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दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(1+2\sin x\cos x=2\) मिलता है। इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{1}{2}\); ऐसे प्रश्नों में वर्ग करना उपयोगी है। / Squaring both sides gives \(1+2\sin x\cos x=2\). Hence \(\sin x\cos x=\frac{1}{2}\); squaring is useful in such questions.
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) होता है। इसलिए दिया गया मान सीधे (2) है। / \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\). Therefore, the required value is directly (2).
\(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\) होता है। इसलिए \(\sin x=\frac{1}{4}\); हर व्युत्क्रम फलन को जोड़ी में याद करें। / \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\). Hence \(\sin x=\frac{1}{4}\); learn each reciprocal function as a pair.
क्योंकि \(1-\cos^2 x=\sin^2 x\), इसलिए अनुपात (1) है। पहचान को पहले बदलकर देखें। / Since \(1-\cos^2 x=\sin^2 x\), the ratio is (1). First convert using identities.
क्योंकि \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), इसलिए मान (1) होगा। \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) सबसे जरूरी पहचान है। / Since \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), the value is (1). \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) is the most important identity.
\(\sin kx\) का काल \(\frac{2\pi}{k}\) होता है। यहाँ (k=3), इसलिए काल \(\frac{2\pi}{3}\) है। / The period of \(\sin kx\) is \(\frac{2\pi}{k}\). Here (k=3), so the period is \(\frac{2\pi}{3}\).
\(\tan kx\) का काल \(\frac{\pi}{k}\) होता है। (k=4) रखने पर काल \(\frac{\pi}{4}\) मिलता है। / The period of \(\tan kx\) is \(\frac{\pi}{k}\). Substituting (k=4) gives period \(\frac{\pi}{4}\).
\(\cos x\) का परिसर ([-1,1]) है। (2) से गुणा करने पर परिसर ([-2,2]) हो जाता है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]). Multiplying by (2) changes the range to ([-2,2]).
\(\sin x\) का अधिकतम मान (1) है। इसलिए \(3\sin x+1\) का अधिकतम मान (4) होगा। / The maximum value of \(\sin x\) is (1). Hence the maximum value of \(3\sin x+1\) is (4).
\(\sin x=\frac{15}{17}\) मिलता है और \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\) होता है। इसलिए \(\cot x=\frac{8}{15}\)। / \(\sin x=\frac{15}{17}\) and \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\). Therefore, \(\cot x=\frac{8}{15}\).
\(\tan x=\frac{3}{4}\) से समकोण त्रिभुज में कर्ण (5) होगा। इसलिए \(\sin x=\frac{3}{5}\)। / From \(\tan x=\frac{3}{4}\), the hypotenuse in a right triangle is (5). Hence \(\sin x=\frac{3}{5}\).
\(\cot x=\frac{5}{12}\) में आसन्न (5) और सामने (12) मानें। कर्ण (13) होगा, इसलिए \(\cos x=\frac{5}{13}\)। / For \(\cot x=\frac{5}{12}\), take adjacent as (5) and opposite as (12). The hypotenuse is (13), so \(\cos x=\frac{5}{13}\).
(\sin\(\pi+x\)=-\sin x) और (\sin\(\pi-x\)=\sin x) होते हैं। इसलिए योग (0) है। / (\sin\(\pi+x\)=-\sin x) and (\sin\(\pi-x\)=\sin x). Hence the sum is (0).
(\cos\(\pi+x\)=-\cos x) और (\cos\(\pi-x\)=-\cos x) होते हैं। इसलिए योग \(-2\cos x\) है। / (\cos\(\pi+x\)=-\cos x) and (\cos\(\pi-x\)=-\cos x). Therefore, the sum is \(-2\cos x\).
(\tan\(\pi+x\)=\tan x) और (\tan\(\pi-x\)=-\tan x) होते हैं। इसलिए अंतर \(2\tan x\) है। / (\tan\(\pi+x\)=\tan x) and (\tan\(\pi-x\)=-\tan x). Therefore, the difference is \(2\tan x\).
\(\frac{\pi}{2}+x\) वाले रूप में \(\sin\) बदलकर \(\cos\) होता है और चिन्ह धनात्मक रहता है। इसलिए उत्तर \(\cos x\) है। / In the form \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\sin\) changes to \(\cos\) and the sign remains positive. Hence the answer is \(\cos x\).
\(\frac{\pi}{2}+x\) वाले रूप में \(\cos\) बदलकर \(\sin\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए \(-\sin x\) मिलता है। / In the form \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\cos\) changes to \(\sin\) with a negative sign. Hence it becomes \(-\sin x\).
\(\frac{\pi}{2}+x\) पर \(\tan\) बदलकर \(\cot\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए (\tan\(\frac{\pi}{2}+x\)=-\cot x)। / At \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\tan\) changes to \(\cot\) with a negative sign. Hence (\tan\(\frac{\pi}{2}+x\)=-\cot x).
