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A. डिग्री सबसे बड़े गुणांक से नहीं, चर के सबसे बड़े घातांक से निर्धारित होती है; अतः डिग्री 5 है।
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री उसके शून्येतर पदों में चर के सबसे बड़े घातांक से मिलती है, गुणांक के आकार से नहीं। यहाँ घातांक 0, 2 और 5 हैं; सबसे बड़ा 5 है। परीक्षा में पहले पदों के घातांक लिखकर अधिकतम चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among its non-zero terms, not the largest coefficient. Here the exponents are 0, 2, and 5, so the degree is 5. Exam tip: list exponents first, then choose the maximum.
पद \(0x^8\) का गुणांक 0 है, इसलिए यह बहुपद का प्रभावी पद नहीं है। शेष अशून्य पदों \(7x^5\), \(-4x^2\) और \(1\) में सबसे अधिक घात 5 है। अतः बहुपद की डिग्री \(5\) है। विकल्प 8 गलत है, क्योंकि शून्य गुणांक वाले पद की घात डिग्री निर्धारित नहीं करती। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले सभी पद हटा दें। / The coefficient of \(0x^8\) is 0, so it does not contribute to the polynomial. Among the remaining non-zero terms, \(7x^5\), \(-4x^2\), and \(1\), the highest exponent is 5. Therefore, the degree of the polynomial is \(5\). Option 8 is incorrect because a term with zero coefficient does not determine the degree. Exam tip: Remove all zero-coefficient terms before finding the degree.
यहाँ 6x-4 और -6x-4 समान पद हैं तथा उनका योग 0 होता है। इसलिए व्यंजक सरल होकर 3x-3-2 रह जाता है। इसका उच्चतम घात वाला पद 3x-3 है, अतः बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 4 सही नहीं है, क्योंकि x-4 वाले पद परस्पर कट चुके हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को जोड़कर बहुपद को सरल करें। / The terms 6x-4 and -6x-4 are like terms, and their sum is 0. Thus, the expression simplifies to 3x-3-2. Its highest-power term is 3x-3, so the degree of the polynomial is 3. Option 4 is incorrect because the x-4 terms cancel out. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree of a polynomial.
a=-2 रखने पर a+2=0 हो जाता है, इसलिए x-7 वाला पद समाप्त हो जाता है। तब p(x)=4x-3-5 बचता है। इस बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 3 है, अतः इसकी डिग्री 3 है। 7 चुनना गलत होगा क्योंकि उसका गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले दिए गए मान को रखकर शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / Substituting a=-2 gives a+2=0, so the x-7 term disappears. The polynomial becomes p(x)=4x-3-5. Its highest power of x is 3, so its degree is 3. Choosing 7 would be incorrect because its coefficient becomes zero. Exam tip: Substitute the given value first and remove terms with zero coefficients before finding the degree.
बहुपद की डिग्री उसके सबसे बड़े घात वाले उस पद की घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। डिग्री 2 होने के लिए \(x^5\) का पद समाप्त होना चाहिए, इसलिए \(m-6=0\)। अतः \(m=6\) पर बहुपद \(2x^2+7\) बनता है, जिसकी डिग्री 2 है। \(m=-6\) जैसे मान पर \(x^5\) का गुणांक शून्य नहीं होता, इसलिए डिग्री 5 रहती है। परीक्षा टिप: किसी पैरामीटर वाले बहुपद में पहले उच्चतम घात के गुणांक को जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of a variable whose coefficient is non-zero. For the degree to be 2, the \(x^5\) term must vanish, so \(m-6=0\). Hence, \(m=6\), and the polynomial becomes \(2x^2+7\), which has degree 2. For a value such as \(m=-6\), the coefficient of \(x^5\) is not zero, so the degree remains 5. Exam tip: In a polynomial involving a parameter, first check the coefficient of the highest-power term.
सबसे बड़ी घात (7) वाले पद से डिग्री तय होती है। ऋणात्मक गुणांक डिग्री को नहीं बदलता। / The degree is decided by the term with highest power (7). A negative coefficient does not change the degree.
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 2, 10, 4 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 10 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 10 है। 4 केवल एक पद की घात है, पूरी बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: पदों का क्रम चाहे जैसा हो, हमेशा चर की सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. Here, the exponents are 2, 10, 4, and 0. The greatest exponent is 10, so the degree of the polynomial is 10. Although 4 is an exponent of one term, it is not the degree of the whole polynomial. Exam tip: The order of terms does not matter; identify the highest power of the variable.
