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A. यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\)
Step 1
Concept
A transitive relation is checked using two connected ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If one pair goes from (a) to (b) and the next goes from (b) to (c), then the pair from (a) to (c) must also be present.
Step 3
Exam Tip
In exams, check transitivity only when the middle element is common. चरण 1: संक्रामी संबंध में दो जुड़े हुए क्रमित युग्मों को देखा जाता है। चरण 2: यदि पहला युग्म (a) से (b) तक और दूसरा (b) से (c) तक है, तो (a) से (c) तक का युग्म भी होना चाहिए। चरण 3: परीक्षा में बीच वाले तत्व के समान होने पर ही संक्रामी जाँच करें।
They require ((1,3)), and it is already present in the relation.
Step 3
Exam Tip
For transitivity checks, find the pair that is forced and then look for it in the list. चरण 1: यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) जुड़े हुए युग्म हैं। चरण 2: इनके कारण ((1,3)) होना चाहिए, और वह संबंध में मौजूद है। चरण 3: संक्रामी जाँच में जरूरी बने युग्म को सूची में ढूँढना सबसे आसान तरीका है।
Since ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation, transitivity requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The pair ((1,3)) is not present.
Step 3
Exam Tip
One missing required pair is enough to show that a relation is not transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं, इसलिए संक्रामी होने के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 2: दिए गए संबंध में ((1,3)) नहीं है। चरण 3: एक ही कमी संबंध को संक्रामी न मानने के लिए पर्याप्त होती है।
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\) on the number line.
Step 2
Why this answer is correct
So ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)).
Step 3
Exam Tip
Order relations such as \(\le\) are usually transitive. चरण 1: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो संख्या रेखा पर \(a\le c\) होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिल जाता है। चरण 3: \(\le\) जैसे क्रम संबंध प्रायः संक्रामी होते हैं।
A chain from smaller to larger is a simple way to understand transitivity. चरण 1: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c) अवश्य होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) संबंध में आता है। चरण 3: छोटे से बड़े की लगातार श्रृंखला संक्रामी संबंध को समझने का सरल उदाहरण है।
This relation contains only diagonal pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,a)) and ((a,a)) are used, the required pair is again ((a,a)), which is present.
Step 3
Exam Tip
A relation containing only diagonal pairs is transitive. चरण 1: इस संबंध में केवल ((a,a)) जैसे विकर्ण युग्म हैं। चरण 2: यदि ((a,a)) और ((a,a)) लिए जाएँ, तो जरूरी युग्म फिर ((a,a)) ही है, जो मौजूद है। चरण 3: केवल विकर्ण युग्मों वाला संबंध संक्रामी होता है।
The transitive condition is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pair, so no example violates the condition.
Step 3
Exam Tip
Remember that the empty relation is transitive by vacuous truth. चरण 1: संक्रामी शर्त तभी जाँची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) दोनों संबंध में हों। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त तोड़ने वाला कोई उदाहरण नहीं मिलता। चरण 3: रिक्त संबंध को संक्रामी मानना एक महत्वपूर्ण मूल बात है।
A. क्योंकि हर जरूरी युग्म पहले से मौजूद होता है/Because every required pair is already present
Step 1
Concept
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) and ((b,c)) are present, then ((a,c)) is also surely present.
Step 3
Exam Tip
A relation with all possible pairs automatically satisfies transitivity. चरण 1: \(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: यदि ((a,b)) और ((b,c)) इसमें हैं, तो ((a,c)) भी निश्चित रूप से इसमें होगा। चरण 3: सभी युग्मों वाले संबंध में संक्रामी शर्त अपने आप पूरी हो जाती है।
They require ((1,4)), and it is present in the relation.