(\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)=\sin x), इसलिए (\sec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\sin x}=\cosec x)। पूरक कोण में सहफलन बनता है। / (\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)=\sin x), so (\sec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\sin x}=\cosec x). Complementary angles give cofunctions.
(\sin\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cos x), इसलिए (\cosec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\cos x}=\sec x)। व्युत्क्रम और पूरक पहचान साथ लगाएँ। / (\sin\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cos x), so (\cosec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\cos x}=\sec x). Use reciprocal and cofunction identities together.
पहचान से \(|\cos x|=\frac{24}{25}\) मिलता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। / The identity gives \(|\cos x|=\frac{24}{25}\). In the second quadrant, \(\cos x\) is negative.
\(\sec^2 x=1+\tan^2 x\) से \(|\sec x|=\frac{41}{40}\) मिलता है। तीसरे चतुर्थांश में \(\sec x\) ऋणात्मक होता है। / From \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\), \(|\sec x|=\frac{41}{40}\). In the third quadrant, \(\sec x\) is negative.
पहचान से \(|\sin x|=\frac{8}{17}\) मिलता है। चौथे चतुर्थांश में \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। / The identity gives \(|\sin x|=\frac{8}{17}\). In the fourth quadrant, \(\sin x\) is negative.
\(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) से \(|\cosec x|=\frac{5}{4}\) मिलता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cosec x\) धनात्मक होता है। / From \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), \(|\cosec x|=\frac{5}{4}\). In the second quadrant, \(\cosec x\) is positive.
\(\cos^2 x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\) होगा। प्रथम चतुर्थांश में \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) लिया जाता है। / \(\cos^2 x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\). In the first quadrant, \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) is taken.
\(\sin^2 x=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\) होता है। चौथे चतुर्थांश में \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। / \(\sin^2 x=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\). In the fourth quadrant, \(\sin x\) is negative.
\(\cos kx\) का काल \(\frac{2\pi}{k}\) होता है। यहाँ (k=5), इसलिए काल \(\frac{2\pi}{5}\) है। / The period of \(\cos kx\) is \(\frac{2\pi}{k}\). Here (k=5), so the period is \(\frac{2\pi}{5}\).
\(\cos x\) का अधिकतम मान (1) है। इसलिए \(-3\cos x\) का न्यूनतम मान (-3) होगा। / The maximum value of \(\cos x\) is (1). Therefore, the minimum value of \(-3\cos x\) is (-3).
\(\sin x\) का परिसर ([-1,1]) है। (2) जोड़ने पर परिसर ([1,3]) हो जाता है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]). Adding (2) changes the range to ([1,3]).
\(\cos x\) का मान ([-1,1]) में होता है। इसलिए \(1-\cos x\) का परिसर ([0,2]) है। / The value of \(\cos x\) lies in ([-1,1]). Therefore, the range of \(1-\cos x\) is ([0,2]).
अंश और हर को \(\cos x\) से भाग देने पर \(\frac{\tan x+1}{\tan x-1}\) मिलता है। \(\tan x=3\) रखने पर मान (2) है। / Dividing numerator and denominator by \(\cos x\) gives \(\frac{\tan x+1}{\tan x-1}\). Substituting \(\tan x=3\) gives (2).
मान \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\) है। हर को परिमेय करने पर \(7+4\sqrt{3}\) मिलता है। / The value is \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\). Rationalising the denominator gives \(7+4\sqrt{3}\).
क्योंकि (\(\sec x+\tan x\)\(\sec x-\tan x\)=1)। इसलिए दूसरा गुणनखंड \(\frac{1}{5}\) होगा। / Since (\(\sec x+\tan x\)\(\sec x-\tan x\)=1). Therefore, the other factor is \(\frac{1}{5}\).
इसे (\(\sin^2 x-\cos^2 x\)\(\sin^2 x+\cos^2 x\)) लिखें। दूसरा गुणनखंड (1) है। / Write it as (\(\sin^2 x-\cos^2 x\)\(\sin^2 x+\cos^2 x\)). The second factor is (1).
ऊपर \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) और नीचे \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\) है। अनुपात \(\frac{\sec^2 x}{\cosec^2 x}=\tan^2 x\) होता है। / The numerator is \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) and the denominator is \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\). Their ratio is \(\frac{\sec^2 x}{\cosec^2 x}=\tan^2 x\).
हर को परिमेय करने पर (\frac{\(1+\sin x\)2}{\cos-2 x}) मिलता है। यह (\(\sec x+\tan x\)2) के बराबर है। / Rationalising the denominator gives (\frac{\(1+\sin x\)2}{\cos-2 x}). This equals (\(\sec x+\tan x\)2).
अर्ध कोण पहचान के अनुसार \(\tan^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)। अर्ध कोण रूपों को अलग से याद रखें। / By the half-angle identity, \(\tan^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\). Remember half-angle forms separately.
