Level 35 • 50/50 questions • 25 seconds per question.
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What is the maximum value of the graph (y=3-|x-2|)?
A. (3)
(|x-2|) का न्यूनतम मान (0) है इसलिए (y) का अधिकतम मान (3) है। उल्टा मापांक ग्राफ शीर्ष पर अधिकतम देता है। / The minimum value of (|x-2|) is (0), so the maximum value of (y) is (3). An inverted modulus graph gives its maximum at the vertex.
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Which statement is correct for the graph of \(y=\sqrt{|x|}\)?
A. यह (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित हैIt is symmetric about the (y)-axis
क्योंकि (|-x|=|x|) है इसलिए (f(-x)=f(x)) मिलता है। इसलिए ग्राफ (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। / Since (|-x|=|x|), we get (f(-x)=f(x)). Therefore the graph is symmetric about the (y)-axis.
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Which point is the vertex of the graph of 8f(x)=|x+4|-29?
A. \((-4,-2)\)
मापांक फलन का शीर्ष तब मिलता है जब उसके अंदर का व्यंजक शून्य हो: \(x+4=0\), इसलिए \(x=-4\)। इस मान पर \(f(-4)=|-4+4|-2=-2\), अतः शीर्ष-बिंदु \((-4,-2)\) है। विकल्प B में \(x\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|+b\) का शीर्ष \((a,b)\) होता है। / The vertex of an absolute-value function occurs where the expression inside the modulus is zero: \(x+4=0\), giving \(x=-4\). Then \(f(-4)=|-4+4|-2=-2\), so the vertex is \((-4,-2)\). Option B results from taking the sign of the horizontal shift incorrectly. Exam tip: the vertex of \(|x-a|+b\) is \((a,b)\).
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What happens at (x=2) in the graph of \(y=\frac{x^2-4}{x-2}\)?
A. छिद्र बनता हैA hole occurs
(\frac{x-2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}) है पर (x=2) निषिद्ध रहता है। इसलिए ग्राफ (y=x+2) जैसा है लेकिन (x=2) पर छिद्र है। / (\frac{x-2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}), but (x=2) remains excluded. So the graph is like (y=x+2) with a hole at (x=2).
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What is the range of the function \(y=|x-5|+2\)?
A. \([2,\infty)\)
क्योंकि \(|x-5|\ge 0\), इसलिए \(y=|x-5|+2\ge 2\)। \(|x-5|=0\) तब होता है जब \(x=5\), अतः फलन का न्यूनतम मान \(2\) है और इसके बाद हर मान प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B में 5 को न्यूनतम y-मान मान लिया गया है, जबकि 5 शीर्ष-बिंदु का x-निर्देशांक है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए पहले y का न्यूनतम या अधिकतम मान निर्धारित करें। / Since \(|x-5|\ge 0\), we have \(y=|x-5|+2\ge 2\). Equality occurs when \(x=5\), so the minimum value of the function is \(2\), and every value greater than 2 is attainable. Hence, the range is \([2,\infty)\). Option B incorrectly treats 5 as the minimum y-value; it is the x-coordinate of the vertex. Exam tip: To find the range of a modulus function, first determine its minimum or maximum y-value.
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If \(x>1\), what is the value of the function \(y=|x-1|-|x+3|\)?
A. \(y=-4\)
जब \(x>1\), तब \(x-1>0\) और \(x+3>0\), इसलिए \(|x-1|=x-1\) तथा \(|x+3|=x+3\)। अतः \(y=(x-1)-(x+3)=-4\)। विकल्प B में ऋण चिह्न की उपेक्षा हो गई है, जबकि सही उत्तर सभी \(x>1\) के लिए स्थिर मान \(-4\) है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस खोलने से पहले संबंधित व्यंजक का चिह्न अवश्य जाँचें। / For \(x>1\), both \(x-1\) and \(x+3\) are positive. Hence, \(|x-1|=x-1\) and \(|x+3|=x+3\). Therefore, \(y=(x-1)-(x+3)=-4\). Option B results from ignoring the negative sign, while the correct value is the constant \(-4\) for every \(x>1\). Exam tip: Always determine the sign of each expression before removing modulus bars.
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At which points does the graph of the function \(y=2|x+1|-6\) intersect the \(x\)-axis?
A. (-4, 0) और (2, 0)(-4, 0) and (2, 0)
\(x\)-अक्ष पर किसी भी बिंदु का \(y\)-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \(2|x+1|-6=0\), जिससे \(|x+1|=3\) प्राप्त होता है। अतः \(x+1=3\) या \(x+1=-3\), यानी \(x=2\) या \(x=-4\)। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((-4,0)\) और \((2,0)\) हैं। विकल्प B में \(x\)-मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अक्ष के प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / Every point on the \(x\)-axis has a \(y\)-coordinate of 0. Thus, \(2|x+1|-6=0\), giving \(|x+1|=3\). Hence, \(x+1=3\) or \(x+1=-3\), so \(x=2\) or \(x=-4\). Therefore, the intersection points are \((-4,0)\) and \((2,0)\). The values in option B do not satisfy the equation. Exam tip: To find an \(x\)-intercept, set \(y=0\).
