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A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण, कथन की सही व्याख्या करता है/Both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3\), \(b=-6\) और \(c=11\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(11)=36-132=-96\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; अतः परवलय \(x\)-अक्ष को न तो काटता है और न ही स्पर्श करता है। इसलिए कथन और कारण दोनों सही हैं, तथा कारण कथन की व्याख्या करता है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) का अर्थ है कि परवलय और \(x\)-अक्ष के बीच कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं है। / Here, \(a=3\), \(b=-6\), and \(c=11\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(11)=36-132=-96\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; therefore, the parabola neither intersects nor touches the \(x\)-axis. Hence, both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion. Exam tip: \(D<0\) indicates no real intersection between the parabola and the \(x\)-axis.
कथन: समीकरण \(x^2-2(a-3b)x+(a+3b)^2=0\) में, यदि \(ab<0\) है, तो इसके मूल वास्तविक और असमान हैं। कारण: इस समीकरण का विविक्तकर \(D=-48ab\) है। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both the assertion and the reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a-3b)\) और \(C=(a+3b)^2\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=4(a-3b)^2-4(a+3b)^2=-48ab\)। चूँकि \(ab<0\), अतः \(-48ab>0\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। यदि \(D=0\) होता, तभी मूल वास्तविक और समान होते। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर का चिह्न निर्धारित करें—\(D>0\) पर मूल वास्तविक और असमान होते हैं। / Here, \(A=1\), \(B=-2(a-3b)\), and \(C=(a+3b)^2\). Thus, \(D=B^2-4AC=4(a-3b)^2-4(a+3b)^2=-48ab\). Since \(ab<0\), we have \(-48ab>0\), so the roots are real and distinct. The roots would be real and equal only if \(D=0\). Exam tip: First determine the sign of the discriminant—\(D>0\) indicates real and distinct roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2+36\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2+36)=-144\) है, जो प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए ऋणात्मक रहता है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। समान वास्तविक मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जबकि यहाँ \(D<0\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) सीधे तौर पर कोई वास्तविक मूल न होने को दर्शाता है। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2+36\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2+36)=-144\), which remains negative for every real value of \(p\). Hence, the equation has no real roots. Equal real roots would require \(D=0\), whereas here \(D<0\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) immediately indicates that there are no real roots.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान/Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4p-2-4\(p^2-64\)=256) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर परिमेय असमान मूल देता है। / Here (D=4p-2-4\(p^2-64\)=256). A positive perfect-square discriminant gives rational distinct roots.
द्विघात समीकरण में समान मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(a=4\\), \\(b=-2(5k-1)\\) और \\(c=(k+2)^2\\) हैं। इसलिए \\(D=4(5k-1)^2-16(k+2)^2=4(24k^2-14k-3)\\)। अतः \\(D=0\\) से \\(24k^2-14k-3=0\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर के विस्तार में गणना की त्रुटि है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \\(b^2-4ac=0\\) लिखें। / For a quadratic equation to have equal roots, its discriminant must be zero: \\(D=b^2-4ac=0\\). Here, \\(a=4\\), \\(b=-2(5k-1)\\), and \\(c=(k+2)^2\\). Thus, \\(D=4(5k-1)^2-16(k+2)^2=4(24k^2-14k-3)\\)। Setting \\(D=0\\) gives \\(24k^2-14k-3=0\\), so option A is correct. Option B results from an expansion error while simplifying the discriminant. Exam tip: For equal roots, immediately apply \\(b^2-4ac=0\\).
यहाँ a = 1, b = 2(m − 5) और c = m² − 9m + 24 हैं। अतः विविक्तकर D = b² − 4ac = 4(m − 5)² − 4(m² − 9m + 24) = 4(1 − m)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए D < 0 होना चाहिए, इसलिए 4(1 − m) < 0 से m > 1 प्राप्त होता है। m = 1 पर D = 0 होता है, इसलिए दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं; अतः विकल्प C गलत है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने की शर्त हमेशा D < 0 याद रखें। / Here, a = 1, b = 2(m − 5), and c = m² − 9m + 24. Therefore, the discriminant is D = b² − 4ac = 4(m − 5)² − 4(m² − 9m + 24) = 4(1 − m). For the equation to have no real roots, D must be less than zero. Thus, 4(1 − m) < 0 gives m > 1. When m = 1, D = 0, so the equation has two equal real roots; hence option C is incorrect. Exam tip: For a quadratic equation, remember that no real roots occur when D < 0.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-5)\) और \(c=m^2-9m+24\) हैं। इसलिए \(D=4(m-5)^2-4(m^2-9m+24)=4(1-m)\)। \(D=0\) रखने पर \(4(1-m)=0\), अतः \(m=1\)। परीक्षा-टिप: समान मूल के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) का प्रयोग करें और पूरे विविक्तकर को सरल करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=1\), \(b=2(m-5)\), and \(c=m^2-9m+24\). Thus, \(D=4(m-5)^2-4(m^2-9m+24)=4(1-m)\). Setting \(D=0\) gives \(4(1-m)=0\), so \(m=1\). Exam tip: For equal-root questions, begin with \(D=0\) and simplify the discriminant carefully.