Step 3
Exam Tip
In a short list, check all possible chains carefully. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) एक श्रृंखला बनाते हैं। चरण 2: इनके कारण ((1,4)) चाहिए, और यह संबंध में मौजूद है। चरण 3: छोटी सूची में सभी संभावित श्रृंखलाएँ ध्यान से देखें।
((1,2)) and ((2,4)) are connected because the middle element (2) is common.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
The required pair uses the first element of the first pair and the second element of the second pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) जुड़े हुए हैं क्योंकि बीच वाला तत्व (2) समान है। चरण 2: संक्रामी होने के लिए ((1,4)) होना चाहिए। चरण 3: जोड़ने वाले युग्म में पहले युग्म का पहला तत्व और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व रखें।
The equality relation is a very direct example of a transitive relation. चरण 1: यदि (a=b) और (b=c), तो समानता के नियम से (a=c) होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। चरण 3: बराबरी वाला संबंध संक्रामी संबंध का बहुत सीधा उदाहरण है।
A. ((1,1)) और ((2,2)) जरूरी हो जाते हैं, पर वे नहीं हैं/((1,1)) and ((2,2)) are required but absent
Step 1
Concept
From ((1,2)) and ((2,1)), the pair ((1,1)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
From ((2,1)) and ((1,2)), the pair ((2,2)) is also required. Both are absent.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs can create a need for diagonal pairs in transitivity. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) भी चाहिए। ये दोनों संबंध में नहीं हैं। चरण 3: उल्टे युग्म मिलकर विकर्ण युग्म की जरूरत बना सकते हैं।
To check transitivity, we need two pairs with a common middle element.
Step 2
Why this answer is correct
Here there is only one pair, so no chain exists to violate the condition.
Step 3
Exam Tip
A relation with a single pair can be transitive when no required next pair is formed. चरण 1: संक्रामी जाँच के लिए दो युग्म चाहिए जिनमें बीच का तत्व समान हो। चरण 2: यहाँ केवल एक युग्म है, इसलिए ऐसी कोई श्रृंखला नहीं बनती जो शर्त तोड़े। चरण 3: एक अकेला युग्म वाला संबंध अक्सर संक्रामी हो सकता है, यदि कोई जरूरी अगला युग्म न बने।
If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then (a) divides (c).
Step 2
Why this answer is correct
Hence ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)).
Step 3
Exam Tip
Divisibility is an important example of a transitive relation. चरण 1: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो (a) भी (c) को विभाजित करेगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। चरण 3: विभाज्यता संबंध संक्रामी संबंध का महत्वपूर्ण उदाहरण है।
\(a \equiv b \pmod{3}\) and \(b \equiv c \pmod{3}\) mean the remainders are linked through the same middle number.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(a \equiv c \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
Same-remainder relations are transitive. चरण 1: \(a \equiv b \pmod{3}\) और \(b \equiv c \pmod{3}\) का अर्थ है कि तीनों का शेषफल समान दिशा में जुड़ा है। चरण 2: इसलिए \(a \equiv c \pmod{3}\) होगा। चरण 3: समान शेषफल वाला संबंध संक्रामी होता है।
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
A relation is transitive when all required chain pairs are present. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) है। चरण 2: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) है, और ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी है। चरण 3: सभी जरूरी शृंखला युग्म मौजूद हों तो संबंध संक्रामी होता है।
In ((1,2)) and ((2,3)), the middle element (2) is common.
Step 2
Why this answer is correct
So ((1,3)) becomes necessary.
Step 3
Exam Tip
In a longer chain, first check requirements made by adjacent pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) में बीच का तत्व (2) समान है। चरण 2: इसलिए ((1,3)) जरूरी हो जाता है। चरण 3: लंबी श्रृंखला में भी पहले पास-पास वाले युग्मों से बनने वाली जरूरतों को देखें।
The transitive rule gives ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
Here (a=2), (b=5), and (c=7), so ((2,7)) is required.
Step 3
Exam Tip
Identify the common middle element and form the final pair. चरण 1: संक्रामी नियम में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। चरण 2: यहाँ (a=2), (b=5), और (c=7), इसलिए ((2,7)) अनिवार्य है। चरण 3: बीच वाले समान तत्व को पहचानकर अंतिम युग्म बनाइए।
A. केवल ((3,3)) से कोई नया अलग युग्म जरूरी नहीं होता/No new different pair is forced only from ((3,3))
Step 1
Concept
Using ((3,3)) with itself requires ((3,3)) again.
Step 2
Why this answer is correct
That pair is already present, so no new different pair is forced.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs alone do not create new elements without extra information. चरण 1: ((3,3)) को अपने साथ लेने पर जरूरी युग्म फिर ((3,3)) ही बनता है। चरण 2: यह युग्म पहले से मौजूद है, इसलिए कोई नया अलग युग्म अनिवार्य नहीं होता। चरण 3: विकर्ण युग्मों से बिना अतिरिक्त जानकारी के नए तत्व नहीं बनते।
((1,1)) and ((1,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,2)) also require ((1,2)), which is present.