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On which interval is the graph (y=|x+5|+|x-1|) constant?
A. \(-5\le x\le 1\)
\(-5\le x\le 1\) पर योग ((x+5)+(1-x)=6) होता है। ऐसे ग्राफ में दोनों शून्य बिंदुओं के बीच भाग क्षैतिज होता है। / On \(-5\le x\le 1\), the sum is ((x+5)+(1-x)=6). In such graphs, the part between the two zero points is horizontal.
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What is the minimum value of the function \(y=|x^2-9|\), where \(x\in\mathbb{R}\)?
A. 0
किसी भी वास्तविक संख्या का मापांक सदैव गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए \(y=|x^2-9|\) का न्यूनतम संभव मान \(0\) है। यह मान तब प्राप्त होता है जब \(x^2-9=0\), अर्थात् \(x=\pm3\)। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले फलन का न्यूनतम मान पहले \(0\) जाँचकर निर्धारित करें; यदि अंदर का व्यंजक शून्य हो सकता है, तो न्यूनतम मान \(0\) ही होगा। / The modulus of any real number is non-negative, so \(y=|x^2-9|\) cannot be less than \(0\). This value is attained when \(x^2-9=0\), giving \(x=\pm3\). Hence, the correct answer is A. Exam tip: For a modulus function, first check whether the expression inside the modulus can equal zero; if it can, the minimum value is \(0\).
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What is the vertex of the graph of the function \(y=x^2+4x+1\)?
A. \((-2,-3)\)
पूर्ण वर्ग बनाने पर \(y=x^2+4x+1=(x+2)^2-3\) प्राप्त होता है। मानक रूप \(y=(x-h)^2+k\) में शीर्ष बिंदु \((h,k)\) होता है, इसलिए यहाँ शीर्ष \((-2,-3)\) है। विकल्प B में \(x\)-निर्देशांक का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c\) के लिए शीर्ष का \(x\)-निर्देशांक \(-\frac{b}{2}\) होता है। / Completing the square gives \(y=x^2+4x+1=(x+2)^2-3\). In the standard form \(y=(x-h)^2+k\), the vertex is \((h,k)\); hence the vertex is \((-2,-3)\). Option B has the wrong sign for the \(x\)-coordinate. Exam tip: for \(x^2+bx+c\), the x-coordinate of the vertex is \(-\frac{b}{2}\).
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What is the axis of symmetry of the parabola \(y=-2(x+3)^2+7\)?
A. \(x=-3\)
परवलय के शीर्ष-रूप \(y=a(x-h)^2+k\) में सममिति-अक्ष \(x=h\) होती है। यहाँ \(x+3=x-(-3)\), इसलिए \(h=-3\) और सममिति-अक्ष \(x=-3\) है। \(y=7\) शीर्ष का y-निर्देशांक है, सममिति-अक्ष नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले पद को \((x-h)^2\) के रूप में लिखकर सीधे \(x=h\) पहचानें। / In the vertex form \(y=a(x-h)^2+k\), the axis of symmetry is \(x=h\). Here, \(x+3=x-(-3)\), so \(h=-3\) and the axis is \(x=-3\). The value \(y=7\) is the y-coordinate of the vertex, not the axis of symmetry. Exam tip: rewrite the squared term as \((x-h)^2\) and identify \(x=h\) directly.
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What is the range of (y=4-(x-1)2)?
A. (\(-\infty,4]\)
(-(x-1)2\le 0) होता है इसलिए \(y\le 4\) है। नीचे खुलने वाले परवलय में शीर्ष अधिकतम देता है। / Since (-(x-1)2\le 0), we get \(y\le 4\). A downward parabola gives its maximum at the vertex.
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At which x-values does the graph \(y=x^2-8x+15\) intersect the x-axis?
A. \(x=3,5\)
x-अक्ष पर y का मान 0 होता है। इसलिए \(x^2-8x+15=0\), जिसे \((x-3)(x-5)=0\) लिखा जा सकता है। अतः \(x=3\) या \(x=5\), इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में मूलों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: x-अक्ष से प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / On the x-axis, the y-coordinate is 0. Thus, \(x^2-8x+15=0\), which factors as \((x-3)(x-5)=0\). Therefore, \(x=3\) or \(x=5\), so option A is correct. Option B has incorrect signs for the roots. Exam tip: To find where a graph meets the x-axis, set \(y=0\).
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What is the point where the graph of \(y=(x+1)^2-9\) intersects the \(y\)-axis?
