Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. ( -3) पर बंद बिंदु बाईं ओर और (1) पर खुला बिंदु दाईं ओर/Closed dot at (-3) shaded left and open dot at (1) shaded right
Explanation
Simple Explanation
\(x\le -3\) में (-3) शामिल है और (x>1) में (1) शामिल नहीं है। परीक्षा में \(\le\) के लिए बंद और (>) के लिए खुला बिंदु याद रखें। / \(x\le -3\) includes (-3), while (x>1) does not include (1). In exams, remember closed dot for \(\le\) and open dot for (>).
गोल कोष्ठक खुला endpoint और वर्ग कोष्ठक बंद endpoint बताता है। परीक्षा में interval notation को inequality में बदलते समय यही नियम लगाएँ। / A round bracket means open endpoint and a square bracket means closed endpoint. In exams, use this rule while converting interval notation to inequality.
A. \(x\ge 5\) यानी (5) से दाईं ओर बंद बिंदु/\(x\ge 5\), closed dot at (5) shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल \(2x\ge 10\) से \(x\ge 5\) मिलता है। परीक्षा में पहले हल करें फिर दिशा और endpoint लगाएँ। / Solving gives \(2x\ge 10\), so \(x\ge 5\). In exams, solve first and then mark direction and endpoint.
B. (x>2), (2) से दाईं ओर/(x>2), shaded right of (2)
Explanation
Simple Explanation
(-3x<-6) में ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलटता है। परीक्षा में negative से divide करते समय inequality reverse करें। / From (-3x<-6), dividing by a negative reverses the sign. In exams, reverse the inequality when dividing by a negative.
Union में दोनों अलग-अलग भाग लिए जाते हैं। परीक्षा में \(\cup\) को या के रूप में पढ़ें। / A union includes both separate parts. In exams, read \(\cup\) as or.
दोनों endpoint खुले होने से (3) और (8) शामिल नहीं हैं। परीक्षा में खुले circle को round bracket से लिखें। / Both endpoints are open, so (3) and (8) are not included. In exams, write open circles with round brackets.
\(|x-2|\le 5\) से \(-5\le x-2\le 5\) और \(-3\le x\le 7\) मिलता है। परीक्षा में \(\le\) वाले absolute value में बीच का बंद interval लें। / \(|x-2|\le 5\) gives \(-5\le x-2\le 5\), hence \(-3\le x\le 7\). In exams, absolute value with \(\le\) gives a closed middle interval.
(|x+1|>4) में केंद्र से बाहर के दो भाग मिलते हैं और endpoint शामिल नहीं होते। परीक्षा में (>) वाले absolute value में बाहर की ओर shading करें। / (|x+1|>4) gives two outer regions, and endpoints are not included. In exams, absolute value with (>) is shaded outward.
A. \(x\le 7\), (7) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\(x\le 7\), closed dot at (7) shaded left
Explanation
Simple Explanation
दोनों ओर (2) से गुणा करने पर \(x-1\le 6\), इसलिए \(x\le 7\)। परीक्षा में धनात्मक गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (2) gives \(x-1\le 6\), so \(x\le 7\). In exams, multiplying by a positive number does not reverse the sign.
B. \(x\le -1\), (-1) से बाईं ओर बंद बिंदु/\(x\le -1\), closed dot at (-1) shaded left
Explanation
Simple Explanation
हल \(5-x\ge 6\) से \(-x\ge 1\) और \(x\le -1\) आता है। परीक्षा में (-x) हटाते समय चिन्ह पलटना न भूलें। / Solving gives \(5-x\ge 6\), then \(-x\ge 1\), so \(x\le -1\). In exams, remember to reverse the sign when removing (-x).
Intersection में दोनों intervals का common भाग ([-4,0]) है। परीक्षा में \(\cap\) के लिए overlapping region देखें। / In intersection, the common part of both intervals is ([-4,0]). In exams, look for the overlapping region for \(\cap\).
खुला बिंदु (-2) को बाहर रखता है और बंद बिंदु (6) को शामिल करता है। परीक्षा में endpoint symbols को ध्यान से पढ़ें। / The open dot excludes (-2), and the closed dot includes (6). In exams, read endpoint symbols carefully.
\(4-2x\le 10\) से \(-2x\le 6\), इसलिए \(x\ge -3\) है। परीक्षा में ऋणात्मक भाग देने पर sign reverse करें। / \(4-2x\le 10\) gives \(-2x\le 6\), so \(x\ge -3\). In exams, reverse the sign when dividing by a negative.
A. (x<-1) या \(4\le x\le 9\)/(x<-1) or \(4\le x\le 9\)
Explanation
Simple Explanation
पहला भाग (-1) से पहले है और दूसरा भाग (4) से (9) तक बंद है। परीक्षा में अलग intervals को अलग-अलग पढ़ें। / The first part is before (-1), and the second part is closed from (4) to (9). In exams, read separate intervals separately.
