Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है और (b) तथा (c) का शेषफल समान है, तो तीनों का शेषफल समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then all three have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (a) और (c) भी समान शेषफल देंगे, यानी \((a,c)\in R\)। / So (a) and (c) also have the same remainder, meaning \((a,c)\in R\).
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल के वर्ग बनाकर ऐसे संबंध जल्दी जांचे जा सकते हैं। / Such relations can be checked quickly by forming remainder classes.
पहचान संबंध में केवल ((a,a)) जैसे युग्म होते हैं। / The identity relation contains only pairs like ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,a)) और ((a,a)) मिलते हैं, तो ((a,a)) पहले से मौजूद है। इसलिए कोई कमी नहीं बनती। / If ((a,a)) and ((a,a)) are combined, the required ((a,a)) is already present.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को संक्रमणीयता का मूल उदाहरण याद रखें। / Remember the identity relation as a basic example of transitivity.
यदि \(a^3\le b^3\) और \(b^3\le c^3\), तो असमानता की श्रृंखला से \(a^3\le c^3\) मिलता है। / If \(a^3\le b^3\) and \(b^3\le c^3\), the inequality chain gives \(a^3\le c^3\).
Step 2
Why this answer is correct
यही (aRc) की शर्त है, इसलिए संबंध संक्रमणीय है। / This is exactly the condition for (aRc), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
घात वाली शर्त में पहले उसी घात पर असमानता की श्रृंखला देखें। / For power-based conditions, first check the inequality chain on that power.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो दिया है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
अपने-अपने युग्म जैसे ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) कोई नई कमी नहीं बनाते, क्योंकि जरूरी युग्म पहले से सूची में हैं। / Self-pairs such as ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) do not create a missing requirement because the needed pairs are already listed.
Step 3
Exam Tip
क्रमबद्ध संबंधों को छोटे रास्ते की तरह देखकर जांचें। / Check ordered relations like small paths.
(b/a) पूर्णांक होने का अर्थ है कि (a), (b) को विभाजित करता है। / (b/a) being an integer means (a) divides (b).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\), इसलिए संबंध संक्रमणीय है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
भागफल वाली शर्त को पहले भाज्यता में बदलें। / Convert quotient conditions into divisibility first.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present. ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), also present.
Step 2
Why this answer is correct
((3,4)) के बाद दूसरा ऐसा युग्म नहीं है जिसका पहला तत्व (4) हो, इसलिए उससे कोई नई मांग नहीं बनती। / After ((3,4)), no pair starts with (4), so no new requirement arises.
Step 3
Exam Tip
सूची वाले संबंध में केवल जुड़ने वाली श्रृंखलाएं देखें। / In listed relations, check only connectable chains.
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है तथा (b) और (c) का शेषफल समान है, तो (a) और (c) का शेषफल भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,c)\in R\) अवश्य आएगा। / Hence \((a,c)\in R\).
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाले संबंध सामान्यतः संक्रमणीय होते हैं। / Same-remainder relations are usually transitive.
यदि (a) और (b) एक ही कक्षा में हैं तथा (b) और (c) भी एक ही कक्षा में हैं, तो (a) और (c) भी उसी कक्षा में होंगे। / If (a) and (b) are in the same class, and (b) and (c) are also in the same class, then (a) and (c) are in that same class.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) संबंध में आएगा और संक्रमणीयता पूरी होगी। / So ((a,c)) belongs to the relation, and transitivity holds.
Step 3
Exam Tip
समान समूह वाले संबंध अक्सर समतुल्यता संबंध बनते हैं। / Same-group relations often form equivalence relations.
A. \(a\mid b\), इसलिए यह संक्रमणीय है/\(a\mid b\), so it is transitive
Step 1
Concept
यदि (\gcd(a,b)=a), तो (a), (b) को विभाजित करता है। / If (\gcd(a,b)=a), then (a) divides (b).
Step 2
Why this answer is correct
भाज्यता संबंध संक्रमणीय होता है, क्योंकि \(a\mid b\) और \(b\mid c\) से \(a\mid c\) मिलता है। / Divisibility is transitive because \(a\mid b\) and \(b\mid c\) imply \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक वाले प्रश्न को पहले भाज्यता में बदलें। / Convert greatest common divisor conditions into divisibility before testing.
((2,3)) और ((3,5)) से ((2,5)) चाहिए। / ((2,3)) and ((3,5)) require ((2,5)).
Step 2
Why this answer is correct
((3,5)) और ((5,2)) से ((3,2)), तथा ((5,2)) और ((2,3)) से ((5,3)) चाहिए। / ((3,5)) and ((5,2)) require ((3,2)), and ((5,2)) with ((2,3)) requires ((5,3)).