A. \((0,-8)\)
\(y\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। इसलिए \(y=(0+1)^2-9=1-9=-8\), अतः प्रतिच्छेद-बिंदु \((0,-8)\) है। विकल्प B परवलय का शीर्ष है, \(y\)-अक्ष पर प्रतिच्छेद नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(y\)-अक्ष का प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / Every point on the \(y\)-axis has \(x=0\). Thus, \(y=(0+1)^2-9=1-9=-8\), so the point of intersection is \((0,-8)\). Option B is the vertex of the parabola, not its \(y\)-intercept. Exam tip: To find a graph’s \(y\)-intercept, substitute \(x=0\).
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What is the slope of the line \(y=-4x+9\)?
A. \(-4\)
रेखा के मानक रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक \(m\) ढाल होता है। यहाँ \(y=-4x+9\) में \(m=-4\), इसलिए सही उत्तर \(-4\) है। विकल्प \(4\) में चिह्न की त्रुटि है, जबकि \(9\) y-अवरोध है, ढाल नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(y=mx+c\) में सीधे \(x\) का गुणांक पहचानें। / In the standard form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\), namely \(m\), is the slope. For \(y=-4x+9\), \(m=-4\), so the correct answer is \(-4\). Option \(4\) has the wrong sign, while \(9\) is the y-intercept, not the slope. Exam tip: In \(y=mx+c\), identify the coefficient of \(x\) directly.
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What is the point of intersection of the line \(2x-5y=10\) with the \(y\)-axis?
A. \((0,-2)\)
\(y\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। इसलिए समीकरण में रखने पर \(2(0)-5y=10\), अर्थात् \(y=-2\)। अतः प्रतिच्छेद-बिंदु \((0,-2)\) है। विकल्प B में चिह्न की त्रुटि है, जबकि विकल्प C \(x\)-अक्ष पर प्रतिच्छेद-बिंदु है। परीक्षा-युक्ति: \(y\)-अक्ष के लिए \(x=0\) और \(x\)-अक्ष के लिए \(y=0\) रखें। / Every point on the \(y\)-axis has \(x=0\). Substituting this into the equation gives \(2(0)-5y=10\), so \(y=-2\). Therefore, the intersection point is \((0,-2)\). Option B has the wrong sign, while option C is the \(x\)-intercept. Exam tip: set \(x=0\) for the \(y\)-intercept and \(y=0\) for the \(x\)-intercept.
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Which of the following statements is correct about the graph of the line \(x=-7\)?
A. यह \(y\)-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा हैIt is a vertical line parallel to the \(y\)-axis
समीकरण \(x=-7\) में प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक \(-7\) स्थिर रहता है, जबकि \(y\) का मान कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है। इसलिए इसका ग्राफ \((-7,0)\) से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा है, जो \(y\)-अक्ष के समानांतर होती है। विकल्प B क्षैतिज रेखा के लिए होता, जब समीकरण \(y=\text{स्थिरांक}\) के रूप में हो। परीक्षा युक्ति: \(x=\text{स्थिरांक}\) को ऊर्ध्वाधर और \(y=\text{स्थिरांक}\) को क्षैतिज रेखा के रूप में पहचानें। / In the equation \(x=-7\), the \(x\)-coordinate remains fixed at \(-7\), while \(y\) can be any real number. Therefore, its graph is a vertical line passing through \((-7,0)\), parallel to the \(y\)-axis. Option B would describe a horizontal line of the form \(y=\text{constant}\). Exam tip: remember that \(x=\text{constant}\) represents a vertical line, whereas \(y=\text{constant}\) represents a horizontal line.
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Which of the following statements is correct about the graph of the function \(y=0\)?
A. यह x-अक्ष हैIt is the x-axis
फलन \(y=0\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(y\) का मान शून्य होता है। इसलिए इसके सभी बिंदु \((x,0)\) के रूप में होते हैं, जो x-अक्ष पर स्थित होते हैं। अतः इसका आलेख x-अक्ष है। ध्यान रखें: \(x=0\) y-अक्ष को दर्शाता है, जबकि \(y=0\) x-अक्ष को। / For the function \(y=0\), the value of \(y\) is zero for every \(x\). Thus, all its points are of the form \((x,0)\), which lie on the x-axis. Therefore, its graph is the x-axis. Remember that \(x=0\) represents the y-axis, whereas \(y=0\) represents the x-axis.
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What is the domain of the function \\(y=\\sqrt{x-6}\\)?
A. \\([6,\\infty)\\)
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए इसके अंदर की राशि अशून्य से कम नहीं होनी चाहिए। अतः \\(x-6\\ge 0\\), जिससे \\(x\\ge 6\\) प्राप्त होता है। इसलिए डोमेन \\([6,\\infty)\\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय radicand को \\(\\ge 0\\) रखें; 6 शामिल है क्योंकि \\(\\sqrt{0}\\) परिभाषित है। / For a real-valued square root, the expression under the radical must be non-negative. Thus, \\(x-6\\ge 0\\), which gives \\(x\\ge 6\\). Therefore, the domain is \\([6,\\infty)\\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand \\(\\ge 0\\); 6 is included because \\(\\sqrt{0}\\) is defined.
