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A. ( -3) पर बंद बिंदु बाईं ओर और (1) पर खुला बिंदु दाईं ओर/Closed dot at (-3) shaded left and open dot at (1) shaded right
Explanation
Simple Explanation
\(x\le -3\) में (-3) शामिल है और (x>1) में (1) शामिल नहीं है। परीक्षा में \(\le\) के लिए बंद और (>) के लिए खुला बिंदु याद रखें। / \(x\le -3\) includes (-3), while (x>1) does not include (1). In exams, remember closed dot for \(\le\) and open dot for (>).
गोल कोष्ठक खुला endpoint और वर्ग कोष्ठक बंद endpoint बताता है। परीक्षा में interval notation को inequality में बदलते समय यही नियम लगाएँ। / A round bracket means open endpoint and a square bracket means closed endpoint. In exams, use this rule while converting interval notation to inequality.
A. \(x\ge 5\) यानी (5) से दाईं ओर बंद बिंदु/\(x\ge 5\), closed dot at (5) shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल \(2x\ge 10\) से \(x\ge 5\) मिलता है। परीक्षा में पहले हल करें फिर दिशा और endpoint लगाएँ। / Solving gives \(2x\ge 10\), so \(x\ge 5\). In exams, solve first and then mark direction and endpoint.
B. (x>2), (2) से दाईं ओर/(x>2), shaded right of (2)
Explanation
Simple Explanation
(-3x<-6) में ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलटता है। परीक्षा में negative से divide करते समय inequality reverse करें। / From (-3x<-6), dividing by a negative reverses the sign. In exams, reverse the inequality when dividing by a negative.
Union में दोनों अलग-अलग भाग लिए जाते हैं। परीक्षा में \(\cup\) को या के रूप में पढ़ें। / A union includes both separate parts. In exams, read \(\cup\) as or.
दोनों endpoint खुले होने से (3) और (8) शामिल नहीं हैं। परीक्षा में खुले circle को round bracket से लिखें। / Both endpoints are open, so (3) and (8) are not included. In exams, write open circles with round brackets.
\(|x-2|\le 5\) से \(-5\le x-2\le 5\) और \(-3\le x\le 7\) मिलता है। परीक्षा में \(\le\) वाले absolute value में बीच का बंद interval लें। / \(|x-2|\le 5\) gives \(-5\le x-2\le 5\), hence \(-3\le x\le 7\). In exams, absolute value with \(\le\) gives a closed middle interval.
(|x+1|>4) में केंद्र से बाहर के दो भाग मिलते हैं और endpoint शामिल नहीं होते। परीक्षा में (>) वाले absolute value में बाहर की ओर shading करें। / (|x+1|>4) gives two outer regions, and endpoints are not included. In exams, absolute value with (>) is shaded outward.
A. \(x\le 7\), (7) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\(x\le 7\), closed dot at (7) shaded left
Explanation
Simple Explanation
दोनों ओर (2) से गुणा करने पर \(x-1\le 6\), इसलिए \(x\le 7\)। परीक्षा में धनात्मक गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (2) gives \(x-1\le 6\), so \(x\le 7\). In exams, multiplying by a positive number does not reverse the sign.
B. \(x\le -1\), (-1) से बाईं ओर बंद बिंदु/\(x\le -1\), closed dot at (-1) shaded left
Explanation
Simple Explanation
हल \(5-x\ge 6\) से \(-x\ge 1\) और \(x\le -1\) आता है। परीक्षा में (-x) हटाते समय चिन्ह पलटना न भूलें। / Solving gives \(5-x\ge 6\), then \(-x\ge 1\), so \(x\le -1\). In exams, remember to reverse the sign when removing (-x).
Intersection में दोनों intervals का common भाग ([-4,0]) है। परीक्षा में \(\cap\) के लिए overlapping region देखें। / In intersection, the common part of both intervals is ([-4,0]). In exams, look for the overlapping region for \(\cap\).
खुला बिंदु (-2) को बाहर रखता है और बंद बिंदु (6) को शामिल करता है। परीक्षा में endpoint symbols को ध्यान से पढ़ें। / The open dot excludes (-2), and the closed dot includes (6). In exams, read endpoint symbols carefully.
\(4-2x\le 10\) से \(-2x\le 6\), इसलिए \(x\ge -3\) है। परीक्षा में ऋणात्मक भाग देने पर sign reverse करें। / \(4-2x\le 10\) gives \(-2x\le 6\), so \(x\ge -3\). In exams, reverse the sign when dividing by a negative.
A. (x<-1) या \(4\le x\le 9\)/(x<-1) or \(4\le x\le 9\)
Explanation
Simple Explanation
पहला भाग (-1) से पहले है और दूसरा भाग (4) से (9) तक बंद है। परीक्षा में अलग intervals को अलग-अलग पढ़ें। / The first part is before (-1), and the second part is closed from (4) to (9). In exams, read separate intervals separately.
\(6\le 2x\le 14\) से \(3\le x\le 7\) मिलता है। परीक्षा में दोनों sides closed हों तो final interval भी closed रहता है। / \(6\le 2x\le 14\) gives \(3\le x\le 7\). In exams, if both signs are inclusive, the final interval stays closed.
([2,6)) के complement में (2) बाहर नहीं आता पर (6) शामिल होता है। परीक्षा में complement लेते समय endpoints उलटकर देखें। / The complement of ([2,6)) excludes (2) but includes (6). In exams, check endpoints carefully when taking complements.
\(x^2\ge 16\) में \(|x|\ge 4\), इसलिए बाहर के दो closed भाग मिलते हैं। परीक्षा में \(\ge\) होने पर (-4) और (4) शामिल करें। / \(x^2\ge 16\) means \(|x|\ge 4\), giving two closed outer regions. In exams, include (-4) and (4) for \(\ge\).
