Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(R\circ R\) में ((a,c)) तब आता है जब कोई (b) हो ताकि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\)। / \((a,c)\in R\circ R\) when some (b) exists with \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण होने से ऐसा ((a,c)) सीधे (R) में होगा। / Since (R) is transitive, such ((a,c)) belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्नों में परिभाषा को क्रमित युग्मों से समझें। / For composition questions, read the definition through ordered pairs.
यदि \(A\supseteq B\) और \(B\supseteq C\), तो (A) में (C) के सभी तत्व होंगे। / If \(A\supseteq B\) and \(B\supseteq C\), then (A) contains every element of (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A\supseteq C\) होगा और संबंध संक्रमण है। / Hence \(A\supseteq C\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
बड़े समुच्चय से छोटे समुच्चय की श्रृंखला ध्यान से देखें। / Follow the chain from larger set to smaller set carefully.
यदि \(a^2\le b^2\) और \(b^2\le c^2\), तो असमानता के क्रम से \(a^2\le c^2\) होगा। / If \(a^2\le b^2\) and \(b^2\le c^2\), then by order of inequalities \(a^2\le c^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य है और संबंध संक्रमण है। / Hence (aRc) is true, so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
वर्गों की तुलना में वास्तविक संख्या के चिह्न से भ्रमित न हों। / Do not get confused by signs when comparing squares.
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (6) से विभाज्य हैं, तो उनका योग (a-c) भी (6) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (6), then their sum (a-c) is also divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) मिलेगा और संबंध संक्रमण है। / Hence (aRc), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में अंतरों का योग सबसे उपयोगी तरीका है। / Adding differences is the most useful method here.
A. (R) अवश्य संक्रमण है/(R) is necessarily transitive
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध में परावर्ती, सममित और संक्रमण तीनों गुण शामिल होते हैं। / An equivalence relation includes reflexive, symmetric, and transitive properties.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ऐसा संबंध संक्रमण अवश्य होगा। / Therefore such a relation must be transitive.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता सुनते ही तीनों गुण याद करें। / When you hear equivalence relation, remember all three properties.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। बाकी समान जोड़ियां अपनी ही जरूरत पूरी करती हैं। / ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), also present. The other self-pairs satisfy their own requirements.
Step 3
Exam Tip
उलटी जोड़ियों के साथ दोनों समान जोड़ियां हों तो संक्रमण बच सकता है। / Reverse pairs can still be transitive if both self-pairs are present.
यदि (a-b) परिमेय है और (b-c) परिमेय है, तो उनका योग (a-c) भी परिमेय होगा। / If (a-b) is rational and (b-c) is rational, their sum (a-c) is also rational.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य होगा। / Hence (aRc) is true.
Step 3
Exam Tip
अंतर आधारित संबंधों में अंतरों का योग मुख्य विचार है। / In difference-based relations, adding differences is the key idea.
((3,2)) और ((2,3)) से ((3,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((3,2)) and ((2,3)) require ((3,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन ((1,3)) और ((3,2)) से ((1,2)) चाहिए, वह मौजूद है; फिर भी ((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) ठीक है। सभी मुख्य जोड़ी मौजूद हैं। / ((1,3)) and ((3,2)) require ((1,2)), also present; other self-pair checks do not create a missing pair.
Step 3
Exam Tip
पूरी जांच के बाद संबंध संक्रमण है, इसलिए संक्रमण नहीं कहना गलत है। / After full checking, the relation is transitive, so saying not transitive is wrong.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), और फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and then ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में छोटी और बड़ी छलांग दोनों जरूरी होती हैं। / In a long chain, both short and long jumps are needed.
यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A\subseteq C\) होगा और संबंध संक्रमण है। / Hence \(A\subseteq C\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय वाले प्रश्नों में तत्वों के समावेश की श्रृंखला देखें। / In subset questions, follow the chain of inclusion.
यदि (a), (b) का गुणनखंड है और (b), (c) का गुणनखंड है, तो (a), (c) का भी गुणनखंड होगा। / If (a) is a factor of (b) and (b) is a factor of (c), then (a) is a factor of (c).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध संक्रमण है। / Therefore the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
गुणनखंड और विभाज्यता की भाषा अलग हो सकती है, पर तर्क वही रहता है। / Factor and divisibility language may differ, but the logic is the same.
दिया गया (R) क्रम (1) से (2) से (3) तक बढ़ने जैसा है और इसमें जरूरी सीधी जोड़ियां हैं। / The given (R) acts like an increasing chain from (1) to (2) to (3) and includes the required direct pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण संबंध का प्रतिलोम भी संक्रमण रहता है। / The inverse of a transitive relation is also transitive.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम बनाते समय हर जोड़ी उलटेगी, पर श्रृंखला की शर्त बनी रहेगी। / While taking inverse, every pair reverses, but the chain condition remains valid.
अलग-अलग संबंधों में बनी श्रृंखलाएं संघ में मिलकर नई जरूरत बना सकती हैं। / Chains from different relations may combine inside the union.
Step 2
Why this answer is correct
हो सकता है ((a,b)) एक संबंध से आए और ((b,c)) दूसरे से, पर ((a,c)) संघ में न हो। / It is possible that ((a,b)) comes from one relation and ((b,c)) from another, but ((a,c)) is not in the union.
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए हमेशा अलग से जांच जरूरी है। / The union must be checked separately.
यदि (a) और (b) का (5) से भाग देने पर शेष समान है, और (b) और (c) का शेष भी समान है, तो (a) और (c) का शेष समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder on division by (5), and (b) and (c) also have the same remainder, then (a) and (c) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a \equiv c \pmod{5}\) होगा। / Hence \(a \equiv c \pmod{5}\).
Step 3
Exam Tip
सर्वसमता वाले प्रश्नों में शेष की समानता को श्रृंखला की तरह देखें। / In congruence questions, treat equal remainders as a chain.
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषमता समान है। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) समान प्रकार के हैं तथा (b) और (c) भी समान प्रकार के हैं, तो (a) और (c) भी समान प्रकार के होंगे। / If (a) and (b) have the same parity, and (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
सम-विषम संबंधों में तत्वों की प्रकृति पर ध्यान दें। / In parity relations, focus on the nature of the elements.
यदि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है और (b-c) भी संख्या (4) से विभाज्य है, तो उनका योग (a-c) भी संख्या (4) से विभाज्य होगा। / If (a-b) is divisible by (4) and (b-c) is also divisible by (4), then their sum (a-c) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) होगा। / Hence (aRc).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता आधारित संबंधों में अंतरों को जोड़कर जांच करें। / For divisibility-based relations, add the differences.
A. एक ही कक्षा में होने का संबंध/Relation of being in the same class
Step 1
Concept
यदि विद्यार्थी (A), (B) की ही कक्षा में है और (B), (C) की ही कक्षा में है, तो (A), (C) की ही कक्षा में होगा। / If student (A) is in the same class as (B), and (B) is in the same class as (C), then (A) is in the same class as (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए एक ही कक्षा में होने का संबंध संक्रमण है। / So being in the same class is transitive.
Step 3
Exam Tip
रोजमर्रा के उदाहरण में भी श्रृंखला बनाकर जांच करें। / Even in daily examples, test the chain condition.
