (6) से भाग में (0) से (5) तक शेषफल मिलते हैं। चरण 3: संभावित शेषफल लिखते समय भाजक को शामिल न करें।
In such questions, first multiply the divisor and quotient, then add the remainder. चरण 1: रूप (a=bq+r) का प्रयोग करें। चरण 2: \(a=9 \times 4+2=36+2=38\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले भाजक और भागफल का गुणा करें फिर शेषफल जोड़ें।
In Euclid’s division lemma, the remainder is not negative.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is smaller than the divisor, so \(0 \le r < b\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Avoid the common mistake of allowing (r=b). चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: शेषफल भाजक से छोटा होता है, इसलिए \(0 \le r < b\) सही है। चरण 3: परीक्षा में (r=b) वाली गलती से बचें।
Along with equality, the remainder must also be less than (10). चरण 1: \(10 \times 7=70\) है। चरण 2: (72-70=2), इसलिए \(72=10 \times 7+2\) सही है। चरण 3: बराबरी सही होने के साथ शेषफल (10) से छोटा भी होना चाहिए।
When divided by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the number has the form (2q) or (2q+1).
Step 3
Exam Tip
This idea is the base for understanding even and odd numbers. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: इसलिए संख्या (2q) या (2q+1) के रूप में होगी। चरण 3: यही विचार सम और विषम संख्या समझने का आधार है।
Since (48) is greater, take (40) and get (47-40=7).
Step 3
Exam Tip
If the next multiple is greater, use the previous multiple. चरण 1: \(8 \times 5=40\) और \(8 \times 6=48\) है। चरण 2: (48) बड़ा है, इसलिए (40) लें और (47-40=7) प्राप्त करें। चरण 3: अगला गुणज बड़ा हो जाए तो पिछला गुणज उपयोग करें।
A. क्योंकि शेषफल (11) से छोटा होना चाहिए/Because the remainder must be less than (11)
Step 1
Concept
The condition for the remainder is \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (b=11), so (r=11) is not valid.
Step 3
Exam Tip
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0 \le r < b\) है। चरण 2: यहाँ (b=11), इसलिए (r=11) मान्य नहीं है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
Since (96) is greater than (95), the quotient is (7).
Step 3
Exam Tip
The quotient is the greatest integer whose product with the divisor does not exceed the dividend. चरण 1: \(12 \times 7=84\) और \(12 \times 8=96\) है। चरण 2: (96), (95) से बड़ा है, इसलिए भागफल (7) होगा। चरण 3: भागफल सबसे बड़ा ऐसा पूर्णांक होता है जिससे गुणनफल भाज्य से अधिक न हो।
Here the divisor is (13) and the remainder is (5).
Step 3
Exam Tip
Since (5<13), the form is already correct. चरण 1: (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: यहाँ भाजक (13) और शेषफल (5) है। चरण 3: (5<13) होने से यह रूप पहले से सही है।
On division by (4), possible remainders are (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
In (4q+4), the remainder is (4), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
Such a form should be written as (4(q+1)). चरण 1: (4) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3) हो सकते हैं। चरण 2: (4q+4) में शेषफल (4) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: ऐसे रूप को (4(q+1)) लिखना चाहिए।
A negative remainder or a remainder greater than (20) is not correct. चरण 1: \(20 \times 6=120\) है। चरण 2: (123-120=3), इसलिए \(123=20 \times 6+3\) है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल या (20) से बड़ा शेषफल सही नहीं होता।
In (a=bq+r), (a) is the dividend and (b) is the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(q) represents the quotient.
Step 3
Exam Tip
Remembering the names of symbols makes the formula easier to use. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य और (b) भाजक है। चरण 2: (q) भागफल को दर्शाता है। चरण 3: प्रतीकों के नाम याद रखने से सूत्र का प्रयोग आसान हो जाता है।
The greatest remainder is one less than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
On division by (15), the greatest remainder is (15-1=14).
Step 3
Exam Tip
When greatest remainder is asked, use (b-1). चरण 1: सबसे बड़ा शेषफल भाजक से एक कम होता है। चरण 2: (15) से भाग देने पर सबसे बड़ा शेषफल (15-1=14) होगा। चरण 3: सबसे बड़ा शेषफल पूछे तो तुरंत (b-1) लगाएं।
The dividend (17) is smaller than the divisor (23).
Step 2
Why this answer is correct
So the quotient is (0) and the remainder remains (17).
Step 3
Exam Tip
When the dividend is smaller than the divisor, remember to take (q=0). चरण 1: भाज्य (17), भाजक (23) से छोटा है। चरण 2: इसलिए भागफल (0) होगा और शेषफल (17) रहेगा। चरण 3: जब भाज्य भाजक से छोटा हो तो (q=0) लेना याद रखें।
Finding the nearest smaller multiple saves time. चरण 1: \(13 \times 11=143\) है। चरण 2: (144-143=1), इसलिए शेषफल (1) है। चरण 3: निकटतम छोटा गुणज खोजना समय बचाता है।
If the leftover part is greater than the divisor, divide it again. चरण 1: शेषफल (9) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: (12=9+3), इसलिए (9q+12=9(q+1)+3)। चरण 3: यदि बचा भाग भाजक से बड़ा हो तो उसे फिर से बाँटें।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
In (3q+3), the remainder is (3), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written as (3(q+1)). चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: (3q+3) में शेषफल (3) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे (3(q+1)) के रूप में लिखना चाहिए।
To find the unknown divisor, subtract the remainder first. चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें: (82=6b+4)। चरण 2: (82-4=78), इसलिए (6b=78) और (b=13)। चरण 3: अज्ञात भाजक निकालने से पहले शेषफल घटाएं।
A. भागफल (4), शेषफल (1)/Quotient (4), remainder (1)
Step 1
Concept
\(25 \times 4=100\).
Step 2
Why this answer is correct
(101-100=1), so the quotient is (4) and the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
The remainder should be neither negative nor equal to the divisor. चरण 1: \(25 \times 4=100\) है। चरण 2: (101-100=1), इसलिए भागफल (4) और शेषफल (1) है। चरण 3: शेषफल न तो ऋणात्मक होना चाहिए और न ही भाजक के बराबर।
Here the divisor is (5) and the remainder is (4), so the form is (5q+4).
Step 3
Exam Tip
In a general form, multiply the divisor by (q) and add the remainder. चरण 1: यूक्लिड विभाजन रूप (a=bq+r) है। चरण 2: यहाँ भाजक (5) और शेषफल (4) है, इसलिए रूप (5q+4) होगा। चरण 3: सामान्य रूप में भाजक को (q) से गुणा करके शेषफल जोड़ें।
If the number is exactly divisible by (8), the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
The smallest possible remainder is always (0). चरण 1: शेषफल की सीमा (0) से शुरू होती है। चरण 2: यदि संख्या (8) से पूरी तरह विभाजित हो जाए तो शेषफल (0) होगा। चरण 3: सबसे छोटा संभव शेषफल हमेशा (0) होता है।
In (a=bq+r), the final added part is the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
In \(76=9 \times 8+4\), (4) is less than (9), so it is the remainder.
Step 3
Exam Tip
Identify the terms by observing the form. चरण 1: (a=bq+r) में अंतिम जोड़ा गया भाग शेषफल होता है। चरण 2: \(76=9 \times 8+4\) में (4), (9) से छोटा है, इसलिए यह शेषफल है। चरण 3: रूप को देखकर पदों की पहचान करें।
The number multiplied with (9) is (8), so the quotient is (8).
Step 3
Exam Tip
The quotient is written as the multiplier of the divisor. चरण 1: रूप (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: (9) के साथ गुणा होने वाली संख्या (8) है, इसलिए भागफल (8) है। चरण 3: भागफल हमेशा भाजक के साथ गुणा होकर लिखा जाता है।
The remainder cannot be (6) because it equals the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(6q+6=6(q+1)+0), so the correct remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
When the remainder seems equal to the divisor, increase the quotient by one. चरण 1: शेषफल (6) नहीं हो सकता क्योंकि वह भाजक के बराबर है। चरण 2: (6q+6=6(q+1)+0), इसलिए सही शेषफल (0) है। चरण 3: जब शेषफल भाजक के बराबर दिखे तो भागफल एक बढ़ा दें।
On division by (7), remainders can be from (0) to (6).
Step 2
Why this answer is correct
There are (7) possible remainders in total.