Step 3
Exam Tip
If all required pairs are already present, the relation is transitive. चरण 1: ((1,1)) और ((1,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,2)) से भी ((1,2)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 3: जरूरी युग्म पहले से मौजूद हों तो संबंध संक्रामी माना जाता है।
The presence of another diagonal pair does not remove this missing requirement. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामी होने के लिए ((1,3)) चाहिए, पर वह नहीं है। चरण 3: अतिरिक्त विकर्ण युग्म होने से भी यह कमी नहीं छिपती।
((3,2)) is in the relation because (3=2+1), and ((2,1)) is also in it.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require ((3,1)), but \(3\ne1+1\).
Step 3
Exam Tip
Relations based on a fixed difference of one are generally not transitive. चरण 1: ((3,2)) संबंध में है क्योंकि (3=2+1), और ((2,1)) भी संबंध में है। चरण 2: संक्रामी होने के लिए ((3,1)) चाहिए, पर \(3\ne1+1\)। चरण 3: लगातार एक-एक अंतर वाले संबंध सामान्यतः संक्रामी नहीं होते।
Therefore two connected pairs force a third pair that also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
Both \(\ge\) and \(\le\) are transitive order relations. चरण 1: यदि \(a\ge b\) और \(b\ge c\), तो \(a\ge c\) होगा। चरण 2: इसलिए दो जुड़े हुए युग्म तीसरे जरूरी युग्म को भी संबंध में रखते हैं। चरण 3: \(\ge\) और \(\le\) दोनों क्रम संबंध संक्रामी होते हैं।
If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), then every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A\subseteq C\).
Step 3
Exam Tip
The subset relation is a standard example of a transitive relation. चरण 1: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। चरण 2: इसलिए \(A\subseteq C\) मिल जाता है। चरण 3: उपसमुच्चय संबंध संक्रामी संबंध का मानक उदाहरण है।
Check not only the first chain, but also chains formed by existing pairs. चरण 1: ((1,3)) और ((3,4)) संबंध में हैं। चरण 2: इनके कारण ((1,4)) चाहिए, पर यह सूची में नहीं है। चरण 3: केवल पहली श्रृंखला नहीं, बाद में बनी श्रृंखला भी जाँचें।
The common middle element in the two pairs is (4).
Step 2
Why this answer is correct
By the transitive rule, ((1,6)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Form the answer using the first element of the first pair and the second element of the second pair. चरण 1: दोनों युग्मों में बीच का तत्व (4) समान है। चरण 2: संक्रामी नियम के अनुसार ((1,6)) होना जरूरी है। चरण 3: पहले युग्म का पहला तत्व और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व मिलाकर उत्तर बनाइए।
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,2)) require ((1,2)), which is already present.
Step 3
Exam Tip
When all possible chains give pairs already in the relation, the relation is transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो पहले से है। चरण 3: जब सभी संभावित श्रृंखलाएँ सही युग्म देती हैं, संबंध संक्रामी होता है।
The presence of ((2,2)) does not fix the missing transitive pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। चरण 2: इनके कारण ((1,3)) चाहिए, लेकिन वह संबंध में नहीं है। चरण 3: बीच में ((2,2)) होने से संक्रामी कमी पूरी नहीं होती।
The transitive rule applies directly to ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
These two pairs require ((a,c)).
Step 3
Exam Tip
Do not reverse the order; take the first element of the first pair and the second element of the second pair. चरण 1: संक्रामी नियम सीधे ((a,b)) और ((b,c)) पर लागू होता है। चरण 2: इन दोनों से ((a,c)) का होना अनिवार्य है। चरण 3: उत्तर में क्रम न बदलें, पहले का पहला और दूसरे का दूसरा तत्व लें।
The main chain ((1,2)) and ((2,3)) requires ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
Chains involving diagonal pairs return pairs that are already present.
Step 3
Exam Tip
Do not get confused by diagonal pairs; just match the required pairs. चरण 1: मुख्य श्रृंखला ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मांगती है, जो मौजूद है। चरण 2: विकर्ण युग्मों के साथ बनने वाली जरूरतें भी वही मौजूद युग्म लौटाती हैं। चरण 3: विकर्ण युग्मों से डरने की जरूरत नहीं, बस बनी जरूरतों को मिलाएँ।
Symmetry and transitivity are different properties.
Step 2
Why this answer is correct
For example, ({(1,2),(2,1)}) is symmetric, but it is not transitive because ((1,1)) and ((2,2)) are missing.
