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क्योंकि \( p\ne 1 \), इसलिए ( (p-1)2>0 ) होगा। अतः ( D=-(p-1)2<0 )। विविक्तकर ऋणात्मक होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें: ( D=0 ) पर मूल वास्तविक और समान होते हैं, जबकि ( D>0 ) पर वे वास्तविक और असमान होते हैं। / Since \( p\ne 1 \), we have ( (p-1)2>0 ). Therefore, ( D=-(p-1)2<0 ). A negative discriminant means that the quadratic equation has no real roots, so option A is correct. Exam tip: ( D=0 ) gives real and equal roots, while ( D>0 ) gives real and distinct roots.
A. दो वास्तविक और भिन्न मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ द्विघात समीकरण के गुणांक हैं: �(a=m+3
d=-2(m+1)
c=m-1
oops)�। इसका विविक्तकर �(D=[-2(m+1)]2-4(m+3)(m-1)=16)� है। चूँकि �(D=16>0)� और �\(a=m+3\ne0\)�, इसलिए समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूल होंगे। समान मूलों के लिए �(D=0)� होना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का मान देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित की जा सकती है। / The coefficients are �(a=m+3
d=-2(m+1)
c=m-1
oops)�. Its discriminant is �(D=[-2(m+1)]2-4(m+3)(m-1)=16)�. Since �(D=16>0)� and �\(a=m+3\ne0\)�, the equation has two real and distinct roots. Equal roots would require �(D=0)�. Exam tip: For a quadratic equation, use the sign of the discriminant to determine the nature of its roots.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a+2)]^2-4(a^2+6a+8)=-8(a+2)\)। अतः \(-8(a+2)<0\), जिससे \(a>-2\) प्राप्त होता है। \(a=-2\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[-2(a+2)]^2-4(a^2+6a+8)=-8(a+2)\). Thus, \(-8(a+2)<0\), which gives \(a>-2\). When \(a=-2\), \(D=0\), so the equation has two equal real roots; hence it is not correct. Exam tip: For ‘no real roots’, always apply the condition \(D<0\).
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल \((D=1)\)/Two real, rational and distinct roots \((D=1)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-(2a+3)\) और \(C=(a+1)(a+2)\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(2a+3)^2-4(a+1)(a+2)=1\) प्राप्त होता है। इसलिए \(D>0\) होने से मूल वास्तविक और भिन्न हैं। साथ ही \(D=1\) पूर्ण वर्ग है और \(a\) परिमेय है, इसलिए \(\sqrt D=1\) तथा दोनों मूल परिमेय होंगे; वास्तव में मूल \(a+1\) और \(a+2\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) से पहले वास्तविकता जाँचें, फिर \(D\) के पूर्ण वर्ग होने से परिमेयता तय करें। / Here \(A=1\), \(B=-(2a+3)\), and \(C=(a+1)(a+2)\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=(2a+3)^2-4(a+1)(a+2)=1\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct. Also, \(D=1\) is a perfect square and \(a\) is rational, so both roots are rational; in fact, they are \(a+1\) and \(a+2\). Exam tip: First use the sign of \(D\) to determine whether roots are real, and then check whether \(D\) is a perfect square to determine rationality.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-7p\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-7p)=28p\)। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, इसलिए \(28p>0\), अर्थात् \(p>0\)। ध्यान दें कि \(p=0\) पर \(D=0\) होता है और मूल समान होते हैं, जबकि \(p<0\) पर मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-7p\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-7p)=28p\). Two real and distinct roots require \(D>0\), so \(28p>0\), which gives \(p>0\). At \(p=0\), \(D=0\) and the roots are equal, while for \(p<0\), the roots are not real. Exam tip: for distinct real roots, always check the condition \(D>0\).
एक ज्यामितीय स्थिति से निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: \(L^2-2(a+4)L+(a^2+6a+13)=0\)। \(L\) के वास्तविक मान के लिए \(a\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है?
इस द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=[-2(a+4)]^2-4(a^2+6a+13)=4(2a+3)\) है। \(L\) के वास्तविक होने के लिए \(D\geq0\) आवश्यक है, इसलिए \(4(2a+3)\geq0\), अर्थात् \(a\geq-\frac{3}{2}\)। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक हो जाता है, इसलिए वहाँ मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) लगाएँ; दो अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए शर्त \(D>0\) होगी। / For this quadratic, the discriminant is \(D=[-2(a+4)]^2-4(a^2+6a+13)=4(2a+3)\). For \(L\) to be real, \(D\geq0\) is required. Thus, \(4(2a+3)\geq0\), giving \(a\geq-\frac{3}{2}\). In option B, the discriminant is negative, so the roots are not real. Exam tip: use \(D\geq0\) for real roots; use \(D>0\) when two distinct real roots are required.