बहुपद में जिन पदों का गुणांक 0 होता है, वे बहुपद के मान को प्रभावित नहीं करते। इसलिए q(x)=0x-6+0x-4-13x+9 को -13x+9 लिखा जा सकता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 1 है, अतः बहुपद की डिग्री 1 है। 6 और 4 को नहीं लिया जाएगा, क्योंकि x-6 तथा x-4 के गुणांक शून्य हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / Terms with coefficient 0 do not contribute to a polynomial. Thus, q(x)=0x-6+0x-4-13x+9 simplifies to -13x+9. The highest exponent of x in this polynomial is 1, so its degree is 1. Degrees 6 and 4 are not considered because the coefficients of x-6 and x-4 are zero. Exam tip: First remove all terms with zero coefficients before finding the degree.
यहाँ \(x^0=1\) होता है, इसलिए \(2x^0=2\)। बहुपद को \(9x^5-4x^2+2\) लिखा जा सकता है। इसका शून्येतर गुणांक वाला सबसे बड़ा घातांक \(5\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री \(5\) है। \(2\) केवल एक पद की घात है, पूरी बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(x^0\) जैसे पदों को सरल करें, फिर सबसे बड़ी घात देखें। / Since \(x^0=1\), \(2x^0=2\). The polynomial can be written as \(9x^5-4x^2+2\). The greatest exponent of \(x\) with a non-zero coefficient is \(5\), so the degree of the polynomial is \(5\). The value \(2\) is only the degree of one term, not of the whole polynomial. Exam tip: simplify terms such as \(x^0\) first, then identify the highest exponent.
(-24) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, क्योंकि इसमें किसी चर का पद नहीं है। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री 0 होती है। 1 डिग्री वाले बहुपद में चर की उच्चतम घात 1 होती है, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: केवल शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती है; अशून्य नियतांक की डिग्री 0 होती है। / (-24) is a non-zero constant polynomial because it contains no variable term. The degree of every non-zero constant polynomial is 0. A polynomial of degree 1 must have a variable with highest power 1, which is absent here. Exam tip: only the zero polynomial has an undefined degree; a non-zero constant has degree 0.
यह शून्य बहुपद है और इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा में इसे नियतांक (0) से अलग पहचानें। / This is the zero polynomial and its degree is not defined. In exams, identify it separately from non-zero constants.
बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है और यह घन बहुपद कहलाता है। \(-4x\) की घात 1 होने से वर्गीकरण नहीं बदलता। परीक्षा टिप: हमेशा सबसे बड़ी घात देखें। / The highest exponent of \(x\) is 3, so the polynomial has degree 3 and is cubic. The term \(-4x\) has exponent 1, so it does not determine the classification. Exam tip: identify the highest exponent first.
समान घात वाले पदों को मिलाने पर \(8x^6-3x^6=5x^6\), इसलिए बहुपद \(5x^6+2x^3-7\) बनता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 6 है, अतः इसकी डिग्री 6 है। विकल्प 5 गुणांक \(5x^6\) से भ्रमित करने वाला है; डिग्री गुणांक नहीं, चर की सबसे बड़ी घात होती है। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को सरल करें, फिर शून्येतर पदों में सबसे बड़ी घात देखें। / Combining like terms gives \(8x^6-3x^6=5x^6\), so the polynomial becomes \(5x^6+2x^3-7\). The greatest exponent of the variable is 6; therefore, its degree is 6. Option 5 confuses the coefficient in \(5x^6\) with the degree. The degree is the highest power of the variable, not its coefficient. Exam tip: simplify like terms first, then identify the highest exponent among the non-zero terms.
बहुपद की डिग्री उस पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। क्योंकि \(r\neq0\), इसलिए \(rx^8\) शून्येतर पद है। इस बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(8\) है, अतः इसकी डिग्री \(8\) है। विकल्प 3 में \(x^3\) की घात है, पर वह सबसे बड़ी घात नहीं है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले पद की घात लेने से पहले उसके गुणांक के शून्य या अशून्य होने की शर्त अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in a term whose coefficient is non-zero. Since \(r\neq0\), \(rx^8\) is a non-zero term. The greatest power of \(x\) in the polynomial is \(8\), so its degree is \(8\). Option 3 represents the exponent of \(x^3\), but it is not the highest exponent. Exam tip: Before finding degree when a parameter is present, check whether its coefficient is zero or non-zero.