यह पूरी संख्या रेखा है लेकिन (2) हटाया गया है। परीक्षा में missing open point को not equal समझें। / This is the whole number line except (2). In exams, treat a missing open point as not equal.
\(\le -4\) बंद endpoint देता है और (>5) खुला endpoint देता है। परीक्षा में infinite side पर हमेशा round bracket लगाएँ। / \(\le -4\) gives a closed endpoint, and (>5) gives an open endpoint. In exams, always use round brackets on the infinite side.
A. (x<2), (2) पर खुला बिंदु और बाईं ओर/(x<2), open dot at (2) shaded left
Explanation
Simple Explanation
(7-3x>1) से (-3x>-6) और (x<2) मिलता है। परीक्षा में negative coefficient हो तो दिशा पलटती है। / (7-3x>1) gives (-3x>-6), hence (x<2). In exams, a negative coefficient reverses the direction.
Common भाग (2) से (3) तक है, पर (2) शामिल नहीं और (3) शामिल है। परीक्षा में intersection में endpoints की inclusion अलग से जाँचें। / The common part is from (2) to (3), but (2) is excluded and (3) is included. In exams, check endpoint inclusion separately in intersections.
Closed ray में endpoint शामिल होता है और left ray का मतलब कम या बराबर है। परीक्षा में ray की दिशा और endpoint दोनों देखें। / A closed ray includes the endpoint, and a left ray means less than or equal. In exams, check both ray direction and endpoint.
A. (x>-4), (-4) पर खुला बिंदु और दाईं ओर/(x>-4), open dot at (-4) shaded right
Explanation
Simple Explanation
(-3) से गुणा करने पर inequality reverse होकर (2x+5>-3) बनती है, इसलिए (x>-4)। परीक्षा में negative denominator हटाते समय चिन्ह पलटें। / Multiplying by (-3) reverses the inequality to (2x+5>-3), so (x>-4). In exams, reverse the sign when removing a negative denominator.
(x<0) में (0) खुला है और \(2\le x<5\) में (2) बंद तथा (5) खुला है। परीक्षा में or को union में बदलें। / In (x<0), (0) is open; in \(2\le x<5\), (2) is closed and (5) is open. In exams, convert or into union.
Class (11) में सामान्यतः \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), इसलिए (1) से (6) तक बिंदु होंगे। परीक्षा में domain natural हो तो only natural points mark करें। / Usually in Class (11), \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), so points from (1) to (6) are marked. In exams, if the domain is natural numbers, mark only natural points.
दोनों intervals (-2) पर जुड़ते हैं और (5) शामिल नहीं है। परीक्षा में touching intervals को merge करें जब common endpoint included हो। / The two intervals meet at (-2), and (5) is not included. In exams, merge touching intervals when the common endpoint is included.
कोई (x) एक साथ (3) से बड़ा और (3) से कम या बराबर नहीं हो सकता। परीक्षा में contradictory conditions का intersection empty होता है। / No (x) can be greater than (3) and less than or equal to (3) at the same time. In exams, the intersection of contradictory conditions is empty.
A. \(x\le 16\), (16) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/\(x\le 16\), closed dot at (16) shaded left
Explanation
Simple Explanation
\(3x-6\le 2x+10\) से \(x\le 16\) मिलता है। परीक्षा में brackets खोलकर like terms को सही side पर रखें। / \(3x-6\le 2x+10\) gives \(x\le 16\). In exams, expand brackets and move like terms carefully.
Common भाग (-5) से (1) तक है, जिसमें (-5) शामिल और (1) बाहर है। परीक्षा में intersection में दोनों शर्तें साथ पूरी होनी चाहिए। / The common part is from (-5) to (1), including (-5) and excluding (1). In exams, both conditions must be satisfied in an intersection.
Open dots endpoints को exclude करते हैं और बाहर shading दो rays देती है। परीक्षा में outer shading को or inequality समझें। / Open dots exclude the endpoints, and outer shading gives two rays. In exams, read outer shading as an or inequality.
दोनों intervals overlap करते हैं और मिलकर (-4) से (3) तक जाते हैं। परीक्षा में overlapping intervals का union एक बड़ा interval बनता है। / The intervals overlap and together extend from (-4) to (3). In exams, the union of overlapping intervals forms one larger interval.
([-1,2)) हटाने पर (-1) भी हटता है पर (2) बचता है। परीक्षा में set difference में हटाए गए interval के endpoints को ध्यान से जाँचें। / Removing ([-1,2)) removes (-1) but keeps (2). In exams, check endpoints carefully in set difference.
Points (-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं, इसलिए कुल (7) हैं। परीक्षा में integers को गिनते समय दोनों endpoints शामिल करें। / The points are (-3,-2,-1,0,1,2,3), so there are (7) points. In exams, include both endpoints while counting integers.
\(4\le -2x<10\) से negative division के बाद \(-5<x\le -2\) मिलता है। परीक्षा में compound inequality को negative से divide करते समय endpoints भी उलटते हैं।
दोनों intervals (6) पर जुड़े हैं और gap नहीं है। परीक्षा में common endpoint शामिल हो तो intervals merge हो जाते हैं। / The intervals join at (6) with no gap. In exams, intervals merge when the common endpoint is included.
Common भाग (2) से (5) तक है, जिसमें (2) शामिल और (5) बाहर है। परीक्षा में intersection को simultaneous condition की तरह पढ़ें। / The common part is from (2) to (5), including (2) and excluding (5). In exams, read intersection as a simultaneous condition.
