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Every element is related to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Since only identical ordered pairs are present, symmetry and transitivity also hold.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check all three properties for an equivalence relation. चरण 1: हर तत्व अपने आप से जुड़ा है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: केवल समान युग्म हैं, इसलिए सममित और संक्रामी शर्त भी पूरी होती है। चरण 3: परीक्षा में समतुल्यता संबंध के लिए तीनों गुण जरूर जांचें।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि (aRb) जब (a) और (b) दोनों (3) से भाग देने पर समान शेषफल दें। (1) का समतुल्यता वर्ग कौन-सा है?
In the given set, (4) also leaves remainder (1), so the class of (1) is ({1,4}).
Step 3
Exam Tip
While finding an equivalence class, use only the elements of the given set. चरण 1: (1) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) आता है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (4) भी (3) से भाग देने पर शेषफल (1) देता है, इसलिए (1) का वर्ग ({1,4}) है। चरण 3: समतुल्यता वर्ग निकालते समय केवल दिए गए समुच्चय के तत्व ही लें।
A. प्रतिवर्ती, सममित, संक्रामी/Reflexive, symmetric, transitive
Step 1
Concept
An equivalence relation is identified by three properties.
Step 2
Why this answer is correct
These are reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
If even one property fails, the relation is not an equivalence relation. चरण 1: समतुल्यता संबंध की पहचान तीन गुणों से होती है। चरण 2: ये गुण प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी हैं। चरण 3: यदि इनमें से एक भी गुण न हो, तो संबंध समतुल्यता संबंध नहीं होगा।
((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) comes with ((3,2)), so symmetry holds, and the small class ({2,3}) also satisfies transitivity.
Step 3
Exam Tip
In such relations, identifying the formed classes helps you answer quickly. चरण 1: ((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: ((2,3)) के साथ ((3,2)) भी है, इसलिए सममित गुण पूरा है और ({2,3}) का छोटा वर्ग संक्रामिता भी पूरी करता है। चरण 3: ऐसे संबंध में बने हुए वर्गों को देखकर उत्तर जल्दी मिल सकता है।
D. नहीं, क्योंकि संक्रामी नहीं है/No, it is not transitive
Step 1
Concept
The relation has all identity pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The pair ((1,2)) has ((2,1)), and the small block ({1,2}) is closed under transitivity.
Step 3
Exam Tip
Check the pair block carefully before rejecting the relation. चरण 1: \((1,2)\in R\) और \((2,1)\in R\) हैं। चरण 2: संक्रामिता के लिए \((1,1)\in R\) चाहिए, जो है; पर ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) भी है। फिर भी ((1,2)) और ((2,1)) वाला छोटा समूह पूरा है, इसलिए यहां तीनों गुण पूरे हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्न में हर जोड़ी को ध्यान से मिलाएं।
If (a-b) is even, then (b-a) is also even, and the sum of two even differences is even.
Step 3
Exam Tip
Relations based on parity often form equivalence relations. चरण 1: (a-a=0) सम है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम होगा; और दो सम अंतरों का योग भी सम रहता है। चरण 3: सम और विषम वर्गों वाले संबंध प्रायः समतुल्यता संबंध बनाते हैं।
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
Every number belongs to the same parity class as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) are in the same class, then (b) and (a) are also in the same class.
Step 3
Exam Tip
Class-based relations usually make transitivity easy to verify. चरण 1: हर संख्या अपने जैसे सम या विषम वर्ग में आती है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि (a) और (b) एक ही वर्ग में हैं, तो (b) और (a) भी उसी वर्ग में होंगे। चरण 3: एक ही वर्ग पर आधारित संबंध में संक्रामिता आसानी से जांची जाती है।
\(A\times A\) contains every possible ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
So all identity pairs, reverse pairs, and required transitive pairs are present.
Step 3
Exam Tip
Remember the universal relation as a common example of an equivalence relation. चरण 1: \(A\times A\) में हर संभव क्रमित युग्म होता है। चरण 2: इसलिए हर ((a,a)), उल्टा युग्म और जरूरी संक्रामी युग्म सभी मौजूद रहते हैं। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध को समतुल्यता संबंध के सामान्य उदाहरण के रूप में याद रखें।
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
In the equality relation, every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
If (a=b), then (b=a), and if (a=b) and (b=c), then (a=c).