Step 3
Exam Tip
For a divisor (b), the number of possible remainders is (b). चरण 1: (7) से भाग देने पर शेषफल (0) से (6) तक हो सकते हैं। चरण 2: कुल (7) शेषफल मिलते हैं। चरण 3: किसी भाजक (b) के लिए संभावित शेषफलों की संख्या (b) होती है।
Remember the form (2q) for identifying even numbers. चरण 1: (n=2q) का अर्थ है कि (n), (2) से पूरी तरह विभाजित होता है। चरण 2: (2) से विभाजित होने वाली संख्या सम संख्या होती है। चरण 3: सम संख्या पहचानने के लिए (2q) रूप याद रखें।
Every odd number can be written in the form (2q+1). चरण 1: (2q+1) में (2) से भाग देने पर शेषफल (1) मिलता है। चरण 2: ऐसी संख्या विषम संख्या होती है। चरण 3: हर विषम संख्या (2q+1) के रूप में लिखी जा सकती है।
The remainder (6) is less than (16), so the form is correct. चरण 1: \(16 \times 9=144\) है। चरण 2: (150-144=6), इसलिए \(150=16 \times 9+6\) है। चरण 3: शेषफल (6), (16) से छोटा है, इसलिए रूप सही है।
(15) cannot be the remainder because it is greater than (10).
Step 2
Why this answer is correct
(15=10+5), so (10q+15=10(q+1)+5).
Step 3
Exam Tip
The correct remainder is always less than the divisor. चरण 1: (15) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि यह (10) से बड़ा है। चरण 2: (15=10+5), इसलिए (10q+15=10(q+1)+5)। चरण 3: सही शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।
A. (a), (b) से पूरी तरह विभाजित है/(a) is exactly divisible by (b)
Step 1
Concept
When (r=0), the form becomes (a=bq).
Step 2
Why this answer is correct
This means (a) is exactly divisible by (b).
Step 3
Exam Tip
Zero remainder is a sign of exact divisibility. चरण 1: (r=0) होने पर (a=bq) बनता है। चरण 2: इसका अर्थ है कि (a), (b) से पूर्ण रूप से विभाजित है। चरण 3: शून्य शेषफल पूर्ण विभाज्यता का संकेत है।
\(17 \times 13=221\), which is greater than (208), so the quotient is (12).
Step 3
Exam Tip
While choosing the quotient, also check the next multiple. चरण 1: \(17 \times 12=204\) है। चरण 2: \(17 \times 13=221\), जो (208) से बड़ा है, इसलिए भागफल (12) है। चरण 3: भागफल चुनते समय अगले गुणज को भी जाँचें।
The greatest remainder is (b-1). चरण 1: शेषफल हमेशा (9) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: (9) से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक (8) है। चरण 3: सबसे बड़ा शेषफल (b-1) होता है।
When the dividend and divisor are equal, the remainder is (0). चरण 1: समान संख्या को उसी संख्या से भाग देने पर भागफल (1) होता है। चरण 2: कुछ भी शेष नहीं बचता, इसलिए \(35=35 \times 1+0\)। चरण 3: जब भाज्य और भाजक समान हों तो शेषफल (0) होता है।
For a small increase, first add it to the old remainder. चरण 1: (n=5q+3) लिखें। चरण 2: (n+1=5q+4), इसलिए नया शेषफल (4) होगा। चरण 3: छोटी वृद्धि होने पर पहले पुराने शेषफल में वृद्धि जोड़कर देखें।
When the old remainder is one less than the divisor and (1) is added, the new remainder becomes (0). चरण 1: (n=5q+4) लिखें। चरण 2: (n+1=5q+5=5(q+1)+0)। चरण 3: जब पुराना शेषफल भाजक से एक कम हो और (1) जोड़ा जाए तो शेषफल (0) हो जाता है।
The remainder (4) is less than the divisor (6). चरण 1: \(6 \times 10=60\) है। चरण 2: (64-60=4), इसलिए \(64=6 \times 10+4\) सही है। चरण 3: शेषफल (4) भाजक (6) से छोटा है।
Euclid’s division lemma is applied to two positive integers.
Step 2
Why this answer is correct
(b) is the divisor and it cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
For the dividing number, positivity and non-zero value are necessary. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए लगाई जाती है। चरण 2: (b) भाजक है और वह शून्य नहीं हो सकता। चरण 3: भाग देने वाली संख्या के लिए धनात्मकता और अशून्यता जरूरी है।
Do not forget to check that the final remainder is less than the divisor. चरण 1: \(14 \times 8=112\) है। चरण 2: (119-112=7), इसलिए शेषफल (7) है। चरण 3: अंतिम उत्तर को भाजक से छोटा होना जाँचना न भूलें।
(9) cannot be the remainder because it is greater than (7).
Step 2
Why this answer is correct
(9=7+2), so (7q+9=7(q+1)+2).
Step 3
Exam Tip
A large remainder must be converted into the correct range. चरण 1: (9) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि वह (7) से बड़ा है। चरण 2: (9=7+2), इसलिए (7q+9=7(q+1)+2)। चरण 3: बड़े शेषफल को सही सीमा में बदलना जरूरी है।
A. शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है/The remainder is always less than the divisor
Step 1
Concept
The main condition on the remainder is \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
This means the remainder is less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In theory-based questions, remember this condition directly. चरण 1: प्रमेय में शेषफल की मुख्य शर्त \(0 \le r < b\) है। चरण 2: इसका अर्थ है कि शेषफल भाजक से छोटा होता है। चरण 3: ऐसे सैद्धांतिक प्रश्नों में शर्त को सीधे याद रखें।
Here (13) is multiplied by (6), so (13) is the divisor.
Step 3
Exam Tip
While identifying terms, look at the first number in the product. चरण 1: रूप (a=bq+r) में (b) भाजक होता है। चरण 2: यहाँ (13), (6) से गुणा हो रहा है, इसलिए (13) भाजक है। चरण 3: पदों की पहचान करते समय गुणा वाले पहले अंक पर ध्यान दें।
Put the divisor and the remainder in the correct places. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) है। चरण 2: यहाँ (b=10) और (r=6), इसलिए संख्या (10q+6) होगी। चरण 3: भाजक और शेषफल को सही स्थान पर रखें।
The dividend (49) is smaller than the divisor (50).
Step 2
Why this answer is correct
The quotient is (0) and the remainder remains (49).
Step 3
Exam Tip
When a smaller number is divided by a larger number, the remainder can be the smaller number itself. चरण 1: भाज्य (49), भाजक (50) से छोटा है। चरण 2: भागफल (0) होगा और शेषफल (49) रहेगा। चरण 3: छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देने पर शेषफल वही छोटी संख्या हो सकती है।
If (b) is given, the greatest remainder is (b-1). चरण 1: शेषफल भाजक से छोटा होता है। चरण 2: (18) से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक (17) है। चरण 3: (b) दिया हो तो सबसे बड़ा शेषफल (b-1) होता है।
Add the added number to the old remainder and check whether the sum is less than the divisor. चरण 1: (n=8q+3) लिखें। चरण 2: (n+4=8q+7), इसलिए शेषफल (7) होगा। चरण 3: पुराने शेषफल में जोड़ी गई संख्या जोड़ें और देखें कि योग भाजक से छोटा है या नहीं।
A. भागफल (7), शेषफल (8)/Quotient (7), remainder (8)
Step 1
Concept
Dividing (71) by (9), we get \(9 \times 7=63\).
Step 2
Why this answer is correct
(71-63=8), so the quotient is (7) and the remainder is (8).
Step 3
Exam Tip
Always check that the remainder is smaller than the divisor. चरण 1: (71) को (9) से भाग देने पर \(9 \times 7=63\) मिलता है। चरण 2: (71-63=8), इसलिए भागफल (7) और शेषफल (8) है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा जाँचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो।
In Euclid’s division lemma, the remainder is always greater than or equal to (0) and smaller than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
Here the divisor is (12), so \(0 \le r < 12\).
Step 3
Exam Tip
Writing \(\le 12\) is wrong because the remainder cannot equal the divisor. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल हमेशा (0) से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 2: यहाँ भाजक (12) है, इसलिए \(0 \le r < 12\) होगा। चरण 3: \(\le 12\) लिखना गलती है क्योंकि शेषफल भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
\(13 \times 8=104\), the closest smaller multiple of (13) to (105).
Step 2
Why this answer is correct
(105-104=1), so (q=8) and (r=1).
Step 3
Exam Tip
In such questions, the remainder must not be negative or greater than the divisor. चरण 1: \(13 \times 8=104\), जो (105) से छोटा सबसे निकट गुणज है। चरण 2: (105-104=1), इसलिए (q=8) और (r=1) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में शेषफल ऋणात्मक या भाजक से बड़ा नहीं होना चाहिए।
When a number is divided by (5), the remainder must be smaller than (5).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder may also be (0), so the possible remainders are (0,1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
Remember that a remainder is never equal to the divisor. चरण 1: किसी संख्या को (5) से भाग देने पर शेषफल (5) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: शेषफल (0) भी हो सकता है, इसलिए संभावित शेषफल (0,1,2,3,4) हैं। चरण 3: याद रखें, शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
In such questions, multiply the divisor and quotient first, then add the remainder. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) का उपयोग करें। चरण 2: \(a=7 \times 11+4=77+4=81\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले भाजक और भागफल का गुणा करें, फिर शेषफल जोड़ें।
\(15 \times 6=90\) and (96-90=6), so the correct form is \(96=15 \times 6+6\).