B. \(x\le -13\), (-13) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/\(x\le -13\), closed dot at (-13) shaded left
Explanation
Simple Explanation
(15) से गुणा करने पर \(3x+6\ge 5x-20\), इसलिए \(x\le 13\) नहीं बल्कि \(x\le 13\) आता है। परीक्षा में final sign और arithmetic दोबारा जाँचें। / Multiplying by (15) gives \(3x+6\ge 5x-20\), so \(x\le 13\), not \(x\ge 13\). In exams, recheck the final sign and arithmetic.
A. (x<11), (11) पर खुला बिंदु और बाईं ओर/(x<11), open dot at (11) shaded left
Explanation
Simple Explanation
(4) से गुणा करने पर (3x-1<2x+10), इसलिए (x<11)। परीक्षा में denominators हटाने के बाद strict sign खुला endpoint देता है। / Multiplying by (4) gives (3x-1<2x+10), so (x<11). In exams, after clearing denominators, a strict sign gives an open endpoint.
दोनों ओर (2) से गुणा करने पर \(14\le 3x+2<32\), इसलिए \(4\le x<10\)। परीक्षा में compound inequality में सभी हिस्सों पर समान operation करें। / Multiplying all parts by (2) gives \(14\le 3x+2<32\), so \(4\le x<10\). In exams, apply the same operation to all parts of a compound inequality.
\(-\frac{9}{2}\) से बड़े पूर्णांक (-4) से शुरू होते हैं और \(\frac{5}{2}\) तक (2) अंतिम पूर्णांक है। परीक्षा में fractional boundary पर nearest valid integer चुनें। / Integers greater than \(-\frac{9}{2}\) start at (-4), and (2) is the last integer up to \(\frac{5}{2}\). In exams, choose the nearest valid integer at fractional boundaries.
दोनों intervals का common भाग (-3) से (1) तक है, जिसमें (-3) बाहर और (1) शामिल है। परीक्षा में intersection में endpoint inclusion अलग से जाँचें। / The common part of the two intervals is from (-3) to (1), excluding (-3) and including (1). In exams, check endpoint inclusion separately in intersections.
\(|2x-1|\ge 7\) से \(2x-1\le -7\) या \(2x-1\ge 7\), इसलिए \(x\le -3\) या \(x\ge 4\)। परीक्षा में \(\ge\) वाले absolute value में बाहर के closed rays बनते हैं। / \(|2x-1|\ge 7\) gives \(2x-1\le -7\) or \(2x-1\ge 7\), so \(x\le -3\) or \(x\ge 4\). In exams, absolute value with \(\ge\) forms closed outer rays.
A. \(x\ge 3\), (3) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/\(x\ge 3\), closed dot at (3) shaded right
Explanation
Simple Explanation
\(4-3x\le -5\) से \(-3x\le -9\), इसलिए \(x\ge 3\)। परीक्षा में negative coefficient से divide करते समय inequality reverse करें। / \(4-3x\le -5\) gives \(-3x\le -9\), so \(x\ge 3\). In exams, reverse the inequality when dividing by a negative coefficient.
([-2,0)) हटाने पर (-2) भी हटता है और (0) बचता है। परीक्षा में set difference में हटाए गए endpoint की inclusion जाँचें। / Removing ([-2,0)) also removes (-2) but keeps (0). In exams, check endpoint inclusion carefully in set difference.
खुला बिंदु (-5) को बाहर रखता है और बंद बिंदु (2) को शामिल करता है। परीक्षा में खुला बिंदु गोल कोष्ठक और बंद बिंदु वर्ग कोष्ठक से लिखें। / The open dot excludes (-5), and the closed dot includes (2). In exams, write an open dot with a round bracket and a closed dot with a square bracket.
B. \(x\le -3\), (-3) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/\(x\le -3\), closed dot at (-3) shaded left
Explanation
Simple Explanation
\(-4x\ge 12\) में ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर \(x\le -3\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक से भाग देने पर असमानता का चिन्ह पलटें। / From \(-4x\ge 12\), dividing by a negative gives \(x\le -3\). In exams, reverse the inequality sign when dividing by a negative.
पहला भाग (-6) सहित बाईं ओर है और दूसरा भाग (4) के बाद दाईं ओर है। परीक्षा में \(\cup\) को या के रूप में पढ़ें। / The first part is to the left including (-6), and the second part is to the right after (4). In exams, read \(\cup\) as or.
सभी भागों को (4) से गुणा करने पर \(12<x-2\le32\), इसलिए \(14<x\le34\)। परीक्षा में संयुक्त असमानता में हर भाग पर समान क्रिया करें। / Multiplying all parts by (4) gives \(12<x-2\le32\), so \(14<x\le34\). In exams, apply the same operation to every part of a compound inequality.
(-7) शामिल है और \(\frac{5}{2}\) से छोटे पूर्णांक (2) तक हैं। परीक्षा में पूर्णांक प्रतिबंध हो तो रेखा नहीं, अलग बिंदु बनाएं। / (-7) is included, and integers less than \(\frac{5}{2}\) go up to (2). In exams, with an integer restriction, mark separate points instead of a continuous line.
दिए गए अंतराल में (-3) शामिल नहीं है और (5) शामिल है, इसलिए पूरक में (-3) शामिल और (5) बाहर होगा। परीक्षा में पूरक लेते समय सिरों की स्थिति बदलकर जाँचें। / The given interval excludes (-3) and includes (5), so its complement includes (-3) and excludes (5). In exams, check endpoint inclusion carefully while taking complements.
\(-10\le3x-2\le10\) से \(-8\le3x\le12\), इसलिए \(-\frac{8}{3}\le x\le4\)। परीक्षा में \(\le\) होने पर दोनों सिरे बंद रखें। / \(-10\le3x-2\le10\) gives \(-8\le3x\le12\), so \(-\frac{8}{3}\le x\le4\). In exams, keep both endpoints closed for \(\le\).