Step 3
Exam Tip
The equality relation is the simplest example of an equivalence relation. चरण 1: समानता संबंध में हर तत्व अपने आप से संबंधित होता है। चरण 2: यदि (a=b), तो (b=a) और (a=b, b=c) से (a=c) मिलता है। चरण 3: समानता संबंध समतुल्यता संबंध का सबसे सरल उदाहरण है।
The symmetric property says that if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Every equivalence relation must be symmetric.
Step 3
Exam Tip
Looking for the reverse pair is the easiest way to test symmetry. चरण 1: सममित गुण कहता है कि यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\)। चरण 2: समतुल्यता संबंध में सममित गुण अवश्य होता है। चरण 3: उल्टा युग्म पहचानना सममितता का सीधा संकेत है।
In transitivity, the second element of the first pair matches the first element of the second pair.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)).
Step 3
Exam Tip
In transitivity questions, focus on the middle element. चरण 1: संक्रामी गुण में पहले युग्म का दूसरा तत्व दूसरे युग्म के पहले तत्व से मिलता है। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलना चाहिए। चरण 3: संक्रामी प्रश्नों में मध्य तत्व को ध्यान से देखें।
A. क्योंकि ((3,3)) नहीं है/Because ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
For reflexivity, every element (a) of (A) must have \((a,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Here, ((3,3)) is missing for the element (3).
Step 3
Exam Tip
When checking equivalence, first check all identity pairs. चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध के लिए (A) के हर तत्व (a) पर \((a,a)\in R\) होना चाहिए। चरण 2: यहां (3) के लिए ((3,3)) नहीं है। चरण 3: समतुल्यता संबंध जांचते समय पहले सभी आत्म युग्म देखें।
Every element is in the same part as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If two elements are in the same part, reversing the order keeps them in the same part.
Step 3
Exam Tip
A relation formed by partitions is usually an equivalence relation. चरण 1: हर तत्व अपने भाग में स्वयं के साथ है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि दो तत्व एक ही भाग में हैं, तो क्रम बदलने पर भी वे उसी भाग में रहेंगे। चरण 3: भागों द्वारा बना संबंध प्रायः समतुल्यता संबंध होता है।
A. अलग-अलग समतुल्यता वर्गों में/Into distinct equivalence classes
Step 1
Concept
An equivalence relation groups elements with the same property.
Step 2
Why this answer is correct
Thus, the set is divided into distinct equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
Thinking in terms of classes helps solve these questions faster. चरण 1: समतुल्यता संबंध समान गुण वाले तत्वों को एक साथ रखता है। चरण 2: इस प्रकार समुच्चय अलग-अलग समतुल्यता वर्गों में बंट जाता है। चरण 3: वर्गों की सोच से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं।
A. उन तत्वों से जो (a) से संबंधित हैं/Elements related to (a)
Step 1
Concept
The equivalence class of (a) is the set of all elements related to (a).
Step 2
Why this answer is correct
In an equivalence relation, this class forms a clear separate block.
Step 3
Exam Tip
When asked for a class, first understand the condition of the relation. चरण 1: (a) का समतुल्यता वर्ग उन सभी तत्वों का समूह है जो (a) से संबंधित हैं। चरण 2: समतुल्यता संबंध में यह वर्ग साफ और अलग भाग बनाता है। चरण 3: वर्ग पूछे जाने पर पहले संबंध की शर्त समझें।
Every integer is congruent to itself because (a-a=0).
Step 2
Why this answer is correct
Having the same remainder is preserved when order is reversed and through a chain.