A. \(\frac{-1-\sqrt{5}}{3}<t<\frac{-1+\sqrt{5}}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \(a=1\), इसलिए वास्तविक मूल न होने की शर्त विविक्तकर \(D<0\) है। यहाँ \(D=[-2(4t+1)]^2-4(7t^2+2t+5)=4(9t^2+6t-4)\)। अतः \(9t^2+6t-4<0\)। इसके शून्यक \(\frac{-1-\sqrt5}{3}\) और \(\frac{-1+\sqrt5}{3}\) हैं, तथा परवलय ऊपर की ओर खुलता है; इसलिए असमता इनके बीच सत्य होगी। अतः विकल्प A सही है। सिरों पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, उन्हें शामिल नहीं किया जाएगा। / For a quadratic equation, real roots do not exist when the discriminant \(D<0\). Here, \(D=[-2(4t+1)]^2-4(7t^2+2t+5)=4(9t^2+6t-4)\). Thus, \(9t^2+6t-4<0\). Its zeros are \(\frac{-1-\sqrt5}{3}\) and \(\frac{-1+\sqrt5}{3}\), and since the quadratic has a positive leading coefficient, the expression is negative between these zeros. Hence option A is correct. At the endpoints, \(D=0\), giving equal real roots, so the endpoints must be excluded. Exam tip: for no real roots, always use the strict condition \(D<0\), not \(D\leq0\).
A. \(\alpha\leq3\) और \(\alpha\neq-3\)/\(\alpha\leq3\) and \(\alpha\neq-3\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\alpha-2-4\(\alpha+3\)\(\alpha-2\)=24-4\alpha) है। वास्तविक मूलों के लिए \(\alpha\leq3\) और द्विघात के लिए \(\alpha\neq-3\)। / Here (D=4\alpha-2-4\(\alpha+3\)\(\alpha-2\)=24-4\alpha). For real roots \(\alpha\leq3\), and for a quadratic \(\alpha\neq-3\).
A. \(\theta=0\) या \(\theta=3\)/\(\theta=0\) or \(\theta=3\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\theta\) और \(c=3\theta\), इसलिए \(D=(-2\theta)^2-4(1)(3\theta)=4\theta(\theta-3)\)। अतः \(4\theta(\theta-3)=0\) से \(\theta=0\) या \(\theta=3\) प्राप्त होता है। विकल्प B केवल \(\theta=3\) देता है और \(\theta=0\) को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सीधे \(D=0\) लगाएँ और प्राप्त सभी मान जाँचें। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2\theta\), and \(c=3\theta\), so \(D=(-2\theta)^2-4(1)(3\theta)=4\theta(\theta-3)\). Thus, \(4\theta(\theta-3)=0\) gives \(\theta=0\) or \(\theta=3\). Option B is incomplete because it omits \(\theta=0\). Exam tip: For equal roots, set the discriminant directly to zero and check every resulting parameter value.
द्विघात समीकरण में दो वास्तविक और असमान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\theta\) और \(c=3\theta\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4\theta^2-12\theta=4\theta(\theta-3)\)। अतः \(4\theta(\theta-3)>0\), जिससे \(\theta<0\) या \(\theta>3\) प्राप्त होता है। \(\theta=0\) और \(\theta=3\) पर मूल समान होंगे, जबकि \(0<\theta<3\) में मूल वास्तविक नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूल के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant is positive. Here, \(a=1\), \(b=-2\theta\), and \(c=3\theta\), so \(D=b^2-4ac=4\theta^2-12\theta=4\theta(\theta-3)\). Therefore, \(4\theta(\theta-3)>0\), which gives \(\theta<0\) or \(\theta>3\). At \(\theta=0\) and \(\theta=3\), the roots are equal, while for \(0<\theta<3\), the roots are not real. Exam tip: For two real and distinct roots, always impose \(D>0\).