\(6\le 2x\le 14\) से \(3\le x\le 7\) मिलता है। परीक्षा में दोनों sides closed हों तो final interval भी closed रहता है। / \(6\le 2x\le 14\) gives \(3\le x\le 7\). In exams, if both signs are inclusive, the final interval stays closed.
([2,6)) के complement में (2) बाहर नहीं आता पर (6) शामिल होता है। परीक्षा में complement लेते समय endpoints उलटकर देखें। / The complement of ([2,6)) excludes (2) but includes (6). In exams, check endpoints carefully when taking complements.
\(x^2\ge 16\) में \(|x|\ge 4\), इसलिए बाहर के दो closed भाग मिलते हैं। परीक्षा में \(\ge\) होने पर (-4) और (4) शामिल करें। / \(x^2\ge 16\) means \(|x|\ge 4\), giving two closed outer regions. In exams, include (-4) and (4) for \(\ge\).
यह पूरी संख्या रेखा है लेकिन (2) हटाया गया है। परीक्षा में missing open point को not equal समझें। / This is the whole number line except (2). In exams, treat a missing open point as not equal.
\(\le -4\) बंद endpoint देता है और (>5) खुला endpoint देता है। परीक्षा में infinite side पर हमेशा round bracket लगाएँ। / \(\le -4\) gives a closed endpoint, and (>5) gives an open endpoint. In exams, always use round brackets on the infinite side.
A. (x<2), (2) पर खुला बिंदु और बाईं ओर/(x<2), open dot at (2) shaded left
Explanation
Simple Explanation
(7-3x>1) से (-3x>-6) और (x<2) मिलता है। परीक्षा में negative coefficient हो तो दिशा पलटती है। / (7-3x>1) gives (-3x>-6), hence (x<2). In exams, a negative coefficient reverses the direction.
Common भाग (2) से (3) तक है, पर (2) शामिल नहीं और (3) शामिल है। परीक्षा में intersection में endpoints की inclusion अलग से जाँचें। / The common part is from (2) to (3), but (2) is excluded and (3) is included. In exams, check endpoint inclusion separately in intersections.
Closed ray में endpoint शामिल होता है और left ray का मतलब कम या बराबर है। परीक्षा में ray की दिशा और endpoint दोनों देखें। / A closed ray includes the endpoint, and a left ray means less than or equal. In exams, check both ray direction and endpoint.
A. (x>-4), (-4) पर खुला बिंदु और दाईं ओर/(x>-4), open dot at (-4) shaded right
Explanation
Simple Explanation
(-3) से गुणा करने पर inequality reverse होकर (2x+5>-3) बनती है, इसलिए (x>-4)। परीक्षा में negative denominator हटाते समय चिन्ह पलटें। / Multiplying by (-3) reverses the inequality to (2x+5>-3), so (x>-4). In exams, reverse the sign when removing a negative denominator.
(x<0) में (0) खुला है और \(2\le x<5\) में (2) बंद तथा (5) खुला है। परीक्षा में or को union में बदलें। / In (x<0), (0) is open; in \(2\le x<5\), (2) is closed and (5) is open. In exams, convert or into union.
Class (11) में सामान्यतः \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), इसलिए (1) से (6) तक बिंदु होंगे। परीक्षा में domain natural हो तो only natural points mark करें। / Usually in Class (11), \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), so points from (1) to (6) are marked. In exams, if the domain is natural numbers, mark only natural points.
दोनों intervals (-2) पर जुड़ते हैं और (5) शामिल नहीं है। परीक्षा में touching intervals को merge करें जब common endpoint included हो। / The two intervals meet at (-2), and (5) is not included. In exams, merge touching intervals when the common endpoint is included.
कोई (x) एक साथ (3) से बड़ा और (3) से कम या बराबर नहीं हो सकता। परीक्षा में contradictory conditions का intersection empty होता है। / No (x) can be greater than (3) and less than or equal to (3) at the same time. In exams, the intersection of contradictory conditions is empty.
A. \(x\le 16\), (16) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/\(x\le 16\), closed dot at (16) shaded left
Explanation
Simple Explanation
\(3x-6\le 2x+10\) से \(x\le 16\) मिलता है। परीक्षा में brackets खोलकर like terms को सही side पर रखें। / \(3x-6\le 2x+10\) gives \(x\le 16\). In exams, expand brackets and move like terms carefully.
Common भाग (-5) से (1) तक है, जिसमें (-5) शामिल और (1) बाहर है। परीक्षा में intersection में दोनों शर्तें साथ पूरी होनी चाहिए। / The common part is from (-5) to (1), including (-5) and excluding (1). In exams, both conditions must be satisfied in an intersection.
Open dots endpoints को exclude करते हैं और बाहर shading दो rays देती है। परीक्षा में outer shading को or inequality समझें। / Open dots exclude the endpoints, and outer shading gives two rays. In exams, read outer shading as an or inequality.