Step 3
Exam Tip
Same-remainder modulo relations are standard examples of equivalence relations. चरण 1: हर पूर्णांक अपने आप के तुल्य होता है क्योंकि (a-a=0) है। चरण 2: समान शेषफल होने की बात क्रम बदलने पर और श्रृंखला में भी सही रहती है। चरण 3: मापांक पर समान शेषफल वाले संबंध समतुल्यता संबंध के अच्छे उदाहरण हैं।
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b) is even, then (b+a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
If two numbers have the same parity as a middle number, they have the same parity with each other. चरण 1: (a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: (a+b) सम होने पर (b+a) भी सम है, इसलिए सममित है। चरण 3: यदि दो संख्याएं तीसरी के साथ समान सम-विषम प्रकृति रखती हैं, तो वे आपस में भी वैसी ही होंगी।
A. क्योंकि ((2,1)) नहीं है/Because ((2,1)) is missing
Step 1
Concept
The pair ((1,2)) is present in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
For symmetry, the reverse pair ((2,1)) must also be present, but it is missing.
Step 3
Exam Tip
To test symmetry, check the reverse of every non-identical pair. चरण 1: संबंध में ((1,2)) मौजूद है। चरण 2: सममितता के लिए इसका उल्टा युग्म ((2,1)) भी होना चाहिए, जो नहीं है। चरण 3: सममित गुण जांचते समय हर असमान युग्म का उल्टा युग्म जरूर देखें।
Identity pairs like ((a,a)) are connected with the reflexive property.
Step 2
Why this answer is correct
Such a pair must exist for every element.
Step 3
Exam Tip
Reflexivity does not need comparison with another element. चरण 1: ((a,a)) जैसे आत्म युग्म प्रतिवर्ती गुण से जुड़े होते हैं। चरण 2: हर तत्व के लिए ऐसा युग्म होना जरूरी है। चरण 3: प्रतिवर्ती गुण में किसी दूसरे तत्व की जरूरत नहीं होती।
A. यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\)/If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
In the symmetric property, the relation remains true when the order is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
So ((a,b)) must come with ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
Remember it as the reverse-pair rule. चरण 1: सममित गुण में क्रम बदलने पर संबंध बना रहना चाहिए। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होना चाहिए। चरण 3: इसे उल्टा युग्म विधि से याद रखें।
A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\)/If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
Step 1
Concept
Transitivity forms a chain of two related pairs.
Step 2
Why this answer is correct
From ((a,b)) and ((b,c)), the direct pair ((a,c)) is required.
Step 3
Exam Tip
Identify it by matching the middle element (b). चरण 1: संक्रामी गुण में दो संबंधित युग्मों की श्रृंखला बनती है। चरण 2: ((a,b)) और ((b,c)) से सीधा युग्म ((a,c)) चाहिए। चरण 3: बीच वाले तत्व (b) को मिलाकर पहचान करें।
On division by (2), (1) and (3) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
So the class of (1) contains (1) and (3).
Step 3
Exam Tip
To find an equivalence class, look for elements with the same remainder as the given element. चरण 1: (2) से भाग देने पर (1) और (3) का शेषफल समान होता है। चरण 2: इसलिए (1) अपने वर्ग में (1) और (3) को साथ रखता है। चरण 3: समतुल्यता वर्ग निकालते समय दिए गए तत्व जैसा शेषफल खोजें।
(5) also leaves remainder (2), so the class of (2) is ({2,5}).
Step 3
Exam Tip
In modulo questions, making a remainder table is an easy method. चरण 1: (3) से भाग देने पर (2) का शेषफल (2) है। चरण 2: (5) का भी शेषफल (2) है, इसलिए (2) का वर्ग ({2,5}) है। चरण 3: मापांक वाले प्रश्नों में शेषफल तालिका बनाना आसान तरीका है।
A. एक ही जन्म वर्ष में जन्मे होना/Being born in the same year
Step 1
Concept
A person is born in the same year as themselves.
Step 2
Why this answer is correct
If one person has the same birth year as another, the reverse is also true, and the chain condition also holds.