साझा भाग (-4) से (-1) के बीच है और दोनों सिरे बाहर हैं। परीक्षा में \(\cap\) के लिए केवल समान छायांकित भाग लें। / The common part is between (-4) and (-1), and both endpoints are excluded. In exams, take only the commonly shaded part for \(\cap\).
A. \(x<\frac{11}{3}\), \(\frac{11}{3}\) पर खुला बिंदु और बाईं ओर/\(x<\frac{11}{3}\), open dot at \(\frac{11}{3}\) shaded left
Explanation
Simple Explanation
(5-6x+2>-15) से (7-6x>-15), इसलिए \(x<\frac{11}{3}\)। परीक्षा में कोष्ठक खोलकर ऋणात्मक गुणांक पर चिन्ह पलटें। / (5-6x+2>-15) gives (7-6x>-15), so \(x<\frac{11}{3}\). In exams, expand brackets and reverse the sign for a negative coefficient.
पहली शर्त (x<6) देती है और दूसरी \(x\ge -4\), इसलिए साझा हल ([-4,6)) है। परीक्षा में दोनों शर्तों के लिए common भाग लें। / The first condition gives (x<6), and the second gives \(x\ge -4\), so the common solution is ([-4,6)). In exams, take the common region for both conditions.
पहला भाग (0) से पहले है और दूसरा भाग (0) को शामिल करके (7) तक जाता है, इसलिए कोई अंतराल नहीं छूटता। परीक्षा में जुड़े हुए भागों को एक अंतराल में मिलाएं। / The first part is before (0), and the second includes (0) up to (7), so no gap remains. In exams, combine connected parts into one interval.
बंद बिंदु (-1) को शामिल करता है और खुला बिंदु (9) को बाहर रखता है। परीक्षा में बिंदु के प्रकार से \(\le\) या (<) तय करें। / The closed dot includes (-1), and the open dot excludes (9). In exams, decide \(\le\) or (<) from the type of endpoint.
A. (x>11), (11) पर खुला बिंदु और दाईं ओर/(x>11), open dot at (11) shaded right
Explanation
Simple Explanation
(2x-7>15) से (2x>22), इसलिए (x>11)। परीक्षा में धनात्मक हर हटाने पर चिन्ह नहीं बदलता। / (2x-7>15) gives (2x>22), so (x>11). In exams, removing a positive denominator does not change the sign.
हटाया गया भाग (1) को नहीं हटाता पर (6) को हटाता है। परीक्षा में set difference में हटने वाले सिरे ध्यान से देखें। / The removed part does not remove (1), but it removes (6). In exams, check the endpoints of the removed interval carefully.
\(x^2\le25\) का अर्थ \(|x|\le5\), इसलिए \(-5\le x\le5\)। परीक्षा में square inequality में बीच का बंद भाग लें जब चिन्ह \(\le\) हो। / \(x^2\le25\) means \(|x|\le5\), so \(-5\le x\le5\). In exams, take the closed middle part when the sign is \(\le\).
\(x^2>49\) से (|x|>7), इसलिए बाहर के दो खुले भाग मिलते हैं। परीक्षा में strict (>) होने पर boundary points शामिल न करें। / \(x^2>49\) gives (|x|>7), so two open outer regions are obtained. In exams, do not include boundary points for strict (>).
प्राकृतिक संख्याएँ (4,5,6,7,8,9) हैं, इसलिए कुल (6) बिंदु होंगे। परीक्षा में प्राकृतिक संख्या के लिए केवल अलग-अलग मान गिनें। / The natural numbers are (4,5,6,7,8,9), so there are (6) points. In exams, count only the separate valid natural number values.
दोनों भाग मिलकर हर वास्तविक संख्या को ढक लेते हैं। परीक्षा में पूरक किरणों का union पूरी संख्या रेखा देता है। / Together, the two parts cover every real number. In exams, the union of complementary rays gives the whole number line.
\(x\ne -4\) में पूरी संख्या रेखा ली जाती है लेकिन (-4) हटाया जाता है। परीक्षा में हटे हुए बिंदु को खुले बिंदु से दिखाएँ। / For \(x\ne -4\), the whole number line is taken except (-4). In exams, show the removed point as an open dot.
पहले भाग से \(x\le6\) नहीं बल्कि \(x\le6\) और दूसरे से (x>-3) मिलता है, इसलिए सही साझा हल ((-3,6]) नहीं है। परीक्षा में संयुक्त असमानता को दो अलग शर्तों में बाँटकर जाँचें। / The first part gives \(x\le6\) and the second gives (x>-3), so the correct common solution is ((-3,6]). In exams, split a compound inequality into two conditions and check carefully.
पहला अंतराल (-2) को शामिल करता है और दूसरा (-2) के बाद शुरू होता है, इसलिए कोई gap नहीं बचता। परीक्षा में जुड़े हुए intervals को मिलाकर लिखें। / The first interval includes (-2), and the second starts after (-2), so no gap remains. In exams, merge connected intervals.
A. \(x\le\frac{19}{2}\), \(\frac{19}{2}\) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/\(x\le\frac{19}{2}\), closed dot at \(\frac{19}{2}\) shaded left
Explanation
Simple Explanation
\(7-2x\ge -12\) से \(-2x\ge -19\), इसलिए \(x\le\frac{19}{2}\)। परीक्षा में ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह पलटें। / \(7-2x\ge -12\) gives \(-2x\ge -19\), so \(x\le\frac{19}{2}\). In exams, reverse the sign when dividing by a negative.
खुले सिरों के कारण (-10) और (-3) शामिल नहीं हैं और बाहर के दो भाग लिए जाते हैं। परीक्षा में बाहर छायांकन का अर्थ दो अलग किरणें होता है। / Because the endpoints are open, (-10) and (-3) are excluded, and two outer parts are taken. In exams, outer shading means two separate rays.