मानक अर्ध कोण पहचान \(\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}\) है। ऐसे रूप में अर्ध कोण तुरंत पहचानें। / The standard half-angle identity is \(\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}\). Identify the half-angle form quickly.
पहचान (\(\sin x+\cos x\)2+\(\sin x-\cos x\)2=2) का उपयोग करें। इसलिए मान \(2-\frac{36}{25}=\frac{14}{25}\) है। / Use the identity (\(\sin x+\cos x\)2+\(\sin x-\cos x\)2=2). Hence the value is \(2-\frac{36}{25}=\frac{14}{25}\).
(\(\tan x+\cot x\)2=\tan-2 x+\cot-2 x+2) होता है। इसलिए मान (25-2=23) है। / (\(\tan x+\cot x\)2=\tan-2 x+\cot-2 x+2). Therefore, the value is (25-2=23).
क्योंकि (\(\sec x-\tan x\)\(\sec x+\tan x\)=1) होता है। इसलिए दूसरा गुणनखंड (4) होगा। / Since (\(\sec x-\tan x\)\(\sec x+\tan x\)=1). Hence the other factor is (4).
(\(\cosec x+\cot x\)\(\cosec x-\cot x\)=1) होता है। इसलिए आवश्यक मान \(\frac{1}{6}\) है। / The identity is (\(\cosec x+\cot x\)\(\cosec x-\cot x\)=1). Therefore, the required value is \(\frac{1}{6}\).
अर्ध-कोण पहचान से \(\frac{\sin x}{1-\cos x}=\cot \frac{x}{2}\) होता है। ऐसे रूपों में हर देखकर पहचान करें। / By the half-angle identity, \(\frac{\sin x}{1-\cos x}=\cot \frac{x}{2}\). In such forms, identify the denominator carefully.
मानक अर्ध-कोण रूप \(\cot \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}\) है। \(\tan \frac{x}{2}\) और \(\cot \frac{x}{2}\) के रूप अलग रखें। / The standard half-angle form is \(\cot \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}\). Keep the forms of \(\tan \frac{x}{2}\) and \(\cot \frac{x}{2}\) separate.
\(\sin x\) का न्यूनतम मान (-1) है। इसलिए अधिकतम मान (4-3(-1)=7) होगा। / The minimum value of \(\sin x\) is (-1). Hence the maximum value is (4-3(-1)=7).
\(\cos x\) का न्यूनतम मान (-1) होता है। इसलिए न्यूनतम मान (2+5(-1)=-3) है। / The minimum value of \(\cos x\) is (-1). Therefore, the minimum value is (2+5(-1)=-3).
\(\sin 2x\) का परिसर ([-1,1]) है। (3) से गुणा और (-1) जोड़ने पर परिसर ([-4,2]) मिलता है। / The range of \(\sin 2x\) is ([-1,1]). Multiplying by (3) and adding (-1) gives ([-4,2]).
ऊर्ध्व बदलाव और आयाम काल नहीं बदलते। \(\cos 3x\) का काल \(\frac{2\pi}{3}\) है। / Vertical shift and amplitude do not change the period. The period of \(\cos 3x\) is \(\frac{2\pi}{3}\).
\(\tan kx\) का काल \(\frac{\pi}{k}\) होता है। यहाँ (k=2), इसलिए मूल काल \(\frac{\pi}{2}\) है। / The period of \(\tan kx\) is \(\frac{\pi}{k}\). Here (k=2), so the fundamental period is \(\frac{\pi}{2}\).
दूसरे चतुर्थांश में \(\sin x\) धनात्मक और \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। \(\sin x=\frac{4}{5}\), इसलिए \(\tan x=-\frac{4}{3}\) है। / In the second quadrant, \(\sin x\) is positive and \(\cos x\) is negative. Since \(\sin x=\frac{4}{5}\), \(\tan x=-\frac{4}{3}\).
तीसरे चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। \(\cos x=-\frac{12}{13}\), इसलिए \(\sec x=-\frac{13}{12}\) है। / In the third quadrant, \(\cos x\) is negative. Since \(\cos x=-\frac{12}{13}\), \(\sec x=-\frac{13}{12}\).
चौथे चतुर्थांश में \(\cos x\) धनात्मक और \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। (7,24,25) त्रिक से \(\cos x=\frac{7}{25}\) है। / In the fourth quadrant, \(\cos x\) is positive and \(\sin x\) is negative. From the (7,24,25) triple, \(\cos x=\frac{7}{25}\).
\(\cos x=-\frac{8}{17}\) होगा। दूसरे चतुर्थांश में \(\sin x\) धनात्मक है, इसलिए \(\sin x=\frac{15}{17}\) है। / \(\cos x=-\frac{8}{17}\). In the second quadrant, \(\sin x\) is positive, so \(\sin x=\frac{15}{17}\).
\(2\pi-x\) चौथे चतुर्थांश से संबंधित है। वहाँ \(\sin x\) ऋणात्मक होता है, इसलिए (\sin\(2\pi-x\)=-\sin x)। / \(2\pi-x\) is related to the fourth quadrant. There \(\sin x\) is negative, so (\sin\(2\pi-x\)=-\sin x).