Step 3
Exam Tip
Always check each property separately. चरण 1: सममितता और संक्रामीता अलग गुण हैं। चरण 2: उदाहरण के लिए ({(1,2),(2,1)}) सममित है, लेकिन ((1,1)) और ((2,2)) न होने से संक्रामी नहीं है। चरण 3: संबंधों के गुणों को अलग-अलग जाँचना चाहिए।
Transitivity requires ((a,c)) whenever ((a,b)) and ((b,c)) are present. These are different conditions.
Step 3
Exam Tip
Assuming transitivity from reflexivity is a common exam mistake. चरण 1: परावर्तकता में सभी ((a,a)) युग्म चाहिए। चरण 2: संक्रामीता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। ये अलग शर्तें हैं। चरण 3: परावर्तक देखकर संक्रामी मान लेना परीक्षा में सामान्य गलती है।
If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), then equality gives \(a^2=c^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence ((a,c)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
A chain of equalities is an easy way to prove transitivity. चरण 1: यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो समानता से \(a^2=c^2\) होगा। चरण 2: इसलिए ((a,c)) भी संबंध में आएगा। चरण 3: बराबरी की श्रृंखला संक्रामीता को आसानी से सिद्ध करती है।
If ((a,b)) is in the relation, then both (a) and (b) are even.
Step 2
Why this answer is correct
If ((b,c)) is also in the relation, then (c) is even too, so (a) and (c) are both even.
Step 3
Exam Tip
Conditions based on belonging to the same group often give transitivity. चरण 1: यदि ((a,b)) संबंध में है, तो (a) और (b) दोनों सम हैं। चरण 2: यदि ((b,c)) भी संबंध में है, तो (c) भी सम है, इसलिए (a) और (c) दोनों सम होंगे। चरण 3: समान वर्ग या समूह में रहने वाली शर्तें अक्सर संक्रामी होती हैं।
(a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
If (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity, so (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
Same-parity relations are transitive. चरण 1: (a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की समता समान है। चरण 2: यदि (b) और (c) की समता भी समान है, तो (a) और (c) की समता समान होगी, इसलिए (a+c) सम होगा। चरण 3: समान समता वाला संबंध संक्रामी होता है।
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) and ((3,3)) require ((1,3)), which is also present.
Step 3
Exam Tip
If every formed requirement is found in the list, the relation is transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((1,3)) और ((3,3)) से ((1,3)) ही चाहिए, जो मौजूद है। चरण 3: हर बनी हुई जरूरत सूची में मिल जाए तो संबंध संक्रामी है।
Transitivity requires ((1,3)), but it is not in the list.
Step 3
Exam Tip
The presence of ((3,3)) does not repair this missing pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामीता के लिए ((1,3)) आवश्यक है, लेकिन वह सूची में नहीं है। चरण 3: ((3,3)) होने से यह कमी पूरी नहीं होती।
The union of two transitive relations can create a new chain.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are both transitive, but their union lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
Always check transitivity of a union separately. चरण 1: दो अलग संक्रामी संबंधों का संघ नई श्रृंखला बना सकता है। चरण 2: उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों संक्रामी हैं, पर संघ में ((1,3)) नहीं है। चरण 3: संघ के लिए संक्रामीता अलग से जाँचें।
If ((a,b)) and ((b,c)) are both in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since both are transitive, ((a,c)) is in both, hence in the intersection.
Step 3
Exam Tip
The intersection of transitive relations remains transitive. चरण 1: यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। चरण 2: दोनों संक्रामी हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा, अतः प्रतिच्छेद में भी होगा। चरण 3: संक्रामी संबंधों का प्रतिच्छेद संक्रामी रहता है।
They require ((1,4)), which is present in the relation.
Step 3
Exam Tip
One starting pair can form several chains, so check all of them. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) भी एक श्रृंखला बनाते हैं। चरण 2: इनके कारण ((1,4)) जरूरी है, और वह संबंध में मौजूद है। चरण 3: एक ही आरंभिक युग्म कई श्रृंखलाएँ बना सकता है, इसलिए सभी देखें।
((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), which is also present.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs can still be transitive when the needed diagonal pairs are included. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। चरण 3: उल्टे युग्मों के साथ विकर्ण युग्म भी हों तो संक्रामीता बच सकती है।
Therefore ((1,4)) must be present, but it is missing.
Step 3
Exam Tip
Longer chains formed inside the relation also create transitive requirements. चरण 1: ((1,3)) और ((3,4)) संबंध में हैं। चरण 2: इसलिए ((1,4)) होना चाहिए, लेकिन वह सूची में नहीं है। चरण 3: बनी हुई लंबी श्रृंखला से भी संक्रामी युग्म बनते हैं।
किसी समुच्चय पर (R) संक्रामी है। यदि \((a,b) \in R\) और कोई ((b,c)) प्रकार का युग्म (R) में नहीं है, तो क्या केवल ((a,b)) से कोई नया ((a,c)) युग्म अनिवार्य होगा?
