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फलन का आलेख (y=x) है। इसे रैखिक समीकरण (y=mx+c) से तुलना करने पर (m=1) मिलता है, इसलिए ढाल 1 है। विकल्प 0 क्षैतिज रेखा की ढाल दर्शाता है, जबकि (y=x) हर 1 इकाई क्षैतिज वृद्धि पर 1 इकाई ऊर्ध्वाधर वृद्धि करता है। परीक्षा-युक्ति: (y=mx+c) में (x) का गुणांक सीधे ढाल होता है। / The graph of the function is (y=x). Comparing it with the linear form (y=mx+c) gives (m=1), so the slope is 1. The value 0 is the slope of a horizontal line, whereas (y=x) rises by 1 unit for every 1-unit increase in (x). Exam tip: In (y=mx+c), the coefficient of (x) is the slope.
(x=0) रखने पर (y=5) मिलता है। नियत फलन का (y)-अक्ष प्रतिच्छेद वही नियत मान होता है। / Putting (x=0) gives (y=5). The (y)-intercept of a constant function is the constant value itself.
(y=-2) में (y) स्थिर रहता है और (x) बदलता है। इसलिए यह (x)-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा है। / In (y=-2), (y) is fixed and (x) varies. So it is a horizontal line parallel to the (x)-axis.
आलेख पर स्थित बिंदु \((x,y)\) के लिए \(y=f(x)=x^2\) होना चाहिए। बिंदु \((3,9)\) में \(3^2=9\), इसलिए यह सही है। विकल्प B में \(3^2=9\), 6 नहीं होता; विकल्प C में \((-3)^2=9\), -9 नहीं; और विकल्प D में \(9^2=81\), 3 नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके x-निर्देशांक को फलन में रखकर y-निर्देशांक से मिलाएँ। / A point \((x,y)\) lies on the graph when \(y=f(x)=x^2\). For \((3,9)\), \(3^2=9\), so it satisfies the condition. In option B, \(3^2=9\), not 6; in option C, \((-3)^2=9\), not -9; and in option D, \(9^2=81\), not 3. Exam tip: substitute the x-coordinate into the function and compare the result with the y-coordinate.
सभी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(-x^2\le 0\) और \(f(x)=-x^2+1\le 1\)। जब \(x=0\), तब \(f(0)=1\), इसलिए अधिकतम मान 1 है। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x=\pm1\) पर फलन का मान 0 होता है, -1 नहीं। परीक्षा-युक्ति: नीचे की ओर खुलने वाले द्विघात फलन \(ax^2+bx+c\), जहाँ \(a<0\), का शीर्ष अधिकतम मान देता है। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(-x^2\le 0\) and hence \(f(x)=-x^2+1\le 1\). At \(x=0\), \(f(0)=1\), so the maximum value is 1. Option C is incorrect because the function equals 0, not -1, when \(x=\pm1\). Exam tip: a quadratic \(ax^2+bx+c\) with \(a<0\) opens downward, so its vertex gives the maximum value.
मूल फलन \(y=x^2\) में \(x\) के स्थान पर \(x-4\) रखने से आलेख क्षैतिज रूप से 4 इकाई दाईं ओर खिसकता है। इसलिए सही उत्तर A है। \(x+4\) होने पर आलेख 4 इकाई बाईं ओर जाता, जबकि बाहर \(+4\) या \(-4\) होने पर ऊर्ध्वाधर खिसकाव होता। परीक्षा-युक्ति: \(y=(x-h)^2\) का आलेख \(y=x^2\) से \(h\) इकाई दाईं ओर खिसकता है। / Replacing \(x\) by \(x-4\) in the parent function \(y=x^2\) shifts the graph horizontally 4 units to the right, so option A is correct. If the expression were \(x+4\), the graph would shift 4 units to the left; a constant added outside the square would cause a vertical shift. Exam tip: the graph of \(y=(x-h)^2\) is the graph of \(y=x^2\) shifted \(h\) units to the right.
शीर्ष-रूप \(y=(x-h)^2+k\) में शीर्ष \((h,k)\) होता है। यहाँ \(x+3=x-(-3)\), इसलिए \(h=-3\), और \(k=2\) है। अतः शीर्ष \((-3,2)\) है। विकल्प B में x-निर्देशांक का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: कोष्ठक के भीतर संख्या का चिह्न बदलकर x-निर्देशांक लें, जबकि बाहर की संख्या y-निर्देशांक होती है। / In the vertex form \(y=(x-h)^2+k\), the vertex is \((h,k)\). Since \(x+3=x-(-3)\), we have \(h=-3\), and the outside constant gives \(k=2\). Therefore, the vertex is \((-3,2)\). Option B incorrectly changes the sign of the x-coordinate. Exam tip: reverse the sign of the number inside the bracket for the x-coordinate; the outside constant is the y-coordinate.