B. (x>4), (4) पर खुला बिंदु और दाईं ओर/(x>4), open dot at (4) shaded right
Explanation
Simple Explanation
(6) से गुणा करने पर (3x+3<3x-5) बनता है, जो असंभव है। परीक्षा में समान (x) पद कटने पर स्थिर संख्याओं की तुलना करें। / Multiplying by (6) gives (3x+3<3x-5), which is impossible. In exams, when (x)-terms cancel, compare the constants.
साझा भाग (3) से (12) तक है और दोनों सिरे शामिल हैं। परीक्षा में दो बंद सीमाएँ common भाग में closed interval देती हैं। / The common part is from (3) to (12), and both endpoints are included. In exams, two included boundaries give a closed interval in the common region.
हटाया गया भाग (-4) को नहीं हटाता पर (0) को हटाता है। परीक्षा में हटाए गए interval के खुले और बंद सिरे उलटकर सोचें। / The removed part does not remove (-4), but it removes (0). In exams, think carefully about the open and closed endpoints of the removed interval.
(|x-7|>2) में (x<5) या (x>9) मिलता है। परीक्षा में (>) वाले modulus में बाहर के खुले भाग बनते हैं। / (|x-7|>2) gives (x<5) or (x>9). In exams, modulus with (>) gives open outer regions.
दोनों intervals overlap करते हैं और (-2) से (9) तक बिना gap के जाते हैं। परीक्षा में union में पूरा covered भाग लें। / The two intervals overlap and cover from (-2) to (9) without a gap. In exams, take the entire covered region for a union.
साझा भाग (-7) से (-5) तक है और दोनों सिरे शामिल हैं। परीक्षा में intersection में केवल overlapping segment चुनें। / The common part is from (-7) to (-5), and both endpoints are included. In exams, choose only the overlapping segment for intersection.
B. \(x\le3\), (3) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/\(x\le3\), closed dot at (3) shaded left
Explanation
Simple Explanation
\(8-2x\ge3x-7\) से \(15\ge5x\), इसलिए \(x\le3\)। परीक्षा में चर को एक ओर और संख्याओं को दूसरी ओर रखें। / \(8-2x\ge3x-7\) gives \(15\ge5x\), so \(x\le3\). In exams, keep variables on one side and constants on the other.
दिए गए भाग पूरी संख्या रेखा को ढकते हैं लेकिन (-1) नहीं लेते। परीक्षा में missing point को अलग से पहचानें। / The given parts cover the whole number line except (-1). In exams, identify the missing point separately.
\(5\le2x+3\le15\) से \(2\le2x\le12\), इसलिए \(1\le x\le6\)। परीक्षा में बंद संयुक्त असमानता से बंद interval मिलता है। / \(5\le2x+3\le15\) gives \(2\le2x\le12\), so \(1\le x\le6\). In exams, a closed compound inequality gives a closed interval.
पहला भाग (5) को शामिल नहीं करता और दूसरा (5) से शुरू होता है, इसलिए कोई common point नहीं है। परीक्षा में endpoint inclusion देखकर ही intersection तय करें। / The first part excludes (5), and the second starts at (5), so there is no common point. In exams, decide intersection only after checking endpoint inclusion.
बंद बिंदु (-8) को शामिल करता है और दाईं ओर shading \(x\ge -8\) बताती है। परीक्षा में right ray को greater side समझें। / The closed dot includes (-8), and right shading means \(x\ge -8\). In exams, read a right ray as the greater side.
B. (x>1), (1) पर खुला बिंदु और दाईं ओर/(x>1), open dot at (1) shaded right
Explanation
Simple Explanation
(-2) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर (9-x>-8), इसलिए (x<17) नहीं बल्कि (x<17) मिलता है। परीक्षा में negative denominator हटाते समय चिन्ह पलटें। / Multiplying by (-2) reverses the sign to (9-x>-8), so (x<17), not (x>17). In exams, reverse the sign when removing a negative denominator.
पहला भाग (0) सहित बाईं ओर है और दूसरा (2) तथा (7) के बीच खुला है। परीक्षा में अलग-अलग conditions को union से जोड़ें। / The first part is left including (0), and the second is open between (2) and (7). In exams, connect separate conditions using union.
सिर्फ (6) हटाया गया है, इसलिए (6) पर खुला बिंदु और दोनों ओर shading होगी। परीक्षा में इसे \(x\ne6\) की तरह पहचानें। / Only (6) is removed, so there is an open dot at (6) and shading on both sides. In exams, identify this as \(x\ne6\).
पहला अंतराल (2) को शामिल करता है और दूसरा (2) के बाद शुरू होता है, इसलिए कोई gap नहीं है। परीक्षा में connected intervals को एक में मिलाएँ। / The first interval includes (2), and the second starts after (2), so there is no gap. In exams, merge connected intervals into one.
Common भाग (4) से बड़ा और (10) से छोटा है, इसलिए दोनों सिरे खुले हैं। परीक्षा में intersection में दोनों असमानताओं को साथ पढ़ें। / The common part is greater than (4) and less than (10), so both endpoints are open. In exams, read both inequalities together in an intersection.
A. सबसे छोटा (4), सबसे बड़ा (11)/Smallest (4), greatest (11)
Explanation
Simple Explanation
हल \(6\le x+2<14\) से \(4\le x<12\), इसलिए पूर्णांक (4) से (11) तक हैं। परीक्षा में ऊपरी strict सीमा से ठीक पहले वाला पूर्णांक लें। / The solution \(6\le x+2<14\) gives \(4\le x<12\), so integers run from (4) to (11). In exams, take the integer just before a strict upper boundary.
