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A. परावर्तक, सममित, संक्रामक/Reflexive, symmetric, transitive
Step 1
Concept
An equivalence relation is identified by three properties.
Step 2
Why this answer is correct
It must be reflexive, symmetric, and transitive together.
Step 3
Exam Tip
In exams, never decide by checking only one or two properties. चरण 1: तुल्यता संबंध की पहचान तीन गुणों से होती है। चरण 2: उसमें हर तत्व अपने से जुड़ा हो, उलटा क्रम भी हो और जुड़ाव आगे बढ़े। चरण 3: परीक्षा में हमेशा परावर्तक, सममित और संक्रामक तीनों जाँचें।
Every integer has the same absolute value as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Equality of absolute values is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
Relations based on equality usually become equivalence relations after all three checks. चरण 1: हर पूर्णांक का परिमाण अपने परिमाण के बराबर होता है, इसलिए परावर्तकता है। चरण 2: परिमाण की बराबरी उलटने पर भी सही रहती है और तीसरी संख्या तक भी बनी रहती है। चरण 3: बराबरी पर आधारित संबंधों में तीनों गुण शांत मन से जाँचें।
A. क्योंकि हर ((a,a)) संबंध में होता है/Because every ((a,a)) is in the relation
Step 1
Concept
A relation is reflexive if every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
The universal relation contains all pairs of \(A\times A\), so each ((a,a)) is present.
Step 3
Exam Tip
For a non-empty set, the universal relation is always reflexive. चरण 1: परावर्तक होने के लिए हर तत्व का अपने साथ युग्म होना चाहिए। चरण 2: सर्वसम संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं, इसलिए ((a,a)) भी होते हैं। चरण 3: सर्वसम संबंध को छोटे समुच्चय पर जल्दी परावर्तक मान सकते हैं।
The relation holds only when both elements are in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) and (5) both lie in ({3,5}), so \((3,5)\in R\).
Step 3
Exam Tip
In class-based questions, first locate the two elements in the given groups. चरण 1: संबंध उसी समय बनेगा जब दोनों तत्व एक ही वर्ग में हों। चरण 2: (3) और (5) दोनों ({3,5}) में हैं, इसलिए ((3,5)) संबंध में होगा। चरण 3: वर्गों से बने प्रश्न में पहले दिए गए समूहों को ध्यान से पढ़ें।
All self-pairs are present and reverse pairs are also visible.
Step 2
Why this answer is correct
But ((1,2)) and ((2,3)) should imply ((1,3)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
For transitivity, look for pairs whose middle element matches. चरण 1: सभी अपने युग्म हैं और उलटे युग्म भी दिख रहे हैं। चरण 2: लेकिन ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलना चाहिए, जो संबंध में नहीं है। चरण 3: संक्रामकता जाँचते समय बीच वाला तत्व समान वाले युग्म खोजें।
Reflexivity is necessary for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no self-pairs such as ((1,1)).
Step 3
Exam Tip
On a non-empty set, the empty relation is not an equivalence relation. चरण 1: तुल्यता संबंध के लिए परावर्तक होना जरूरी है। चरण 2: रिक्त संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3)) जैसे युग्म नहीं हैं। चरण 3: खाली संबंध को अरिक्त समुच्चय पर तुल्यता संबंध न मानें।
In the given set, (8) also leaves remainder (0), so (4) and (8) are in the same class.
Step 3
Exam Tip
In remainder-class questions, use only elements from the given set. चरण 1: (4) को (4) से भाग देने पर शेषफल (0) आता है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (8) का भी शेषफल (0) है, इसलिए (4) और (8) एक ही वर्ग में हैं। चरण 3: शेषफल वाले प्रश्न में केवल दिए गए समुच्चय के तत्व ही लें।
When the middle element matches, check transitivity. चरण 1: तुल्यता संबंध संक्रामक होता है। चरण 2: ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलना चाहिए। चरण 3: दो जुड़े हुए युग्मों में बीच वाला तत्व समान हो तो संक्रामकता लगाएँ।
If (a-b) is even, then (b-a) is even, and even differences combine transitively.