\(|x-4|\) का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब इसका अंदर का व्यंजक शून्य हो, अर्थात् \(x-4=0\)। इसलिए \(x=4\) पर फलन का न्यूनतम मान \(0\) है। उदाहरण के लिए, \(x=1\) पर मान \(3\) होगा, इसलिए वह न्यूनतम नहीं है। परीक्षा टिप: \(|x-a|\) का न्यूनतम मान हमेशा \(x=a\) पर \(0\) होता है। / The expression \(|x-4|\) is smallest when the quantity inside the modulus is zero: \(x-4=0\). Thus, \(x=4\), and the minimum value of the function is \(0\). For instance, at \(x=1\), the value is \(3\), so it is not the minimum. Exam tip: \(|x-a|\) attains its minimum value, \(0\), at \(x=a\).
अंदर (x+5) होने से ग्राफ (5) इकाई बाईं ओर खिसकता है। अंदर का चिन्ह दिशा उलटी बताता है। / The inside term (x+5) shifts the graph (5) units left. The inside sign shows the opposite direction.
A. ऊर्ध्वाधर रूप से खिंचा हुआ/Vertically stretched
Explanation
Simple Explanation
f(x)=2|x| में प्रत्येक x के लिए y का मान |x| की तुलना में दोगुना हो जाता है। इसलिए ग्राफ x-अक्ष से दूर फैलता है और ऊर्ध्वाधर रूप से खिंचा हुआ दिखाई देता है। यह क्षैतिज खिसकाव नहीं है, क्योंकि x के अंदर कोई परिवर्तन नहीं हुआ है। परीक्षा-युक्ति: y=a|x| में |a|>1 होने पर ऊर्ध्वाधर खिंचाव और 0<|a|<1 होने पर ऊर्ध्वाधर संपीड़न होता है। / In f(x)=2|x|, the y-value is doubled for every x compared with y=|x|. Therefore, the graph moves farther from the x-axis and is vertically stretched. It is not a horizontal shift because the expression inside the modulus has not changed. Exam tip: in y=a|x|, |a|>1 causes a vertical stretch, while 0<|a|<1 causes a vertical compression.
वर्गमूल फलन का ग्राफ तब प्रारंभ होता है जब वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य हो: \(x+4=0\), इसलिए \(x=-4\) और \(y=\sqrt{0}=0\)। अतः प्रारंभिक बिंदु \((-4,0)\) है। विकल्प B में \(x\) का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(y=\sqrt{x-a}\) का प्रारंभिक बिंदु \((a,0)\) होता है। / A square-root graph begins when the expression inside the radical is zero: \(x+4=0\), so \(x=-4\) and \(y=\sqrt{0}=0\). Therefore, the starting point is \((-4,0)\). Option B has the wrong sign for the x-coordinate. Exam tip: The starting point of \(y=\sqrt{x-a}\) is \((a,0)\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x-5\ge 0\)। इससे \(x\ge 5\) प्राप्त होता है। अतः डोमेन \([5,\infty)\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(x<5\) पर वर्गमूल के अंदर ऋणात्मक संख्या आती है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय radicand को \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative, so \(x-5\ge 0\). Solving this inequality gives \(x\ge 5\), hence the domain is \([5,\infty)\). Option B is incorrect because values with \(x<5\) make the radicand negative. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) होना चाहिए। ((-1,1)) में (x=-1) है इसलिए यह बिंदु ग्राफ पर नहीं है। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge 0\) is required. In ((-1,1)), (x=-1), so this point is not on the graph.