दोनों intervals overlap करते हैं और मिलकर (-4) से (3) तक जाते हैं। परीक्षा में overlapping intervals का union एक बड़ा interval बनता है। / The intervals overlap and together extend from (-4) to (3). In exams, the union of overlapping intervals forms one larger interval.
([-1,2)) हटाने पर (-1) भी हटता है पर (2) बचता है। परीक्षा में set difference में हटाए गए interval के endpoints को ध्यान से जाँचें। / Removing ([-1,2)) removes (-1) but keeps (2). In exams, check endpoints carefully in set difference.
Points (-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं, इसलिए कुल (7) हैं। परीक्षा में integers को गिनते समय दोनों endpoints शामिल करें। / The points are (-3,-2,-1,0,1,2,3), so there are (7) points. In exams, include both endpoints while counting integers.
\(4\le -2x<10\) से negative division के बाद \(-5<x\le -2\) मिलता है। परीक्षा में compound inequality को negative से divide करते समय endpoints भी उलटते हैं।
दोनों intervals (6) पर जुड़े हैं और gap नहीं है। परीक्षा में common endpoint शामिल हो तो intervals merge हो जाते हैं। / The intervals join at (6) with no gap. In exams, intervals merge when the common endpoint is included.
Common भाग (2) से (5) तक है, जिसमें (2) शामिल और (5) बाहर है। परीक्षा में intersection को simultaneous condition की तरह पढ़ें। / The common part is from (2) to (5), including (2) and excluding (5). In exams, read intersection as a simultaneous condition.
B. \(x\le -13\), (-13) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/\(x\le -13\), closed dot at (-13) shaded left
Explanation
Simple Explanation
(15) से गुणा करने पर \(3x+6\ge 5x-20\), इसलिए \(x\le 13\) नहीं बल्कि \(x\le 13\) आता है। परीक्षा में final sign और arithmetic दोबारा जाँचें। / Multiplying by (15) gives \(3x+6\ge 5x-20\), so \(x\le 13\), not \(x\ge 13\). In exams, recheck the final sign and arithmetic.
A. (x<11), (11) पर खुला बिंदु और बाईं ओर/(x<11), open dot at (11) shaded left
Explanation
Simple Explanation
(4) से गुणा करने पर (3x-1<2x+10), इसलिए (x<11)। परीक्षा में denominators हटाने के बाद strict sign खुला endpoint देता है। / Multiplying by (4) gives (3x-1<2x+10), so (x<11). In exams, after clearing denominators, a strict sign gives an open endpoint.
दोनों ओर (2) से गुणा करने पर \(14\le 3x+2<32\), इसलिए \(4\le x<10\)। परीक्षा में compound inequality में सभी हिस्सों पर समान operation करें। / Multiplying all parts by (2) gives \(14\le 3x+2<32\), so \(4\le x<10\). In exams, apply the same operation to all parts of a compound inequality.
\(-\frac{9}{2}\) से बड़े पूर्णांक (-4) से शुरू होते हैं और \(\frac{5}{2}\) तक (2) अंतिम पूर्णांक है। परीक्षा में fractional boundary पर nearest valid integer चुनें। / Integers greater than \(-\frac{9}{2}\) start at (-4), and (2) is the last integer up to \(\frac{5}{2}\). In exams, choose the nearest valid integer at fractional boundaries.
दोनों intervals का common भाग (-3) से (1) तक है, जिसमें (-3) बाहर और (1) शामिल है। परीक्षा में intersection में endpoint inclusion अलग से जाँचें। / The common part of the two intervals is from (-3) to (1), excluding (-3) and including (1). In exams, check endpoint inclusion separately in intersections.
\(|2x-1|\ge 7\) से \(2x-1\le -7\) या \(2x-1\ge 7\), इसलिए \(x\le -3\) या \(x\ge 4\)। परीक्षा में \(\ge\) वाले absolute value में बाहर के closed rays बनते हैं। / \(|2x-1|\ge 7\) gives \(2x-1\le -7\) or \(2x-1\ge 7\), so \(x\le -3\) or \(x\ge 4\). In exams, absolute value with \(\ge\) forms closed outer rays.
A. \(x\ge 3\), (3) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/\(x\ge 3\), closed dot at (3) shaded right
Explanation
Simple Explanation
\(4-3x\le -5\) से \(-3x\le -9\), इसलिए \(x\ge 3\)। परीक्षा में negative coefficient से divide करते समय inequality reverse करें। / \(4-3x\le -5\) gives \(-3x\le -9\), so \(x\ge 3\). In exams, reverse the inequality when dividing by a negative coefficient.
([-2,0)) हटाने पर (-2) भी हटता है और (0) बचता है। परीक्षा में set difference में हटाए गए endpoint की inclusion जाँचें। / Removing ([-2,0)) also removes (-2) but keeps (0). In exams, check endpoint inclusion carefully in set difference.