यहाँ \(a=1, b=-2k, c=k^2-9\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(k^2-9)=36\), जो हर वास्तविक \(k\) के लिए धनात्मक है। इसलिए दो अलग-अलग वास्तविक मूल मिलेंगे और परवलय \(x\)-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटेगा। वास्तव में, समीकरण के मूल \(x=k+3\) और \(x=k-3\) हैं। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) का अर्थ हमेशा दो अलग-अलग वास्तविक प्रतिच्छेद बिंदु होता है। / Here, \(a=1, b=-2k, c=k^2-9\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(k^2-9)=36\), which is positive for every real value of \(k\). Hence, the equation has two distinct real roots, so the parabola intersects the \(x\)-axis at two distinct points. In fact, the roots are \(x=k+3\) and \(x=k-3\). Option B would require \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: \(D>0\) indicates two distinct real intersection points.
दिया गया समीकरण \(y=x^2-2(k-1)x+(k-1)^2\) को \(y=(x-(k-1))^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः इसके शून्यक समान हैं और विविक्तकर \(D=0\) है। परवलय का शीर्ष \((k-1,0)\) होता है, इसलिए यह प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए \(x\)-अक्ष को केवल स्पर्श करता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि स्पर्श करना केवल \(k=1\) तक सीमित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के दो समान मूल होते हैं और परवलय \(x\)-अक्ष को स्पर्श करता है। / The equation \(y=x^2-2(k-1)x+(k-1)^2\) can be rewritten as \(y=(x-(k-1))^2\). Hence its roots are equal and the discriminant is \(D=0\). The vertex is \((k-1,0)\), so for every real value of \(k\), the parabola touches the \(x\)-axis at exactly one point. Option D is incorrect because this tangency is not restricted to \(k=1\). Exam tip: When \(D=0\), a quadratic has equal roots and its parabola touches the \(x\)-axis.
x-अक्ष पर y=0 होता है। अतः समीकरण है \(x^2-2kx+k^2+4=0\), जिसका विविक्तकर \(D=(-2k)^2-4(k^2+4)=-16<0\) है। इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और परवलय x-अक्ष को नहीं काटता। विकल्प D गलत है, क्योंकि विविक्तकर k के किसी भी वास्तविक मान के लिए -16 ही रहता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=(x-k)^2+4\) लिखने पर तुरंत स्पष्ट होता है कि परवलय का न्यूनतम y-मान 4 है, इसलिए वह x-अक्ष से 4 इकाई ऊपर रहता है। / On the x-axis, \(y=0\). Therefore, the intersection equation is \(x^2-2kx+k^2+4=0\), whose discriminant is \(D=(-2k)^2-4(k^2+4)=-16<0\). Hence it has no real roots, so the parabola does not intersect the x-axis. Option D is incorrect because the discriminant remains -16 for every real value of k. Exam tip: Rewriting the equation as \(y=(x-k)^2+4\) immediately shows that the minimum y-value is 4, so the parabola stays 4 units above the x-axis.