जब \(r=0\) होता है, तब \(rx^8=0\cdot x^8=0\) हो जाता है। इसलिए व्यंजक \(-5x^3+2\) रह जाता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, अतः बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 8 गलत है क्योंकि \(x^8\) का गुणांक शून्य होने पर वह पद बहुपद में नहीं रहता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / When \(r=0\), \(rx^8=0\cdot x^8=0\). The expression therefore becomes \(-5x^3+2\). The highest power of \(x\) with a non-zero coefficient is 3, so the degree is 3. Option 8 is incorrect because the \(x^8\) term vanishes when its coefficient is zero. Exam tip: remove all terms with zero coefficients before finding the degree.
बहुपद की डिग्री उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 4, 2 और 0 हैं; सबसे बड़ी घात 4 है। इसलिए सही उत्तर 4 है। 12 स्थिर पद है, उसकी घात 0 होती है, इसलिए वह डिग्री नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें, गुणांक का मान नहीं। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable with a non-zero coefficient. Here, the exponents of the terms are 4, 2, and 0, and the greatest is 4. Therefore, the correct answer is 4. The number 12 is a constant term, so its exponent is 0; it does not determine the degree. Exam tip: To find degree, look for the highest power of the variable, not the numerical coefficient.
(x) के संदर्भ में इसमें (x) नहीं है इसलिए यह अशून्य नियतांक जैसा है। इसकी डिग्री (0) है। / With respect to (x), it has no (x), so it behaves like a non-zero constant. Its degree is (0).
बहुपद की डिग्री उस चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। \(7x^3-2x+1\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। \(4x^2-7x+9\) की डिग्री 2 है, जबकि \(x^4+x^2-5\) की डिग्री 4 है। \(12\) एक अचर बहुपद है, जिसकी डिग्री 0 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद को सरल रूप में देखकर सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable whose coefficient is non-zero. In \(7x^3-2x+1\), the highest power of \(x\) is 3, so its degree is 3. \(4x^2-7x+9\) has degree 2, while \(x^4+x^2-5\) has degree 4. \(12\) is a non-zero constant polynomial and has degree 0. Exam tip: first identify the term with the greatest power after simplifying the polynomial.
व्यंजक को फैलाने पर 3x-3 को दोनों पदों से गुणा करते हैं: 3x-3\(2x^2-5\)=6x-5-15x-3। इसमें x की सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। 3 केवल दूसरे पद की घात है, जबकि 6 गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: फैलाने के बाद शून्येतर गुणांक वाले पद में चर की सबसे बड़ी घात ही डिग्री होती है। / On expanding, multiply 3x-3 by both terms: 3x-3\(2x^2-5\)=6x-5-15x-3. The highest power of x is 5, so the degree of the polynomial is 5. Here, 3 is the power in the second term, while 6 is a coefficient, not a degree. Exam tip: after simplifying, the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient gives the degree.
पहले गुणा करें: \(x^3(x^2+2)=x^5+2x^3\)। अतः व्यंजक \(x^5+2x^3-x^5+7x^2=2x^3+7x^2\) होगा। \(x^5\) के पद परस्पर कट जाते हैं और शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि \(x^5\) पद सरल करने के बाद नहीं बचता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को जोड़कर या घटाकर बहुपद को सरल करें। / First expand: \(x^3(x^2+2)=x^5+2x^3\). Thus, the expression becomes \(x^5+2x^3-x^5+7x^2=2x^3+7x^2\). The \(x^5\) terms cancel, and the highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 3. Therefore, its degree is 3. Option 5 is incorrect because the \(x^5\) term does not remain after simplification. Exam tip: Always simplify and combine like terms before finding the degree of a polynomial.