Step 3
Exam Tip
Conditions based on sameness usually indicate equivalence relations. चरण 1: एक ही जन्म वर्ष में हर व्यक्ति स्वयं से संबंधित है। चरण 2: यदि पहला दूसरे के समान वर्ष में जन्मा है, तो दूसरा भी पहले के समान वर्ष में जन्मा है, और श्रृंखला में भी यही रहेगा। चरण 3: समानता जैसी शर्तें समतुल्यता संबंध की ओर संकेत करती हैं।
(a>a) is never true, so greater than is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a>b), then (b>a) is not true, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
For comparison relations, check all equivalence properties carefully. चरण 1: (a>a) कभी सत्य नहीं होता, इसलिए से बड़ा होना प्रतिवर्ती नहीं है। चरण 2: यदि (a>b), तो (b>a) सत्य नहीं होगा, इसलिए सममित भी नहीं है। चरण 3: तुलना वाले संबंधों में समतुल्यता के तीनों गुण सावधानी से जांचें।
Every natural number is equal to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Equality remains true when the order is reversed.
Step 3
Exam Tip
The equality relation is always a safe example of an equivalence relation. चरण 1: हर प्राकृतिक संख्या अपने बराबर होती है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: बराबरी में क्रम बदलने से सत्यता नहीं बदलती। चरण 3: समानता संबंध को हमेशा समतुल्यता संबंध मानकर जांच सकते हैं।
Equality of values is also transitive, so this is an equivalence relation. चरण 1: (|a|=|a|) हमेशा सत्य है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि (|a|=|b|), तो (|b|=|a|) भी सत्य है। चरण 3: समान मान वाली शर्त संक्रामी भी होती है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है।
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
Since \(a^2=a^2\), the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Equality can be reversed and passed through a chain.
Step 3
Exam Tip
For a condition like \(a^2=b^2\), test the three properties through equality. चरण 1: \(a^2=a^2\) होने से प्रतिवर्ती गुण पूरा है। चरण 2: बराबरी का क्रम बदल सकता है और बराबरी की श्रृंखला भी सही रहती है। चरण 3: \(a^2=b^2\) जैसी समानता आधारित शर्त को तीनों गुणों से जांचें।
The possible remainders on division by (3) are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
Each remainder forms a separate class.
Step 3
Exam Tip
In modulo (n), we usually get (n) remainder classes if all remainders occur. चरण 1: (3) से भाग देने पर संभावित शेषफल (0,1,2) हैं। चरण 2: हर शेषफल एक अलग वर्ग बनाता है। चरण 3: मापांक (n) में प्रायः (n) शेषफल वर्ग मिलते हैं, यदि सभी शेषफल मौजूद हों।
A. वे या तो समान होते हैं या असंयुक्त होते हैं/They are either identical or disjoint
Step 1
Concept
An equivalence relation divides a set into clear blocks.
Step 2
Why this answer is correct
So two classes are either the same or have no common element.
Step 3
Exam Tip
Think of equivalence classes as parts of a partition. चरण 1: समतुल्यता संबंध समुच्चय को साफ भागों में बांटता है। चरण 2: इसलिए दो वर्गों में या तो वही तत्व होंगे या कोई साझा तत्व नहीं होगा। चरण 3: वर्गों के आपसी संबंध को भागों की तरह समझें।
Reflexivity is a compulsory condition for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, every equivalence relation must be reflexive.
Step 3
Exam Tip
For direct questions like this, remembering the definition is most useful. चरण 1: प्रतिवर्ती गुण समतुल्यता संबंध की अनिवार्य शर्त है। चरण 2: इसलिए हर समतुल्यता संबंध प्रतिवर्ती होता है। चरण 3: ऐसे सीधे प्रश्नों में परिभाषा याद रखना सबसे उपयोगी है।
Symmetry is a required part of an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
So every related ordered pair must have its reverse pair in the relation.