A. कोई वास्तविक मूल नहीं ((D=-75))/No real roots ((D=-75))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(-3\sqrt{5}\)2-4(5)(6)=45-120=-75) है। ऋणात्मक (D) के कारण वास्तविक मूल नहीं हैं। / Here (D=\(-3\sqrt{5}\)2-4(5)(6)=45-120=-75). Because (D) is negative, there are no real roots.
A. दो वास्तविक और समान \\(D=0\\)/Two real and equal \\(D=0\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=8, b=-4\sqrt{10}, c=5\\), इसलिए \\(D=(-4\sqrt{10})^2-4(8)(5)=160-160=0\\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। वास्तव में समान मूल \\(x=\frac{\sqrt{10}}{4}\\) है, जो अपरिमेय है; इसलिए केवल “अपरिमेय” देखकर विकल्प D चुनना गलत होगा। परीक्षा-युक्ति: \\(D=0\\) का अर्थ हमेशा दो समान वास्तविक मूल होता है। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=8, b=-4\sqrt{10}, c=5\\), so \\(D=(-4\sqrt{10})^2-4(8)(5)=160-160=0\\). Therefore, the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \\(x=\frac{\sqrt{10}}{4}\\), which is irrational; however, option D is still incorrect because it says the roots are distinct. Exam tip: \\(D=0\\) always indicates two equal real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में यहाँ \(b=0\) तथा \(a<0, c<0\) हैं, इसलिए \(ac>0\)। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0-4ac<0\) होगा। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / For the quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), here \(b=0\) and \(a<0, c<0\), so \(ac>0\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=0-4ac<0\), which means that the equation has no real roots. Option B would require \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: if \(D<0\), the roots are not real.
A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
विभेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a<0\) और \(c>0\) होने से \(ac<0\), इसलिए \(-4ac>0\) और \(D=b^2+(-4ac)>0\) होगा। अतः समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे। समान मूल के लिए \(D=0\) तथा कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) चाहिए, जो यहाँ संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(ac<0\) दिखते ही मूलों को वास्तविक और असमान निष्कर्षित करें। / The discriminant is \(D=b^2-4ac\). Since \(a<0\) and \(c>0\), we have \(ac<0\), so \(-4ac>0\) and \(D=b^2+(-4ac)>0\). Therefore, the equation has two real and distinct roots. Equal roots require \(D=0\), while no real roots require \(D<0\), neither of which is possible here. Exam tip: Whenever \(ac<0\), the roots are automatically real and distinct.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a-2b)]^2-4(a+2b)^2=4\{(a-2b)^2-(a+2b)^2\}=-32ab\)। अतः \(-32ab\geq0\), जिससे \(ab\leq0\) प्राप्त होता है। विकल्प D केवल पर्याप्त स्थिति है, क्योंकि \(a+2b=0\) से \(ab\leq0\) तो मिलता है, पर यह आवश्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\geq0\). Here, \(D=[-2(a-2b)]^2-4(a+2b)^2=4\{(a-2b)^2-(a+2b)^2\}=-32ab\). Therefore, \(-32ab\geq0\), which gives \(ab\leq0\). Option D is only a sufficient condition: \(a+2b=0\) implies \(ab\leq0\), but it is not necessary. Exam tip: For questions about the nature of quadratic roots, begin by calculating the discriminant and imposing \(D\geq0\).
A. \(a^2-ab+b^2\geq 0\) होने के कारण मूल सभी वास्तविक \(a,b\) के लिए वास्तविक होते हैं/The roots are real for all real \(a,b\) because \(a^2-ab+b^2\geq 0\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=[-2(a+b)]^2-4(1)(3ab)=4(a^2-ab+b^2)\) है। अब \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{2}[(a-b)^2+a^2+b^2]\geq 0\), इसलिए \(D\geq 0\) और मूल सभी वास्तविक \(a,b\) के लिए वास्तविक होते हैं। विकल्प B आवश्यक नहीं है; उदाहरण के लिए \(a=1,b=-1\) पर \(ab<0\), फिर भी मूल वास्तविक हैं। समान मूल के लिए \(D=0\), जो केवल \(a=b=0\) पर होता है, इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / The discriminant is \(D=[-2(a+b)]^2-4(1)(3ab)=4(a^2-ab+b^2)\). Since \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{2}[(a-b)^2+a^2+b^2]\geq 0\), we have \(D\geq 0\), so the roots are real for every pair of real values of \(a\) and \(b\). Option B is not necessary; for example, when \(a=1,b=-1\), \(ab<0\) but the roots are still real. Equal roots require \(D=0\), which occurs only when \(a=b=0\), so option D is incorrect. Exam tip: For a quadratic equation, determine the nature of its roots by checking the sign of the discriminant.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(v+2)]^2-4(4v+11)=4(v^2-7)\)। इसलिए \(4(v^2-7)<0\), अर्थात् \(v^2<7\), जिससे \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(D>0\) होता है, इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं, जबकि विकल्प C में \(D=0\) होता है और समान वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[2(v+2)]^2-4(4v+11)=4(v^2-7)\). Thus \(4(v^2-7)<0\), or \(v^2<7\), which gives \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\). In option B, \(D>0\), so there are two distinct real roots; in option C, \(D=0\), so there is one repeated real root. Exam tip: For ‘no real roots,’ directly apply the condition \(D<0\).