Step 3
Exam Tip
Check not only equality but also the condition on the remainder. चरण 1: शेषफल (15) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: \(15 \times 6=90\) और (96-90=6), इसलिए सही रूप \(96=15 \times 6+6\) है। चरण 3: केवल बराबरी नहीं, शेषफल की शर्त भी जाँचें।
On division by (3), the possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the number can be written as (3q+0, 3q+1, 3q+2).
Step 3
Exam Tip
Build general forms using possible remainders. चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए संख्या (3q+0, 3q+1, 3q+2) के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 3: सामान्य रूप बनाते समय संभावित शेषफलों को आधार बनाएं।
B. गलत, क्योंकि शेषफल (8) से छोटा होना चाहिए/Incorrect, because the remainder must be less than (8)
Step 1
Concept
In Euclid’s division lemma, the remainder satisfies \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (b=8), so (r) cannot be equal to (8).
Step 3
Exam Tip
Remembering the range of the remainder is very important. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल \(0 \le r < b\) होता है। चरण 2: यहाँ (b=8), इसलिए (r) (8) के बराबर नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल की सीमा याद रखना बहुत जरूरी है।
While choosing the quotient, make sure (bq) does not exceed (a). चरण 1: (43) को (6) से भाग दें। चरण 2: \(6 \times 7=42\) और (43-42=1), इसलिए (r=1)। चरण 3: भागफल चुनते समय (bq) को (a) से बड़ा न होने दें।
\(17 \times 7=119\) and \(17 \times 8=136\), which is greater than (126). So the quotient is (7).
Step 3
Exam Tip
The quotient is the greatest integer for which the product does not exceed the number. चरण 1: (17) के गुणज देखें। चरण 2: \(17 \times 7=119\) और \(17 \times 8=136\), जो (126) से बड़ा है। इसलिए भागफल (7) है। चरण 3: भागफल सबसे बड़ा ऐसा पूर्णांक होता है जिससे गुणनफल संख्या से अधिक न हो।
On division by (4), the possible remainders are (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
Hence the forms are (4q,4q+1,4q+2,4q+3).
Step 3
Exam Tip
These forms are very useful in questions related to even and odd numbers. चरण 1: (4) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3) हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए संख्या के रूप (4q,4q+1,4q+2,4q+3) होंगे। चरण 3: ऐसे रूप सम और विषम संख्याओं से जुड़े सवालों में बहुत काम आते हैं।
(152) is less than (158), so (q=8) and (r=158-152=6).
Step 3
Exam Tip
If the next multiple exceeds the number, take the previous multiple. चरण 1: \(19 \times 8=152\) और \(19 \times 9=171\)। चरण 2: (152) (158) से कम है, इसलिए (q=8) और (r=158-152=6)। चरण 3: अगला गुणज संख्या से बड़ा हो जाए तो पिछला गुणज लें।
(b) is the number by which division is done, so it is the divisor.
Step 3
Exam Tip
Keep the meaning of symbols clear to avoid calculation errors. चरण 1: रूप (a=bq+r) में (a) भाज्य होता है। चरण 2: (b) वह संख्या है जिससे भाग दिया जाता है, इसलिए यह भाजक है। चरण 3: प्रतीकों के अर्थ साफ रखें, इससे गणना में गलती कम होती है।
The remainder should not be negative and must be less than (10).
Step 2
Why this answer is correct
\(10 \times 8=80\) and the remainder is (9), so \(89=10 \times 8+9\).
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: शेषफल को ऋणात्मक नहीं रखना है और (10) से छोटा रखना है। चरण 2: \(10 \times 8=80\) और शेषफल (9) है, इसलिए \(89=10 \times 8+9\)। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप यूक्लिड रूप नहीं माना जाएगा।
You can check the result by dividing it again by (9). चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें। चरण 2: \(a=9 \times 5+7=45+7=52\)। चरण 3: मिले हुए उत्तर को फिर (9) से भाग देकर जाँच सकते हैं।
Find the nearest multiple of (24) less than (200).
Step 2
Why this answer is correct
\(24 \times 8=192\) and (200-192=8), so the remainder is (8).
Step 3
Exam Tip
Practice finding nearby multiples for faster calculation. चरण 1: (24) का (200) से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(24 \times 8=192\) और (200-192=8), इसलिए शेषफल (8) है। चरण 3: तेज गणना के लिए निकट गुणज पहचानने का अभ्यास करें।
Here the divisor is (17) and the remainder is (13), since (13<17).
Step 3
Exam Tip
Always check the range of the remainder while comparing. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: यहाँ भाजक (17) है और शेषफल (13) है, क्योंकि (13<17)। चरण 3: तुलना करते समय शेषफल की सीमा अवश्य देखें।
If the remainder is greater than the divisor, divide it again and rewrite the form. चरण 1: शेषफल (11) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: (15=11+4), इसलिए (11q+15=11(q+1)+4)। चरण 3: यदि शेषफल भाजक से बड़ा हो, तो उसे फिर से बाँटकर सही रूप बनाएं।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
So the number is (6q+0), that is (6q).
Step 3
Exam Tip
Forms with zero remainder help identify multiples. चरण 1: शेषफल (0) होने का अर्थ है संख्या (6) से पूरी तरह विभाजित हो जाती है। चरण 2: इसलिए संख्या (6q+0), अर्थात (6q) के रूप में होगी। चरण 3: शून्य शेषफल वाले रूप गुणज पहचानने में सहायक होते हैं।
In the correct form, the remainder must be smaller than (32) and not negative. चरण 1: \(32 \times 8=256\) है। चरण 2: (257-256=1), इसलिए \(257=32 \times 8+1\)। चरण 3: सही रूप में शेषफल (32) से छोटा और ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।
In it, (a) and (b) are positive integers and \(b \ne 0\).
Step 3
Exam Tip
While reading the question, pay attention to the type of numbers involved. चरण 1: यह प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए प्रयोग की जाती है। चरण 2: इसमें (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक होते हैं और \(b \ne 0\) होता है। चरण 3: प्रश्न पढ़ते समय संख्या के प्रकार पर ध्यान दें।
B. भागफल (12), शेषफल (5)/Quotient (12), remainder (5)
Step 1
Concept
\(30 \times 12=360\).
Step 2
Why this answer is correct
(365-360=5), so the quotient is (12) and the remainder is (5).
Step 3
Exam Tip
Keeping the remainder smaller than the divisor decides whether the answer is valid. चरण 1: \(30 \times 12=360\)। चरण 2: (365-360=5), इसलिए भागफल (12) और शेषफल (5) है। चरण 3: शेषफल को भाजक से छोटा रखना उत्तर की वैधता तय करता है।
In (a=5q+4), the divisor is (5) and the remainder is (4).
Step 3
Exam Tip
Since (4<5), this form is already correct. चरण 1: (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: (a=5q+4) में भाजक (5) और शेषफल (4) है। चरण 3: क्योंकि (4<5), यह रूप पहले से सही है।
On division by (2), the remainder can only be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the forms are (2q) or (2q+1).
Step 3
Exam Tip
This is the basis for identifying even and odd numbers. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल केवल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: इसलिए संख्याएँ (2q) या (2q+1) के रूप में होंगी। चरण 3: यही आधार सम और विषम संख्या पहचानने में काम आता है।
If an option gives a remainder equal to or greater than (20), reject it immediately. चरण 1: \(20 \times 7=140\)। चरण 2: (148-140=8), इसलिए (r=8)। चरण 3: यदि विकल्पों में (20) या उससे बड़ा शेषफल हो, तो उसे तुरंत गलत मानें।
The remainder cannot be (14) because it equals the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(14q+14=14(q+1)+0), so the correct remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
If the remainder equals the divisor, increase the quotient by one. चरण 1: शेषफल (14) नहीं हो सकता क्योंकि वह भाजक के बराबर है। चरण 2: (14q+14=14(q+1)+0), इसलिए सही शेषफल (0) है। चरण 3: भाजक के बराबर शेषफल मिलने पर भागफल एक बढ़ा दें।
Here the divisor is (11) and the remainder is (3), so the form is (11q+3).
Step 3
Exam Tip
While writing a general form, multiply the divisor by (q). चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय के अनुसार (a=bq+r)। चरण 2: यहाँ भाजक (11) और शेषफल (3) है, इसलिए रूप (11q+3) होगा। चरण 3: सामान्य रूप लिखते समय भाजक को (q) से गुणा करें।
When division is exact, the remainder is always (0). चरण 1: \(13 \times 7=91\)। चरण 2: (91-91=0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: पूर्ण विभाजन होने पर शेषफल हमेशा (0) होता है।
To find an unknown divisor, subtract the remainder first. चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें: (73=7b+3)। चरण 2: (70=7b), इसलिए (b=10)। चरण 3: अज्ञात भाजक निकालते समय पहले शेषफल घटाएं।
The condition for the remainder is \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (r=15) and (b=16), so it is valid because (15<16).
