Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c) होगा। / If (a<b) and (b<c), then (a<c).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b-a) और (c-b) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो (c-a) भी (3) से विभाज्य होगा। / If (b-a) and (c-b) are both divisible by (3), then (c-a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दो शर्तों वाले संबंध में क्रम और विभाज्यता दोनों अलग-अलग जाँचें। / In a two-condition relation, check order and divisibility separately.
संबंध का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / The relation means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) की प्रकृति (b) जैसी है और (b) की प्रकृति (c) जैसी है, तो (a) और (c) की प्रकृति भी समान होगी। / If (a) has the same parity as (b), and (b) has the same parity as (c), then (a) and (c) also have the same parity.
Step 3
Exam Tip
वर्गीकरण वाले संबंधों में समान वर्ग से संक्रामकता समझें। / In classification-based relations, use the idea of the same class.
यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
कथन को सरल रूप में बदलना संबंधों के प्रश्नों में मदद करता है। / Converting the statement into a simpler form helps in relation questions.
समान शेष का अर्थ है कि दोनों संख्याएँ एक ही सम-विषम वर्ग में हैं। / Same remainder means both numbers lie in the same parity class.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाले संबंधों में वर्ग बनाकर सोचें। / For remainder relations, think in classes.
((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((3,1)) और ((1,3)) से ((3,3)) चाहिए, वह भी मौजूद है। / From ((1,3)) and ((3,1)), ((1,1)) is required, and it is present. From ((3,1)) and ((1,3)), ((3,3)) is required, and it is also present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) के बाद (4) से शुरू होने वाली कोई जोड़ी नहीं है, इसलिए नई जरूरत नहीं बनती। / After ((2,4)), there is no pair starting with (4), so no new requirement arises.
Step 3
Exam Tip
हर अनुपस्थित स्वयंजोड़ी संक्रामकता की कमी नहीं होती। / Every missing self-pair is not a transitivity failure.
यदि (a) और (b) की जन्मतिथि समान है, तथा (b) और (c) की जन्मतिथि समान है, तो (a) और (c) की जन्मतिथि भी समान होगी। / If (a) and (b) have the same date of birth, and (b) and (c) have the same date of birth, then (a) and (c) also have the same date of birth.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य है। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
समानता पर आधारित संबंधों में संक्रामकता सीधे सिद्ध होती है। / Relations based on equality are directly proved transitive.
\(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (3) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a-b) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then (a-c) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता संबंध में संक्रामकता अंतरों के योग से सिद्ध होती है। / In congruence relations, transitivity follows from adding differences.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, जो भी मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present. From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required and also present.
Step 2
Why this answer is correct
स्वयंजोड़ियों के साथ बनने वाली बाकी जरूरी जोड़ियाँ पहले से दी गई हैं। / Other required pairs involving self-pairs are already given.
Step 3
Exam Tip
छोटी तालिका बनाकर जाँचने से ऐसी जोड़ियाँ छूटती नहीं हैं। / Making a small table helps avoid missing such pairs.
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c) होगा। / If (a<b) and (b<c), then (a<c).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b-a) और (c-b) दोनों सम हैं, तो (c-a=(c-b)+(b-a)) भी सम होगा। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / If (b-a) and (c-b) are both even, then (c-a=(c-b)+(b-a)) is also even. Hence ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त शर्तों में हर शर्त को अलग-अलग जाँचें। / In relations with combined conditions, check each condition separately.
A. हर दो-चरण वाली जरूरी जोड़ी पहले से मौजूद है/Every required two-step pair is already present
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मिलना चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी चाहिए। ये सभी जोड़ियाँ मौजूद हैं। / ((1,3)) and ((3,4)) also require ((1,4)). All these pairs are present.
Step 3
Exam Tip
बिना स्वयंजोड़ियों वाला संबंध भी संक्रामक हो सकता है। / A relation without self-pairs can still be transitive.
संबंध में केवल विषम संख्याओं के बीच छोटा-से-बड़ा क्रम लिया गया है। / The relation uses the less-than order only among odd numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), और तीनों विषम ही रहेंगे। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / If (a<b) and (b<c), then (a<c), and all three remain odd. Hence ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
अतिरिक्त शर्त हो तो भी मूल क्रम नियम को ध्यान से लागू करें। / Even with an extra condition, apply the basic order rule carefully.
A. क्योंकि यदि \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\), तो \(l\parallel n\)/Because if \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\), then \(l\parallel n\)
Step 1
Concept
एक ही तल में यदि दो रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर हों, तो वे आपस में भी समांतर होती हैं। / In the same plane, if two distinct lines are parallel to the same line, they are parallel to each other.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\) से \(l\parallel n\) मिलता है। / Thus \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\) imply \(l\parallel n\).