\(2\pi-x\) चौथे चतुर्थांश में आता है और \(\cos x\) धनात्मक रहता है। इसलिए (\cos\(2\pi-x\)=\cos x)। / \(2\pi-x\) lies in the fourth quadrant and \(\cos x\) remains positive. Hence (\cos\(2\pi-x\)=\cos x).
चौथे चतुर्थांश में \(\tan x\) ऋणात्मक होता है। इसलिए (\tan\(2\pi-x\)=-\tan x)। / In the fourth quadrant, \(\tan x\) is negative. Therefore, (\tan\(2\pi-x\)=-\tan x).
\(\frac{3\pi}{2}+x\) रूप में \(\sin\) बदलकर \(\cos\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए उत्तर \(-\cos x\) है। / In the form \(\frac{3\pi}{2}+x\), \(\sin\) changes to \(\cos\) with a negative sign. Hence the answer is \(-\cos x\).
\(\frac{3\pi}{2}-x\) तीसरे चतुर्थांश से जुड़ा है। \(\cos\) बदलकर \(\sin\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक रहता है। / \(\frac{3\pi}{2}-x\) is related to the third quadrant. \(\cos\) changes to \(\sin\) with a negative sign.
\(\frac{3\pi}{2}+x\) पर \(\tan\) बदलकर \(\cot\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक है। इसलिए (\tan\(\frac{3\pi}{2}+x\)=-\cot x)। / At \(\frac{3\pi}{2}+x\), \(\tan\) changes to \(\cot\) with a negative sign. Hence (\tan\(\frac{3\pi}{2}+x\)=-\cot x).
(\sin\(\pi-x\)=\sin x) और (\cos\(\pi+x\)=-\cos x) होता है। इसलिए भिन्न \(-\tan x\) है। / (\sin\(\pi-x\)=\sin x) and (\cos\(\pi+x\)=-\cos x). Therefore, the fraction is \(-\tan x\).
(\cos\(2\pi-x\)=\cos x) और (\sin\(\pi+x\)=-\sin x) है। इसलिए मान \(-\cot x\) है। / (\cos\(2\pi-x\)=\cos x) and (\sin\(\pi+x\)=-\sin x). Hence the value is \(-\cot x\).
\(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) और \(\sec x\cosec x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) होता है। इसलिए अनुपात (1) है। / \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) and \(\sec x\cosec x=\frac{1}{\sin x\cos x}\). Hence the ratio is (1).
\(\tan^2 x=\frac{1}{4}\) रखें। तब मान \(\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}\) है। / Put \(\tan^2 x=\frac{1}{4}\). Then the value is \(\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}\).
\(\cot^2 x=\frac{9}{4}\) रखकर सरल करें। मान \(\frac{\frac{9}{4}-1}{\frac{9}{4}+1}=\frac{5}{13}\) है। / Substitute \(\cot^2 x=\frac{9}{4}\) and simplify. The value is \(\frac{\frac{9}{4}-1}{\frac{9}{4}+1}=\frac{5}{13}\).
(\sin-4 x+\cos-4 x=\(\sin^2 x+\cos^2 x\)2-2\sin-2 x\cos-2 x) लिखें। पहला वर्ग (1) है। / Write (\sin-4 x+\cos-4 x=\(\sin^2 x+\cos^2 x\)2-2\sin-2 x\cos-2 x). The first square is (1).
पहचान \(\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x\) लगाएँ। \(\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{16}\), इसलिए मान \(\frac{7}{8}\) है। / Use \(\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x\). Since \(\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{16}\), the value is \(\frac{7}{8}\).
वर्ग करने पर \(1+2\sin x\cos x=3\), इसलिए \(\sin x\cos x=1\) मिलता है। फिर \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\), इसलिए मान (1) नहीं बल्कि विकल्पों में कोई सही नहीं होता। / Squaring gives \(1+2\sin x\cos x=3\), so \(\sin x\cos x=1\). Then \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\), so the value is (1), but none of the options is correct.
वर्ग करने पर \(1+2\sin x\cos x=\frac{49}{25}\), इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{12}{25}\)। अब \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{25}{12}\)। / Squaring gives \(1+2\sin x\cos x=\frac{49}{25}\), so \(\sin x\cos x=\frac{12}{25}\). Now \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{25}{12}\).
वर्ग करने पर \(1-2\sin x\cos x=\frac{1}{9}\) मिलता है। इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{4}{9}\) और \(\tan x+\cot x=\frac{9}{4}\)। / Squaring gives \(1-2\sin x\cos x=\frac{1}{9}\). Thus \(\sin x\cos x=\frac{4}{9}\) and \(\tan x+\cot x=\frac{9}{4}\).