Step 3
Exam Tip
The greatest possible remainder is (b-1). चरण 1: शेषफल की शर्त \(0 \le r < b\) है। चरण 2: यहाँ (r=15) और (b=16), इसलिए (15<16) होने से यह वैध है। चरण 3: सबसे बड़ा संभव शेषफल (b-1) होता है।
(259) is greater than (250), so the quotient is (6).
Step 3
Exam Tip
Checking the next multiple helps choose the correct quotient. चरण 1: \(37 \times 6=222\) और \(37 \times 7=259\)। चरण 2: (259) (250) से बड़ा है, इसलिए भागफल (6) होगा। चरण 3: अगला गुणज जाँचने से भागफल सही चुना जाता है।
After getting the answer, check that (28<37). चरण 1: पिछले हिसाब से (q=6) है। चरण 2: \(r=250-37 \times 6=250-222=28\)। चरण 3: उत्तर के बाद जाँचें कि (28<37) है।
A number exactly divisible by (10) has the form (10q).
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (10) end in (0).
Step 3
Exam Tip
Euclidean forms can also be used in digit-based questions. चरण 1: (10) से पूरी तरह विभाजित संख्या (10q) के रूप में होती है। चरण 2: (10) के गुणजों का अंतिम अंक (0) होता है। चरण 3: यूक्लिड रूप को अंक पहचान के सवालों में भी प्रयोग किया जा सकता है।
If division by (2) leaves remainder (1), the number has the form (2q+1).
Step 2
Why this answer is correct
Such a number is odd.
Step 3
Exam Tip
Not every odd number is prime or a perfect square, so avoid quick assumptions. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (1) हो तो संख्या (2q+1) के रूप में होती है। चरण 2: ऐसी संख्या विषम होती है। चरण 3: हर विषम संख्या अभाज्य या पूर्ण वर्ग नहीं होती, इसलिए जल्दी निष्कर्ष न निकालें।
The form (2q) is very useful for identifying even numbers. चरण 1: (n=2q) का अर्थ है (n) (2) से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: इसलिए (n) सम संख्या है। चरण 3: सम संख्या पहचानने के लिए (2q) रूप बहुत उपयोगी है।
The remainder must be smaller than (31), but (32) is larger.
Step 2
Why this answer is correct
(31q+32=31(q+1)+1), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
If the given form has a large remainder, rewrite it correctly. चरण 1: शेषफल (31) से छोटा होना चाहिए, पर (32) बड़ा है। चरण 2: (31q+32=31(q+1)+1), इसलिए शेषफल (1) है। चरण 3: दिए गए रूप में बड़ा शेषफल हो तो उसे सही रूप में बदलें।
On division by (12), the greatest possible remainder is (12-1=11).
Step 3
Exam Tip
When asked for the greatest remainder, think of (b-1). चरण 1: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है। चरण 2: (12) से भाग देने पर सबसे बड़ा शेषफल (12-1=11) होगा। चरण 3: सबसे बड़ा शेषफल पूछे तो तुरंत (b-1) सोचें।
If the number is exactly divisible by (12), the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
The smallest possible remainder is always (0). चरण 1: शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। चरण 2: यदि संख्या (12) से पूरी तरह विभाजित हो, तो शेषफल (0) होगा। चरण 3: सबसे छोटा संभव शेषफल हमेशा (0) होता है।
In questions involving (25), nearby multiples are easy to find, so use them. चरण 1: \(25 \times 17=425\)। चरण 2: (432-425=7), इसलिए शेषफल (7) है। चरण 3: (25) से जुड़े प्रश्नों में निकट गुणज जल्दी मिल जाते हैं, उनका उपयोग करें।
\(7 \times 9=63\) and \(7 \times 10=70\), which is greater than (64). So (q=9).
Step 3
Exam Tip
Take the quotient for which the product does not exceed the number. चरण 1: (7) के गुणज देखें। चरण 2: \(7 \times 9=63\) और \(7 \times 10=70\), जो (64) से बड़ा है। इसलिए (q=9)। चरण 3: भागफल वही लें जिससे गुणनफल संख्या से अधिक न हो।
After finding the quotient, subtract to get the remainder. चरण 1: (q=9) लेने पर \(7 \times 9=63\)। चरण 2: (64-63=1), इसलिए (r=1)। चरण 3: भागफल मिलने के बाद शेषफल घटाकर निकालें।
In \(58=9 \times 6+4\), the remainder is (4), and (4<9).
Step 3
Exam Tip
Along with equality, the range of the remainder must also be correct. चरण 1: सही रूप में \(0 \le r < 9\) होना चाहिए। चरण 2: \(58=9 \times 6+4\) में (4) शेषफल है और (4<9)। चरण 3: बराबरी सही होने के साथ शेषफल की सीमा भी सही होनी चाहिए।
(20) cannot be the remainder because it is greater than (18).
Step 2
Why this answer is correct
(20=18+2), so (18q+20=18(q+1)+2).
Step 3
Exam Tip
The correct remainder always lies from (0) to one less than the divisor. चरण 1: (20) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि वह (18) से बड़ा है। चरण 2: (20=18+2), इसलिए (18q+20=18(q+1)+2)। चरण 3: सही शेषफल हमेशा (0) और भाजक से एक कम तक होता है।
In division by (100), the last two digits often give the remainder, but still check (r<100). चरण 1: \(100 \times 9=900\)। चरण 2: (999-900=99), इसलिए शेषफल (99) है। चरण 3: (100) से भाग में अंतिम दो अंक अक्सर शेषफल बताते हैं, पर शर्त (r<100) भी देखें।
Zero remainder indicates exact divisibility. चरण 1: (r=0) होने पर (a=bq) बनता है। चरण 2: इसका अर्थ है (a), (b) का गुणज है। चरण 3: शून्य शेषफल पूर्ण विभाज्यता का संकेत देता है।
When dividend and divisor are equal, the remainder is (0). चरण 1: (37) को (37) से भाग देने पर एक बार पूरा भाग जाता है। चरण 2: इसलिए \(37=37 \times 1+0\), अतः (q=1) और (r=0)। चरण 3: जब भाज्य और भाजक समान हों, तो शेषफल (0) होता है।
When the dividend is smaller than the divisor, the quotient is (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(29=50 \times 0+29\), and (29<50), so it is correct.
Step 3
Exam Tip
When a smaller number is divided by a larger number, the remainder can be the smaller number itself. चरण 1: जब भाज्य भाजक से छोटा हो, तो भागफल (0) होता है। चरण 2: \(29=50 \times 0+29\) और (29<50), इसलिए यह सही है। चरण 3: छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देने पर शेषफल वही छोटी संख्या हो सकता है।
On division by (7), the possible remainders are (0,1,2,3,4,5,6).
Step 2
Why this answer is correct
There are (7) possible remainders in total.
Step 3
Exam Tip
For a divisor (b), the number of possible remainders is (b). चरण 1: (7) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3,4,5,6) हो सकते हैं। चरण 2: कुल (7) संभावित शेषफल हैं। चरण 3: किसी भाजक (b) के लिए संभावित शेषफलों की संख्या (b) होती है।
If the remainder is (b-1) and (1) is added, the new remainder becomes (0). चरण 1: (n=6q+5) लिखें। चरण 2: (n+1=6q+6=6(q+1)+0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: शेषफल (b-1) हो और (1) जोड़ा जाए, तो नया शेषफल (0) बन जाता है।
(n+5=9q+7), so the remainder on division by (9) is (7).
Step 3
Exam Tip
Add the added number to the remainder; if the sum is smaller than the divisor, it becomes the new remainder. चरण 1: (n=9q+2) लिखें। चरण 2: (n+5=9q+7), इसलिए (9) से भाग देने पर शेषफल (7) होगा। चरण 3: शेषफल में जोड़ी गई संख्या जोड़ें और यदि योग भाजक से छोटा हो तो वही नया शेषफल होता है।
A. भागफल (12), शेषफल (2)/Quotient (12), remainder (2)
Step 1
Concept
\(11 \times 12=132\) and \(11 \times 13=143\).
Step 2
Why this answer is correct
(132) is the nearest smaller multiple of (11), so the remainder is (134-132=2).
Step 3
Exam Tip
The remainder in the answer must always be less than the divisor. चरण 1: \(11 \times 12=132\) और \(11 \times 13=143\) है। चरण 2: (132), (134) से छोटा निकट गुणज है, इसलिए शेषफल (134-132=2) है। चरण 3: उत्तर में शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए।
In Euclid’s division lemma, the remainder is not negative.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is smaller than the divisor, so \(0 \le r < 14\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Taking (r=14) would be wrong because the remainder cannot equal the divisor. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: शेषफल भाजक से छोटा होता है, इसलिए \(0 \le r < 14\) सही है। चरण 3: (r=14) लेना गलत होगा क्योंकि शेषफल भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
When dividing by (10), the remainder must be less than (10), so values from (0) to (9) are possible.