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What is the starting point of the graph of the function \(y=5-\sqrt{x+2}\)?
A. \((-2,5)\)
वर्गमूल फलन के लिए \(x+2\geq 0\) होना आवश्यक है। ग्राफ का प्रारंभिक बिंदु तब मिलता है जब \(x+2=0\), अर्थात् \(x=-2\)। इस पर \(y=5-\sqrt{0}=5\), इसलिए बिंदु \((-2,5)\) है। विकल्प B में \(x=2\) लिया गया है, जो प्रारंभिक मान नहीं है। परीक्षा-टिप: \(\sqrt{x-a}\) का ग्राफ \((a,0)\) से शुरू होता है; बाहर का स्थिर पद ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण करता है। / For a square-root function, the radicand must satisfy \(x+2\geq 0\). The graph begins where the radicand is zero: \(x+2=0\), giving \(x=-2\). At this value, \(y=5-\sqrt{0}=5\), so the starting point is \((-2,5)\). Option B incorrectly uses \(x=2\), which is not the endpoint of the domain. Exam tip: a graph of \(\sqrt{x-a}\) starts at \((a,0)\), while an added constant shifts it vertically.
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What is the domain of the function \(y=\sqrt{16-x^2}\)?
A. \([-4,4]\)
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(16-x^2\ge 0\)। अतः \(x^2\le16\), इसलिए \(-4\le x\le4\)। दोनों सिरों पर वर्गमूल का मान 0 है, इसलिए वे भी डोमेन में शामिल हैं। विकल्प B केवल उन मानों को दर्शाता है जहाँ \(16-x^2\) ऋणात्मक होता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालने के लिए radicand को \(\ge0\) रखें। / For a real-valued square root, the expression inside the radical must be non-negative: \(16-x^2\ge0\). Thus \(x^2\le16\), which gives \(-4\le x\le4\). Both endpoints are included because the square root equals 0 there. Option B represents values for which \(16-x^2\) is negative, so it cannot be the domain. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero.
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What is the range of the graph \(y=\sqrt{16-x^2}\)?
A. \([0,4]\)
दिया गया फलन \(y=\sqrt{16-x^2}\) समीकरण \(x^2+y^2=16\) वाले वृत्त के ऊपरी अर्धभाग को दर्शाता है। वर्गमूल के कारण \(y\ge 0\), और \(y\) का अधिकतम मान \(x=0\) पर \(4\) होता है। \(x=\pm4\) पर \(y=0\), इसलिए परास \([0,4]\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले न्यूनतम और अधिकतम संभव मान जाँचें। / The function \(y=\sqrt{16-x^2}\) represents the upper semicircle of \(x^2+y^2=16\). Since a square root is non-negative, \(y\ge 0\), and its maximum value is \(4\) at \(x=0\). At \(x=\pm4\), \(y=0\); therefore, the range is \([0,4]\). Exam tip: For a square-root function, first identify its minimum and maximum possible output values.
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What is the vertical asymptote of the graph \(y=\frac{1}{x+5}\)?
A. (x=-5)
हर (x+5) शून्य होने पर फलन अपरिभाषित हो जाता है। इसलिए (x=-5) ऊर्ध्वाधर आसम्टोट है। / The denominator (x+5) makes the function undefined when it is zero. Therefore (x=-5) is the vertical asymptote.
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What is the horizontal asymptote of the graph of the function \(y=\frac{3}{x-2}+4\)?
A. \(y=4\)
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{3}{x-2}\) का मान \(0\) के बहुत निकट हो जाता है। इसलिए \(y=\frac{3}{x-2}+4\) का मान \(4\) के निकट पहुँचता है और क्षैतिज आसमटोट \(y=4\) होती है। \(x=2\) ऊर्ध्वाधर आसमटोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(y=\frac{a}{x-h}+k\) के लिए क्षैतिज आसमटोट सीधे \(y=k\) होती है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{3}{x-2}\) approaches \(0\). Thus, \(y=\frac{3}{x-2}+4\) approaches \(4\), so the horizontal asymptote is \(y=4\). The line \(x=2\) is the vertical asymptote, not the horizontal one. Exam tip: For \(y=\frac{a}{x-h}+k\), the horizontal asymptote is directly \(y=k\).