\(f(x)=x^3-2\) में \(-2\) पूरे फलन के बाहर घटाया गया है, इसलिए प्रत्येक \(y\)-मान 2 कम हो जाता है। अतः मूल आलेख \(y=x^3\) 2 इकाई नीचे खिसकता है। यह क्षैतिज स्थानांतरण नहीं है; क्षैतिज बदलाव के लिए \(x\) के साथ परिवर्तन किया जाता है, जैसे \((x-2)^3\)। परीक्षा-टिप: बाहर जोड़ा या घटाया गया स्थिरांक आलेख को क्रमशः ऊपर या नीचे स्थानांतरित करता है। / In \(f(x)=x^3-2\), the constant \(-2\) is applied outside the function, so every \(y\)-value decreases by 2. Therefore, the graph of \(y=x^3\) shifts 2 units downward. This is not a horizontal shift; horizontal changes occur inside the input, such as in \((x-2)^3\). Exam tip: a constant added or subtracted outside a function shifts its graph vertically up or down, respectively.
अंदर (x+2) होने से ग्राफ (2) इकाई बाईं ओर जाता है। क्षैतिज खिसकाव में चिन्ह उल्टा होता है। / The inside term (x+2) shifts the graph (2) units left. In horizontal shifts, the sign is opposite.
बाहर ऋण चिह्न हर (y)-मान का चिह्न बदलता है। इसलिए यह (x)-अक्ष में प्रतिबिंब है। / The outside negative sign changes the sign of every (y)-value. So it is a reflection in the (x)-axis.
भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-3\) है। \(x-3=0\) रखने पर \(x=3\) मिलता है, इसलिए \(x=3\) पर फलन परिभाषित नहीं है। अन्य दिए गए मानों पर हर शून्य नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: किसी परिमेय फलन का डोमेन ज्ञात करने के लिए उसके हर को शून्य के बराबर करके उन मानों को हटा दें। / The denominator of a fraction cannot be zero. Here, the denominator is \(x-3\). Setting \(x-3=0\) gives \(x=3\), so the function is undefined at \(x=3\). The other given values do not make the denominator zero. Exam tip: To find the domain of a rational function, set its denominator equal to zero and exclude the resulting value.
\(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं होता इसलिए \(\frac{1}{x}+4\) कभी (4) नहीं होता। अतः (4) को छोड़कर सभी मान मिलते हैं। / \(\frac{1}{x}\) is never (0), so \(\frac{1}{x}+4\) is never (4). Thus all values except (4) are obtained.
\(\frac{2}{x}\) में (x) और (y) के चिह्न समान होते हैं। इसलिए ग्राफ प्रथम और तृतीय चतुर्थांश में होता है। / In \(\frac{2}{x}\), (x) and (y) have the same sign. So the graph lies in the first and third quadrants.
\(\frac{-3}{x}\) में (x) और (y) के चिह्न विपरीत होते हैं। इसलिए ग्राफ द्वितीय और चतुर्थ चतुर्थांश में होता है। / In \(\frac{-3}{x}\), (x) and (y) have opposite signs. So the graph lies in the second and fourth quadrants.
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{1}{x^2}\) का मान 0 के बहुत पास पहुँचता है। इसलिए \(f(x)=\frac{1}{x^2}+1\) का मान 1 के पास पहुँचता है और क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=1\) है। विकल्प C, \(x=0\), ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: क्षैतिज आसिम्प्टोट ज्ञात करने के लिए \(x\to\pm\infty\) पर फलन की सीमा निकालें। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{1}{x^2}\) approaches 0. Hence \(f(x)=\frac{1}{x^2}+1\) approaches 1, so its horizontal asymptote is \(y=1\). Option C, \(x=0\), is the vertical asymptote, not the horizontal one. Exam tip: find a horizontal asymptote by evaluating the function’s limit as \(x\to\pm\infty\).
\(x=5\) रखने पर \(x-2=5-2=3>0\) मिलता है। साइनम फलन में धनात्मक संख्या का मान \(1\) होता है, इसलिए \(f(5)=1\)। \(0\) केवल तब मिलता जब \(x=2\) होता, और \(-1\) तब जब \(x<2\) होता। परीक्षा में पहले साइनम के अंदर की अभिव्यक्ति का चिह्न जाँचें। / Substituting \(x=5\) gives \(x-2=5-2=3>0\). The signum function has value \(1\) for a positive number, so \(f(5)=1\). The value \(0\) would occur only at \(x=2\), while \(-1\) occurs when \(x<2\). Exam tip: first determine the sign of the expression inside the signum function.