Step 3
Exam Tip
Do not include the divisor among possible remainders. चरण 1: शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। चरण 2: (10) से भाग देने पर शेषफल (10) से छोटा होना चाहिए, इसलिए (0) से (9) तक मान संभव हैं। चरण 3: संभावित शेषफलों में भाजक को शामिल न करें।
To find the number, first multiply the divisor and quotient, then add the remainder. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) का प्रयोग करें। चरण 2: \(a=12 \times 9+5=108+5=113\)। चरण 3: संख्या निकालते समय पहले भाजक और भागफल का गुणा करें, फिर शेषफल जोड़ें।
On division by (6), the possible remainders are (0,1,2,3,4,5).
Step 2
Why this answer is correct
So the number is written as (6q+r) using these remainders.
Step 3
Exam Tip
While forming general forms, list all possible remainders in order. चरण 1: (6) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3,4,5) हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए संख्या (6q+r) में इन शेषफलों को रखकर लिखी जाएगी। चरण 3: सामान्य रूप बनाते समय सभी संभावित शेषफल क्रम से लिखें।
Since (9) is less than (13), \(87=13 \times 6+9\) is correct.
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than the divisor does not give the correct Euclidean form. चरण 1: \(13 \times 6=78\) और (87-78=9)। चरण 2: (9), (13) से छोटा है, इसलिए \(87=13 \times 6+9\) सही है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं देता।
The remainder must be less than (16), but (21) is larger.
Step 2
Why this answer is correct
(21=16+5), so (16q+21=16(q+1)+5).
Step 3
Exam Tip
If a large remainder appears, divide it again by the divisor and correct it. चरण 1: शेषफल (16) से छोटा होना चाहिए, पर (21) बड़ा है। चरण 2: (21=16+5), इसलिए (16q+21=16(q+1)+5)। चरण 3: बड़ा शेषफल दिखे तो उसे भाजक से फिर बाँटकर सही करें।
Remembering the meanings of symbols helps solve questions quickly. चरण 1: (a=bq+r) में (a) वह संख्या है जिसे भाग दिया जाता है। चरण 2: ऐसी संख्या को भाज्य कहा जाता है। चरण 3: प्रतीकों के अर्थ याद रखने से सवाल जल्दी हल होते हैं।
To find the unknown divisor, subtract the remainder first. चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें: (97=8b+1)। चरण 2: (96=8b), इसलिए (b=12)। चरण 3: अज्ञात भाजक निकालने से पहले शेषफल घटाना आसान तरीका है।
First match the given words with symbols, then calculate. चरण 1: भाज्य के लिए (a=bq+r) लगाएं। चरण 2: \(a=15 \times 7+4=105+4=109\)। चरण 3: दिए गए शब्दों को पहले प्रतीकों से मिलाएं, फिर गणना करें।
(41) is smaller than (60), so the quotient is (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(41=60 \times 0+41\), and (41<60), so the form is correct.
Step 3
Exam Tip
When the dividend is smaller, the remainder can be the dividend itself. चरण 1: (41), (60) से छोटा है, इसलिए भागफल (0) होगा। चरण 2: \(41=60 \times 0+41\) और (41<60), इसलिए रूप सही है। चरण 3: जब भाज्य छोटा हो, तो शेषफल वही भाज्य हो सकता है।
When the greatest remainder is asked, use (b-1). चरण 1: शेषफल भाजक से छोटा होता है। चरण 2: (19) से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक (18) है। चरण 3: सबसे बड़ा शेषफल पूछने पर (b-1) का प्रयोग करें।
If a number is exactly divisible by (19), the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
The smallest possible remainder is always (0). चरण 1: शेषफल की सीमा (0) से शुरू होती है। चरण 2: यदि संख्या (19) से पूरी तरह विभाजित हो, तो शेषफल (0) होगा। चरण 3: सबसे छोटा संभव शेषफल हमेशा (0) होता है।
If the old remainder is one less than the divisor and (1) is added, the new remainder becomes (0). चरण 1: (n=7q+6) लिखें। चरण 2: (n+1=7q+7=7(q+1)+0), इसलिए नया शेषफल (0) होगा। चरण 3: यदि पुराना शेषफल भाजक से एक कम हो और (1) जोड़ा जाए, तो शेषफल (0) हो जाता है।
If the new sum exceeds the divisor, subtract the divisor from it. चरण 1: (n=8q+5) लिखें। चरण 2: (n+6=8q+11=8(q+1)+3), इसलिए शेषफल (3) है। चरण 3: यदि नया योग भाजक से बड़ा हो जाए, तो उसमें से भाजक घटाएं।
(n+3=9q+7), so the remainder on division by (9) is (7).
Step 3
Exam Tip
Adding the increase to the old remainder is a quick method. चरण 1: (n=9q+4) मानें। चरण 2: (n+3=9q+7), इसलिए (9) से भाग देने पर शेषफल (7) होगा। चरण 3: पुराने शेषफल में जोड़ी गई संख्या जोड़कर जाँच करना तेज तरीका है।
Since (324) is greater than (310), the quotient is (11).
Step 3
Exam Tip
Always check the next multiple when choosing the quotient. चरण 1: \(27 \times 11=297\) और \(27 \times 12=324\) है। चरण 2: (324), (310) से बड़ा है, इसलिए भागफल (11) होगा। चरण 3: भागफल चुनने में अगला गुणज जरूर जाँचें।
The final remainder must be less than the divisor (27). चरण 1: \(27 \times 11=297\) है। चरण 2: (310-297=13), इसलिए शेषफल (13) है। चरण 3: अंतिम शेषफल भाजक (27) से छोटा होना चाहिए।
The remainder cannot be (12) because it equals the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(12q+12=12(q+1)+0), so the correct remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
If the remainder equals the divisor, increase the quotient by one. चरण 1: शेषफल (12) नहीं हो सकता क्योंकि वह भाजक के बराबर है। चरण 2: (12q+12=12(q+1)+0), इसलिए सही शेषफल (0) है। चरण 3: भाजक के बराबर शेषफल दिखे तो भागफल एक बढ़ा दें।
If the added part is a multiple of the divisor, the remainder can become (0). चरण 1: (46), (23) का (2) गुना है। चरण 2: (23q+46=23(q+2)+0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: यदि जोड़ा गया भाग भाजक का गुणज हो, तो शेषफल (0) बन सकता है।
In the Euclidean form (a=bq+r), (b) is the divisor and (r) is the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
Here the divisor is (5) and the remainder should be (2), so the form is (5q+2).
Step 3
Exam Tip
In a general form, multiply the divisor by (q) and add the remainder. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) में भाजक (b) और शेषफल (r) होता है। चरण 2: यहाँ भाजक (5) और शेषफल (2) चाहिए, इसलिए रूप (5q+2) होगा। चरण 3: सामान्य रूप में भाजक को (q) से गुणा करें और शेषफल जोड़ें।
On division by (12), remainders can be from (0) to (11).
Step 2
Why this answer is correct
Their total number is (12).
Step 3
Exam Tip
For a divisor (b), the number of possible remainders is (b). चरण 1: (12) से भाग देने पर शेषफल (0) से (11) तक हो सकते हैं। चरण 2: इनकी कुल संख्या (12) है। चरण 3: किसी भाजक (b) के लिए संभावित शेषफलों की संख्या (b) होती है।
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: \(31 \times 12=372\) और \(31 \times 13=403\)। चरण 2: (403) बड़ा है, इसलिए \(400=31 \times 12+28\)। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिडीय रूप नहीं है।
Adding (1) to a remainder that is one less than the divisor gives exact division. चरण 1: (a=6q+5) है। चरण 2: (a+1=6q+6=6(q+1)+0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: भाजक से एक कम शेषफल में (1) जोड़ने पर पूर्ण विभाजन हो जाता है।
If the new remainder remains less than the divisor, it is the answer. चरण 1: (a=6q+1) में पुराना शेषफल (1) है। चरण 2: (a+4=6q+5), इसलिए नया शेषफल (5) होगा। चरण 3: यदि नया शेषफल भाजक से छोटा रहे, तो वही उत्तर होता है।
The number multiplied with (8) is (9), so (9) is the quotient.
Step 3
Exam Tip
To identify the quotient, look at the multiplier written with the divisor. चरण 1: (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: (8) के साथ गुणा होने वाली संख्या (9) है, इसलिए (9) भागफल है। चरण 3: भागफल को पहचानने के लिए भाजक के साथ लिखे गुणक को देखें।
In \(75=8 \times 9+3\), (8) is the number by which division is done.
Step 3
Exam Tip
Identify the divisor by looking at the first number in the product. चरण 1: यूक्लिड रूप में (b) भाजक होता है। चरण 2: \(75=8 \times 9+3\) में (8) वह संख्या है जिससे भाग दिया गया है। चरण 3: गुणा वाले पहले अंक को देखकर भाजक पहचानें।
When dividend and divisor are the same, remember that the remainder is (0). चरण 1: किसी संख्या को उसी संख्या से भाग देने पर भागफल (1) होता है। चरण 2: \(28=28 \times 1+0\), इसलिए (q=1) और (r=0)। चरण 3: समान भाज्य और भाजक में शेषफल (0) याद रखें।
Remainder (1) on division by (2) means the number has the form (2q+1).