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A. \(x=-2\)
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य से भाग देना परिभाषित नहीं है। यहाँ \(x+2=0\) रखने पर \(x=-2\) प्राप्त होता है, इसलिए \(x=-2\) डोमेन से बाहर है। अन्य दिए गए मानों पर हर शून्य नहीं होता, इसलिए वे डोमेन में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी परिमेय फलन का डोमेन ज्ञात करने के लिए उसके हर को शून्य करके निषिद्ध मान निकालें। / The denominator of a rational function cannot be zero because division by zero is undefined. Setting \(x+2=0\) gives \(x=-2\), so this value is excluded from the domain. For the other given values, the denominator is non-zero, so they belong to the domain. Exam tip: To find excluded values of a rational function, set its denominator equal to zero.
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What is the horizontal asymptote of \(y=\frac{2x+1}{x-3}\)?
A. (y=2)
अंश और हर की डिग्री समान है इसलिए प्रमुख गुणांकों का अनुपात लें। \(\frac{2}{1}=2\) से आसम्टोट (y=2) है। / The numerator and denominator have equal degree, so take the ratio of leading coefficients. Since \(\frac{2}{1}=2\), the asymptote is (y=2).
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What is the range of \(y=\frac{1}{x^2+4}\)?
A. (\(0,\frac{1}{4}]\)
\(x^2+4\ge 4\) इसलिए अधिकतम मान \(\frac{1}{4}\) है। ग्राफ (0) के पास जाता है पर (0) नहीं लेता। / Since \(x^2+4\ge 4\), the maximum value is \(\frac{1}{4}\). The graph approaches (0) but never takes (0).
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What type of symmetry does the graph of the function \(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}\) have?
A. y-अक्ष के सापेक्ष सममितिSymmetry about the y-axis
दिए गए फलन के लिए \(f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^2+1}=\frac{x^2-1}{x^2+1}=f(x)\) है। इसलिए यह एक सम फलन है और इसके ग्राफ में y-अक्ष के सापेक्ष सममिति होती है। मूल बिंदु की सममिति के लिए \(f(-x)=-f(x)\) होना आवश्यक होता, जो यहाँ सत्य नहीं है। परीक्षा-सूत्र: \(f(-x)=f(x)\) से y-अक्षीय और \(f(-x)=-f(x)\) से मूल-बिंदुीय सममिति पहचानें। / For this function, \(f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^2+1}=\frac{x^2-1}{x^2+1}=f(x)\). Hence, the function is even, so its graph is symmetric about the y-axis. Symmetry about the origin would require \(f(-x)=-f(x)\), which does not hold here. Exam tip: use \(f(-x)=f(x)\) for y-axis symmetry and \(f(-x)=-f(x)\) for origin symmetry.
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At which point does the graph �\(y=x^3+2\)� intersect the y-axis?
A. \((0,2)\)
y-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए x=0 होता है। अतः समीकरण में x=0 रखने पर y=03+2=2 प्राप्त होता है, इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु (0,2) है। विकल्प B x-अक्ष पर स्थित बिंदु है, जबकि विकल्प D ग्राफ़ पर अवश्य स्थित है, पर y-अक्ष पर नहीं। परीक्षा-युक्ति: y-अक्ष का अवरोध ज्ञात करने के लिए हमेशा x=0 रखें। / Every point on the y-axis has x=0. Substituting x=0 into the equation gives y=03+2=2, so the intersection point is (0,2). Option B lies on the x-axis, while option D is a point on the graph but not on the y-axis. Exam tip: To find the y-intercept, always set x=0.
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In (y=(x+2)3-1), where does the point ((0,0)) of \(y=x^3\) move?
A. ((-2,-1))
(x+2) ग्राफ को (2) इकाई बाईं ओर और (-1) नीचे ले जाता है। इसलिए ((0,0)) से ((-2,-1)) मिलता है। / The term (x+2) shifts the graph (2) units left and (-1) shifts it down. Hence ((0,0)) becomes ((-2,-1)).
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How is the graph \(y=-x^3\) obtained from \(y=x^3\)?
A. (x)-अक्ष में परावर्तनReflection in the (x)-axis
बाहर का ऋण चिह्न सभी (y)-मानों को विपरीत कर देता है। इसलिए (x)-अक्ष में परावर्तन होता है। / The outside negative sign reverses all (y)-values. Therefore the graph is reflected in the (x)-axis.
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How is the graph of y = (-x)3 related to the graph of y = x-3?
A. y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तनReflection in the y-axis
यदि y = f(x) का ग्राफ दिया हो, तो y = f(-x) का ग्राफ मूल ग्राफ का y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन होता है। यहाँ f(x) = x-3 है, इसलिए y = f(-x) = (-x)3 प्राप्त होता है। रेखा y = x के सापेक्ष परावर्तन करने पर प्रतिलोम फलन y = ∛x मिलता, जो अलग ग्राफ है। परीक्षा-युक्ति: x के स्थान पर -x रखने पर y-अक्षीय परावर्तन और y के स्थान पर -y रखने पर x-अक्षीय परावर्तन होता है। / For a graph y = f(x), replacing x by -x gives y = f(-x), which is the reflection of the original graph in the y-axis. Here f(x) = x-3, so y = f(-x) = (-x)3. Reflection in the line y = x would produce the inverse relation y = ∛x, not the given graph. Exam tip: replacing x by -x causes reflection in the y-axis, whereas replacing y by -y causes reflection in the x-axis.