A. \(x\le\frac{32}{7}\), \(\frac{32}{7}\) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/\(x\le\frac{32}{7}\), closed dot at \(\frac{32}{7}\) shaded left
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Simple Explanation
(6) से गुणा करने पर \(10x-8\le3x+24\), इसलिए \(x\le\frac{32}{7}\)। परीक्षा में भिन्न हटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करें। / Multiplying by (6) gives \(10x-8\le3x+24\), so \(x\le\frac{32}{7}\). In exams, multiply by the LCM to clear fractions.
\(-\frac{11}{3}\) से बड़ा या बराबर पहला पूर्णांक (-3) है और \(\frac{9}{2}\) से छोटा अंतिम पूर्णांक (4) है। परीक्षा में fractional boundary पर valid integer अलग से चुनें। / The first integer greater than or equal to \(-\frac{11}{3}\) is (-3), and the last integer less than \(\frac{9}{2}\) is (4). In exams, choose valid integers separately at fractional boundaries.
हटाया गया भाग (-1) को नहीं हटाता पर (3) को हटाता है। परीक्षा में set difference में हटाए गए अंतराल के खुले और बंद सिरों को ध्यान से देखें। / The removed part does not remove (-1), but it removes (3). In exams, check the open and closed endpoints of the removed interval carefully.
(|2x+5|>9) से (2x+5<-9) या (2x+5>9), इसलिए (x<-7) या (x>2)। परीक्षा में (>) वाले modulus में बाहर के खुले भाग बनते हैं। / (|2x+5|>9) gives (2x+5<-9) or (2x+5>9), so (x<-7) or (x>2). In exams, modulus with (>) gives open outer parts.
साझा भाग (-2) से (3) तक है और दोनों सिरे शामिल हैं। परीक्षा में \(\cap\) के लिए केवल common shaded region लें। / The common part is from (-2) to (3), and both endpoints are included. In exams, take only the common shaded region for \(\cap\).
खुला बिंदु (-9) को बाहर रखता है और बंद बिंदु (-1) को शामिल करता है। परीक्षा में खुले endpoint के लिए गोल कोष्ठक लगाएँ। / The open dot excludes (-9), and the closed dot includes (-1). In exams, use a round bracket for an open endpoint.
D. \(x\ge6\), (6) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/\(x\ge6\), closed dot at (6) shaded right
Explanation
Simple Explanation
\(3x\ge18\) से \(x\ge6\) मिलता है। परीक्षा में \(\ge\) होने पर boundary point को शामिल करें। / \(3x\ge18\) gives \(x\ge6\). In exams, include the boundary point when the sign is \(\ge\).
पहला भाग (-4) से पहले खुला है और दूसरा (3) सहित दाईं ओर है। परीक्षा में \(\cup\) को "या" की तरह पढ़ें। / The first part is open before (-4), and the second starts from (3) inclusive. In exams, read \(\cup\) as or.
सभी भागों को (3) से गुणा करने पर \(-6\le x+5<12\), इसलिए \(-11\le x<7\)। परीक्षा में compound inequality में हर भाग पर समान operation करें। / Multiplying all parts by (3) gives \(-6\le x+5<12\), so \(-11\le x<7\). In exams, apply the same operation to every part of a compound inequality.
\(-\frac{5}{2}\) से बड़े पूर्णांक (-2) से शुरू होते हैं और \(\frac{13}{3}\) तक (4) अंतिम पूर्णांक है। परीक्षा में fractional boundary पर valid integer चुनें। / Integers greater than \(-\frac{5}{2}\) start at (-2), and the last integer up to \(\frac{13}{3}\) is (4). In exams, choose valid integers at fractional boundaries.
दिए गए interval में (-6) शामिल है और (2) शामिल नहीं है, इसलिए complement में (-6) हटेगा और (2) शामिल होगा। परीक्षा में complement लेते समय endpoints उलटकर जाँचें। / The given interval includes (-6) and excludes (2), so the complement excludes (-6) and includes (2). In exams, check endpoints carefully while taking complements.
\(-9\le4x+1\le9\) से \(-10\le4x\le8\), इसलिए \(-\frac{5}{2}\le x\le2\)। परीक्षा में \(\le\) वाले modulus में closed interval लें। / \(-9\le4x+1\le9\) gives \(-10\le4x\le8\), so \(-\frac{5}{2}\le x\le2\). In exams, modulus with \(\le\) gives a closed interval.
साझा भाग (-2) से (3) तक है और दोनों endpoints बाहर हैं। परीक्षा में \(\cap\) के लिए केवल overlapping region लें। / The common part is from (-2) to (3), and both endpoints are excluded. In exams, take only the overlapping region for \(\cap\).
A. (x<2), (2) पर खुला बिंदु और बाईं ओर/(x<2), open dot at (2) shaded left
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Simple Explanation
(8-6x-3>-7) से (5-6x>-7), इसलिए (x<2)। परीक्षा में negative coefficient से divide करते समय sign reverse करें। / (8-6x-3>-7) gives (5-6x>-7), so (x<2). In exams, reverse the sign when dividing by a negative coefficient.
पहली शर्त (x<5) देती है और दूसरी \(x\ge-4\), इसलिए साझा हल ([-4,5)) है। परीक्षा में "और" का अर्थ common shaded part होता है। / The first condition gives (x<5), and the second gives \(x\ge-4\), so the common solution is ([-4,5)). In exams, and means the common shaded part.
पहला भाग (-3) को शामिल करता है और दूसरा (-3) के बाद शुरू होता है, इसलिए gap नहीं बचता। परीक्षा में जुड़े intervals को merge करें। / The first part includes (-3), and the second starts after (-3), so no gap remains. In exams, merge connected intervals.