\(-5\) एक अशून्य अचर बहुपद है। अशून्य अचर बहुपद में चर का कोई घात नहीं होता, इसलिए उसकी डिग्री \(0\) होती है। \(x\) की डिग्री \(1\) और \(x^2+1\) की डिग्री \(2\) है। \(0\) शून्य बहुपद है, जिसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा टिप: केवल अशून्य अचर बहुपद की डिग्री \(0\) लिखें। / \(-5\) is a non-zero constant polynomial. Since it contains no variable with a positive power, its degree is \(0\). The degree of \(x\) is \(1\), while that of \(x^2+1\) is \(2\). \(0\) is the zero polynomial, whose degree is not defined. Exam tip: degree \(0\) applies only to non-zero constant polynomials.
A. बहुपद की डिग्री 5 है, क्योंकि \(6x^2y^3\) की डिग्री \(2+3=5\) है।/The degree is 5 because the degree of \(6x^2y^3\) is \(2+3=5\).
Explanation
Simple Explanation
बहुचरीय बहुपद में किसी पद की डिग्री उसके चरों की घातों का योग होती है। \(6x^2y^3\) की डिग्री \(2+3=5\) है, जो सबसे अधिक है। केवल \(y\) की घात देखना गलत है। परीक्षा में हर पद की कुल घात जाँचें। / In a multivariable polynomial, a term’s degree is the sum of the exponents of its variables. For \(6x^2y^3\), it is \(2+3=5\), the greatest term degree. Looking only at the exponent of \(y\) is incorrect. Exam tip: add exponents in each term.
जिस बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 1 होती है, उसकी डिग्री 1 होती है और उसे रेखीय बहुपद कहते हैं। उदाहरण के लिए, \(3x-5\) एक रेखीय बहुपद है। नियतांक बहुपद की डिग्री 0 होती है, जबकि द्विघात और त्रिघात बहुपदों की डिग्री क्रमशः 2 और 3 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार पहचानने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A polynomial whose highest power of the variable is 1 has degree 1 and is called a linear polynomial. For example, \(3x-5\) is a linear polynomial. A constant polynomial has degree 0, while quadratic and cubic polynomials have degrees 2 and 3 respectively. Exam tip: identify the type of a polynomial by its highest power of the variable.
समान पदों को मिलाने पर 2x-5-5x-5=-3x-5 होता है। अतः f(x)=-3x-5+3x-2-8 है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। 2 डिग्री नहीं है, क्योंकि x-5 का पद सरल करने के बाद भी शून्य नहीं होता। परीक्षा टिप: पहले समान घात वाले पदों को जोड़कर या घटाकर बहुपद को सरल करें, फिर सबसे बड़ी शेष घात देखें। / Combining like terms gives 2x-5-5x-5=-3x-5. Thus, f(x)=-3x-5+3x-2-8. The highest power of x is 5, so the degree of the polynomial is 5. It is not 2 because the x-5 term does not cancel completely. Exam tip: simplify by combining like terms first, then identify the highest remaining exponent.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का सबसे बड़ा मान होती है। पद \(5x^2y^3\) की कुल घात \(2+3=5\) है, \(4xy\) की कुल घात \(1+1=2\) है और अचर \(-6\) की घात 0 है। इसलिए बहुपद की कुल डिग्री 5 है। विकल्प 2 केवल \(4xy\) की कुल घात है, पूरी बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की घातों को जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of variables in any one term. For \(5x^2y^3\), the sum is \(2+3=5\); for \(4xy\), it is \(1+1=2\); and the constant \(-6\) has degree 0. Therefore, the polynomial has total degree 5. Option 2 is only the degree of \(4xy\), not of the whole polynomial. Exam tip: Add the exponents within each term and select the greatest sum.
पहले पद की कुल घात (3+2=5) और दूसरे पद की (1+4=5) है। इसलिए कुल डिग्री (5) है। / The total power of the first term is (3+2=5) and of the second term is (1+4=5). Therefore the total degree is (5).
(x) के सापेक्ष डिग्री ज्ञात करते समय (y) को स्थिर गुणांक माना जाता है। दिए गए व्यंजक में (x) की घातें 3, 1 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। (y) की घात 5 होने पर भी डिग्री 5 नहीं होगी, क्योंकि प्रश्न केवल (x) के सापेक्ष है। परीक्षा टिप: बहुचर वाले व्यंजक में पहले देखिए कि डिग्री किस चर के सापेक्ष पूछी गई है। / To find the degree with respect to (x), treat (y) as a constant coefficient. The powers of (x) in the expression are 3, 1, and 0. The greatest power is 3, so the degree is 3. Although (y) has power 5, the degree is not 5 because the question asks specifically with respect to (x). Exam tip: In a multivariable expression, first identify the variable with respect to which the degree is required.