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What type of symmetry does the graph of \(f(x)=x^5\) have?
A. मूल बिंदु के सापेक्ष सममितिSymmetry about the origin
क्योंकि \(f(-x)=(-x)^5=-x^5=-f(x)\), इसलिए \(f(x)=x^5\) एक विषम फलन है। विषम फलन का ग्राफ मूल बिंदु के परितः सममित होता है। विकल्प B सम फलन के लिए उपयुक्त होता, जबकि यहाँ ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित नहीं है। परीक्षा-टिप: \(f(-x)=-f(x)\) मिलने पर मूल बिंदु की सममिति पहचानें। / Since \(f(-x)=(-x)^5=-x^5=-f(x)\), the function \(f(x)=x^5\) is odd. The graph of an odd function is symmetric about the origin. Option B would describe an even function, but this graph is not symmetric about the y-axis. Exam tip: if \(f(-x)=-f(x)\), the graph has origin symmetry.
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Which symmetry does the graph of the function \(f(x)=x^6\) have?
A. y-अक्ष के सापेक्ष सममितिSymmetry about the y-axis
किसी फलन के लिए यदि \(f(-x)=f(x)\), तो वह सम फलन होता है और उसका ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। यहाँ \(f(-x)=(-x)^6=x^6=f(x)\), इसलिए ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित है। मूल बिंदु के सापेक्ष सममिति विषम फलन में होती है, जबकि यहाँ फलन सम है। परीक्षा-युक्ति: घात सम हो और केवल \(x\) की घात वाला पद हो, तो ग्राफ सामान्यतः y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। / A function is even when \(f(-x)=f(x)\), and the graph of an even function is symmetric about the y-axis. Here, \(f(-x)=(-x)^6=x^6=f(x)\), so the graph has y-axis symmetry. Symmetry about the origin corresponds to an odd function, which this function is not. Exam tip: a power function involving an even power of \(x\) is symmetric about the y-axis.
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For the greatest integer function (f(x)=\lfloor x \rfloor), what is (f(-2.3))?
A. (-3)
\(\lfloor x \rfloor\) (x) से कम या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। (-2.3) के लिए वह (-3) है। / \(\lfloor x \rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to (x). For (-2.3), that integer is (-3).
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What is the value of (f(x)=\lfloor x \rfloor) on the interval \(2\le x<3\)?
A. (2)
\(2\le x<3\) पर सबसे बड़ा पूर्णांक (2) ही रहता है। इसलिए ग्राफ इस अंतराल पर क्षैतिज है। / On \(2\le x<3\), the greatest integer remains (2). Hence the graph is horizontal on this interval.
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What is (g(4.1)) for the function (g(x)=\lceil x \rceil)?
A. (5)
\(\lceil x \rceil\) (x) से बड़ा या बराबर सबसे छोटा पूर्णांक देता है। (4.1) के लिए यह (5) है। / \(\lceil x \rceil\) gives the smallest integer greater than or equal to (x). For (4.1), it is (5).
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What is the value of \(f(x)=\operatorname{sgn}(x+3)\) at \(x=-3\)?
A. 0
जब \(x=-3\), तब \(x+3=0\) होता है। साइनम फलन \(\operatorname{sgn}(t)\) के लिए \(t=0\) पर मान \(0\) होता है, इसलिए \(f(-3)=0\)। परीक्षा-युक्ति: \(\operatorname{sgn}(t)\) का मान क्रमशः \(-1,0,1\) होता है जब \(t<0,t=0,t>0\) हो। / When \(x=-3\), we get \(x+3=0\). The signum function \(\operatorname{sgn}(t)\) has value \(0\) at \(t=0\), so \(f(-3)=0\). Exam tip: \(\operatorname{sgn}(t)\) equals \(-1,0,1\) for \(t<0,t=0,t>0\), respectively.
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A. \(x=4\)
साइनम फलन \(\operatorname{sgn}(u)\) का मान \(u<0\) पर \(-1\) और \(u>0\) पर \(1\) होता है, इसलिए इसमें छलांग \(u=0\) पर आती है। यहाँ \(2x-8=0\), अतः \(x=4\)। वास्तव में \(x=4\) पर फलन का मान \(0\) है, जबकि बाएँ और दाएँ सीमाएँ क्रमशः \(-1\) और \(1\) हैं। परीक्षा टिप: साइनम ग्राफ की छलांग पाने के लिए उसके अंदर की अभिव्यक्ति को शून्य रखें। / The signum function \(\operatorname{sgn}(u)\) equals \(-1\) for \(u<0\) and \(1\) for \(u>0\), so its jump occurs where \(u=0\). Here, \(2x-8=0\), giving \(x=4\). At \(x=4\), the function value is \(0\), while the left- and right-hand limits are \(-1\) and \(1\), respectively. Exam tip: To locate the jump of a signum function, set its inner expression equal to zero.