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2r\) और \(c=r^2+25\), इसलिए \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+25)=-100\)। चूँकि \(D<0\) हर वास्तविक \(r\) के लिए है, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तब सही होता जब \(D=0\) होता; यहाँ विविक्तकर सदैव ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते। / The discriminant of a quadratic equation is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2r\), and \(c=r^2+25\), so \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+25)=-100\). Since \(D<0\) for every real value of \(r\), the equation has no real roots. Option B would apply only if \(D=0\), but the discriminant here is always negative. Exam tip: For a quadratic with real coefficients, \(D<0\) means that it has no real roots.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान/Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4r-2-4\(r^2-49\)=196) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर परिमेय असमान मूल देता है। / Here (D=4r-2-4\(r^2-49\)=196). A positive perfect-square discriminant gives rational distinct roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(2+\sqrt{3})\) और \(c=7+4\sqrt{3}\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(2+\sqrt{3})^2-4(7+4\sqrt{3})=0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में दोहरा मूल \(x=2+\sqrt{3}\) है। विकल्प D इसलिए गलत है क्योंकि मूल अपरिमेय तो हैं, लेकिन असमान नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-2(2+\sqrt{3})\), and \(c=7+4\sqrt{3}\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(2+\sqrt{3})^2-4(7+4\sqrt{3})=0\). Hence, the two roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(x=2+\sqrt{3}\). Option D is incorrect because the root is irrational but not distinct. Exam tip: When \(D=0\), a quadratic equation has two real and equal roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=2(2-\sqrt{5})\) और \(c=9\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(2-\sqrt{5})^2-36=4(9-4\sqrt{5})-36=-16\sqrt{5}<0\)। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B में समान वास्तविक मूल के लिए आवश्यक \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / Here, \(a=1\), \(b=2(2-\sqrt{5})\), and \(c=9\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(2-\sqrt{5})^2-36=4(9-4\sqrt{5})-36=-16\sqrt{5}<0\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option B is incorrect because two equal real roots require \(D=0\). Exam tip: for a quadratic equation, \(D<0\) indicates that the roots are non-real.
द्विघात समीकरण में समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। इसलिए \(36-9h^2=0\), जिससे \(9h^2=36\), अर्थात् \(h^2=4\)। अतः \(h=\pm2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में 36 का वर्गमूल लेने की भूल होती है और 9 से भाग देना छूट जाता है। परीक्षा-टिप: समान मूलों के लिए हमेशा \(D=b^2-4ac=0\) रखें। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Thus, \(36-9h^2=0\), giving \(9h^2=36\) and hence \(h^2=4\). Therefore, \(h=\pm2\), so option A is correct. Option B results from taking the square root of 36 without properly dividing by 9. Exam tip: For equal roots, always set \(b^2-4ac=0\).
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। अतः \(12n-36>0\), जिससे \(12n>36\) और \(n>3\) प्राप्त होता है। \(n=3\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक तो होंगे, पर समान होंगे। परीक्षा में असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) याद रखें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Therefore, \(12n-36>0\), which gives \(12n>36\) and hence \(n>3\). At \(n=3\), \(D=0\), so the roots are real but equal. Exam tip: remember \(D>0\) for two real and distinct roots.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने की शर्त \(D<0\) होती है। इसलिए \((z-4)(z+6)<0\) हल करना होगा। इसका गुणनफल दोनों शून्यों \(-6\) और \(4\) के बीच ऋणात्मक होता है, अतः \(-6<z<4\) सही अंतराल है। विकल्प B में गुणनफल धनात्मक होता है, इसलिए वहाँ दो वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: दो रैखिक गुणकों के गुणनफल का चिन्ह उनके शून्यों के बीच बदलता है। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Thus, we solve \((z-4)(z+6)<0\). The product is negative between its zeros, \(-6\) and \(4\), so the correct interval is \(-6<z<4\). In option B, the product is positive, giving two real roots instead. Exam tip: for a product of two linear factors with positive leading coefficient, the sign is negative between the two zeros.
द्विघात समीकरण के समान मूल होने की शर्त \(D=0\) है। इसलिए \((w+2)^2=0\), जिससे \(w+2=0\) और \(w=-2\) प्राप्त होता है। \(w=2\) रखने पर विविक्तकर \(16\) होगा, इसलिए मूल समान नहीं होंगे। परीक्षा में याद रखें: \(D=0\) से समान मूल, \(D>0\) से दो भिन्न वास्तविक मूल और \(D<0\) से कोई वास्तविक मूल नहीं मिलता। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is \(D=0\). Thus, \((w+2)^2=0\), which gives \(w+2=0\) and hence \(w=-2\). The distractor \(w=2\) gives \(D=16\), leading to two distinct real roots, not equal roots. Exam tip: remember that \(D=0\) indicates equal roots, \(D>0\) indicates two distinct real roots, and \(D<0\) indicates no real roots.