Step 2
Why this answer is correct
A number of the form (2q+1) is odd.
Step 3
Exam Tip
To identify an odd number, focus on remainder (1). चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (1) का अर्थ है संख्या (2q+1) के रूप में है। चरण 2: (2q+1) रूप वाली संख्या विषम होती है। चरण 3: विषम संख्या पहचानने के लिए शेषफल (1) पर ध्यान दें।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
A number exactly divisible by (2) is even.
Step 3
Exam Tip
The general form of an even number is (2q). चरण 1: शेषफल (0) होने का अर्थ है संख्या (2) से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: (2) से पूरी तरह विभाजित संख्या सम होती है। चरण 3: सम संख्या का सामान्य रूप (2q) होता है।
(a+1=3q+3=3(q+1)), so it is exactly divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
While changing the form, add the added (1) to the remainder. चरण 1: (a=3q+2) दिया है। चरण 2: (a+1=3q+3=3(q+1)), इसलिए यह (3) से पूर्ण विभाजित है। चरण 3: रूप बदलते समय जोड़े गए (1) को शेषफल में जोड़ें।
Since (520) is greater, the remainder is (518-480=38).
Step 3
Exam Tip
Avoid the next larger multiple and always use the nearest smaller multiple. चरण 1: \(40 \times 12=480\) और \(40 \times 13=520\) है। चरण 2: (520) बड़ा है, इसलिए (518-480=38) शेषफल होगा। चरण 3: निकट बड़े गुणज से बचें और हमेशा छोटे निकट गुणज का उपयोग करें।
(30) cannot be the remainder because it is greater than (29).
Step 2
Why this answer is correct
(29q+30=29(q+1)+1), so the correct remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
Always keep the remainder between (0) and (b-1). चरण 1: (30) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि यह (29) से बड़ा है। चरण 2: (29q+30=29(q+1)+1), इसलिए सही शेषफल (1) है। चरण 3: शेषफल को हमेशा (0) से (b-1) के बीच रखें।
Here (r=28), and (28<29), so it is a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
If the remainder is less than the divisor, the form is already correct. चरण 1: (a=29q+28) को (a=bq+r) से मिलाएं। चरण 2: यहाँ (r=28) है और (28<29), इसलिए यह वैध शेषफल है। चरण 3: यदि शेषफल भाजक से छोटा हो तो रूप पहले से सही होता है।
A. हर धनात्मक पूर्णांक (a) को (bq+r) के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ \(0 \le r < b\)/Every positive integer (a) can be written as (bq+r) where \(0 \le r < b\)
Step 1
Concept
The main form of Euclid’s division lemma is (a=bq+r).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is greater than or equal to (0) and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In theory questions, remembering the range of the remainder is important. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय का मुख्य रूप (a=bq+r) है। चरण 2: इसमें शेषफल (0) से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 3: सैद्धांतिक प्रश्नों में शेषफल की सीमा याद रखना जरूरी है।
A. भाज्य (45), भाजक (72) से छोटा है/Dividend (45) is smaller than divisor (72)
Step 1
Concept
\(0 \times 72+45=45\), so the dividend is (45).
Step 2
Why this answer is correct
The divisor is (72), and (45<72), so the quotient is (0) and the remainder is (45).
Step 3
Exam Tip
When the quotient is (0), the dividend is usually smaller than the divisor. चरण 1: \(0 \times 72+45=45\), इसलिए भाज्य (45) है। चरण 2: भाजक (72) है और (45<72), इसलिए भागफल (0) और शेषफल (45) है। चरण 3: जब भागफल (0) हो, तो सामान्यतः भाज्य भाजक से छोटा होता है।
Adding (1) to a remainder (b-1) makes the new remainder (0). चरण 1: (a=20q+19) में शेषफल (19) है। चरण 2: (a+1=20q+20=20(q+1)+0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: (b-1) शेषफल में (1) जोड़ने पर नया शेषफल (0) हो जाता है।
If the sum exceeds (20), subtract (20) to get the new remainder. चरण 1: (a=20q+18) है। चरण 2: (a+5=20q+23=20(q+1)+3), इसलिए शेषफल (3) होगा। चरण 3: यदि योग (20) से बड़ा हो जाए तो (20) घटाकर नया शेषफल पाएं।
If the product is exactly equal to the dividend, that multiplier is the quotient and the remainder is (0). चरण 1: \(37 \times 27=999\) है। चरण 2: इसलिए भागफल (27) और शेषफल (0) है। चरण 3: यदि गुणनफल बिल्कुल भाज्य के बराबर हो, तो भागफल वही और शेषफल (0) होता है।
In exact division, the remainder is always (0). चरण 1: \(37 \times 27=999\) है। चरण 2: (999-999=0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: पूर्ण विभाजन में शेषफल हमेशा (0) होता है।
Here the divisor is (13) and the remainder is (8), so the form is (13q+8).
Step 3
Exam Tip
In a general form, place the divisor with (q) and the remainder at the end. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) होता है। चरण 2: यहाँ भाजक (13) और शेषफल (8) है, इसलिए रूप (13q+8) होगा। चरण 3: सामान्य रूप में भाजक को (q) के साथ और शेषफल को अंत में रखें।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
In (3q+3), the remainder is (3), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written correctly as (3(q+1)). चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: (3q+3) में शेषफल (3) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे सही रूप में (3(q+1)) लिखना चाहिए।
After the greatest remainder, the next number has remainder (0) again. चरण 1: संख्या को (4q+3) लिखें। चरण 2: अगली संख्या (4q+4=4(q+1)+0) होगी। चरण 3: सबसे बड़े शेषफल के बाद अगली संख्या पर शेषफल फिर (0) हो जाता है।
The next number is (5q+1), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In consecutive numbers, remainders increase in order and then return to (0). चरण 1: संख्या (5q) के रूप में है। चरण 2: अगली संख्या (5q+1) होगी, इसलिए शेषफल (1) है। चरण 3: लगातार संख्याओं में शेषफल क्रम से बढ़ते हैं और फिर (0) पर लौटते हैं।
Since (90) is greater than (85), the quotient is (9).
Step 3
Exam Tip
For the quotient, take the greatest multiplier whose product does not exceed the dividend. चरण 1: \(9 \times 9=81\) और \(9 \times 10=90\) है। चरण 2: (90), (85) से बड़ा है, इसलिए भागफल (9) होगा। चरण 3: भागफल के लिए सबसे बड़ा ऐसा गुणक लें जिससे गुणनफल भाज्य से बड़ा न हो।
After finding the remainder, check that (4<9). चरण 1: (q=9) लेने पर \(9 \times 9=81\) मिलता है। चरण 2: (85-81=4), इसलिए (r=4) है। चरण 3: शेषफल मिलने के बाद यह जाँचें कि (4<9) है।
Remember zero remainder as a sign of exact divisibility. चरण 1: (r=0) होने पर समीकरण (a=bq) बन जाता है। चरण 2: इसका अर्थ है कि (a), (b) का गुणज है। चरण 3: शून्य शेषफल को पूर्ण विभाज्यता से जोड़कर याद रखें।
In division by (50), the remainder must be less than (50). चरण 1: \(50 \times 13=650\) है। चरण 2: (682-650=32), इसलिए शेषफल (32) है। चरण 3: (50) से भाग में शेषफल (50) से छोटा होना चाहिए।
If the new remainder exceeds the divisor, subtract the divisor from it. चरण 1: (a=50q+49) में शेषफल (49) है। चरण 2: (a+2=50q+51=50(q+1)+1), इसलिए शेषफल (1) है। चरण 3: यदि नया शेषफल भाजक से बड़ा हो जाए, तो उसमें से भाजक घटा दें।
A. भागफल (13), शेषफल (1)/Quotient (13), remainder (1)
Step 1
Concept
\(12 \times 13=156\) and \(12 \times 14=168\).
Step 2
Why this answer is correct
(156) is the nearest smaller multiple of (12), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In the correct answer, the remainder must be less than the divisor and not negative. चरण 1: \(12 \times 13=156\) और \(12 \times 14=168\) है। चरण 2: (156), (157) से छोटा निकट गुणज है, इसलिए शेषफल (1) है। चरण 3: सही उत्तर में शेषफल भाजक से छोटा और ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।
In Euclid’s division lemma, the remainder may start from (0).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is always less than the divisor (21), so \(0 \le r < 21\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Never take the remainder equal to the divisor. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। चरण 2: शेषफल हमेशा भाजक (21) से छोटा होगा, इसलिए \(0 \le r < 21\) सही है। चरण 3: शेषफल को कभी भी भाजक के बराबर न मानें।
Matching words with symbols before calculation reduces mistakes. चरण 1: भाज्य निकालने के लिए (a=bq+r) का प्रयोग करें। चरण 2: \(a=17 \times 11+9=187+9=196\)। चरण 3: शब्दों को प्रतीकों से मिलाकर गणना करने से गलती कम होती है।
On division by (13), remainders can be from (0) to (12).