जब \(x=-1\), तब \(x+1=0\)। साइनम फलन में \(\operatorname{sgn}(0)=0\), इसलिए \(f(-1)=0\)। परीक्षा में याद रखें: \(\operatorname{sgn}(t)\) का मान \(t>0\) पर 1, \(t=0\) पर 0 और \(t<0\) पर -1 होता है। इसलिए 1 और -1 इस स्थिति में गलत हैं, जबकि फलन \(x=-1\) पर परिभाषित है। / When \(x=-1\), we get \(x+1=0\). For the signum function, \(\operatorname{sgn}(0)=0\); hence, \(f(-1)=0\). Exam tip: \(\operatorname{sgn}(t)\) equals 1 for \(t>0\), 0 for \(t=0\), and -1 for \(t<0\). Therefore, 1 and -1 are incorrect here, and the function is defined at \(x=-1\).
जब \(x<-4\), तब \(x+4<0\) होता है। साइनम फलन में ऋणात्मक इनपुट का मान \(-1\) होता है, इसलिए \(f(x)=-1\)। ध्यान रखें कि \(x=-4\) पर इनपुट शून्य होता और मान \(0\) मिलता, लेकिन यहाँ \(x<-4\) दिया गया है। / When \(x<-4\), we have \(x+4<0\). The signum function has value \(-1\) for a negative input, so \(f(x)=-1\). Remember that \(x=-4\) would give an input of zero and hence a value of \(0\), but equality is not included here.
\(\lfloor x\rfloor�\) सबसे बड़ी ऐसी पूर्णांक संख्या को दर्शाता है जो �(x�) से कम या उसके बराबर हो। चूँकि �(4�) स्वयं एक पूर्णांक है, इसलिए �\(\lfloor 4\rfloor=4�\) और सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प A और C क्रमशः 4 से एक कम और एक अधिक हैं, जबकि विकल्प D इस फलन के मान को नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: किसी भी पूर्णांक �(n�) के लिए �\(\lfloor n\rfloor=n�\) होता है। / \(\lfloor x\rfloor�\) denotes the greatest integer less than or equal to �(x�). Since �(4�) is itself an integer, �\(\lfloor 4\rfloor=4�\), so option B is correct. Options A and C are one less and one more than 4, while option D is not the value of this function. Exam tip: For every integer �(n�), �\(\lfloor n\rfloor=n�\).
पूर्णांक इनपुट पर ग्रेटेस्ट इंटीजर फलन वही संख्या देता है। इसलिए \(\lfloor -3\rfloor=-3\) है। / For an integer input, the greatest integer function gives the same number. So \(\lfloor -3\rfloor=-3\).
\(\lfloor 0.8\rfloor=0\), क्योंकि (0.8) से छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या (0) है। दशमलव में नीचे की पूर्णांक संख्या लें। / \(\lfloor 0.8\rfloor=0\), because (0) is the greatest integer less than or equal to (0.8). For decimals, take the lower integer.
अधिकतम पूर्णांक फलन \(\lfloor x\rfloor\), \(x\) से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। प्रत्येक \(x\in[-1,0)\) के लिए यह मान \(-1\) होता है; इसलिए आलेख इस अंतराल पर \(y=-1\) की क्षैतिज रेखा है। \(y=0\) केवल \(0\le x<1\) पर मिलेगा। परीक्षा-युक्ति: अंतराल के बाएँ और दाएँ सिरों को जाँचकर floor मान निर्धारित करें। / The greatest integer function \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(x\). For every \(x\in[-1,0)\), this value is \(-1\), so the graph is the horizontal line \(y=-1\) on this interval. The value \(0\) begins at \(x=0\), which is excluded here. Exam tip: check the interval endpoints carefully when evaluating a floor function.
किसी संख्या \(x\) का भिन्नात्मक भाग \(x-\lfloor x\rfloor\) होता है। इसलिए \(f(2.6)=\{2.6\}=2.6-\lfloor2.6\rfloor=2.6-2=0.6\)। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा में याद रखें: भिन्नात्मक भाग हमेशा संख्या और उसके सबसे बड़े पूर्णांक भाग के अंतर के बराबर होता है। / The fractional part of a number \(x\) is defined as \(x-\lfloor x\rfloor\). Therefore, \(f(2.6)=\{2.6\}=2.6-\lfloor2.6\rfloor=2.6-2=0.6\). Hence, option A is correct. Exam tip: subtract the greatest integer less than or equal to the given number from the number itself.