बहुपद को केवल \(y\) के संदर्भ में देखने पर \(x\) को गुणांक माना जाता है। पदों में \(y\) की घातें \(2\), \(5\) और \(0\) हैं। इनमें सबसे बड़ी घात \(5\) है, इसलिए बहुपद की \(y\) के सापेक्ष डिग्री \(5\) है। \(3\) को चुनना गलत होगा, क्योंकि वह \(x\) की घात है, \(y\) की नहीं। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें। / When the polynomial is considered with respect to \(y\), \(x\) is treated as part of the coefficient. The powers of \(y\) in the terms are \(2\), \(5\), and \(0\). The greatest of these is \(5\), so the degree with respect to \(y\) is \(5\). Choosing \(3\) would be incorrect because it is the power of \(x\), not of \(y\). Exam tip: For degree with respect to one variable, look only at the highest power of that variable.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (-12) बचता है। (-12) अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (-12) remains. (-12) is a non-zero constant polynomial of degree (0).
डिग्री (2) के लिए \(x^3\) पद हटना चाहिए और \(x^2\) पद बचना चाहिए। (t=-4) पर दोनों शर्तें पूरी होती हैं। / For degree (2), the \(x^3\) term must vanish and the \(x^2\) term must remain. At (t=-4), both conditions hold.
(u=2) पर \(x^6\) का गुणांक (0) और \(x^4\) का गुणांक (5) होता है। इसलिए डिग्री (4) है। / At (u=2), the coefficient of \(x^6\) is (0) and the coefficient of \(x^4\) is (5). Therefore the degree is (4).
बहुपद की घात चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। \(7x^4-x+2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए यह चतुर्थ घात का बहुपद है। \(2x^5+x-1\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन उसकी घात 5 है। परीक्षा टिप: स्थिर पद की घात नहीं, बल्कि चर वाले पदों में सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient. In \(7x^4-x+2\), the highest power of \(x\) is 4, so it is a polynomial of degree four. The closest distractor, \(2x^5+x-1\), has degree 5, not 4. Exam tip: identify the term containing the highest power of the variable.
यहाँ x, (x+4) और (x-5) तीनों रैखिक गुणनखंड हैं, जिनमें प्रत्येक की डिग्री 1 है। गुणन में बहुपदों की डिग्रियाँ जुड़ती हैं: 1+1+1=3। इसलिए इस बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 2 केवल दो रैखिक गुणनखंडों के गुणन के लिए होता। परीक्षा टिप: गुणनखंडों के रूप में दिए बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए प्रत्येक गुणनखंड की डिग्री जोड़ें। / Here, x, (x+4), and (x-5) are three linear factors, each of degree 1. When polynomials are multiplied, their degrees add: 1+1+1=3. Therefore, the degree of the polynomial is 3. Option 2 would apply to a product of only two linear factors. Exam tip: For a polynomial given in factorised form, add the degrees of its factors.
दिए गए व्यंजक में समान पदों का योग करने पर \(5x^7-5x^7=0\) हो जाता है। अतः \(g(x)=x^5-x^2\) है। इसमें शून्येतर गुणांक वाला सबसे बड़ा घातांक 5 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। 7 चुनना गलत होगा, क्योंकि \(x^7\) वाले पद परस्पर निरस्त हो चुके हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को सरल करें। / On combining like terms, \(5x^7-5x^7=0\). Thus, \(g(x)=x^5-x^2\). The highest exponent having a non-zero coefficient is 5, so the degree of the polynomial is 5. Choosing 7 would be incorrect because the \(x^7\) terms cancel each other. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में x की घातें 3, 5, 7 और 9 हैं; इनमें सबसे बड़ी घात 9 है। इसलिए इसकी डिग्री 9 है। 7 निकटतम विचलनकारी विकल्प है, पर x-9 पद मौजूद होने के कारण डिग्री 7 नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: बहुपद के सभी पदों में चर की सर्वाधिक घात पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. In the given polynomial, the powers of x are 3, 5, 7, and 9; the greatest is 9. Hence, its degree is 9. Although 7 is a close distractor, the term x-9 is present, so the degree cannot be 7. Exam tip: identify the highest power of the variable among all the terms.
