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(16x-2-38x+15=(8x-3)(2x-5)), इसलिए मूल \(\frac{3}{8}\) और \(\frac{5}{2}\) हैं। परीक्षा में भिन्न मूलों को उल्टा न लिखें। / (16x-2-38x+15=(8x-3)(2x-5)), so the roots are \(\frac{3}{8}\) and \(\frac{5}{2}\). In exams, do not invert fractional roots.
यहां (ac=600) और (-30+(-20)=-50), इसलिए सही विभाजन (-30x-20x) है। परीक्षा में बड़ा (ac) हो तो भी योग और गुणनफल दोनों मिलाएं। / Here (ac=600) and (-30+(-20)=-50), so the correct split is (-30x-20x). In exams, even for large (ac), match both sum and product.
(24x-2-50x+25=(6x-5)(4x-5)), इसलिए मूल \(\frac{5}{6}\) और \(\frac{5}{4}\) हैं। परीक्षा में हर वाले गुणांक को सही रखें। / (24x-2-50x+25=(6x-5)(4x-5)), so the roots are \(\frac{5}{6}\) and \(\frac{5}{4}\). In exams, keep the denominator coefficients correctly.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए ((k-4)2=k-2-25) और \(k=\frac{41}{8}\) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय स्थिर पद ध्यान से लें। / For equal roots, (D=0), so ((k-4)2=k-2-25) and \(k=\frac{41}{8}\). In exams, handle constant terms carefully while expanding squares.
मूलों का योग (4) है और \(\frac{p+5}{6}=4\), इसलिए (p=19) है। परीक्षा में \(-\frac{b}{a}\) से योग निकालें। / The sum of roots is (4), and \(\frac{p+5}{6}=4\), so (p=19). In exams, use \(-\frac{b}{a}\) for the sum.
पहले \(x^2-4x+\frac{7}{11}=0\) बनता है, फिर ((x-2)2=\frac{37}{11}) मिलता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें। / First \(x^2-4x+\frac{7}{11}=0\) is obtained, then ((x-2)2=\frac{37}{11}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
((x-2)2=\frac{37}{11}), इसलिए \(x=2\pm\sqrt{\frac{37}{11}}=2\pm\frac{\sqrt{407}}{11}\) है। परीक्षा में हर को परिमेय बनाएं। / Since ((x-2)2=\frac{37}{11}), \(x=2\pm\sqrt{\frac{37}{11}}=2\pm\frac{\sqrt{407}}{11}\). In exams, rationalize the denominator.
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (484-4m=0) से (m=121) है। परीक्षा में समान मूल का संकेत (D=0) होता है। / For real and equal roots, (D=0), so (484-4m=0) gives (m=121). In exams, equal roots indicate (D=0).
पहले समीकरण के मूल \(\frac{3}{2},\frac{9}{4}\) और दूसरे के मूल \(\frac{3}{2},\frac{10}{9}\) हैं। परीक्षा में समान मूल के लिए दोनों समीकरण अलग हल करें। / The first equation has roots \(\frac{3}{2},\frac{9}{4}\), and the second has roots \(\frac{3}{2},\frac{10}{9}\). In exams, solve both equations separately for the common root.
मूलों का योग (23) है, इसलिए दूसरा मूल (23-9=14) होगा। परीक्षा में एक मूल दिया हो तो योग का प्रयोग करें। / The sum of roots is (23), so the other root is (23-9=14). In exams, use the sum when one root is given.
दूसरा मूल (14) है, इसलिए \(q=9\times14=126\) होगा। परीक्षा में (a=1) हो तो स्थिर पद मूलों का गुणनफल होता है। / The other root is (14), so \(q=9\times14=126\). In exams, when (a=1), the constant term is the product of roots.
(10x-2+x-3=(5x+3)(2x-1)), इसलिए \(x=\frac{1}{2},-\frac{3}{5}\) सही है। परीक्षा में गुणनखंडों से संकेत सावधानी से बदलें। / (10x-2+x-3=(5x+3)(2x-1)), so \(x=\frac{1}{2},-\frac{3}{5}\) is correct. In exams, change signs carefully from factors.
क्योंकि (13=\(\sqrt{13}\)2) और मध्य पद \(2\sqrt{13}x\) है, इसलिए यह (\(x+\sqrt{13}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (13=\(\sqrt{13}\)2) and the middle term is \(2\sqrt{13}x\), it is (\(x+\sqrt{13}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
(\(x+\sqrt{13}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(-\sqrt{13}\) है। परीक्षा में ((x+a)2=0) से (x=-a) मिलता है। / (\(x+\sqrt{13}\)2=0), so the repeated root is \(-\sqrt{13}\). In exams, ((x+a)2=0) gives (x=-a).