क्योंकि \(\sec x-\tan x=\frac{1}{3}\) होगा। दोनों समीकरण जोड़ने पर \(2\sec x=3+\frac{1}{3}\), इसलिए \(\sec x=\frac{5}{3}\)। / Since \(\sec x-\tan x=\frac{1}{3}\). Adding both equations gives \(2\sec x=3+\frac{1}{3}\), so \(\sec x=\frac{5}{3}\).
हरों को मिलाने पर \(\frac{2}{1-\sin^2 x}\) मिलेगा। यह \(\frac{2}{\cos^2 x}=2\sec^2 x\) है। / Combining denominators gives \(\frac{2}{1-\sin^2 x}\). This is \(\frac{2}{\cos^2 x}=2\sec^2 x\).
हरों को मिलाने पर \(\frac{2}{1-\cos^2 x}\) मिलता है। यह \(\frac{2}{\sin^2 x}=2\cosec^2 x\) है। / Combining denominators gives \(\frac{2}{1-\cos^2 x}\). This is \(\frac{2}{\sin^2 x}=2\cosec^2 x\).
क्योंकि (\(\cosec x-\cot x\)\(\cosec x+\cot x\)=1)। इसलिए आवश्यक व्युत्क्रम \(\cosec x+\cot x\) है। / Since (\(\cosec x-\cot x\)\(\cosec x+\cot x\)=1). Hence the required reciprocal is \(\cosec x+\cot x\).
आयाम गुणांक के परिमाण के बराबर होता है। यहाँ \(\sin 4x\) का गुणांक (-2) है, इसलिए आयाम (2) है। / Amplitude equals the absolute value of the coefficient. Here the coefficient of \(\sin 4x\) is (-2), so the amplitude is (2).
\(\cos kx\) का काल \(\frac{2\pi}{k}\) होता है। यहाँ \(k=\frac{1}{2}\), इसलिए काल \(4\pi\) है। / The period of \(\cos kx\) is \(\frac{2\pi}{k}\). Here \(k=\frac{1}{2}\), so the period is \(4\pi\).
(\sin-2\(x+\pi\)=\sin-2 x) होता है। इसलिए \(\sin^2 x\) का मूल काल \(\pi\) है। / (\sin-2\(x+\pi\)=\sin-2 x). Hence the fundamental period of \(\sin^2 x\) is \(\pi\).
\(\cos x\) का मान ([-1,1]) में होता है। वर्ग करने पर परिसर ([0,1]) बनता है। / The value of \(\cos x\) lies in ([-1,1]). Squaring gives the range ([0,1]).
क्योंकि (\(\sec x-\tan x\)\(\sec x+\tan x\)=1), इसलिए \(\sec x+\tan x=\frac{5}{2}\)। दोनों समीकरण घटाने पर \(\tan x=\frac{21}{20}\) मिलता है। / Since (\(\sec x-\tan x\)\(\sec x+\tan x\)=1), \(\sec x+\tan x=\frac{5}{2}\). Subtracting the two equations gives \(\tan x=\frac{21}{20}\).
अंश को (\sin x\(1-\sin^2 x\)) लिखें। क्योंकि \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), इसलिए मान \(\sin x\) है। / Write the numerator as (\sin x\(1-\sin^2 x\)). Since \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), the value is \(\sin x\).
\(\cos^2 x\) का परिसर ([0,1]) है। इसलिए \(2-4\cos^2 x\) का परिसर ([-2,2]) होगा। / The range of \(\cos^2 x\) is ([0,1]). Therefore, the range of \(2-4\cos^2 x\) is ([-2,2]).
क्योंकि पूरक कोणों में (\sin\left\(\frac{\pi}{2}-\theta\right\)=\cos \theta) और (\cos\left\(\frac{\pi}{2}-\theta\right\)=\sin \theta) होता है। परीक्षा में co-function सूत्र याद रखें। / Because for complementary angles ( \sin\left\(\frac{\pi}{2}-\theta\right\)=\cos \theta) and ( \cos\left\(\frac{\pi}{2}-\theta\right\)=\sin \theta). In exams remember co-function formulas.
A. \(\sec \theta\) धनात्मक और \(\cosec \theta\) ऋणात्मक/\(\sec \theta\) positive and \(\cosec \theta\) negative
Explanation
Simple Explanation
चतुर्थ चतुर्थांश में \(\cos \theta\) धनात्मक और \(\sin \theta\) ऋणात्मक होता है, इसलिए उनके व्युत्क्रमों के चिन्ह भी वैसे ही होंगे। परीक्षा में पहले मूल फलनों के चिन्ह तय करें। / In the fourth quadrant, \(\cos \theta\) is positive and \(\sin \theta\) is negative, so their reciprocals have the same signs. In exams decide the signs of basic functions first.
\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) होता है। परीक्षा में परिभाषा सीधे लागू करें। / \( \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\). In exams apply the definition directly.