Step 2
Why this answer is correct
The total number of these values is (13).
Step 3
Exam Tip
For a divisor (b), the number of possible remainders is (b). चरण 1: (13) से भाग देने पर शेषफल (0) से (12) तक हो सकते हैं। चरण 2: इन मानों की कुल संख्या (13) है। चरण 3: किसी भाजक (b) के लिए संभावित शेषफलों की संख्या (b) होती है।
B. भागफल (12), शेषफल (18)/Quotient (12), remainder (18)
Step 1
Concept
\(19 \times 12=228\) and \(19 \times 13=247\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (247) is greater, the remainder is (246-228=18).
Step 3
Exam Tip
If the next multiple is greater, use the previous multiple. चरण 1: \(19 \times 12=228\) और \(19 \times 13=247\) है। चरण 2: (247) बड़ा है, इसलिए (246-228=18) शेषफल होगा। चरण 3: अगला गुणज बड़ा हो तो पिछले गुणज का प्रयोग करें।
Since (312) is greater, \(305=24 \times 12+17\) is correct.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: \(24 \times 12=288\) और \(24 \times 13=312\) है। चरण 2: (312) बड़ा है, इसलिए \(305=24 \times 12+17\) सही है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिडीय रूप नहीं होता।
(25) cannot be the remainder because it is greater than (18).
Step 2
Why this answer is correct
(25=18+7), so (18q+25=18(q+1)+7).
Step 3
Exam Tip
Divide a large remainder again by the divisor to bring it into the correct range. चरण 1: (25) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि यह (18) से बड़ा है। चरण 2: (25=18+7), इसलिए (18q+25=18(q+1)+7)। चरण 3: बड़े शेषफल को भाजक से फिर बाँटकर सही सीमा में लाएं।
If the added part is a multiple of the divisor, the remainder can become zero. चरण 1: (36), (18) का दो गुना है। चरण 2: (18q+36=18(q+2)+0), इसलिए शेषफल (0) होगा। चरण 3: यदि जोड़ा गया भाग भाजक का गुणज हो तो शेषफल शून्य बन सकता है।
(a+4=10q+13=10(q+1)+3), so the new remainder is (3).
Step 3
Exam Tip
If the sum of remainders exceeds the divisor, subtract the divisor. चरण 1: (a=10q+9) में शेषफल (9) है। चरण 2: (a+4=10q+13=10(q+1)+3), इसलिए नया शेषफल (3) है। चरण 3: यदि शेषफल का योग भाजक से बड़ा हो जाए तो भाजक घटाएं।
\(23=11 \times 2+1\), so the new remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In addition-based questions, divide the new sum by the same divisor again. चरण 1: पुराने शेषफल (3) में (20) जोड़ें तो (23) मिलता है। चरण 2: \(23=11 \times 2+1\), इसलिए नया शेषफल (1) होगा। चरण 3: जोड़ वाले सवाल में नए योग को फिर उसी भाजक से बाँटें।
After getting the answer, check that (17<35). चरण 1: \(35 \times 12=420\) है। चरण 2: (437-420=17), इसलिए शेषफल (17) है। चरण 3: उत्तर के बाद यह जरूर जाँचें कि (17<35) है।
Since (455) is greater than (437), the quotient is (12).
Step 3
Exam Tip
Checking the next multiple helps in choosing the quotient. चरण 1: \(35 \times 12=420\) और \(35 \times 13=455\) है। चरण 2: (455), (437) से बड़ा है, इसलिए भागफल (12) होगा। चरण 3: भागफल चुनने में अगले गुणज की जाँच मदद करती है।
On division by (8), remainders can be from (0) to (7).
Step 2
Why this answer is correct
So in (8q+r), (r=0,1,2,3,4,5,6,7).
Step 3
Exam Tip
Do not include (8q+8) while writing standard forms. चरण 1: (8) से भाग देने पर शेषफल (0) से (7) तक हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए रूप (8q+r) में (r=0,1,2,3,4,5,6,7) होगा। चरण 3: सामान्य रूप लिखते समय (8q+8) शामिल न करें।
(63) is the correct nearest smaller multiple, so the remainder is (64-63=1).
Step 3
Exam Tip
The remainder must be less than (9). चरण 1: \(9 \times 7=63\) और \(9 \times 8=72\) है। चरण 2: (63) सही निकट छोटा गुणज है, इसलिए शेषफल (64-63=1) है। चरण 3: शेषफल (9) से छोटा होना चाहिए।
If the new remainder exceeds the divisor, subtract the divisor to get the answer. चरण 1: (a=7q+6) में शेषफल (6) है। चरण 2: (a+3=7q+9=7(q+1)+2), इसलिए शेषफल (2) है। चरण 3: नया शेषफल भाजक से बड़ा हो तो भाजक घटाकर उत्तर पाएं।
\(31=15 \times 2+1\), so the new remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In large addition cases, it is enough to find the remainder of the new sum. चरण 1: पुराने शेषफल (2) में (29) जोड़ने पर (31) मिलता है। चरण 2: \(31=15 \times 2+1\), इसलिए नया शेषफल (1) है। चरण 3: बड़े जोड़ में केवल नए योग का शेषफल निकालना पर्याप्त है।
In subtraction-based questions, subtract the given number from the old remainder. चरण 1: (a=20q+17) में शेषफल (17) है। चरण 2: (a-5=20q+12), इसलिए शेषफल (12) होगा। चरण 3: घटाव वाले प्रश्न में पुराने शेषफल से घटाई गई संख्या घटाएं।
(a-5=20q-2), but the remainder cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
(20q-2=20(q-1)+18), so the correct remainder is (18).
Step 3
Exam Tip
If a negative remainder appears, reduce the quotient by one and make the remainder positive. चरण 1: (a-5=20q-2) मिलता है, पर शेषफल ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: (20q-2=20(q-1)+18), इसलिए सही शेषफल (18) है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल दिखे तो भागफल एक घटाकर शेषफल धनात्मक बनाएं।
The number divides exactly, so the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
Recognizing exact division makes the calculation faster. चरण 1: \(23 \times 23=529\) है। चरण 2: संख्या पूरी तरह विभाजित हो जाती है, इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: पूर्ण विभाजन पहचानने पर गणना जल्दी पूरी हो जाती है।
The product equals the dividend, so the quotient is (23).
Step 3
Exam Tip
When the remainder is (0), the chosen multiplier is the correct quotient. चरण 1: \(23 \times 23=529\) मिलता है। चरण 2: गुणनफल भाज्य के बराबर है, इसलिए भागफल (23) है। चरण 3: जब शेषफल (0) हो, तो चुना गया गुणक ही सही भागफल होता है।
(11q+22=11(q+2)+0), so the correct remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
If the added part is exactly divisible by the divisor, the remainder becomes zero. चरण 1: (22), (11) का गुणज है। चरण 2: (11q+22=11(q+2)+0), इसलिए सही शेषफल (0) है। चरण 3: जोड़ा गया भाग यदि भाजक से पूरा विभाजित हो तो शेषफल शून्य हो जाता है।
Finding the remainder of the large added part separately is an easy method. चरण 1: (27) को (11) से बाँटें। चरण 2: \(27=11 \times 2+5\), इसलिए (11q+27=11(q+2)+5)। चरण 3: बड़े जोड़े गए भाग का अलग से शेषफल निकालना सरल तरीका है।
After the greatest remainder, the next number has remainder (0). चरण 1: संख्या को (16q+15) लिखा जा सकता है। चरण 2: अगली संख्या (16q+16=16(q+1)+0) होगी। चरण 3: सबसे बड़े शेषफल के बाद अगली संख्या पर शेषफल (0) हो जाता है।
The next number is (16q+1), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In consecutive numbers, remainders move in order like (0,1,2). चरण 1: संख्या (16q) के रूप में है। चरण 2: अगली संख्या (16q+1) होगी, इसलिए शेषफल (1) होगा। चरण 3: लगातार संख्याओं में शेषफल क्रम से (0,1,2) की तरह आगे बढ़ते हैं।
In the Euclidean form (a=bq+r), (b) is the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
In \(618=47 \times 13+7\), (47) is the number used for division.
Step 3
Exam Tip
Carefully identify the first number written in the product. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) में (b) भाजक होता है। चरण 2: \(618=47 \times 13+7\) में (47), भाग देने वाली संख्या है। चरण 3: गुणन में पहले लिखी गई संख्या को ध्यान से पहचानें।
The number multiplied with (47) is (13), so (13) is the quotient.