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For the function \(y=\min(x,4)\), what is the value of \(y\) when \(x>4\)?
A. \(y=4\)
\(\min(x,4)\) का अर्थ है \(x\) और \(4\) में से छोटा मान लेना। जब \(x>4\) होता है, तब छोटा मान हमेशा \(4\) होता है; इसलिए \(y=4\) और ग्राफ इस क्षेत्र में क्षैतिज रेखा होता है। विकल्प \(y=x\) केवल \(x\leq 4\) के लिए सही है। परीक्षा-युक्ति: \(\min\) फलन में प्रत्येक अंतराल पर दिए गए मानों में छोटे मान की पहचान करें। / The expression \(\min(x,4)\) selects the smaller of \(x\) and \(4\). When \(x>4\), the smaller value is always \(4\), so \(y=4\) and the graph is horizontal in this region. The option \(y=x\) is valid only for \(x\leq 4\). Exam tip: For a minimum function, compare the expressions separately on the relevant intervals.
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For the function \(y=|x-3|-(x-3)\), what is the value of \(y\) when \(x\ge 3\)?
A. 0
जब \(x\ge 3\), तब \(x-3\ge 0\), इसलिए \(|x-3|=x-3\)। अतः \(y=(x-3)-(x-3)=0\)। विकल्प B केवल तब बनता है जब मापांक को गलत रूप से \(|x-3|=-(x-3)\) लिया जाए। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले फलन में पहले अंदर के व्यंजक का चिह्न निर्धारित करें। / When \(x\ge 3\), we have \(x-3\ge 0\), so \(|x-3|=x-3\). Therefore, \(y=(x-3)-(x-3)=0\). Option B would result from incorrectly using \(|x-3|=-(x-3)\). Exam tip: For an absolute-value function, first determine the sign of the expression inside the modulus.
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What are the �(x)�-coordinates of the points where the graphs �\(y=x^2\)� and �(y=6-x)� intersect?
A. (x=-3,\,2)
प्रतिच्छेद-बिंदुओं पर दोनों ग्राफ़ों का �(y)�-मान समान होगा, इसलिए �\(x^2=6-x\)� रखें। इससे �\(x^2+x-6=0\)�, अर्थात् �((x+3)(x-2)=0)� प्राप्त होता है। अतः �(x=-3)� या �(x=2)�। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: दो ग्राफ़ों के प्रतिच्छेद के लिए उनके �(y)�-व्यंजकों को बराबर करें। / At an intersection point, both graphs have the same �(y)�-value, so set �\(x^2=6-x\)�. This gives �\(x^2+x-6=0\)�, or �((x+3)(x-2)=0)�. Hence, �(x=-3)� or �(x=2)�, so option A is correct. Exam tip: To find intersections of two graphs, equate their �(y)�-expressions.
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At which \(x\)-values do the graphs of \(y=|x+1|\) and \(y=5\) intersect?
A. \(x=-6\) और \(x=4\)
प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर दोनों ग्राफ़ों के \(y\)-मान समान होंगे, इसलिए \(|x+1|=5\)। अतः \(x+1=5\) या \(x+1=-5\), जिससे \(x=4\) या \(x=-6\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। याद रखें: \(|u|=a\) के लिए, जहाँ \(a>0\), \(u=\pm a\) लिया जाता है। / At an intersection, the two graphs have the same \(y\)-value, so \(|x+1|=5\). Thus, \(x+1=5\) or \(x+1=-5\), giving \(x=4\) or \(x=-6\). Therefore, option A is correct. Exam tip: for \(|u|=a\) with \(a>0\), always consider both cases \(u=\pm a\).
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A. \(x=4\)
प्रतिच्छेद-बिंदु पर दोनों फलनों के \(y\)-मान समान होंगे, इसलिए \(\sqrt{x}=x-2\)। वर्गमूल के कारण \(x\ge 0\), और दायाँ पक्ष गैर-ऋणात्मक होने के लिए \(x\ge 2\) आवश्यक है। समीकरण को वर्ग करने पर \(x=(x-2)^2\), अर्थात् \(x^2-5x+4=0\), जिससे \(x=1\) या \(x=4\) मिलता है। लेकिन \(x=1\), \(x\ge 2\) की शर्त पूरी नहीं करता और वर्ग करने से उत्पन्न बाह्य हल है। अतः सही मान \(x=4\) है; जाँच: \(\sqrt{4}=2=4-2\)। परीक्षा-टिप: वर्ग करने के बाद प्राप्त प्रत्येक हल को मूल समीकरण में अवश्य जाँचें। / At an intersection, the two functions have the same \(y\)-value, so \(\sqrt{x}=x-2\). Since the left side is non-negative, we must have \(x-2\ge 0\), hence \(x\ge 2\). Squaring gives \(x=(x-2)^2\), or \(x^2-5x+4=0\), whose roots are \(x=1\) and \(x=4\). However, \(x=1\) violates the condition \(x\ge 2\) and is an extraneous root introduced by squaring. Therefore, \(x=4\); checking gives \(\sqrt{4}=2=4-2\). Exam tip: Always substitute the roots back into the original equation after squaring.