Step 3
Exam Tip
Same parity is a standard equivalence relation. चरण 1: (a-a=0) सम है, इसलिए परावर्तक गुण है। चरण 2: यदि (a-b) सम है तो (b-a) भी सम है और सम अंतरों का जोड़ भी सम रहता है। चरण 3: समान सम-विषम प्रकृति वाला संबंध सामान्य तुल्यता संबंध का उदाहरण है।
Modulo (n) usually gives (n) equivalence classes. चरण 1: \( \pmod{3}\) में शेषफल केवल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: समान शेषफल वाले पूर्णांक एक ही वर्ग में आते हैं। चरण 3: \( \pmod{n}\) में सामान्यतः (n) तुल्यता वर्ग होते हैं।
Every element equals itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
Equality is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
Equality is the simplest example of an equivalence relation. चरण 1: हर तत्व अपने बराबर होता है, इसलिए परावर्तक गुण है। चरण 2: बराबरी में उलटा क्रम और आगे जोड़ना दोनों सही रहते हैं। चरण 3: बराबरी का संबंध तुल्यता संबंध का सबसे सरल उदाहरण है।
Self-pairs, reverse pairs, and transitive pairs are all included.
Step 3
Exam Tip
The universal relation is always an equivalence relation. चरण 1: \(A\times A\) में सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए अपने युग्म, उलटे युग्म और संक्रामकता के लिए जरूरी युग्म सब मौजूद हैं। चरण 3: सर्वसम संबंध हमेशा तुल्यता संबंध होता है।
A relation is reflexive when every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Pairs like ((a,a)) show this property.
Step 3
Exam Tip
Check reflexivity first when testing equivalence. चरण 1: हर तत्व का अपने साथ संबंध होना परावर्तक गुण कहलाता है। चरण 2: ((a,a)) जैसे युग्म इसी बात को दिखाते हैं। चरण 3: तुल्यता संबंध जाँचते समय सबसे पहले परावर्तकता देखें।
Symmetry means the reverse pair must also belong to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) is present, ((b,a)) must be present.
Step 3
Exam Tip
In exams, look for reverse pairs quickly. चरण 1: युग्म को उलटने पर भी संबंध में रहना सममित गुण है। चरण 2: ((a,b)) और ((b,a)) दोनों का होना जरूरी है। चरण 3: परीक्षा में सममितता के लिए उलटे युग्म तुरंत खोजें।
Transitivity connects two related pairs to form a third pair.
Step 2
Why this answer is correct
When the middle element (b) matches, ((a,c)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Order matters in transitivity. चरण 1: दो संबंधों को जोड़कर तीसरा संबंध मिलना संक्रामक गुण है। चरण 2: बीच का तत्व (b) समान होने पर ((a,c)) की जाँच की जाती है। चरण 3: संक्रामकता में क्रम का ध्यान रखना बहुत जरूरी है।
A. यह वास्तव में तुल्यता संबंध है/It is actually an equivalence relation
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
The pair ((1,2)) has its reverse, and transitivity is not violated.
Step 3
Exam Tip
Check each property carefully before rejecting a relation. चरण 1: सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तकता है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, और संक्रामकता से कोई नया छूटा हुआ युग्म नहीं बनता। चरण 3: छोटे समुच्चय में हर गुण अलग-अलग जाँचें, अनुमान न लगाएँ।
Reflexivity needs every element of (A) to be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
The pair ((3,3)) is missing here.
Step 3
Exam Tip
First check all self-pairs in equivalence questions. चरण 1: परावर्तकता के लिए (A) के हर तत्व का अपने साथ युग्म चाहिए। चरण 2: यहाँ (3) के लिए ((3,3)) नहीं है। चरण 3: तुल्यता संबंध में सबसे पहले सभी ((a,a)) युग्म जाँचें।
Every number has the same parity as itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Same parity is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
Relations based on a shared category often form equivalence relations. चरण 1: हर संख्या अपने जैसी सम-विषम प्रकृति रखती है, इसलिए परावर्तकता है। चरण 2: समान प्रकृति उलटने पर भी समान रहती है और आगे भी बनी रहती है। चरण 3: समानता पर आधारित वर्गीकरण अक्सर तुल्यता संबंध देता है।
A. समान शेषफल \( \pmod{5}\)/Same remainder \( \pmod{5}\)
Step 1
Concept
If (a-b) is divisible by (5), the two integers have the same remainder modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
So the relation is based on congruence modulo (5).
Step 3
Exam Tip
For divisibility relations, think in terms of remainder classes. चरण 1: (a-b) का (5) से विभाज्य होना बताता है कि दोनों संख्याओं का शेषफल (5) से भाग देने पर समान है। चरण 2: इसलिए यह \( \pmod{5}\) की तुल्यता से जुड़ा है। चरण 3: विभाज्यता वाले ऐसे संबंधों में शेषफल वर्ग सोचें।
If (a) is in the same class as (b), then (b) is in the same class as (a).