यहाँ (D=4(v+2)2-4(4v+11)=4\(v^2-7\)) नहीं, सही रूप (4\(v^2-7\)) नहीं है। परीक्षा में विस्तार सावधानी से करें। / Here (D=4(v+2)2-4(4v+11)) must be expanded carefully. Always verify the middle term before solving the interval.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=q+3\), \(b=-2(q-2)\) और \(c=q\) हैं। अतः \(D=4(q-2)^2-4q(q+3)=4(4-7q)\)। \(D=0\) रखने पर \(4-7q=0\), इसलिए \(q=\frac{4}{7}\)। विकल्प D में दिया \(q=-3\) मान द्विघात पद का गुणांक शून्य कर देता है, इसलिए वह द्विघात समीकरण नहीं रहेगा। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में पहले \(D=0\) लगाएँ और यह भी जाँचें कि \(a\ne0\) हो। / For equal roots, the discriminant must satisfy \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=q+3\), \(b=-2(q-2)\), and \(c=q\). Therefore, \(D=4(q-2)^2-4q(q+3)=4(4-7q)\). Setting \(D=0\) gives \(4-7q=0\), so \(q=\frac{4}{7}\). The value \(q=-3\) in option D makes the coefficient of \(x^2\) zero, so the equation is no longer quadratic. Exam tip: For equal-root questions, set \(D=0\) and also verify that \(a\ne0\).
A. \(p\leq5\) और \(p\neq2\)/\(p\leq5\) and \(p\neq2\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(p+2)2-4(p-2)(p+6)=40-8p) है। वास्तविक मूलों के लिए \(p\leq5\) और द्विघात के लिए \(p\neq2\)। / Here (D=4(p+2)2-4(p-2)(p+6)=40-8p). For real roots \(p\leq5\), and for a quadratic \(p\neq2\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-(u+6)\) और \(c=6u\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(u+6)^2-24u=(u-6)^2\)। \((u-6)^2=0\) से \(u=6\) प्राप्त होता है। परीक्षा में समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / Equal roots require the discriminant to be zero. Here, \(a=1\), \(b=-(u+6)\), and \(c=6u\). Thus, \(D=b^2-4ac=(u+6)^2-24u=(u-6)^2\). Setting \(D=0\) gives \(u=6\). Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
इस समीकरण का विविक्तकर \(D=(t+7)^2-4(1)(7t)=(t-7)^2\) है। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए। इसलिए \((t-7)^2>0\), जो केवल \(t\ne7\) पर सत्य है। वास्तव में समीकरण \((x-7)(x-t)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है; \(t=7\) होने पर दोनों मूल समान हो जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / The discriminant is \(D=(t+7)^2-4(1)(7t)=(t-7)^2\). Two real and distinct roots require \(D>0\), so \((t-7)^2>0\), which is true exactly when \(t\ne7\). Equivalently, the equation factors as \((x-7)(x-t)=0\); when \(t=7\), the two roots coincide. Exam tip: for distinct real roots of a quadratic, always check the condition \(D>0\).
यहाँ (D=4(k-4)2-4\(k^2-10k+27\)=4(2k-11)) है। कोई वास्तविक मूल नहीं के लिए (D<0), इसलिए \(k<\frac{11}{2}\)। / Here (D=4(k-4)2-4\(k^2-10k+27\)=4(2k-11)). For no real roots (D<0), so \(k<\frac{11}{2}\).