\(\tan \theta\) का मूल period \(\pi\) है और \(5\pi\) period का गुणज है, इसलिए मान नहीं बदलता। परीक्षा में tangent में \(\pi\) के गुणज को हटाकर सरल करें। / The fundamental period of \(\tan \theta\) is \(\pi\), and \(5\pi\) is a multiple of the period, so the value does not change. In exams simplify tangent by removing multiples of \(\pi\).
मूल सर्वसमिका \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) है। परीक्षा में इसे सबसे पहले जांचें। / The basic identity is \( \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\). In exams check this first.
\(\sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\) से अंतर (1) मिलता है। परीक्षा में identity को rearrange करें। / From \( \sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\), the difference is (1). In exams rearrange the identity.
\(\cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta=\frac{144}{169}\) और प्रथम चतुर्थांश में मान धनात्मक है। परीक्षा में quadrant sign न भूलें। / \( \cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta=\frac{144}{169}\), and in the first quadrant it is positive. In exams do not forget quadrant sign.
\(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta=\frac{16}{25}\) और द्वितीय चतुर्थांश में \(\sin \theta\) धनात्मक है। परीक्षा में ASTC नियम काम आता है। / \( \sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta=\frac{16}{25}\), and \(\sin \theta\) is positive in the second quadrant. In exams ASTC rule helps.
\(\tan \theta\) विषम फलन है इसलिए (\tan\(-\theta\)=-\tan \theta)। परीक्षा में sign बदलने पर ध्यान दें। / \( \tan \theta\) is an odd function, so ( \tan\(-\theta\)=-\tan \theta). In exams focus on sign change.
\(\pi-\theta\) द्वितीय चतुर्थांश में आता है और sine धनात्मक रहता है। परीक्षा में allied angle formula याद रखें। / \( \pi-\theta\) lies in the second quadrant and sine remains positive. In exams remember allied angle formulas.
\(\pi-\theta\) द्वितीय चतुर्थांश में है जहां cosine ऋणात्मक होता है। परीक्षा में चतुर्थांश का चिन्ह जरूर लगाएं। / \( \pi-\theta\) is in the second quadrant where cosine is negative. In exams always apply quadrant sign.
\(\pi-\theta\) द्वितीय चतुर्थांश में है और tangent ऋणात्मक होता है। परीक्षा में tangent के sign पर विशेष ध्यान दें। / \( \pi-\theta\) is in the second quadrant and tangent is negative. In exams pay special attention to the sign of tangent.
\(\pi+\theta\) तृतीय चतुर्थांश में है जहां sine ऋणात्मक होता है। परीक्षा में allied angle पहचानना जरूरी है। / \( \pi+\theta\) is in the third quadrant where sine is negative. In exams identifying allied angles is important.
\(\pi+\theta\) तृतीय चतुर्थांश में है और cosine ऋणात्मक होता है। परीक्षा में sign table तुरंत याद करें। / \( \pi+\theta\) is in the third quadrant and cosine is negative. In exams recall the sign table quickly.
\(\tan \theta\) का period \(\pi\) है इसलिए (\tan\(\pi+\theta\)=\tan \theta)। परीक्षा में tangent की periodicity याद रखें। / The period of \( \tan \theta\) is \( \pi\), so ( \tan\(\pi+\theta\)=\tan \theta). In exams remember the periodicity of tangent.
\(2\pi-\theta\) चतुर्थ चतुर्थांश में है जहां tangent ऋणात्मक होता है। परीक्षा में sine और cosine के sign से tangent निकालें। / \(2\pi-\theta\) is in the fourth quadrant where tangent is negative. In exams derive tangent from sine and cosine signs.
\(\sin \theta\) शून्य (0), \(\pi\), \(2\pi\) जैसे बिंदुओं पर होता है। परीक्षा में \(n\in\mathbb{Z}\) मानकर सामान्य हल लिखें। / \( \sin \theta\) is zero at points like (0), \(\pi\), and \(2\pi\). In exams write the general solution with \(n\in\mathbb{Z}\).
\(\cos \theta\) शून्य odd multiples of \(\frac{\pi}{2}\) पर होता है। परीक्षा में (\frac{(2n+1)\pi}{2}) पैटर्न याद रखें। / \( \cos \theta\) is zero at odd multiples of \( \frac{\pi}{2}\). In exams remember the pattern ( \frac{(2n+1)\pi}{2}).
\(\tan \theta=0\) तब होता है जब \(\sin \theta=0\) और \(\cos \theta\neq0\)। परीक्षा में tangent का period \(\pi\) रखें। / \( \tan \theta=0\) occurs when \( \sin \theta=0\) and \( \cos \theta\neq0\). In exams use period \( \pi\) for tangent.
\(\sin \theta=\sin \alpha\) का संयुक्त हल (\theta=n\pi+(-1)^n\alpha) होता है। परीक्षा में दो अलग हलों को एक सूत्र में लिखना सीखें। / The combined solution of \( \sin \theta=\sin \alpha\) is ( \theta=n\pi+(-1)^n\alpha). In exams learn to write two cases in one formula.