Step 3
Exam Tip
Shared-group relations are common examples of equivalence relations. चरण 1: हर विद्यार्थी अपनी ही कक्षा में है, इसलिए परावर्तकता है। चरण 2: यदि (a), (b) की कक्षा में है तो (b), (a) की कक्षा में भी है। चरण 3: समान समूह वाली स्थिति को तुल्यता संबंध की तरह पहचानें।
Every person has the same birthday date as themselves.
Step 2
Why this answer is correct
Having the same date is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
Relations based on an identical feature usually form equivalence relations. चरण 1: हर व्यक्ति का जन्मदिन अपने जन्मदिन जैसा ही है। चरण 2: एक ही तारीख का संबंध उलटने पर और आगे जोड़ने पर भी सही रहता है। चरण 3: समान विशेषता पर बने संबंधों में तीनों गुण जाँचें।
A. अलग-अलग, असंयुक्त तुल्यता वर्ग/Distinct disjoint equivalence classes
Step 1
Concept
An equivalence relation groups similar elements together.
Step 2
Why this answer is correct
These groups are disjoint and together cover the whole set.
Step 3
Exam Tip
Remember that equivalence classes form a partition. चरण 1: तुल्यता संबंध समान प्रकार के तत्वों को एक समूह में रखता है। चरण 2: ये समूह आपस में असंयुक्त होते हैं और मिलकर पूरा समुच्चय बनाते हैं। चरण 3: तुल्यता वर्ग और विभाजन को साथ-साथ याद रखें।
A. (a) से संबंधित सभी तत्वों का समुच्चय/Set of all elements related to (a)
Step 1
Concept
An equivalence class collects all elements related to a chosen element.
Step 2
Why this answer is correct
If an element is related to (a), it belongs to ([a]).
Step 3
Exam Tip
To find a class, list all elements related to the given element. चरण 1: तुल्यता वर्ग किसी एक तत्व से जुड़े सभी तत्वों को इकट्ठा करता है। चरण 2: यदि कोई तत्व (a) से संबंधित है, तो वह ([a]) में आता है। चरण 3: वर्ग निकालते समय दिए गए तत्व से संबंधित सभी तत्व लिखें।
In the same parity relation, odd numbers form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(1) is odd and (3) is also odd.
Step 3
Exam Tip
For small sets, separate even and odd numbers first. चरण 1: समान सम-विषम संबंध में विषम संख्याएँ साथ आती हैं। चरण 2: (1) विषम है और (3) भी विषम है। चरण 3: छोटे समुच्चय में पहले सम और विषम अलग कर लें।
In the set, (4) is the other even number, so it is related to (2).
Step 3
Exam Tip
Write only the elements related to the chosen element. चरण 1: (2) सम संख्या है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (2) के साथ समान सम-विषम संख्या (4) है। चरण 3: तुल्यता वर्ग में वही तत्व लिखें जो दिए गए तत्व से संबंधित हों।
A relation based on an identical attribute often gives an equivalence relation. चरण 1: हर वस्तु का रंग अपने रंग जैसा ही होता है। चरण 2: समान रंग का संबंध उलटने पर भी सही रहता है और तीसरी वस्तु तक भी आगे बढ़ता है। चरण 3: समान पहचान वाले गुण से बने संबंध को तुल्यता संबंध मानने से पहले तीनों गुण मिलाएँ।
For symmetry, ((2,1)) should also be present, but it is missing.