To apply transitivity, a second pair of the form ((b,c)) is needed.
Step 2
Why this answer is correct
If no such pair exists, then ((a,b)) alone does not force a new pair.
Step 3
Exam Tip
In transitivity questions, first identify whether a chain is actually formed. चरण 1: संक्रामीता लागू करने के लिए दूसरा युग्म ((b,c)) चाहिए। चरण 2: यदि ऐसा कोई युग्म नहीं है, तो केवल ((a,b)) से नया युग्म अनिवार्य नहीं होता। चरण 3: संक्रामी प्रश्नों में जोड़ी बनने की स्थिति पहले पहचानें।
If (|a|=|b|) and (|b|=|c|), then equality gives (|a|=|c|).
Step 2
Why this answer is correct
Hence ((a,c)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
Relations based on equality of a value are often transitive. चरण 1: यदि (|a|=|b|) और (|b|=|c|), तो समानता से (|a|=|c|) होगा। चरण 2: इसलिए ((a,c)) भी संबंध में होगा। चरण 3: समान मान से जुड़े संबंध अक्सर संक्रामी होते हैं।
If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) also have the same remainder, then (a) and (c) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
So ((a,c)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
Same-remainder relations are strong examples of transitivity. चरण 1: यदि (a) और (b) का शेषफल समान है, और (b) और (c) का भी शेषफल समान है, तो (a) और (c) का शेषफल भी समान होगा। चरण 2: इसलिए ((a,c)) संबंध में आएगा। चरण 3: समान शेषफल वाले संबंध संक्रामीता में मजबूत उदाहरण हैं।
((1,2)) is present, so the main transitive condition is satisfied.
Step 3
Exam Tip
Identify the common middle element and match the required pair. चरण 1: ((1,3)) और ((3,2)) से ((1,2)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) संबंध में मौजूद है, इसलिए मुख्य संक्रामी शर्त पूरी होती है। चरण 3: बीच वाले समान तत्व को पहचानकर आवश्यक युग्म मिलाएँ।
The common middle element in ((1,3)) and ((3,2)) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,2)).
Step 3
Exam Tip
The required pair is formed from the first element of the first pair and the second element of the second pair. चरण 1: ((1,3)) और ((3,2)) में बीच का तत्व (3) समान है। चरण 2: संक्रामीता के लिए ((1,2)) जरूरी है। चरण 3: पहले युग्म का पहला और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व लेकर जरूरी युग्म बनता है।
In ((5,5)) and ((5,8)), the common middle element is (5).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity gives ((5,8)), which is already present.
Step 3
Exam Tip
Sometimes the transitive rule gives an old pair, not a new one. चरण 1: ((5,5)) और ((5,8)) में बीच वाला तत्व (5) समान माना जा सकता है। चरण 2: संक्रामीता से ((5,8)) ही मिलता है, जो पहले से मौजूद है। चरण 3: कभी-कभी संक्रामी नियम नया युग्म नहीं, वही पुराना युग्म देता है।
((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
Chains involving ((2,2)) give pairs such as ((2,2)) or ((2,3)), which are already present.
Step 3
Exam Tip
Check each possible chain separately. चरण 1: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,2)) के साथ बनने वाली जरूरतें भी ((2,2)) या ((2,3)) जैसे मौजूद युग्म देती हैं। चरण 3: हर संभावित श्रृंखला को अलग-अलग मिलाकर देखें।
A. ऐसे ((a,b)) और ((b,c)) दिखाइए जिनके बावजूद ((a,c)) संबंध में न हो/Show ((a,b)) and ((b,c)) present but ((a,c)) absent
Step 1
Concept
The condition of transitivity is based on two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If both pairs are present but the required ((a,c)) is absent, the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
When writing a counterexample, clearly state the status of all three pairs. चरण 1: संक्रामीता की शर्त दो जुड़े हुए युग्मों पर आधारित है। चरण 2: यदि दोनों युग्म मौजूद हों पर उनसे बनने वाला ((a,c)) मौजूद न हो, तो संबंध संक्रामी नहीं होगा। चरण 3: प्रतिवाद लिखते समय तीनों युग्मों की स्थिति साफ बताइए।