Step 3
Exam Tip
चक्र में पहली परत की जोड़ियां बाद में समान जोड़ियां भी बना सकती हैं। / In a cycle, first-layer pairs may later create self-pairs too.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) और ((4,8)) से ((2,8)), तथा ((1,4)) और ((4,8)) से ((1,8)) मौजूद हैं। / ((2,4)) and ((4,8)) require ((2,8)), and ((1,4)) with ((4,8)) requires ((1,8)); both are present.
Step 3
Exam Tip
गुणोत्तर जैसी श्रृंखला में सभी सीधी छलांगें देखें। / In a chain-like relation, check all direct jumps.
(ab>0) का अर्थ है (a) और (b) का चिह्न समान है और दोनों शून्य नहीं हैं। / (ab>0) means (a) and (b) have the same sign and both are non-zero.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का चिह्न समान है तथा (b) और (c) का चिह्न समान है, तो (a) और (c) का चिह्न भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same sign, and (b) and (c) have the same sign, then (a) and (c) also have the same sign.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल के चिह्न वाले संबंधों में चिह्न की श्रृंखला देखें। / In product-sign relations, track the sign chain.
\(R\cap S\) में केवल वे समान जोड़ियां रहेंगी जो (R) में भी हैं। / \(R\cap S\) contains only those self-pairs that are also in (R).
Step 2
Why this answer is correct
केवल समान जोड़ियों वाला कोई भी संबंध संक्रमण होता है, क्योंकि उनसे वही जोड़ी दोबारा चाहिए। / Any relation containing only self-pairs is transitive, because it only requires the same pair again.
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में बची जोड़ियों की प्रकृति पहचानें। / Identify the nature of pairs left after intersection.
(a-b) परिमेय होने का संबंध संक्रमण है। / The relation (a-b) rational is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण संबंध का प्रतिलोम भी संक्रमण होता है। यहां (b-a=-(a-b)) भी परिमेय रहता है। / The inverse of a transitive relation is also transitive. Here (b-a=-(a-b)) remains rational.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम में अंतर का चिह्न बदलता है, गुण नहीं। / In inverse, the sign of the difference changes, not the property.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), तथा ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मौजूद हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,3)) with ((3,4)) requires ((2,4)); both are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी मौजूद है। ((4,4)) कोई नई कमी नहीं बनाता। / ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), also present. ((4,4)) creates no new missing pair.
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला की हर छलांग सूची में खोजें। / Find every jump in the long chain.
\(\Delta\) की समान जोड़ियां किसी जोड़ी को उसी रूप में आगे बढ़ाती हैं। / Self-pairs in \(\Delta\) only carry a pair forward as itself.
Step 2
Why this answer is correct
(R) में पहले से संक्रमण है, इसलिए (R) की श्रृंखलाएं पूरी हैं। \(\Delta\) जोड़ने से कोई नई गुम सीधी जोड़ी नहीं बनती। / Chains already inside (R) are complete because (R) is transitive. Adding \(\Delta\) creates no missing direct pair.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध जोड़ने पर संक्रमण सुरक्षित रहता है। / Adding the identity relation preserves transitivity.
((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)), तथा ((3,1)) और ((1,3)) से ((3,3)) चाहिए। / ((1,3)) and ((3,1)) require ((1,1)), and ((3,1)) with ((1,3)) requires ((3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों मौजूद हैं; ((2,4)) से आगे कोई जुड़ी जोड़ी नहीं बनती। / Both are present; ((2,4)) does not form any further linked chain.
Step 3
Exam Tip
अलग पड़ी जोड़ी अपने-आप संक्रमण नहीं तोड़ती। / An isolated pair does not break transitivity by itself.
यदि (a-b) पूर्णांक है और (b-c) पूर्णांक है, तो उनका योग (a-c) भी पूर्णांक होगा। / If (a-b) is an integer and (b-c) is an integer, their sum (a-c) is also an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य है। / Hence (aRc) is true.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले संबंधों में बंद गुण को याद रखें। / In difference relations, remember closure under addition.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) है। / ((1,2)) and ((2,3)) give the required ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((3,5)) के साथ ((1,3)) से ((1,5)), और ((2,3)) से ((2,5)) भी मौजूद हैं। / With ((3,5)), ((1,3)) requires ((1,5)), and ((2,3)) requires ((2,5)); both are present.
Step 3
Exam Tip
लंबी छलांगों को देखकर सभी जरूरी सीधी जोड़ियां मिलाएं। / Match every required direct jump in long chains.