Step 3
Exam Tip
Forgetting reverse pairs is a common mistake in equivalence relation questions. चरण 1: सममित गुण समतुल्यता संबंध का जरूरी भाग है। चरण 2: इसलिए हर संबंधित युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में होना चाहिए। चरण 3: समतुल्यता संबंध में उल्टा युग्म भूलना सामान्य गलती है।
Transitivity is the third required condition for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
If this property fails, the relation is not an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
Remember all three properties together. चरण 1: संक्रामी गुण समतुल्यता संबंध की तीसरी जरूरी शर्त है। चरण 2: यदि यह गुण न हो, तो संबंध समतुल्यता संबंध नहीं रह जाता। चरण 3: तीनों गुणों को एक साथ याद रखें।
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
All identity pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Both ((1,4)) and ((4,1)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The classes are ({1,4}), ({2}), and ({3}), so transitivity also holds. चरण 1: सभी आत्म युग्म मौजूद हैं, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: ((1,4)) और ((4,1)) दोनों हैं, इसलिए सममित है। चरण 3: वर्ग ({1,4}), ({2}), ({3}) बनते हैं, इसलिए संक्रामिता भी ठीक है।
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है/Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
We have \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires \((1,3)\in R\), but it is absent.
Step 3
Exam Tip
To test transitivity, form chains of ordered pairs and find missing links. चरण 1: \((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) हैं। चरण 2: संक्रामिता के लिए \((1,3)\in R\) होना चाहिए, लेकिन यह नहीं है। चरण 3: संक्रामिता में युग्मों की श्रृंखला बनाकर कमी खोजें।
A. नहीं, क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है/No, because it is not reflexive
Step 1
Concept
On a non-empty set, reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no identity pairs.
Step 3
Exam Tip
On a non-empty set, the empty relation is not an equivalence relation. चरण 1: अरिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई आत्म युग्म नहीं है। चरण 3: अरिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध समतुल्यता संबंध नहीं होता।
A. यह समतुल्यता संबंध माना जा सकता है/It can be considered an equivalence relation
Step 1
Concept
In an empty set, there is no element to check.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, reflexive, symmetric, and transitive conditions are not violated.
Step 3
Exam Tip
In school exams, treat the non-empty set case separately if it is specified. चरण 1: खाली समुच्चय में जांचने के लिए कोई तत्व नहीं होता। चरण 2: इसलिए प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी शर्तों का विरोध नहीं होता। चरण 3: स्कूल परीक्षा में यदि समुच्चय अरिक्त दिया हो, तो उस स्थिति को अलग मानें।
A. सार्वत्रिक और समतुल्यता संबंध/Universal and equivalence relation
Step 1
Concept
The given (R) contains all possible ordered pairs of (A).
Step 2
Why this answer is correct
So it is the universal relation and satisfies all three properties.
Step 3
Exam Tip
When all possible pairs are present, identify \(A\times A\) quickly. चरण 1: दिए गए (R) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म हैं। चरण 2: इसलिए यह सार्वत्रिक संबंध है और तीनों गुण पूरे करता है। चरण 3: सभी संभव युग्म देखकर तुरंत \(A\times A\) पहचानें।
All elements inside the same class are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
The class ({a,b}) gives four pairs, and ({c}) gives one identity pair.
Step 3
Exam Tip
To form a relation from classes, take each class crossed with itself. चरण 1: एक ही वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। चरण 2: ({a,b}) से चार युग्म और ({c}) से एक आत्म युग्म मिलेगा। चरण 3: वर्ग से संबंध बनाते समय प्रत्येक वर्ग का कार्तीय गुणन अपने साथ लें।
A. दोनों वर्ग समान होंगे/Both classes will be the same
Step 1
Concept
(aRb) means (a) and (b) are in the same group.
Step 2
Why this answer is correct
In an equivalence relation, elements in the same group have identical classes.