Step 3
Exam Tip
ज्यामिति वाले संबंधों में चित्र बनाकर दिशा की समानता समझना उपयोगी रहता है। / In geometry-based relations, drawing a figure helps you understand common direction.
यदि (a) और (b) की आयु समान है तथा (b) और (c) की आयु समान है, तो (a) और (c) की आयु भी समान होगी। / If (a) and (b) have the same age, and (b) and (c) have the same age, then (a) and (c) also have the same age.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य है। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
समानता पर आधारित संबंधों में संक्रामकता सामान्यतः सीधी तरह सिद्ध होती है। / Relations based on equality are usually proved transitive directly.
A. हाँ, क्योंकि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\) से \(|a|\le |c|\) मिलता है/Yes, because \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\) imply \(|a|\le |c|\)
Step 1
Concept
यहाँ तुलना वास्तविक संख्याओं की नहीं, उनके परम मानों की हो रही है। / The comparison is between absolute values, not directly between the numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\), तो सामान्य क्रम से \(|a|\le |c|\)। / If \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\), then by the usual order \(|a|\le |c|\).
Step 3
Exam Tip
परम मान वाले संबंध में भी वही क्रम नियम लागू होता है। / For absolute value relations, the same order rule applies to the compared quantities.
यदि (a-b) सम है और (b-c) सम है, तो इनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी सम होगा। / If (a-b) is even and (b-c) is even, then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य होगा। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले संबंधों में दो अंतरों को जोड़ना संक्रामकता की अच्छी जाँच है। / For difference-based relations, adding the two differences is a useful transitivity check.
यदि (P) और (Q) का (x)-निर्देशांक समान है, और (Q) तथा (S) का (x)-निर्देशांक समान है, तो (P) और (S) का (x)-निर्देशांक भी समान होगा। / If (P) and (Q) have the same (x)-coordinate, and (Q) and (S) have the same (x)-coordinate, then (P) and (S) also have the same (x)-coordinate.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (P R S) सत्य है। / Hence (P R S) is true.
Step 3
Exam Tip
समान गुण पर बने संबंध प्रायः संक्रामक होते हैं, पर हर बार तर्क जरूर लिखें। / Relations based on the same property are often transitive, but always justify it.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। स्वयंजोड़ियों से कोई नई कमी नहीं आती। / From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required, and it is also present. Self-pairs create no missing requirement.
Step 3
Exam Tip
छोटे संबंधों में हर संभव लगातार जोड़ी को व्यवस्थित रूप से देखें। / For small relations, check each possible chain systematically.
A. क्योंकि (A) के हर दो तत्वों की जोड़ी संबंध में होती है/Because every ordered pair of elements of (A) is in the relation
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in A\times A\) और \((b,c) \in A\times A\), तो \(a,c \in A\) हैं। / If \((a,b) \in A\times A\) and \((b,c) \in A\times A\), then \(a,c \in A\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) भी \(A\times A\) में होगा। / Hence ((a,c)) is also in \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध में कोई आवश्यक जोड़ी छूटती नहीं, इसलिए संक्रामकता पूरी रहती है। / In a universal relation, no required ordered pair is missing.
संक्रामकता टूटने के लिए ((a,b)) और ((b,c)) जैसी दो जोड़ियाँ मौजूद होनी चाहिए और ((a,c)) न होना चाहिए। / To break transitivity, two pairs like ((a,b)) and ((b,c)) must exist while ((a,c)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
खाली संबंध में कोई जोड़ी ही नहीं है, इसलिए ऐसी विरोधी स्थिति बनती ही नहीं। / In the empty relation, no ordered pair exists, so no counterexample can occur.
Step 3
Exam Tip
खाली संबंध को संक्रामक मानना एक सामान्य परीक्षा बिंदु है। / Remember that the empty relation is considered transitive.
(a=b) की स्थिति भी (a-b=0) देती है, और (0) (5) से विभाज्य है। इसलिए शर्त समान शेषफल वाली बन जाती है। / The case (a=b) gives (a-b=0), and (0) is divisible by (5), so the relation is a same-remainder type condition.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) (5) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (5) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are divisible by (5), then (a-c) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
बराबरी वाली अलग शर्त को भी अंतर वाली शर्त में मिलाकर देखें। / Try to merge equality conditions with difference conditions when possible.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), तथा ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। दोनों मौजूद हैं। / ((1,2)) with ((2,3)) requires ((1,3)), and ((2,3)) with ((3,4)) requires ((2,4)). Both are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए, वह भी मौजूद है। / ((1,3)) with ((3,4)) requires ((1,4)), also present.
Step 3
Exam Tip
गायब अपने-अपने युग्म तभी समस्या हैं जब वे किसी श्रृंखला से अनिवार्य बनें। / Missing self-pairs matter only when forced by a chain.