क्योंकि \(v\neq3\), इसलिए \((v-3)^2>0\) होगा। अतः \(D_1>0\), और धनात्मक विविक्तकर द्विघात समीकरण के दो असमान वास्तविक मूल देता है। दूसरी ओर, \(D_2=-(v-3)^2<0\) होगा, इसलिए उससे कोई वास्तविक मूल नहीं मिलेगा। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) पर दो असमान वास्तविक मूल, \(D=0\) पर समान वास्तविक मूल और \(D<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / Since \(v\neq3\), we have \((v-3)^2>0\). Therefore, \(D_1>0\), and a positive discriminant gives two distinct real roots of a quadratic equation. In contrast, \(D_2=-(v-3)^2<0\), so it gives no real roots. Exam tip: \(D>0\) gives two distinct real roots, \(D=0\) gives equal real roots, and \(D<0\) gives no real roots.
सही (D=4(k-2)2-4k-2=16(1-k)) है। ऐसे प्रश्नों में वर्ग खोलते समय चिन्ह न भूलें। / The correct (D=4(k-2)2-4k-2=16(1-k)). In such questions, do not miss signs while expanding squares.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण, कथन की सही व्याख्या करता है/Both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2\), \(b=-4\) और \(c=7\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(7)=16-56=-40\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; अतः परवलय \(y=2x^2-4x+7\) \(x\)-अक्ष को नहीं काटता। इसलिए कथन और कारण दोनों सही हैं, तथा कारण कथन की व्याख्या करता है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर ग्राफ का \(x\)-अक्ष से कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं होता। / Here, \(a=2\), \(b=-4\), and \(c=7\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(7)=16-56=-40\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; therefore, the parabola \(y=2x^2-4x+7\) does not intersect the \(x\)-axis. Hence, both the assertion and the reason are correct, and the reason explains the assertion. Exam tip: If \(D<0\), the graph has no real point of intersection with the \(x\)-axis.
कथन: समीकरण \(x^2-2(a-b)x+(a+b)^2=0\) में यदि \(ab<0\) है, तो इसके मूल वास्तविक और असमान होंगे। कारण: इस समीकरण का विविक्तकर \(D=-16ab\) है। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both the assertion and the reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a-b)\) और \(C=(a+b)^2\) हैं। अतः \(D=B^2-4AC=4(a-b)^2-4(a+b)^2=-16ab\)। जब \(ab<0\), तब \(-16ab>0\), इसलिए विविक्तकर धनात्मक है और दोनों मूल वास्तविक तथा असमान होते हैं। इस प्रकार कथन और कारण दोनों सही हैं, तथा कारण कथन की व्याख्या भी करता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D>0\) का अर्थ हमेशा दो वास्तविक और असमान मूल होता है। / Here, \(A=1\), \(B=-2(a-b)\), and \(C=(a+b)^2\). Therefore, \(D=B^2-4AC=4(a-b)^2-4(a+b)^2=-16ab\). Since \(ab<0\), we have \(-16ab>0\), so the discriminant is positive and the roots are real and distinct. Hence, both the assertion and the reason are correct, and the reason explains the assertion. Exam tip: For a quadratic equation, \(D>0\) indicates two real and distinct roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2+16\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(1)(p^2+16)=4p^2-4p^2-64=-64\) है। चूँकि \(D<0\) प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर ऋणात्मक हो तो द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2+16\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(1)(p^2+16)=4p^2-4p^2-64=-64\). Since \(D<0\) for every real value of \(p\), the equation has no real roots. Option B would require \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: a negative discriminant means that a quadratic equation has no real roots.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान/Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4p-2-4\(p^2-25\)=100) है। (100) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=4p-2-4\(p^2-25\)=100). (100) is a positive perfect square, so roots are rational and distinct.
द्विघात समीकरण में समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \\(D=0\\) है। यहाँ \\(a=2\\), \\(b=-2(3k-1)\\) और \\(c=(k+1)^2\\) हैं। इसलिए \\(D=b^2-4ac=4(3k-1)^2-8(k+1)^2=4(7k^2-10k-1)\\)। अतः \\(D=0\\) से \\(7k^2-10k-1=0\\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \\( (k-1)^2=0\\) को दर्शाता है और विविक्तकर की शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल, वास्तविक और भिन्न मूल की पहचान के लिए क्रमशः \\(D=0\\), \\(D>0\\) और \\(D<0\\) जाँचें। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Here, \\(a=2\\), \\(b=-2(3k-1)\\), and \\(c=(k+1)^2\\). Thus, \\(D=b^2-4ac=4(3k-1)^2-8(k+1)^2=4(7k^2-10k-1)\\)। Setting \\(D=0\\) gives \\(7k^2-10k-1=0\\), so option A is correct. Option B represents only \\( (k-1)^2=0\\) and does not express the discriminant condition. Exam tip: For a quadratic, check \\(D=0\\) for equal roots, \\(D>0\\) for two distinct real roots, and \\(D<0\\) for non-real roots.