Step 3
Exam Tip
One missing reverse pair is enough to fail symmetry. चरण 1: ((1,2)) संबंध में है। चरण 2: सममित होने के लिए ((2,1)) भी होना चाहिए, लेकिन वह नहीं है। चरण 3: किसी एक उलटे युग्म की कमी से सममित गुण टूट जाता है।
All self-pairs are present, so reflexivity is fine.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is missing, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
For equivalence, every non-self pair needs its reverse pair. चरण 1: सभी अपने युग्म हैं, इसलिए परावर्तकता ठीक है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित गुण टूटता है। चरण 3: तुल्यता संबंध में हर गैर-स्वयं युग्म का उलटा युग्म भी देखना चाहिए।
A. जिसमें केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म हों/The relation containing only pairs of the form ((a,a))
Step 1
Concept
In the identity relation, each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
So its pairs have the form ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
The identity relation is a basic example of an equivalence relation. चरण 1: पहचान संबंध में हर तत्व सिर्फ अपने आप से संबंधित होता है। चरण 2: इसलिए इसके युग्म ((a,a)) के रूप में होते हैं। चरण 3: पहचान संबंध को तुल्यता संबंध का मूल उदाहरण मानें।
A. जिसमें \(A\times A\) के सभी युग्म हों/The relation containing all pairs of \(A\times A\)
Step 1
Concept
In the universal relation, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
Hence it equals \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
The universal relation easily satisfies all three equivalence properties. चरण 1: सर्वसम संबंध में समुच्चय के हर तत्व का हर तत्व से संबंध होता है। चरण 2: इसलिए यह \(A\times A\) के बराबर होता है। चरण 3: सर्वसम संबंध पर तीनों गुण आसानी से संतुष्ट हो जाते हैं।
Use the word reflexivity whenever self-pairs are required. चरण 1: तुल्यता संबंध में परावर्तक गुण अवश्य होता है। चरण 2: इसी गुण से हर (a) के लिए \((a,a)\in R\) मिलता है। चरण 3: अपने युग्म दिखाने के लिए परावर्तकता का नाम लिखें।
An equivalence relation is symmetric, so the reverse pair must be present.
Step 3
Exam Tip
Reverse-pair questions usually use symmetry. चरण 1: ((4,7)) का उलटा युग्म ((7,4)) है। चरण 2: तुल्यता संबंध में सममितता होती है, इसलिए उलटा युग्म भी संबंध में होगा। चरण 3: उलटे युग्म के प्रश्न में सममितता याद रखें।
In ((1,2)) and ((2,5)), the middle element (2) matches.
Step 2
Why this answer is correct
By transitivity, ((1,5)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Take the first and last elements to form the transitive pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,5)) में बीच का तत्व (2) समान है। चरण 2: संक्रामकता से ((1,5)) मिलना चाहिए। चरण 3: संक्रामकता लगाते समय पहला और अंतिम तत्व लेकर नया युग्म बनाएँ।
So ([0]) is the class of even integers. चरण 1: \( \pmod{2}\) में (0) का शेषफल (0) है। चरण 2: जिन पूर्णांकों का शेषफल (0) है, वे सम पूर्णांक हैं। चरण 3: ([0]) को सम पूर्णांकों का वर्ग समझें।
Modulo (2) gives two classes: even and odd. चरण 1: (1) को (2) से भाग देने पर शेषफल (1) है। चरण 2: यही शेषफल रखने वाले पूर्णांक विषम होते हैं। चरण 3: \( \pmod{2}\) में दो वर्ग बनते हैं: सम और विषम।
Elements with the same remainder belong to the same equivalence class. चरण 1: (1) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है। चरण 2: (4) को भी (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है। चरण 3: समान शेषफल वाले तत्व एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं।
While forming the class, use only elements from the given set. चरण 1: (2) का (3) से भाग देने पर शेषफल (2) है। चरण 2: (5) का भी शेषफल (2) है। चरण 3: वर्ग बनाते समय केवल दिए हुए समुच्चय के तत्वों को ही लें।
Put all elements with remainder (0) in one class. चरण 1: (3) को (3) से भाग देने पर शेषफल (0) है। चरण 2: (6) का भी शेषफल (0) है। चरण 3: शेषफल (0) वाले तत्वों को अलग वर्ग में रखें।
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The non-self pairs occur with their reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
It forms the classes {(1,3)} and {(2,4)}, so it is an equivalence relation. चरण 1: सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तकता है। चरण 2: ((1,3)) और ((3,1)), ((2,4)) और ((4,2)) दोनों उलटे युग्म हैं। चरण 3: वर्ग {(1,3)} और {(2,4)} देखकर तुल्यता संबंध पहचानें।
Equivalence classes together cover the original set.
Step 2
Why this answer is correct
Combining {(1,2)} and {(3)} gives {(1,2,3)}.
Step 3
Exam Tip
The union of all classes is the original set. चरण 1: तुल्यता वर्ग मिलकर पूरा मूल समुच्चय बनाते हैं। चरण 2: {(1,2)} और {(3)} को मिलाने पर {(1,2,3)} मिलता है। चरण 3: वर्गों का संघ ही मूल समुच्चय होता है।
An equivalence relation divides a set into separate groups.