यह समीकरण ((x-s)(x-t)=0) के बराबर है, इसलिए मूल (s) और (t) हैं। परीक्षा में प्रतीकात्मक गुणनखंडों पर भी शून्य गुणनफल नियम लगाएं। / The equation is equivalent to ((x-s)(x-t)=0), so the roots are (s) and (t). In exams, apply zero product rule to symbolic factors too.
यह ((x-r)2-s-2=0) है, इसलिए \(x-r=\pm s\) और \(x=r\pm s\) हैं। परीक्षा में वर्गों के अंतर को जल्दी पहचानें। / It is ((x-r)2-s-2=0), so \(x-r=\pm s\) and \(x=r\pm s\). In exams, quickly recognize the difference of squares.
पूरे समीकरण को (36) से भाग देने पर (x-2-(m+n)x+mn=0) मिलता है। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हटाना हल को छोटा करता है। / Dividing the whole equation by (36) gives (x-2-(m+n)x+mn=0). In exams, removing the common factor first shortens the solution.
क्योंकि (x-4=\(x^2\)2=y-2), इसलिए नया समीकरण \(y^2-20y+64=0\) है। परीक्षा में प्रतिस्थापन से द्विघात रूप बनाएं। / Since (x-4=\(x^2\)2=y-2), the new equation is \(y^2-20y+64=0\). In exams, use substitution to form a quadratic.
\(y^2-20y+64=0\) से (y=4,16), इसलिए \(x^2=4,16\) और \(x=\pm2,\pm4\) हैं। परीक्षा में वापस (x) के मान निकालना न भूलें। / From \(y^2-20y+64=0\), (y=4,16), so \(x^2=4,16\) and \(x=\pm2,\pm4\). In exams, do not forget to return to (x).
दोनों पक्षों को (6x) से गुणा करने पर \(6+6x^2=37x\), यानी \(6x^2-37x+6=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (6x) gives \(6+6x^2=37x\), that is \(6x^2-37x+6=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
(6x-2-37x+6=(6x-1)(x-6)), इसलिए \(x=\frac{1}{6}\) और (6) हैं। परीक्षा में प्राप्त हल मूल समीकरण में मान्य हैं या नहीं जांचें। / (6x-2-37x+6=(6x-1)(x-6)), so \(x=\frac{1}{6}\) and (6). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
क्रॉस गुणा करने पर ((x+5)2=36x), इसलिए \(x^2+10x+25-36x=0\) और \(x^2-26x+25=0\) है। परीक्षा में क्रॉस गुणा सावधानी से करें। / Cross multiplication gives ((x+5)2=36x), so \(x^2+10x+25-36x=0\), and \(x^2-26x+25=0\). In exams, cross multiply carefully.
(x-2-26x+25=(x-1)(x-25)), इसलिए (x=1) और (x=25) हैं। परीक्षा में हर के निषिद्ध मानों से हलों की जांच करें। / (x-2-26x+25=(x-1)(x-25)), so (x=1) and (x=25). In exams, check solutions against excluded denominator values.
(D=(-12)2-4(1)(11)=100), इसलिए \(x=\frac{12\pm10}{2}\) से (1) और (11) मिलते हैं। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल करें। / (D=(-12)2-4(1)(11)=100), so \(x=\frac{12\pm10}{2}\) gives (1) and (11). In exams, if (D) is a perfect square, simplify quickly.
मूलों का योग \(-\frac{p}{8}\) है, इसलिए \(-\frac{p}{8}=-9\) से (p=72) है। परीक्षा में योग का सूत्र \(-\frac{b}{a}\) याद रखें। / The sum of roots is \(-\frac{p}{8}\), so \(-\frac{p}{8}=-9\) gives (p=72). In exams, remember the sum formula \(-\frac{b}{a}\).
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{9}\) है, इसलिए \(\frac{p}{9}=\frac{1}{3}\) से (p=3) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं। / The product of roots is \(\frac{p}{9}\), so \(\frac{p}{9}=\frac{1}{3}\) gives (p=3). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
\(\alpha+\beta=23\) और \(\alpha\beta=126\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=232-2(126)=277) है। परीक्षा में (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) याद रखें। / \(\alpha+\beta=23\) and \(\alpha\beta=126\), so (\alpha-2+\beta-2=232-2(126)=277). In exams, remember (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{20}{91}\) होता है। परीक्षा में reciprocal वाले प्रश्न में पहले योग और गुणनफल लिखें। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{20}{91}\). In exams, first write sum and product in reciprocal questions.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-25}{7}=\frac{25}{7}\) है। परीक्षा में (b) का चिन्ह ध्यान से रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-25}{7}=\frac{25}{7}\). In exams, keep the sign of (b) carefully.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{12}{7}\) है। परीक्षा में गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{12}{7}\). In exams, use \(\frac{c}{a}\) for the product.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{25}{7}\right\)2-\frac{48}{7}=\frac{289}{49}) है। परीक्षा में भिन्नों को समान हर में बदलें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{25}{7}\right\)2-\frac{48}{7}=\frac{289}{49}). In exams, convert fractions to a common denominator.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (196-4n<0) और (n>49) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (196-4n<0) and (n>49). In exams, connect (D<0) with no real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (196-4n>0) और (n<49) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (196-4n>0) and (n<49). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
((7x+2)(x-3)=7x-2-19x-6), इसलिए यह सही है। परीक्षा में गुणनखंड को विस्तार करके जांचें। / ((7x+2)(x-3)=7x-2-19x-6), so it is correct. In exams, verify factorisation by expanding.
