Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a \equiv c \pmod{3}\) होगा। / Hence \(a \equiv c \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
सर्वसमता वाले संबंध सामान्यतः संक्रमण होते हैं। / Congruence relations are generally transitive.
यदि (a), (b) का गुणज है और (b), (c) का गुणज है, तो (a), (c) का भी गुणज होगा। / If (a) is a multiple of (b), and (b) is a multiple of (c), then (a) is a multiple of (c).
Step 2
Why this answer is correct
गुणज का संबंध श्रृंखला में आगे बढ़ता है। / The multiple relation passes along the chain.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता और गुणज दोनों में संक्रमण की सोच समान है। / Divisibility and multiple relations use similar transitivity logic.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,4)) मौजूद है, और ((4,4)) कोई कमी नहीं बनाता। इसलिए संबंध संक्रमण है। / ((1,4)) is present, and ((4,4)) does not create any missing pair. Therefore the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
सभी श्रृंखलाओं को खोजकर आवश्यक अंतिम जोड़ी मिलाएं। / Find each chain and match the required final pair.
A. यह हमेशा संक्रमण होता है/It is always transitive
Step 1
Concept
पहचान संबंध में हर जोड़ी का पहला और दूसरा तत्व समान होता है। / In the identity relation, each ordered pair has the same first and second element.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,a)) और ((a,a)) हैं, तो ((a,a)) पहले से मौजूद है। इसलिए संक्रमण शर्त पूरी होती है। / If ((a,a)) and ((a,a)) are present, then ((a,a)) is already present. So transitivity holds.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को परावर्ती और संक्रमण दोनों मानकर चलें। / Remember that the identity relation is both reflexive and transitive.
संक्रामकता में पहले युग्म का पहला तत्व और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व लिया जाता है। / In transitivity, take the first element of the first pair and the second element of the second pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((x,y)) और ((y,z)) से \((x,z)\in R\) मिलेगा। / Thus ((x,y)) and ((y,z)) give \((x,z)\in R\).
Step 3
Exam Tip
प्रतीकों वाले प्रश्न में क्रम बदलने की गलती न करें। / In symbolic questions, avoid changing the order.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) के कारण ((1,2)) और ((2,3)) फिर से जरूरी बनते हैं, वे भी मौजूद हैं। ((3,1)) की मांग नहीं बनती। / The pair ((2,2)) only re-requires ((1,2)) and ((2,3)), which are already present. ((3,1)) is not forced.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता में उलटी दिशा अपने आप नहीं आती। / Transitivity does not automatically create reverse direction.
यदि \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\), तो एक ही समतल में \(l\parallel n\) होगा। / If \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\) in the same plane, then \(l\parallel n\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए समानांतरता संबंध संक्रामक है। / So the parallel relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
ज्यामिति वाले संबंधों में चित्र बनाकर कड़ी को समझना आसान होता है। / For geometry relations, a small diagram helps you see the chain.
(a-b) सम होने का अर्थ है (a) और (b) दोनों समान सम-विषम प्रकार के हैं। / If (a-b) is even, then (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b-c) भी सम है, तो (a) और (c) भी समान प्रकार के होंगे, इसलिए (a-c) सम होगा। / If (b-c) is also even, then (a) and (c) have the same parity, so (a-c) is even.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सम-विषम प्रकृति से जल्दी निर्णय लें। / Use parity to decide quickly in such questions.
पहले ((1,2)) और ((2,3)) को जोड़ें। / First connect ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
इनसे ((1,3)) जरूरी होता है। आगे ((2,4)) और फिर ((1,4)) भी देखने पड़ सकते हैं, पर दिए विकल्पों में पहला जरूरी युग्म ((1,3)) है। / They require ((1,3)). Later, ((2,4)) and then ((1,4)) may also need checking, but among the options the required pair is ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
लंबी कड़ी में छोटे-छोटे चरणों से युग्म बनाइए। / In a long chain, build pairs step by step.
यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A\subseteq C\), यानी (ARC) सत्य है। / Therefore \(A\subseteq C\), so (ARC) is true.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय संबंध संक्रामकता का बहुत अच्छा मानक उदाहरण है। / The subset relation is a standard example of transitivity.
यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो संख्या रेखा पर \(a\le c\) होता है। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then on the number line \(a\le c\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) भी सत्य है। / So (aRc) is also true.
Step 3
Exam Tip
\(\le\) और (<) जैसे क्रम संबंधों में संक्रामकता बहुत सामान्य होती है। / Order relations like \(\le\) and (<) are common examples of transitive relations.
पहचान संबंध में हर तत्व केवल अपने आप से जुड़ा होता है। / In an identity relation, each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे संबंध में ((a,b)) और ((b,c)) की कड़ी बनने पर (a=b=c) जैसा मामला बनता है, इसलिए शर्त पूरी रहती है। / Any chain formed in it keeps the needed self-pair inside the relation.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को संक्रमणीय के मानक उदाहरण की तरह याद रखें। / Remember the identity relation as a standard example of a transitive relation.
A. \(R^{-1}\) परावर्ती और संक्रामक होगा/\(R^{-1}\) will be reflexive and transitive
Step 1
Concept
स्वयुग्म उलटने पर वही रहते हैं, इसलिए \(R^{-1}\) परावर्ती रहेगा। / Self-pairs remain the same after reversal, so \(R^{-1}\) is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (R) में उल्टी दिशा की शृंखला संक्रामक है, तो विलोम में भी शृंखला का परिणाम मिलेगा। / Transitive chains in (R) reverse into transitive chains in the inverse.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परावर्तन और संक्रामकता दोनों विलोम में सुरक्षित रहते हैं। / Therefore reflexivity and transitivity are both preserved in the inverse.
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a^2-a^2=0\), इसलिए परावर्तन है। / \(a^2-a^2=0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2-1^2\ge0\) सही है, पर \(1^2-2^2\ge0\) सही नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / \(2^2-1^2\ge0\) is true, but \(1^2-2^2\ge0\) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(a^2\ge b^2\) और \(b^2\ge c^2\) से \(a^2\ge c^2\), इसलिए संक्रामकता है। / \(a^2\ge b^2\) and \(b^2\ge c^2\) imply \(a^2\ge c^2\), so it is transitive.