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At which points do the graphs y=\frac{1}{x}\u0001 and y=x intersect?
A. \((1,1)\) और \((-1,-1)\)
प्रतिच्छेद बिंदु पर दोनों ग्राफों के y-निर्देशांक समान होंगे, इसलिए \(\frac{1}{x}=x\), जहाँ \(x\neq 0\)। इससे \(x^2=1\), अतः \(x=1\) या \(x=-1\)। चूँकि \(y=x\), संबंधित बिंदु \((1,1)\) और \((-1,-1)\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \((0,0)\) को न चुनें, क्योंकि \(\frac{1}{x}\) में \(x=0\) पर फलन अपरिभाषित है। / At an intersection point, the y-coordinates of both graphs are equal, so \(\frac{1}{x}=x\), with \(x\neq 0\). Thus \(x^2=1\), giving \(x=1\) or \(x=-1\). Since \(y=x\), the corresponding points are \((1,1)\) and \((-1,-1)\). Exam tip: Do not select \((0,0)\), because \(\frac{1}{x}\) is undefined at \(x=0\).
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How is the graph (y=f(x-3)+2) obtained from (y=f(x))?
A. (3) इकाई दाईं ओर और (2) इकाई ऊपर(3) units right and (2) units up
(x-3) क्षैतिज रूप से (3) इकाई दाईं ओर खिसकाता है। बाहर (+2) ग्राफ को (2) इकाई ऊपर ले जाता है। / The term (x-3) shifts the graph (3) units right horizontally. The outside (+2) moves it (2) units up.
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How is the graph of (y=-f(x)+4) obtained from the graph of (y=f(x))?
A. (x)-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन और 4 इकाई ऊपर खिसकावReflection in the (x)-axis followed by a shift 4 units upward
यदि (y=f(x)) के प्रत्येक बिंदु ((x,y)) को पहले (x,-y) में बदला जाए, तो यह (x)-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन है और इससे (y=-f(x)) मिलता है। इसके बाद (+4) जोड़ने पर सभी (y)-निर्देशांक 4 बढ़ जाते हैं, इसलिए ग्राफ 4 इकाई ऊपर खिसकता है। (y)-अक्ष में परावर्तन के लिए (f(-x)) चाहिए, न कि (-f(x))। परीक्षा-युक्ति: -f(x) ऊर्ध्वाधर परावर्तन और + c ऊर्ध्वाधर ऊपर खिसकाव दर्शाता है। / For every point ((x,y)) on (y=f(x)), replacing (y) by (-y) gives (x,-y), which is reflection in the (x)-axis and produces (y=-f(x)). Adding (4) then increases every (y)-coordinate by 4, shifting the graph 4 units upward. Reflection in the (y)-axis would require (f(-x)), not (-f(x)). Exam tip: -f(x) means reflection across the (x)-axis, while +c shifts the graph upward by (c) units.
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To understand (y=f(-x-2)) from (y=f(x)), how can the inside expression be written?
A. (f(-(x+2)))
(-x-2=-(x+2)) है। पहले (y)-अक्ष में परावर्तन और फिर क्षैतिज खिसकाव समझना आसान होता है। / (-x-2=-(x+2)). It is easier to read the graph as a reflection in the (y)-axis with a horizontal shift.
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When drawing (y=|f(x)|) from (y=f(x)), what happens to negative (y)-values?
A. वे (x)-अक्ष के ऊपर परावर्तित होते हैंThey are reflected above the (x)-axis
मापांक बाहर होने से सभी (y)-मान अऋणात्मक हो जाते हैं। इसलिए (x)-अक्ष के नीचे वाला भाग ऊपर परावर्तित होता है। / With modulus outside, all (y)-values become non-negative. Hence the part below the (x)-axis reflects upward.
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When drawing (y=f(|x|)) from (y=f(x)), which part is repeated?
A. दाईं ओर का भाग (y)-अक्ष में परावर्तित होता हैThe right-side part is reflected in the (y)-axis
(|x|) के कारण (x<0) पर भी (f) में धनात्मक इनपुट जाता है। इसलिए दाईं ओर का ग्राफ बाईं ओर परावर्तित होता है। / Because of (|x|), even for (x<0), the input to (f) is positive. Hence the right-side graph reflects to the left.
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