बंद बिंदु (5) को शामिल करता है और खुला बिंदु (14) को बाहर रखता है। परीक्षा में endpoint देखकर \(\le\) या (<) तय करें। / The closed dot includes (5), and the open dot excludes (14). In exams, decide \(\le\) or (<) from the endpoint.
A. (x>11), (11) पर खुला बिंदु और दाईं ओर/(x>11), open dot at (11) shaded right
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Simple Explanation
(4x-9>35) से (4x>44), इसलिए (x>11)। परीक्षा में strict inequality में open endpoint बनाएं। / (4x-9>35) gives (4x>44), so (x>11). In exams, make an open endpoint for a strict inequality.
हटाया गया भाग (2) को नहीं हटाता पर (7) को हटाता है। परीक्षा में set difference में हटने वाले endpoints पर ध्यान दें। / The removed part does not remove (2), but it removes (7). In exams, pay attention to the endpoints removed in set difference.
\(x^2\ge64\) से \(|x|\ge8\), इसलिए बाहर के दो closed rays मिलते हैं। परीक्षा में \(\ge\) होने पर boundary points शामिल करें। / \(x^2\ge64\) gives \(|x|\ge8\), so two closed outer rays are obtained. In exams, include boundary points when the sign is \(\ge\).
प्राकृतिक संख्याएँ (4,5,6,7,8,9,10) हैं, इसलिए कुल (7) बिंदु होंगे। परीक्षा में upper strict boundary को न गिनें। / The natural numbers are (4,5,6,7,8,9,10), so there are (7) points. In exams, do not count the strict upper boundary.
कोई संख्या एक साथ (7) से कम या बराबर और (7) से बड़ी नहीं हो सकती। परीक्षा में विरोधी शर्तों का intersection रिक्त होता है। / No number can be less than or equal to (7) and greater than (7) at the same time. In exams, contradictory conditions have an empty intersection.
\(x\ne9\) में पूरी संख्या रेखा ली जाती है लेकिन (9) हटाया जाता है। परीक्षा में हटे हुए बिंदु को open circle से दिखाएँ। / For \(x\ne9\), the whole number line is taken except (9). In exams, show the removed point with an open circle.
पहली असमानता से \(-2\le x\le4\) और दूसरी से (x>0), इसलिए common भाग ((0,4]) है। परीक्षा में extra condition लगाकर intersection लें। / The first inequality gives \(-2\le x\le4\), and the second gives (x>0), so the common part is ((0,4]). In exams, apply the extra condition as an intersection.
पहला interval (-5) को शामिल करता है और दूसरा (-5) के बाद शुरू होता है, इसलिए कोई gap नहीं है। परीक्षा में touching intervals को merge करें। / The first interval includes (-5), and the second starts after (-5), so there is no gap. In exams, merge touching intervals.
\(|x+2|\le5\) से \(-7\le x\le3\), इसलिए कुल (11) पूर्णांक हैं। परीक्षा में closed interval में endpoints भी गिनें। / \(|x+2|\le5\) gives \(-7\le x\le3\), so there are (11) integers. In exams, count endpoints in a closed interval.
\(x\le-2\) में (-2) शामिल है और (4<x<10) में दोनों सिरे बाहर हैं। परीक्षा में "या" को union से लिखें। / In \(x\le-2\), (-2) is included, and in (4<x<10), both endpoints are excluded. In exams, write or using union.
A. \(x\le7\), (7) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/\(x\le7\), closed dot at (7) shaded left
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Simple Explanation
\(11-3x\ge-10\) से \(-3x\ge-21\), इसलिए \(x\le7\)। परीक्षा में ऋणात्मक से divide करते समय inequality reverse करें। / \(11-3x\ge-10\) gives \(-3x\ge-21\), so \(x\le7\). In exams, reverse the inequality while dividing by a negative.
बंद endpoints के कारण (0) और (12) शामिल हैं और बाहर की दो rays ली जाती हैं। परीक्षा में outer shading को दो intervals की union समझें। / Because the endpoints are closed, (0) and (12) are included, and two outer rays are taken. In exams, read outer shading as a union of two intervals.
(6) से गुणा करने पर (2x-8<2x+5) यानी (-8<5), जो हमेशा सत्य है। परीक्षा में (x) पद कटने पर शेष कथन की सत्यता जाँचें। / Multiplying by (6) gives (2x-8<2x+5), that is (-8<5), which is always true. In exams, when (x)-terms cancel, check the truth of the remaining statement.
साझा भाग (6) से (15) तक है और दोनों सिरे शामिल हैं। परीक्षा में closed boundaries को intersection में बनाए रखें। / The common part is from (6) to (15), and both endpoints are included. In exams, keep closed boundaries in the intersection.
हटाया गया भाग (-2) को हटाता है पर (1) को नहीं हटाता। परीक्षा में set difference में बचने वाले endpoints अलग से जाँचें। / The removed part removes (-2) but does not remove (1). In exams, check the remaining endpoints separately in set difference.
(|x+6|>3) से (x<-9) या (x>-3) मिलता है। परीक्षा में (>) वाले modulus में बाहर के खुले भाग बनते हैं। / (|x+6|>3) gives (x<-9) or (x>-3). In exams, modulus with (>) gives open outer regions.
दोनों intervals overlap करते हैं और (-7) से (6) तक बिना gap के जाते हैं। परीक्षा में union में पूरा covered region लें। / The intervals overlap and cover from (-7) to (6) without a gap. In exams, take the entire covered region for a union.
साझा भाग (-9) से (-6) तक है और दोनों सिरे शामिल हैं। परीक्षा में intersection में केवल overlapping segment चुनें। / The common part is from (-9) to (-6), and both endpoints are included. In exams, choose only the overlapping segment in an intersection.