Step 2
Why this answer is correct
Two distinct classes have no common element.
Step 3
Exam Tip
If two classes share even one element, they are the same class. चरण 1: तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग समूहों में बाँटता है। चरण 2: दो अलग वर्गों में कोई साझा तत्व नहीं होता। चरण 3: यदि दो वर्गों में एक भी साझा तत्व हो, तो वे अलग नहीं बल्कि वही वर्ग होंगे।
A. हर वर्ग में एक ही तत्व होता है/Each class has exactly one element
Step 1
Concept
In the identity relation, an element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the class of (a) contains only (a).
Step 3
Exam Tip
Identity relation gives singleton equivalence classes. चरण 1: पहचान संबंध में तत्व केवल अपने आप से संबंधित होता है। चरण 2: इसलिए (a) का वर्ग सिर्फ (a) को रखता है। चरण 3: पहचान संबंध में एक-तत्वीय वर्ग बनते हैं।
A. हर तत्व का वर्ग पूरा समुच्चय होता है/The class of every element is the whole set
Step 1
Concept
In the universal relation, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
So the class of any (a) is the whole set.
Step 3
Exam Tip
Universal relation gives one large equivalence class. चरण 1: सर्वसम संबंध में हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। चरण 2: इसलिए किसी भी (a) से पूरा समुच्चय संबंधित है। चरण 3: सर्वसम संबंध में सभी तत्वों का तुल्यता वर्ग समान होता है।
Distinct equivalence classes have empty intersection. चरण 1: तुल्यता वर्ग या तो बराबर होते हैं या पूरी तरह अलग। चरण 2: यदि \([a]\neq[b]\), तो उनमें कोई साझा तत्व नहीं होगा। चरण 3: अलग तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद खाली होता है।
But \(2\le 3\) is true while \(3\le 2\) is false, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
Order relations often fail symmetry. चरण 1: \(a\le a\) के कारण परावर्तकता है। चरण 2: परंतु \(2\le 3\) सही है, लेकिन \(3\le 2\) सही नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: क्रम संबंधों में सममितता अक्सर टूटती है।
No number is less than itself, so reflexivity fails.
Step 3
Exam Tip
Strict inequality relations are not equivalence relations. चरण 1: परावर्तकता के लिए (a<a) चाहिए। चरण 2: कोई भी संख्या अपने से छोटी नहीं होती, इसलिए यह गुण नहीं मिलता। चरण 3: सख्त असमानता वाले संबंध को तुल्यता संबंध न मानें।
If (a) is negative, (aRa) is false because (a) is not positive.
Step 3
Exam Tip
Reflexivity must hold for every element of the set. चरण 1: वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक और शून्य भी होते हैं। चरण 2: यदि (a) ऋणात्मक हो, तो (aRa) सत्य नहीं होगा क्योंकि (a) धनात्मक नहीं है। चरण 3: पूरे समुच्चय पर परावर्तकता हर तत्व के लिए चाहिए।
Think of last digit as remainder classes modulo (10). चरण 1: हर संख्या का अंतिम अंक अपने अंतिम अंक जैसा ही है। चरण 2: समान अंतिम अंक का संबंध उलटने पर और तीसरी संख्या तक जाने पर भी सही रहता है। चरण 3: समान अंतिम अंक (10) शेषफल वर्गों की तरह सोचें।
A. (R) परावर्तक, सममित और संक्रामक है/(R) is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
The definition of an equivalence relation is based on three properties.
Step 2
Why this answer is correct
These are reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
For definition questions, remember all three together. चरण 1: तुल्यता संबंध की परिभाषा तीन गुणों पर आधारित है। चरण 2: ये गुण परावर्तक, सममित और संक्रामक हैं। चरण 3: परिभाषा-आधारित प्रश्नों में तीनों गुण एक साथ याद रखें।
Same parity gives one class of odd numbers and one class of even numbers.
Step 2
Why this answer is correct
In (A), the classes are {(1,3)} and {(2,4)}.
Step 3
Exam Tip
To count classes, first form the groups clearly. चरण 1: समान सम-विषम संबंध में सम संख्याएँ एक वर्ग और विषम संख्याएँ दूसरा वर्ग बनाती हैं। चरण 2: (A) में {(1,3)} और {(2,4)} दो वर्ग हैं। चरण 3: वर्गों की संख्या निकालने के लिए पहले समूह साफ-साफ बना लें।