\(\cos \theta=\cos \alpha\) के लिए दोनों दिशाओं में कोण मिलते हैं। परीक्षा में \(\pm\alpha\) लगाना न भूलें। / For \( \cos \theta=\cos \alpha\), angles occur in both directions. In exams do not forget \( \pm\alpha\).
\(\tan \theta\) का period \(\pi\) है इसलिए हल \(\theta=n\pi+\alpha\) होगा। परीक्षा में tangent equations में \(\pi\) period लगाएं। / The period of \( \tan \theta\) is \( \pi\), so the solution is \( \theta=n\pi+\alpha\). In exams use period \( \pi\) for tangent equations.
\(\frac{\pi}{2}-\theta\) पर tangent का co-function cotangent होता है। परीक्षा में complementary angle property याद रखें। / At \( \frac{\pi}{2}-\theta\), tangent changes to its co-function cotangent. In exams remember complementary angle property.
\(\frac{\pi}{2}-\theta\) पर cotangent का co-function tangent होता है। परीक्षा में reciprocal function pair याद रखें। / At \( \frac{\pi}{2}-\theta\), cotangent changes to the co-function tangent. In exams remember reciprocal function pairs.
\(\sin \theta=\cos \theta\) से \(\tan \theta=1\) और प्रथम चतुर्थांश में \(\theta=\frac{\pi}{4}\) है। परीक्षा में दोनों तरफ \(\cos \theta\) से भाग तभी दें जब वह शून्य न हो। / From \( \sin \theta=\cos \theta\), \( \tan \theta=1\), and in the first quadrant \( \theta=\frac{\pi}{4}\). In exams divide by \( \cos \theta\) only when it is nonzero.
\(\sin \theta=\frac{1}{2}\) के reference angle \(\frac{\pi}{6}\) हैं और sine प्रथम व द्वितीय चतुर्थांश में धनात्मक है। परीक्षा में दिए interval में ही उत्तर चुनें। / The reference angle for \( \sin \theta=\frac{1}{2}\) is \( \frac{\pi}{6}\), and sine is positive in the first and second quadrants. In exams choose only answers in the given interval.
\(\cos \theta=\frac{1}{2}\) के लिए reference angle \(\frac{\pi}{3}\) है और cosine प्रथम व चतुर्थ चतुर्थांश में धनात्मक है। परीक्षा में \(2\pi\) तक के दोनों हल लिखें। / For \( \cos \theta=\frac{1}{2}\), the reference angle is \( \frac{\pi}{3}\), and cosine is positive in the first and fourth quadrants. In exams write both solutions up to \(2\pi\).
\(\tan \theta=\sqrt{3}\) का reference angle \(\frac{\pi}{3}\) है और \(0<\theta<\pi\) में tangent प्रथम चतुर्थांश में धनात्मक है। परीक्षा में sign के अनुसार quadrant चुनें। / The reference angle for \( \tan \theta=\sqrt{3}\) is \( \frac{\pi}{3}\), and in \(0<\theta<\pi\) tangent is positive in the first quadrant. In exams choose the quadrant by sign.
क्योंकि \(1-\cos^2 \theta=\sin^2 \theta\), इसलिए अनुपात (1) है। परीक्षा में denominator condition जरूर देखें। / Because \(1-\cos^2 \theta=\sin^2 \theta\), the ratio is (1). In exams always check the denominator condition.
क्योंकि \(1-\sin^2 \theta=\cos^2 \theta\), इसलिए मान (1) होगा। परीक्षा में basic identity से numerator बदलें। / Because \(1-\sin^2 \theta=\cos^2 \theta\), the value is (1). In exams replace the numerator using the basic identity.
\(\tan \theta=\frac{4}{3}\) में opposite (4), adjacent (3), hypotenuse (5) होगा। परीक्षा में Pythagorean triplet पहचानें। / In \( \tan \theta=\frac{4}{3}\), opposite is (4), adjacent is (3), and hypotenuse is (5). In exams identify Pythagorean triplets.
\(\cot \theta=\frac{12}{5}\) में adjacent (12), opposite (5), hypotenuse (13) है। \(परीक्षा में (\cos \theta=\frac{\)adjacent}{hypotenuse}) लगाएं। \(/ In ( \cot \theta=\frac{12}{5}), adjacent is (12), opposite is (5), and hypotenuse is (13). In exams use ( \cos \theta=\frac{\)adjacent}{hypotenuse}).
\(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), इसलिए \(\sin \theta=\frac{2}{5}\) है। परीक्षा में cosecant और sine reciprocal हैं। / \( \cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), so \( \sin \theta=\frac{2}{5}\). In exams remember cosecant and sine are reciprocals.
\(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\) इसलिए गुणनफल (1) है। परीक्षा में defined condition को नजरअंदाज न करें। / \( \cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), so the product is (1). In exams do not ignore the defined condition.
\(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\) होने से गुणनफल (1) बनता है। परीक्षा में reciprocal pair तुरंत पहचानें। / Since \( \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\), the product becomes (1). In exams identify reciprocal pairs quickly.