((7x+2)(x-3)=0), इसलिए \(x=-\frac{2}{7}\) और (3) हैं। परीक्षा में संकेत बदलकर मूल लिखें। / ((7x+2)(x-3)=0), so \(x=-\frac{2}{7}\) and (3). In exams, change signs while writing roots.
\(x^2+12x=-8\) में (36) जोड़ने पर ((x+6)2=28) मिलता है। परीक्षा में दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ें। / Adding (36) to \(x^2+12x=-8\) gives ((x+6)2=28). In exams, add the same number to both sides.
((x+6)2=28), इसलिए \(x=-6\pm2\sqrt{7}\) है। परीक्षा में \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) सरल करें। / Since ((x+6)2=28), \(x=-6\pm2\sqrt{7}\). In exams, simplify \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=-24\), इसलिए मान (-240) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=-24\), so the value is (-240). In exams, factor the expression first.
मूलों को (-r) और (-2r) मानें, तो \(2r^2=49\) और \(p=3r=\frac{21\sqrt{2}}{2}\) है। परीक्षा में हर को परिमेय बनाना न भूलें। / Let the roots be (-r) and (-2r), then \(2r^2=49\) and \(p=3r=\frac{21\sqrt{2}}{2}\). In exams, do not forget to rationalize the denominator.
यहां (D=(-11)2-4(1)(6)=97), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{97}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-11)2-4(1)(6)=97), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{97}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
यहां (D=(-12)2-4(6)(17)=-264<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=(-12)2-4(6)(17)=-264<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
(6x-2-12x+17=6(x-1)2+11), इसलिए यह वास्तविक (x) के लिए शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग रूप से भी मूलों की प्रकृति दिखती है। / (6x-2-12x+17=6(x-1)2+11), so it cannot be zero for real (x). In exams, completed square form also shows the nature of roots.
मूल (3,11) हैं, इसलिए नए मूल (8,16) होंगे और समीकरण ((x-8)(x-16)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (3,11), so new roots are (8,16), and the equation is ((x-8)(x-16)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=22\) और \(\alpha\beta=117\), इसलिए मान \(\frac{484-234}{117}=\frac{250}{117}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=22\) and \(\alpha\beta=117\), so the value is \(\frac{484-234}{117}=\frac{250}{117}\). In exams, convert expressions into sum and product.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (484-484k=0) और (k=1) है। परीक्षा में (a=k) को ठीक से रखें। / For equal roots, (D=0), so (484-484k=0) and (k=1). In exams, keep (a=k) correctly.
(D=4(k+6)2-4k-2=0) से ((k+6)2=k-2), इसलिए (12k+36=0) और (k=-3) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय सावधानी रखें। / (D=4(k+6)2-4k-2=0) gives ((k+6)2=k-2), so (12k+36=0) and (k=-3). In exams, expand squares carefully.
((x-6)=0) या ((x-13)=0), इसलिए (x=6) या (x=13) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / ((x-6)=0) or ((x-13)=0), so (x=6) or (x=13). In exams, set each factor equal to zero separately.
((x-6)(x-13)=x-2-19x+78), इसलिए \(x^2-19x+78=22\) से \(x^2-19x+56=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-6)(x-13)=x-2-19x+78), so \(x^2-19x+78=22\) gives \(x^2-19x+56=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
यहां (D=(-19)2-4(1)(56)=137), इसलिए \(x=\frac{19\pm\sqrt{137}}{2}\) है। परीक्षा में (D) को सही निकालना जरूरी है। / Here (D=(-19)2-4(1)(56)=137), so \(x=\frac{19\pm\sqrt{137}}{2}\). In exams, finding (D) correctly is important.
पहले \(x^2+6x+\frac{5}{3}=0\) मिलता है, फिर (9) जोड़ने पर ((x+3)2=\frac{22}{3}) बनता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें। / First \(x^2+6x+\frac{5}{3}=0\) is obtained, then adding (9) gives ((x+3)2=\frac{22}{3}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