किसी भी वास्तविक संख्या का भिन्नात्मक भाग 0 या 0 से बड़ा होता है, लेकिन 1 से हमेशा छोटा होता है। इसलिए इसका परिसर \([0,1)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि 0 प्राप्त हो सकता है, जबकि विकल्प D गलत है क्योंकि 0 और 1 के बीच के सभी मान भी प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक भाग के लिए \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\) और \(0\leq\{x\}<1\) याद रखें। / The fractional part of any real number is at least 0 and always less than 1. Therefore, its range is \([0,1)\). Option B is incorrect because 0 can be attained, while option D is incorrect because every value between 0 and 1 can also occur. Exam tip: remember \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\) and \(0\leq\{x\}<1\).
\(y\)-अक्ष पर किसी भी बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। इसलिए \(f(0)=2(0)+3=3\), अतः ग्राफ का \(y\)-अक्ष प्रतिच्छेद \(3\) है और प्रतिच्छेद बिंदु \((0,3)\) होगा। ध्यान रखें कि \(y=mx+c\) में \(c\) ही \(y\)-प्रतिच्छेद का मान होता है। / Every point on the y-axis has \(x=0\). Thus, \(f(0)=2(0)+3=3\), so the y-intercept is \(3\), and the intercept point is \((0,3)\). Remember that in \(y=mx+c\), the constant term \(c\) gives the y-intercept.
किसी फलन का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए फलन का मान शून्य हो। इसलिए \(3x-9=0\), अर्थात \(3x=9\) और \(x=3\)। विकल्प \(x=9\) में 3 से भाग देना छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: रैखिक फलन का शून्यक निकालने के लिए \(f(x)=0\) रखें। / The zero of a function is the value of \(x\) for which the function equals zero. Thus, set \(3x-9=0\), giving \(3x=9\) and hence \(x=3\). The distractor \(x=9\) results from forgetting to divide by 3. Exam tip: To find the zero of a linear function, set \(f(x)=0\).
रैखिक फलन y = mx + c में x का गुणांक m, ग्राफ की ढाल होता है। यहाँ f(x) = -2x + 4 में x का गुणांक -2 है, इसलिए ढाल -2 होगी। विकल्प B में 2 है, लेकिन ऋणात्मक ढाल का अर्थ है कि x बढ़ने पर फलन का मान घटता है। परीक्षा-युक्ति: y = mx + c के रूप में लिखे फलन में x का गुणांक सीधे ढाल होता है। / In the linear form y = mx + c, the coefficient m of x is the slope of the graph. In f(x) = -2x + 4, the coefficient of x is -2, so the slope is -2. Option B, 2, has the wrong sign; a negative slope means that the function decreases as x increases. Exam tip: In a linear function written as y = mx + c, the coefficient of x is the slope.
\(x\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का \(y\)-निर्देशांक \(0\) होता है। इसलिए \(f(x)=0\) रखने पर \(x^2-1=0\), अर्थात् \(x^2=1\), जिससे \(x=-1\) या \(x=1\) मिलता है। अतः प्रतिच्छेद-बिंदु \((-1,0)\) और \((1,0)\) हैं। विकल्प B में \(x=0\) है, जो \(y\)-अक्ष से संबंधित है। परीक्षा टिप: \(x\)-प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=f(x)=0\) रखें। / Every point on the \(x\)-axis has a \(y\)-coordinate of \(0\). Thus, set \(f(x)=0\): \(x^2-1=0\), so \(x^2=1\) and \(x=-1\) or \(x=1\). Therefore, the intercepts are \((-1,0)\) and \((1,0)\). Option B gives the point where \(x=0\), which lies on the \(y\)-axis instead. Exam tip: To find \(x\)-intercepts, set \(y=f(x)=0\).
दिया गया फलन \(f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\) है। मानक रूप \(y=(x-h)^2+k\) में \(h=-1\) और \(k=0\), इसलिए शीर्ष-बिंदु \((-1,0)\) है। विकल्प \((0,1)\) केवल y-अवरोध दर्शाता है, शीर्ष-बिंदु नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग बनाने पर \((x-h)^2+k\) में शीर्ष सीधे \((h,k)\) मिलता है। / The function can be written as \(f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\). Comparing this with the standard form \(y=(x-h)^2+k\), we get \(h=-1\) and \(k=0\). Hence, the vertex is \((-1,0)\). The point \((0,1)\) is the y-intercept, not the vertex. Exam tip: After completing the square, read the vertex directly from \((x-h)^2+k\) as \((h,k)\).