A. डिग्री 5 है, क्योंकि शून्येतर गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात 5 है।/The degree is 5 because the highest exponent of a term with a non-zero coefficient is 5.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री शून्येतर गुणांक वाले किसी भी पद की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ घातें 2, 5 और 0 हैं; सबसे बड़ी 5 है। पहला पद डिग्री तय नहीं करता। परीक्षा में पदों के क्रम पर नहीं, सबसे बड़ी घात पर ध्यान दें। / The degree is the greatest exponent among terms having non-zero coefficients. Here the exponents are 2, 5, and 0, so the degree is 5. The first written term does not decide it. Exam tip: scan every term and select the highest power of the variable.
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ x की घातें 11, 8, 4 और 0 हैं; इनमें सबसे बड़ी घात 11 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 11 है। 4 केवल x^{11} का गुणांक है, जबकि 8 दूसरे पद की घात है। परीक्षा टिप: स्थिर पद की घात 0 मानें और सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in a term with a non-zero coefficient. Here, the exponents of x are 11, 8, 4, and 0; the greatest is 11. Therefore, the degree of the polynomial is 11. The number 4 is only the coefficient of x^{11}, while 8 is the exponent in another term. Exam tip: Treat a constant term as having exponent 0 and identify the highest exponent.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ n > 4 है, इसलिए x^n की घात 4 से बड़ी है और वही सबसे बड़ी घात होगी। डिग्री 9 दी गई है, अतः n = 9। विकल्प 4 सही नहीं है, क्योंकि प्रश्न में n > 4 दिया है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक शून्य न होने की जाँच करें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable whose coefficient is non-zero. Since n > 4, the exponent n in x^n is greater than 4, so it must be the highest exponent. As the degree is given as 9, n = 9. Option 4 is not possible because the question states n > 4. Exam tip: while finding degree, check that the coefficient of the highest-power term is not zero.
A. (a) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है/(a) can be any real number
Explanation
Simple Explanation
\(x^5\) का गुणांक (1) है जो शून्य नहीं है। इसलिए (a) का मान डिग्री (5) को नहीं बदलता। / The coefficient of \(x^5\) is (1), which is non-zero. So the value of (a) does not change degree (5).
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (19) बचता है। यह डिग्री (0) का अशून्य नियतांक बहुपद है। / Terms with zero coefficients disappear and (19) remains. It is a non-zero constant polynomial of degree (0).
\(4x^3-8x+1\) में सबसे बड़ी घात \(3\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(3\) है। इसमें \(x^2\) का पद नहीं है, अतः \(x^2\) का गुणांक \(0\) माना जाता है। विकल्प B में \(x^2\) का गुणांक \(1\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: अनुपस्थित घात वाले पद का गुणांक हमेशा \(0\) लिखें। / In \(4x^3-8x+1\), the highest power of \(x\) is \(3\), so its degree is \(3\). Since there is no \(x^2\) term, the coefficient of \(x^2\) is \(0\). In option B, the coefficient of \(x^2\) is \(1\), so it is not correct. Exam tip: The coefficient of a missing power term is always \(0\).
दिया गया व्यंजक फैलाने पर \(x^4(3x^2-2)+5x^3=3x^6-2x^4+5x^3\) प्राप्त होता है। इसमें \(x\) की सबसे अधिक घात 6 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 6 है। \(x^4\) को केवल देखकर 4 चुनना गलत होगा, क्योंकि इसे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल या विस्तृत करें, फिर शून्येतर गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात पहचानें। / Expanding the expression gives \(x^4(3x^2-2)+5x^3=3x^6-2x^4+5x^3\). The highest power of \(x\) is 6, so the degree of the polynomial is 6. Choosing 4 by looking only at \(x^4\) is incorrect because it must be multiplied by each term inside the bracket. Exam tip: simplify or expand a polynomial first, then identify the highest exponent with a non-zero coefficient.
(s=-1) पर \(x^5\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक (3) है। इसलिए डिग्री (2) है। / At (s=-1), the coefficient of \(x^5\) is (0) and the coefficient of \(x^2\) is (3). Therefore the degree is (2).