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-2(k+3)\) और \(c=k^2+5k+12\) हैं। वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। अतः \(D=4(k+3)^2-4(k^2+5k+12)=4(k-3)\), इसलिए \(4(k-3)\geq0\), अर्थात \(k\geq3\)। विकल्प B विपरीत असमानता देता है और विकल्प C केवल एक विशेष मान है, पूरी शर्त नहीं। परीक्षा-टिप: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरण में पहले \(D\) को \(0\) के साथ तुलना करें। / For the given quadratic, \(a=1\), \(b=-2(k+3)\), and \(c=k^2+5k+12\). Real roots require the discriminant \(D=b^2-4ac\) to satisfy \(D\geq0\). Thus, \(D=4(k+3)^2-4(k^2+5k+12)=4(k-3)\), so \(4(k-3)\geq0\), giving \(k\geq3\). Option B states the opposite inequality, while option C gives only one particular value rather than the complete condition. Exam tip: for a quadratic with a parameter, calculate the discriminant and compare it with zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=-2\sqrt{21}\) और \(c=7\), इसलिए \(D=(-2\sqrt{21})^2-4(3)(7)=84-84=0\)। जब \(D=0\) होता है, तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में समान मूल \(x=\frac{-b}{2a}=\frac{\sqrt{21}}{3}\) है। अतः विकल्प A सही है; विकल्प D में मूलों को असमान बताया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) को हमेशा समान वास्तविक मूलों से जोड़ें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3\), \(b=-2\sqrt{21}\), and \(c=7\), so \(D=(-2\sqrt{21})^2-4(3)(7)=84-84=0\). When \(D=0\), the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(x=\frac{-b}{2a}=\frac{\sqrt{21}}{3}\). Therefore, option A is correct; option D is wrong because it describes the roots as distinct. Exam tip: Remember that \(D=0\) indicates two equal real roots.
यहाँ \(a=2\), \(b=-5\sqrt{2}\) और \(c=8\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5\sqrt{2})^2-4(2)(8)=50-64=-14\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प D में \(D=50\) केवल \((-5\sqrt{2})^2\) को विविक्तकर समझने की गलती से मिलता है; उसमें \(-4ac\) घटाना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / Here, \(a=2\), \(b=-5\sqrt{2}\), and \(c=8\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5\sqrt{2})^2-4(2)(8)=50-64=-14\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option D results from treating \((-5\sqrt{2})^2=50\) as the discriminant and forgetting to subtract \(4ac\). Exam tip: for a quadratic equation, \(D<0\) indicates that the roots are not real.
A. दो वास्तविक और समान \(D=0\)/Two real and equal \(D=0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=6\), \(b=-4\sqrt{6}\) और \(c=4\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4\sqrt{6})^2-4(6)(4)=96-96=0\) प्राप्त होता है। \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(x=\frac{\sqrt{6}}{3}\) है। परीक्षा में पहले विविक्तकर का मान निकालकर मूलों की प्रकृति निर्धारित करें। / Here, \(a=6\), \(b=-4\sqrt{6}\), and \(c=4\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4\sqrt{6})^2-4(6)(4)=96-96=0\). A quadratic equation with \(D=0\) has two real and equal roots. In fact, the repeated root is \(x=\frac{\sqrt{6}}{3}\). In an exam, calculate the discriminant first to determine the nature of the roots.
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान/Two real irrational and distinct
Explanation
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धनात्मक (D) दो असमान वास्तविक मूल देता है। (D) पूर्ण वर्ग न हो तो मूल अपरिमेय होते हैं। / Positive (D) gives two distinct real roots. If (D) is not a perfect square, the roots are irrational.
A. दो वास्तविक और समान \(D=0\)/Two real and equal \(D=0\)
Explanation
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यहाँ \(a=1\), \(b=-2(1+\sqrt{5})\) और \(c=6+2\sqrt{5}\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(1+\sqrt{5})^2-4(6+2\sqrt{5})=0\), क्योंकि \((1+\sqrt{5})^2=6+2\sqrt{5}\)। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान हैं; वास्तव में मूल \(x=1+\sqrt{5}\) है। ध्यान दें कि मूल अपरिमेय होते हुए भी समान हैं—मूलों की समानता का निर्णय पहले \(D\) से किया जाता है। / Here, \(a=1\), \(b=-2(1+\sqrt{5})\), and \(c=6+2\sqrt{5}\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(1+\sqrt{5})^2-4(6+2\sqrt{5})=0\), since \((1+\sqrt{5})^2=6+2\sqrt{5}\). Hence, the roots are real and equal; in fact, the repeated root is \(x=1+\sqrt{5}\). Although this root is irrational, the roots are still equal. Exam tip: determine the nature of the roots from the sign of \(D\) before checking whether the root is rational or irrational.