फलन को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर f(x)=(x-1)2 प्राप्त होता है। किसी भी वास्तविक x के लिए वर्ग का मान शून्य या धनात्मक होता है, इसलिए न्यूनतम मान 0 है और यह x=1 पर मिलता है। विकल्प 1 शीर्षबिंदु का x-निर्देशांक है, फलन का न्यूनतम मान नहीं। परीक्षा-टिप: द्विघात फलन को पूर्ण वर्ग में बदलकर न्यूनतम या अधिकतम मान तुरंत ज्ञात करें। / Writing the function in completed-square form gives f(x)=(x-1)2. Since a square is never negative for any real x, the minimum value is 0, attained at x=1. Option 1 is the x-coordinate of the vertex, not the minimum function value. Exam tip: Complete the square to find the minimum or maximum value of a quadratic function quickly.
मूल ग्राफ \(y=|x|\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। \(f(x)=|x-2|+1\) में \(x-2\) ग्राफ को 2 इकाई दाईं ओर और बाहर का \(+1\) उसे 1 इकाई ऊपर खिसकाता है। इसलिए शीर्ष \((2,1)\) है। विकल्प D में निर्देशांकों का क्रम उलट दिया गया है। परीक्षा टिप: \(y=|x-h|+k\) का शीर्ष हमेशा \((h,k)\) होता है। / The basic graph \(y=|x|\) has vertex \((0,0)\). In \(f(x)=|x-2|+1\), \(x-2\) shifts the graph 2 units to the right, while the outside \(+1\) shifts it 1 unit upward. Therefore, the vertex is \((2,1)\). Option D reverses the coordinate order. Exam tip: the vertex of \(y=|x-h|+k\) is \((h,k)\).
\(|x+3|\) का न्यूनतम मान 0 होता है, जो \(x=-3\) पर प्राप्त होता है। इसलिए \(f(x)=|x+3|-2\) का न्यूनतम मान \(0-2=-2\) है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|\) का न्यूनतम मान 0 होता है और यह \(x=a\) पर मिलता है। / The minimum value of \(|x+3|\) is 0, attained when \(x=-3\). Therefore, the minimum value of \(f(x)=|x+3|-2\) is \(0-2=-2\). Exam tip: the minimum value of \(|x-a|\) is 0, attained at \(x=a\).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x|\ge 0\), इसलिए \(-|x|\le 0\) और \(f(x)=-|x|+6\le 6\)। जब \(x=0\), तब \(f(0)=6\), अतः अधिकतम मान 6 है। विकल्प 0 केवल \(x=\pm6\) पर फलन का मान है, अधिकतम मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(-|x|\) वाला ग्राफ नीचे की ओर खुलता है और उसका शीर्ष \(x=0\) पर होता है। / For every real \(x\), \(|x|\ge 0\), so \(-|x|\le 0\) and hence \(f(x)=-|x|+6\le 6\). At \(x=0\), \(f(0)=6\), so the maximum value is 6. The value 0 occurs at \(x=\pm6\), but it is not the maximum. Exam tip: the graph of \(-|x|\) opens downward, with its vertex at \(x=0\).
घन फलन \(f(x)=x^3\) में किसी भी वास्तविक संख्या का घन परिभाषित होता है; इसमें हर, वर्गमूल या लघुगणक जैसी कोई पाबंदी नहीं है। इसलिए इसका डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ है। विकल्प B और C अनावश्यक रूप से ऋणात्मक संख्याओं तथा शून्य को बाहर कर देते हैं। परीक्षा टिप: बहुपद फलनों का डोमेन हमेशा सभी वास्तविक संख्याएँ होता है। / For the cubic function \(f(x)=x^3\), the cube of every real number is defined; there is no denominator, square root, or logarithm imposing a restriction. Hence, its domain is all real numbers. Options B and C unnecessarily exclude negative numbers or zero. Exam tip: the domain of every polynomial function is all real numbers.
y-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। अतः \(f(0)=0^3=0\), इसलिए ग्राफ y-अक्ष को \((0,0)\) पर काटता है। विकल्प D में x-निर्देशांक तो 0 है, लेकिन \(f(0)=1\) नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: y-अक्ष का प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / Every point on the y-axis has \(x=0\). Thus, \(f(0)=0^3=0\), so the graph intersects the y-axis at \((0,0)\). Option D is incorrect because \(f(0)\) cannot be 1. Exam tip: To find a y-intercept, substitute \(x=0\).