यहाँ (D=4(3k-1)2-8(k+1)2=4\(7k^2-10k-1\)) नहीं, यह विकल्प जाँचने योग्य है। सही समान मूल के लिए सीधे (D=0) हल करें। / Here (D=4(3k-1)2-8(k+1)2). For equal roots, solve (D=0) directly and avoid mental shortcuts.
यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-4)\) और \(c=m^2-7m+14\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(m-4)^2-4(m^2-7m+14)=4(2-m)\)। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) होना चाहिए, इसलिए \(4(2-m)\geq0\), अर्थात् \(m\leq2\)। ध्यान रखें कि \(D=0\) पर दो समान वास्तविक मूल भी वास्तविक मूल माने जाते हैं; इसलिए सीमा \(m=2\) शामिल है। / Here, \(a=1\), \(b=2(m-4)\), and \(c=m^2-7m+14\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(m-4)^2-4(m^2-7m+14)=4(2-m)\). For real roots, \(D\geq0\), so \(4(2-m)\geq0\), which gives \(m\leq2\). Remember that \(D=0\) gives two equal real roots, so the boundary value \(m=2\) is included.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-4)\) और \(c=m^2-7m+14\)। अतः \(D=4(m-4)^2-4(m^2-7m+14)=4(2-m)\)। \(D=0\) रखने पर \(4(2-m)=0\), इसलिए \(m=2\)। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=1\), \(b=2(m-4)\), and \(c=m^2-7m+14\). Therefore, \(D=4(m-4)^2-4(m^2-7m+14)=4(2-m)\). Setting \(D=0\) gives \(4(2-m)=0\), so \(m=2\). Exam tip: whenever equal roots are mentioned, immediately use the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(3t+1)\) और \(c=5t^2+2t+4\) हैं। इसलिए \(D=4(3t+1)^2-4(5t^2+2t+4)=4(2t-1)(2t+3)\)। अतः \((2t-1)(2t+3)<0\), जिससे \(-\frac{3}{2}<t<\frac{1}{2}\) प्राप्त होता है। सिरों पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, कोई वास्तविक मूल न होने की स्थिति नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) में गुणनखंडों के बीच का अंतराल चुनें, यदि अग्रणी गुणांक धनात्मक हो। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=-2(3t+1)\), and \(c=5t^2+2t+4\). Thus, \(D=4(3t+1)^2-4(5t^2+2t+4)=4(2t-1)(2t+3)\). Therefore, \((2t-1)(2t+3)<0\), which gives \(-\frac{3}{2}<t<\frac{1}{2}\). At the endpoints, \(D=0\), so the equation has equal real roots rather than no real roots. Exam tip: for a positive leading coefficient, a factored quadratic is negative between its two distinct roots.
A. \(\alpha\leq2\) और \(\alpha\neq-2\)/\(\alpha\leq2\) and \(\alpha\neq-2\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\alpha-2-4\(\alpha+2\)\(\alpha-1\)=8-4\alpha) है। वास्तविक मूलों के लिए \(\alpha\leq2\) और द्विघात के लिए \(\alpha\neq-2\)। / Here (D=4\alpha-2-4\(\alpha+2\)\(\alpha-1\)=8-4\alpha). For real roots \(\alpha\leq2\), and for a quadratic \(\alpha\neq-2\).
समीकरण में \(a=1\), \(b=-2\mu\) और \(c=2\mu\) हैं। समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। अतः \(D=4\mu^2-8\mu=4\mu(\mu-2)=0\), जिससे \(\mu=0\) या \(\mu=2\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। केवल \(\mu=2\) या केवल \(\mu=0\) कहना अधूरा है। परीक्षा-टिप: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण के लिए हमेशा \(D=0\) लगाएँ। / Here, \(a=1\), \(b=-2\mu\), and \(c=2\mu\). A quadratic equation has equal roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Thus, \(D=4\mu^2-8\mu=4\mu(\mu-2)=0\), giving \(\mu=0\) or \(\mu=2\). Hence, option A is correct. Choosing only \(\mu=2\) or only \(\mu=0\) omits one valid value. Exam tip: For equal roots, set the discriminant equal to zero.