Step 3
Exam Tip
If two equivalence classes share an element, they are the same. चरण 1: (aRb) का अर्थ है कि (a) और (b) एक ही समूह में हैं। चरण 2: समतुल्यता संबंध में एक ही समूह के तत्वों के वर्ग समान होते हैं। चरण 3: यदि दो वर्गों में साझा तत्व मिल जाए, तो वे समान होते हैं।
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0), and (0) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Transitivity in such divisibility relations follows from adding differences. चरण 1: (a-a=0), और (0) (5) से विभाज्य है। चरण 2: यदि (a-b) (5) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: विभाज्यता के ऐसे संबंधों में संक्रामिता भी अंतरों के योग से मिलती है।
A. क्योंकि (a+a) विषम नहीं होता/Because (a+a) is not odd
Step 1
Concept
For reflexivity, (aRa) must be true for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a) is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
Checking reflexivity first can quickly decide many questions. चरण 1: प्रतिवर्ती होने के लिए (aRa) हर (a) के लिए सत्य होना चाहिए। चरण 2: (a+a=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। चरण 3: पहले प्रतिवर्ती गुण जांचने से उत्तर जल्दी मिल सकता है।
A. क्योंकि यह सममित नहीं है/Because it is not symmetric
Step 1
Concept
\(1\le 2\), so \((1,2)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
But \(2\le 1\) is false, so \((2,1)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
Order relations are often not symmetric, so they are not equivalence relations. चरण 1: \(1\le 2\) है, इसलिए \((1,2)\in R\)। चरण 2: लेकिन \(2\le 1\) गलत है, इसलिए \((2,1)\notin R\)। चरण 3: क्रम संबंध अक्सर सममित नहीं होते, इसलिए वे समतुल्यता संबंध नहीं बनते।
A. क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है/Because it is not reflexive
Step 1
Concept
For reflexivity, (a<a) must be true for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
No number is less than itself.
Step 3
Exam Tip
The less-than relation is not an equivalence relation. चरण 1: प्रतिवर्ती होने के लिए (a<a) हर (a) के लिए सत्य होना चाहिए। चरण 2: कोई भी संख्या अपने आप से छोटी नहीं होती। चरण 3: से छोटा संबंध समतुल्यता संबंध नहीं होता।
First simplify the condition, then check the properties. चरण 1: (a-b=0) का अर्थ (a=b) है। चरण 2: समानता संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। चरण 3: पहले शर्त को सरल रूप में बदलें, फिर गुण जांचें।
In equivalence relations, ([a]) denotes the class of (a).
Step 2
Why this answer is correct
It contains all elements related to (a).
Step 3
Exam Tip
Do not confuse ([a]) with the square of (a). चरण 1: समतुल्यता संबंध में ([a]) चिन्ह (a) के वर्ग को दिखाता है। चरण 2: इसमें वे सभी तत्व होते हैं जो (a) से संबंधित हैं। चरण 3: ([a]) को वर्गफल समझने की गलती न करें।
Elements in the same class are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
(1) and (3) are in different classes, so ((1,3)) will not be in the relation.
Step 3
Exam Tip
In class-based questions, first check where the two elements belong. चरण 1: एक ही वर्ग के तत्व आपस में संबंधित होंगे। चरण 2: (1) और (3) अलग-अलग वर्गों में हैं, इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं होगा। चरण 3: वर्ग आधारित प्रश्नों में पहले देखें कि दोनों तत्व किस वर्ग में हैं।
The three properties together form the definition of an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, such an (R) is called an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, read the property words carefully. चरण 1: तीनों गुण एक साथ मिलकर समतुल्यता संबंध की परिभाषा बनाते हैं। चरण 2: इसलिए ऐसा (R) समतुल्यता संबंध कहलाता है। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में शब्दों को ध्यान से पढ़ें।
In (A), the numbers with the same remainder (0) are (2) and (4).
Step 3
Exam Tip
While finding a class, do not include elements outside the given set. चरण 1: (4) सम संख्या है, इसलिए इसका शेषफल (0) है। चरण 2: (A) में समान शेषफल (0) देने वाली संख्याएं (2) और (4) हैं। चरण 3: वर्ग निकालते समय दिए गए समुच्चय के बाहर की संख्या न जोड़ें।
A. प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण जांचना/Check reflexive, symmetric, and transitive properties
Step 1
Concept
An equivalence relation is decided by properties, not by its name.
Step 2
Why this answer is correct
Checking reflexive, symmetric, and transitive properties is necessary.
Step 3
Exam Tip
In exams, make a short property checklist instead of guessing. चरण 1: समतुल्यता संबंध नाम से नहीं, गुणों से तय होता है। चरण 2: प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुणों की जांच जरूरी है। चरण 3: परीक्षा में अनुमान लगाने के बजाय गुणों की छोटी सूची बनाएं।