\(x\)-अक्ष पर किसी प्रतिच्छेद के लिए \(f(x)=0\) होता है। इसलिए \(x^3+8=0\), अर्थात् \(x^3=-8\), जिससे \(x=-2\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद \((-2,0)\) है और उसका \(x\)-निर्देशांक \(x=-2\) है। परीक्षा में ग्राफ के \(x\)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(y=0\) रखें; \(x=8\) केवल स्थिर पद को देखकर किया गया भ्रमित विकल्प है। / At an x-intercept, the function value is zero. Thus, \(x^3+8=0\), so \(x^3=-8\) and \(x=-2\). Therefore, the intercept is \((-2,0)\), whose x-coordinate is \(x=-2\). In such questions, set \(y=f(x)=0\); \(x=8\) is an incorrect choice based only on the constant term.
\(\sqrt{x-2}\) (x=2) से शुरू होता है और बाहर (5) जुड़ता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((2,5)) है। / \(\sqrt{x-2}\) starts at (x=2), and (5) is added outside. So the starting point is ((2,5)).
\(\sqrt{x+1}\) (x=-1) से शुरू होता है और बाहर (3) घटता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((-1,-3)) है। / \(\sqrt{x+1}\) starts at (x=-1), and (3) is subtracted outside. So the starting point is ((-1,-3)).
हर (x+5) शून्य होने पर फलन परिभाषित नहीं होता। इसलिए (x=-5) ऊर्ध्व आसिम्प्टोट है। / The function is not defined when the denominator (x+5) is zero. Therefore (x=-5) is the vertical asymptote.
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{1}{x-1}\to 0\), इसलिए \(f(x)\to -2\)। अतः क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=-2\) है। \(x=1\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{a}{x-h}+k\) के लिए क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=k\) होता है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{1}{x-1}\to 0\), so \(f(x)\to -2\). Therefore, the horizontal asymptote is \(y=-2\). The line \(x=1\) is the vertical asymptote, not the horizontal one. Exam tip: For a function of the form \(\frac{a}{x-h}+k\), the horizontal asymptote is \(y=k\).
किसी फलन का आलेख \(y\)-अक्ष के सापेक्ष तभी सममित होता है जब \(f(-x)=f(x)\), अर्थात् फलन सम हो। यहाँ \(f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B और C में यह शर्त पूरी नहीं होती, जबकि \(\sqrt{x}\) का परिभाषा-क्षेत्र केवल \(x\geq 0\) है। परीक्षा-युक्ति: \(y\)-अक्षीय सममिति जाँचने के लिए सीधे \(f(-x)\) निकालें। / A graph is symmetric about the \(y\)-axis if and only if \(f(-x)=f(x)\), which means the function is even. For option A, \(f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)\), so it is correct. Options B and C do not satisfy this condition, and \(\sqrt{x}\) is defined only for \(x\geq 0\). Exam tip: Test \(y\)-axis symmetry by calculating \(f(-x)\).
मूलबिंदु के सापेक्ष सममिति के लिए फलन विषम होना चाहिए, अर्थात् \(f(-x)=-f(x)\)। विकल्प A में \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\), इसलिए \(y=x^3\) का आलेख मूलबिंदु के सापेक्ष सममित है। इसके विपरीत \(x^2\) और \(|x|\) सम फलन हैं, इसलिए उनके आलेख y-अक्ष के सापेक्ष सममित होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(f(-x)=-f(x)\) मिले तो फलन विषम और उसका आलेख मूलबिंदु के सापेक्ष सममित होता है। / A graph is symmetric about the origin when its function is odd, meaning \(f(-x)=-f(x)\). For option A, \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\), so the graph of \(y=x^3\) is origin-symmetric. In contrast, \(x^2\) and \(|x|\) are even functions, whose graphs are symmetric about the y-axis. Exam tip: test \(f(-x)=-f(x)\) for origin symmetry.
वृत्त \(x^2+y^2=4\) में कई (x)-मानों पर दो (y)-मान मिलते हैं। इसलिए यह फलन का आलेख नहीं है। / The circle \(x^2+y^2=4\) gives two (y)-values for many (x)-values. So it is not the graph of a function.
वास्तविक वर्गमूल के लिए \(9-x\ge 0\) चाहिए, इसलिए \(x\le 9\)। वर्गमूल वाले ग्राफ में अंदर की राशि को (0) या धनात्मक रखें। / For a real square root, \(9-x\ge 0\) is required, so \(x\le 9\). In square root graphs, keep the inside expression (0) or positive.