A. \(x\ge -1\), (-1) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/\(x\ge -1\), closed dot at (-1) shaded right
Explanation
Simple Explanation
\(15-3x\le2x+20\) से \(-5\le5x\), इसलिए \(x\ge-1\)। परीक्षा में final inequality को standard direction में लिखें। / \(15-3x\le2x+20\) gives \(-5\le5x\), so \(x\ge-1\). In exams, write the final inequality in the standard direction.
दिए गए भाग पूरी संख्या रेखा को ढकते हैं लेकिन (2) को नहीं लेते। परीक्षा में missing point पहचानकर interval सरल करें। / The given parts cover the whole number line except (2). In exams, identify the missing point while simplifying intervals.
भाग देने पर \(-4<x\le5\), इसलिए पूर्णांक (-3) से (5) तक कुल (9) हैं। परीक्षा में open lower boundary को count न करें। / Dividing gives \(-4<x\le5\), so integers from (-3) to (5) total (9). In exams, do not count an open lower boundary.
\(8\le3x-1\le20\) से \(9\le3x\le21\), इसलिए \(3\le x\le7\)। परीक्षा में closed compound inequality से closed interval मिलता है। / \(8\le3x-1\le20\) gives \(9\le3x\le21\), so \(3\le x\le7\). In exams, a closed compound inequality gives a closed interval.
पहला भाग (-2) तक है और दूसरा (-2) के बाद शुरू होता है, इसलिए कोई common point नहीं है। परीक्षा में endpoint inclusion देखकर intersection तय करें। / The first part goes up to (-2), and the second starts after (-2), so there is no common point. In exams, decide intersection after checking endpoint inclusion.
खुला बिंदु (13) को बाहर रखता है और बाईं ओर shading (x<13) बताती है। परीक्षा में left ray को less than side समझें। / The open dot excludes (13), and left shading means (x<13). In exams, read a left ray as the less than side.
B. \(x\ge-2\), (-2) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/\(x\ge-2\), closed dot at (-2) shaded right
Explanation
Simple Explanation
(-4) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर \(x-10\ge-12\), इसलिए \(x\ge-2\)। परीक्षा में negative denominator हटाते समय sign reverse करें। / Multiplying by (-4) reverses the sign to \(x-10\ge-12\), so \(x\ge-2\). In exams, reverse the sign when removing a negative denominator.
सिर्फ (-5) हटाया गया है, इसलिए दोनों ओर shading और (-5) पर open point होगा। परीक्षा में इसे \(x\ne-5\) के रूप में पहचानें। / Only (-5) is removed, so both sides are shaded with an open point at (-5). In exams, identify it as \(x\ne-5\).
पहला interval (-3) को शामिल करता है और दूसरा (-3) के बाद शुरू होता है, इसलिए gap नहीं बचता। परीक्षा में connected intervals को एक interval में बदलें। / The first interval includes (-3), and the second starts after (-3), so no gap remains. In exams, change connected intervals into one interval.
Common भाग (6) से बड़ा और (11) से छोटा है, इसलिए दोनों endpoints खुले हैं। परीक्षा में intersection में दोनों conditions साथ पढ़ें। / The common part is greater than (6) and less than (11), so both endpoints are open. In exams, read both conditions together in an intersection.
A. \(x\le19\), (19) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/\(x\le19\), closed dot at (19) shaded left
Explanation
Simple Explanation
(6) से गुणा करने पर \(4x+14\le3x+33\), इसलिए \(x\le19\)। परीक्षा में भिन्न हटाने के लिए LCM से गुणा करें। / Multiplying by (6) gives \(4x+14\le3x+33\), so \(x\le19\). In exams, multiply by the LCM to clear fractions.
\(-\frac{17}{4}\) से बड़ा पहला पूर्णांक (-4) है और \(\frac{7}{3}\) तक अंतिम पूर्णांक (2) है। परीक्षा में fractional boundary पर valid integer ध्यान से चुनें। / The first integer greater than \(-\frac{17}{4}\) is (-4), and the last integer up to \(\frac{7}{3}\) is (2). In exams, choose valid integers carefully at fractional boundaries.
पहला common भाग ([-5,-3]) है और दूसरा ((2,4]) है। परीक्षा में union के हर भाग का intersection अलग-अलग निकालें। / The first common part is ([-5,-3]), and the second is ((2,4]). In exams, find the intersection of each union part separately.
\(|3x-4|\ge11\) से \(3x-4\le-11\) या \(3x-4\ge11\), इसलिए \(x\le-\frac{7}{3}\) या \(x\ge5\)। परीक्षा में \(\ge\) वाले modulus में बाहर के closed rays बनते हैं। / \(|3x-4|\ge11\) gives \(3x-4\le-11\) or \(3x-4\ge11\), so \(x\le-\frac{7}{3}\) or \(x\ge5\). In exams, modulus with \(\ge\) gives closed outer rays.
हटाया गया भाग (-2) को हटाता है पर (4) को नहीं हटाता। परीक्षा में set difference में कौन-सा endpoint बचता है, यह अलग से जाँचें। / The removed part removes (-2) but does not remove (4). In exams, check separately which endpoint remains in set difference.
B. \(x>\frac{11}{4}\), \(\frac{11}{4}\) पर खुला बिंदु और दाईं ओर/\(x>\frac{11}{4}\), open dot at \(\frac{11}{4}\) shaded right
Explanation
Simple Explanation
(-2) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर (5-4x<-6), इसलिए \(x>\frac{11}{4}\)। परीक्षा में negative denominator हटाते समय inequality reverse करें। / Multiplying by (-2) reverses the sign to (5-4x<-6), so \(x>\frac{11}{4}\). In exams, reverse the inequality when removing a negative denominator.