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का सबसे बड़ा मान होती है। यहाँ 4x-3y की कुल घात 3+1=4, 2xy-5 की कुल घात 1+5=6 तथा स्थिर पद 6 की घात 0 है। इसलिए सबसे बड़ी कुल घात 6 है। 4 केवल पहले पद की कुल घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की कुल घात अलग-अलग निकालकर सबसे बड़ा मान चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any term. Here, the total degree of 4x-3y is 3+1=4, that of 2xy-5 is 1+5=6, and the constant term 6 has degree 0. Therefore, the greatest total degree is 6. Option 4 is only the degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: Find the total degree of each term separately, then select the greatest value.
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(6x^5+7\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(5\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(5\) है, \(6\) नहीं। जबकि अन्य तीनों विकल्पों में \(x^6\) वाला पद उपस्थित है, इसलिए उनकी डिग्री \(6\) है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात वाला पद पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of \(x\) with a non-zero coefficient. In \(6x^5+7\), the greatest exponent of \(x\) is \(5\), so its degree is \(5\), not \(6\). Each of the other options contains a non-zero \(x^6\) term and therefore has degree \(6\). Exam tip: identify the term with the highest power of \(x\) before deciding the degree.
\(v\neq-3\) होने पर \(x^7\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (7) रहेगी। / When \(v\neq-3\), the coefficient of \(x^7\) is not zero. Therefore the highest power remains (7).
रैखिक बहुपद की डिग्री 1 होती है। \(5x-7\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। \(x^2+4x+1\) की डिग्री 2 और \(3x^3-2\) की डिग्री 3 है। \(\frac{1}{x}+5\) बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें \(x\) की घात \(-1\) है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल 0, 1, 2, 3 आदि गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / A linear polynomial has degree 1. In \(5x-7\), the highest exponent of the variable \(x\) is 1, so it is a linear polynomial. \(x^2+4x+1\) has degree 2, and \(3x^3-2\) has degree 3. \(\frac{1}{x}+5\) is not a polynomial because it contains \(x^{-1}\). Exam tip: in a polynomial, variable exponents must be non-negative integers such as 0, 1, 2, and 3.
(z=4) रखने पर \(x^9\) का गुणांक (0) और \(x^6\) का गुणांक (3) होता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (6) है। / Putting (z=4) makes the coefficient of \(x^9\) equal to (0) and the coefficient of \(x^6\) equal to (3). So the highest power is (6).
B. \(x^5\) के पद निरस्त हो जाते हैं; प्राप्त बहुपद \(3x^2+x\) की डिग्री 2 है/The \(x^5\) terms cancel; the resulting polynomial \(3x^2+x\) has degree 2
Explanation
Simple Explanation
जोड़ने पर समान घात वाले पदों को मिलाते हैं: \(x^5+(-x^5)=0\)। इसलिए प्राप्त बहुपद \(3x^2+x\) है, जिसका शून्येतर पदों में सबसे बड़ा घात 2 है। अतः इसकी डिग्री 2 है। विकल्प A में \(x^5\) पदों के विपरीत गुणांक होने से उनका निरस्तीकरण अनदेखा किया गया है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद पहले सरल कीजिए, फिर सबसे बड़ी शेष घात से डिग्री ज्ञात कीजिए। / When adding polynomials, combine terms with the same exponent: \(x^5+(-x^5)=0\). Thus, the resulting polynomial is \(3x^2+x\), whose highest exponent among its non-zero terms is 2. Therefore, its degree is 2. Option A ignores that the \(x^5\) terms have opposite coefficients and cancel. Exam tip: simplify the polynomial first, then identify the highest remaining exponent to find its degree.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(3x^5\) पद की घात 5 है। चूँकि \(n<5\) दिया है, इसलिए \(4x^n\) की घात 5 से कम होगी और बहुपद की डिग्री 5 ही रहेगी। \(n=3\) इस शर्त को पूरा करता है। \(n=5\) संभव नहीं है, क्योंकि प्रश्न में \(n<5\) है, \(n\leq5\) नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात के साथ दी गई असमानता को भी अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable. Here, the term \(3x^5\) has power 5. Since \(n<5\), the power of \(4x^n\) is less than 5, so the polynomial still has degree 5. Thus, \(n=3\) is possible. \(n=5\) is not allowed because the condition is \(n<5\), not \(n\leq5\). Exam tip: While finding degree, always check any condition given on the exponent as well.