Step 3
Exam Tip
To identify the quotient, look at the multiplier written with the divisor. चरण 1: (a=bq+r) में (q) भागफल होता है। चरण 2: (47) के साथ गुणा होने वाली संख्या (13) है, इसलिए (13) भागफल है। चरण 3: भागफल पहचानने के लिए भाजक के साथ लिखे गुणक को देखें।
Here (7) is less than (47), so it is the remainder.
Step 3
Exam Tip
While identifying the remainder, also check its range. चरण 1: (a=bq+r) में अंत में जोड़ा गया भाग (r) होता है। चरण 2: यहाँ (7), (47) से छोटा है, इसलिए यह शेषफल है। चरण 3: शेषफल पहचानते समय उसकी सीमा भी देखें।
To find the unknown divisor, subtract the remainder first. चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें: (93=5b+8)। चरण 2: (85=5b), इसलिए (b=17)। चरण 3: अज्ञात भाजक निकालने से पहले शेषफल घटाएं।
To find the unknown quotient, subtract the remainder first. चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें: (108=15q+3)। चरण 2: (105=15q), इसलिए (q=7)। चरण 3: अज्ञात भागफल निकालते समय पहले शेषफल घटाएं।
Here the divisor is (14) and the remainder is (9), so the form is (14q+9).
Step 3
Exam Tip
In a general form, multiply the divisor by (q) and add the remainder. चरण 1: यूक्लिड विभाजन रूप (a=bq+r) है। चरण 2: यहाँ भाजक (14) और शेषफल (9) है, इसलिए रूप (14q+9) होगा। चरण 3: सामान्य रूप में भाजक को (q) से गुणा करके शेषफल जोड़ें।
On division by (9), remainders can be from (0) to (8).
Step 2
Why this answer is correct
In (9q+9), the remainder is (9), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written correctly as (9(q+1)). चरण 1: (9) से भाग देने पर शेषफल (0) से (8) तक हो सकते हैं। चरण 2: (9q+9) में शेषफल (9) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे सही रूप में (9(q+1)) लिखा जाना चाहिए।
For a large dividend, finding a nearby multiple saves time. चरण 1: \(33 \times 30=990\) है। चरण 2: (1000-990=10), इसलिए शेषफल (10) है। चरण 3: बड़े भाज्य में निकट गुणज खोजकर समय बचाया जा सकता है।
The quotient is the greatest integer whose product with the divisor does not exceed the dividend. चरण 1: \(33 \times 30=990\) और \(33 \times 31=1023\) है। चरण 2: (1023) बड़ा है, इसलिए भागफल (30) होगा। चरण 3: भागफल वह सबसे बड़ा पूर्णांक है जिससे गुणनफल भाज्य से अधिक न हो।
(8=5+3), so (2a=5(2q+1)+3) and the remainder is (3).
Step 3
Exam Tip
In multiplication-based questions, first multiply the old remainder and then divide by the divisor. चरण 1: (2a=2(5q+4)=10q+8)। चरण 2: (8=5+3), इसलिए (2a=5(2q+1)+3) और शेषफल (3) है। चरण 3: गुणा वाले प्रश्न में पहले शेषफल को गुणा करके फिर भाजक से बाँटें।
The remainder of (a) is (5), so for (3a), check \(3 \times 5=15\).
Step 2
Why this answer is correct
\(15=7 \times 2+1\), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In such questions, work with the remainder instead of the whole number. चरण 1: (a) का शेषफल (5) है, इसलिए (3a) के लिए \(3 \times 5=15\) देखें। चरण 2: \(15=7 \times 2+1\), इसलिए शेषफल (1) होगा। चरण 3: ऐसे सवाल में पूरी संख्या नहीं, केवल शेषफल पर काम करें।
After multiplication, do not forget to convert the remainder into the correct range. चरण 1: (a=4q+3) लिखें। चरण 2: (2a=8q+6=4(2q+1)+2), इसलिए शेषफल (2) है। चरण 3: गुणा करने के बाद शेषफल को सही सीमा में बदलना न भूलें।
(10) cannot be the remainder because it is greater than (6). चरण 1: (a=6q+5) मानें। चरण 2: (2a=12q+10=6(2q+1)+4), इसलिए शेषफल (4) है। चरण 3: (10) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि यह (6) से बड़ा है।
The greatest remainder can be found quickly using (b-1). चरण 1: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है। चरण 2: (25) से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक (24) है। चरण 3: सबसे बड़ा शेषफल (b-1) से तुरंत निकाला जा सकता है।
If a number is exactly divisible by (25), the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
The smallest possible remainder is always (0). चरण 1: शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। चरण 2: यदि संख्या (25) से पूरी तरह विभाजित हो जाए तो शेषफल (0) होगा। चरण 3: सबसे छोटा संभव शेषफल हमेशा (0) होता है।
(39) is smaller than (100), so the quotient is (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(39=100 \times 0+39\), and (39<100), so the form is correct.
Step 3
Exam Tip
If the dividend is smaller, the remainder can be the dividend itself. चरण 1: (39), (100) से छोटा है, इसलिए भागफल (0) होगा। चरण 2: \(39=100 \times 0+39\) और (39<100), इसलिए रूप सही है। चरण 3: भाज्य छोटा हो तो शेषफल वही भाज्य हो सकता है।
The remainder must be less than (39). चरण 1: \(39 \times 2=78\) और \(39 \times 3=117\) है। चरण 2: (117) बड़ा है, इसलिए (q=2) और (r=100-78=22)। चरण 3: शेषफल (39) से छोटा होना चाहिए।
Adding (1) to the greatest remainder brings the remainder back to (0). चरण 1: (a=bq+(b-1)) लिखें। चरण 2: (a+1=bq+b=b(q+1)+0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: सबसे बड़े शेषफल में (1) जोड़ने पर शेषफल फिर (0) हो जाता है।
Just after an exactly divisible number, the remainder is (1). चरण 1: (a=bq) पूरी तरह (b) से विभाजित है। चरण 2: (a+1=bq+1), इसलिए शेषफल (1) होगा। चरण 3: पूर्ण विभाजित संख्या के ठीक बाद शेषफल (1) आता है।
Since (280) is greater, the remainder is (275-252=23).
Step 3
Exam Tip
If the next multiple is greater, choose the previous multiple. चरण 1: \(28 \times 9=252\) और \(28 \times 10=280\) है। चरण 2: (280) बड़ा है, इसलिए (275-252=23) शेषफल होगा। चरण 3: अगला गुणज बड़ा हो तो उससे पीछे वाला गुणज लें।
Since (280) is greater than (275), the quotient is (9).
Step 3
Exam Tip
Choose the quotient whose product does not exceed the dividend. चरण 1: \(28 \times 9=252\) और \(28 \times 10=280\) है। चरण 2: (280), (275) से बड़ा है, इसलिए भागफल (9) है। चरण 3: भागफल वही लें जिससे गुणनफल भाज्य से अधिक न हो।
\(26=13 \times 2+0\), so the new remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
Do not forget to divide the new sum by the same divisor. चरण 1: पुराने शेषफल (12) में (14) जोड़ने पर (26) मिलता है। चरण 2: \(26=13 \times 2+0\), इसलिए नया शेषफल (0) है। चरण 3: नए योग को उसी भाजक से बाँटना न भूलें।
(a-3=13q-2), but the remainder should not be negative.
Step 2
Why this answer is correct
(13q-2=13(q-1)+11), so the remainder is (11).
Step 3
Exam Tip
When a negative remainder appears, add the divisor to make the correct remainder. चरण 1: (a-3=13q-2) मिलता है, पर शेषफल ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। चरण 2: (13q-2=13(q-1)+11), इसलिए शेषफल (11) है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल मिलने पर भाजक जोड़कर सही शेषफल बनाएं।
In (a=42q+41), the remainder is (41), one less than (42).
Step 2
Why this answer is correct
(a+1=42q+42=42(q+1)+0), so the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
Adding (1) to a (b-1) remainder gives exact division. चरण 1: (a=42q+41) में शेषफल (41) है, जो (42) से एक कम है। चरण 2: (a+1=42q+42=42(q+1)+0), इसलिए शेषफल (0) होगा। चरण 3: (b-1) शेषफल में (1) जोड़ने पर पूर्ण विभाजन हो जाता है।
If the sum crosses the divisor, subtract the divisor once. चरण 1: (a=42q+40) में शेषफल (40) है। चरण 2: (a+5=42q+45=42(q+1)+3), इसलिए शेषफल (3) है। चरण 3: यदि योग भाजक से आगे निकल जाए तो एक बार भाजक घटाएं।
On division by (31), the remainder must be from (0) to (30).
Step 2
Why this answer is correct
In (31q+30), the remainder is (30), which is less than (31).
Step 3
Exam Tip
A remainder (31), (37), or negative is not in standard form. चरण 1: (31) से भाग देने पर शेषफल (0) से (30) तक होना चाहिए। चरण 2: (31q+30) में शेषफल (30) है, जो (31) से छोटा है। चरण 3: शेषफल (31), (37) या ऋणात्मक हो तो वह मानक रूप नहीं होगा।