\(\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}\), इसलिए गुणनफल (1) है। परीक्षा में reciprocal formulas से समय बचता है। / \( \cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}\), so the product is (1). In exams reciprocal formulas save time.
(\sin\(-\theta\)=-\sin \theta), इसलिए दोनों पद कट जाते हैं। परीक्षा में odd function property से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / ( \sin\(-\theta\)=-\sin \theta), so both terms cancel. In exams odd function property solves such questions quickly.
(\cos\(-\theta\)=\cos \theta), इसलिए अंतर (0) है। परीक्षा में even function property ध्यान रखें। / ( \cos\(-\theta\)=\cos \theta), so the difference is (0). In exams keep the even function property in mind.
(\tan\(\pi-\theta\)=-\tan \theta), इसलिए योग (0) होता है। परीक्षा में allied angle sign से उत्तर तुरंत मिलता है। / ( \tan\(\pi-\theta\)=-\tan \theta), so the sum is (0). In exams allied angle sign gives the answer quickly.
क्योंकि \(\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\), इसलिए दिया गया रूप \(-\cos 2\theta\) है। परीक्षा में double angle identities को उल्टा भी पढ़ें। / Because \( \cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\), the given form is \(-\cos 2\theta\). In exams read double angle identities in reverse too.
प्रथम चतुर्थांश में \(\sin \theta+\cos \theta\) का अधिकतम \(\sqrt{2}\) \(\theta=\frac{\pi}{4}\) पर होता है। परीक्षा में symmetry का उपयोग करें। / In the first quadrant, the maximum of \( \sin \theta+\cos \theta\) is \( \sqrt{2}\) at \( \theta=\frac{\pi}{4}\). In exams use symmetry.
(\sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2}\sin\left\(\theta+\frac{\pi}{4}\right\)), इसलिए अधिकतम \(\sqrt{2}\) है। परीक्षा में \(a\sin x+b\cos x\) का maximum \(\sqrt{a^2+b^2}\) लें। / ( \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2}\sin\left\(\theta+\frac{\pi}{4}\right\)), so the maximum is \( \sqrt{2}\). In exams use maximum of \(a\sin x+b\cos x\) as \( \sqrt{a^2+b^2}\).
\(\sin \theta-\cos \theta\) का amplitude (\sqrt{12+(-1)2}=\sqrt{2}) है। परीक्षा में minimum हमेशा negative amplitude होगा। / The amplitude of \( \sin \theta-\cos \theta\) is ( \sqrt{12+(-1)2}=\sqrt{2}). In exams the minimum is the negative amplitude.
\(a\sin \theta+b\cos \theta\) का अधिकतम \(\sqrt{a^2+b^2}\) होता है, इसलिए (M=5)। परीक्षा में coefficients का square जोड़ें। / The maximum of \(a\sin \theta+b\cos \theta\) is \( \sqrt{a^2+b^2}\), so (M=5). In exams add the squares of coefficients.
Amplitude (\sqrt{52+(-12)2}=13) है, इसलिए न्यूनतम (-13) होगा। परीक्षा में maximum positive और minimum negative amplitude होता है। / The amplitude is ( \sqrt{52+(-12)2}=13), so the minimum is (-13). In exams maximum is positive amplitude and minimum is negative amplitude.
B. \(\sin \theta\) ऋणात्मक और \(\cos \theta\) ऋणात्मक/\(\sin \theta\) negative and \(\cos \theta\) negative
Explanation
Simple Explanation
तृतीय चतुर्थांश में sine और cosine दोनों ऋणात्मक होते हैं। परीक्षा में ASTC नियम से signs जल्दी तय करें। / In the third quadrant, both sine and cosine are negative. In exams use the ASTC rule to decide signs quickly.
\(\sin k\theta\) का period \(\frac{2\pi}{k}\) होता है, इसलिए यहां \(\frac{2\pi}{3}\) मिलेगा। परीक्षा में coefficient को period formula में लगाएं। / The period of \( \sin k\theta\) is \( \frac{2\pi}{k}\), so here it is \( \frac{2\pi}{3}\). In exams use the coefficient in the period formula.
\(\cos \theta=-1\) विषम गुणजों of \(\pi\) पर होता है। परीक्षा में \(\cos \theta=1\) और \(\cos \theta=-1\) के हल अलग पहचानें। / \( \cos \theta=-1\) occurs at odd multiples of \( \pi\). In exams distinguish the solutions of \( \cos \theta=1\) and \( \cos \theta=-1\).
\(\cos k\theta\) का मूल period \(\frac{2\pi}{k}\) होता है, इसलिए यहां \(\frac{\pi}{2}\) मिलेगा। परीक्षा में coefficient को denominator में रखें। / The fundamental period of \( \cos k\theta\) is \( \frac{2\pi}{k}\), so here it is \( \frac{\pi}{2}\). In exams put the coefficient in the denominator.
