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चौड़ाई (x) हो तो (x(x+5)=84), जिससे (x=7) और लंबाई (12) है। लंबाई और चौड़ाई को अलग-अलग अंत में जाँचें। / If breadth is (x), then (x(x+5)=84), giving (x=7) and length (12). Check length and breadth separately at the end.
संख्याएँ (x) और (19-x) रखने पर (x(19-x)=90) बनता है। हल (9) और (10) हैं, इसलिए बड़ी संख्या (10) है। / Putting the numbers as (x) and (19-x), (x(19-x)=90). The solutions are (9) and (10), so the larger number is (10).
संख्याएँ (x) और (17-x) लें, तब (x(17-x)=72) से संख्याएँ (8) और (9) हैं। छोटी संख्या (8) है। / Take the numbers as (x) and (17-x), then (x(17-x)=72) gives (8) and (9). The smaller number is (8).
\(x^2=4x+45\) से \(x^2-4x-45=0\) मिलता है और धनात्मक हल (9) है। ऐसे प्रश्न में वाक्य को सीधे समीकरण में बदलें। / \(x^2=4x+45\) gives \(x^2-4x-45=0\), and the positive solution is (9). In such questions, convert the sentence directly into an equation.
समीकरण \(x^2=5x+24\) है, यानी \(x^2-5x-24=0\), जिससे धनात्मक हल (x=8) है। धनात्मक संख्या पूछी हो तो ऋणात्मक हल छोड़ दें। / The equation is \(x^2=5x+24\), or \(x^2-5x-24=0\), whose positive solution is (x=8). If a positive number is asked, ignore the negative root.
संख्या (x) हो तो (x(x+1)=56) बनता है, जिससे (x=7) मिलता है। प्रश्न में अगले पूर्णांक का अर्थ (x+1) है। / If the number is (x), then (x(x+1)=56), giving (x=7). In the question, next integer means (x+1).
\(x^2=225\) से भुजा (15) मीटर है और परिमाप (4x=60) मीटर है। पहले भुजा निकालें, फिर परिमाप लगाएँ। / From \(x^2=225\), the side is (15) m and perimeter is (4x=60) m. First find the side, then apply perimeter.
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=169\), इसलिए (x=13) है। भुजा हमेशा धनात्मक ली जाती है। / If the side of the square is (x), then \(x^2=169\), so (x=13). A side length is always taken positive.
क्षेत्रफल (=) लंबाई \(\times\) चौड़ाई, इसलिए (6x=96) सही है। हर शब्द समस्या में पहले सूत्र पहचानें। / Area (=) length \(\times\) breadth, so (6x=96) is correct. In every word problem, first identify the formula.
चौड़ाई (x) लेने पर (x(x+3)=70) बनता है, जिससे (x=7) मिलता है। क्षेत्रफल के प्रश्न में लंबाई गुणा चौड़ाई लिखना न भूलें। / Taking breadth as (x), (x(x+3)=70), which gives (x=7). In area questions, do not forget length times breadth.
मान लें संख्याएँ (x) और (x+1) हैं, तब (x(x+1)=132) से (x=11) है। इसलिए बड़ा पूर्णांक (12) है। / Let the numbers be (x) and (x+1), then (x(x+1)=132) gives (x=11). So the larger integer is (12).
मान लें छोटा पूर्णांक (x) है, तब (x(x+1)=72) से (x=8) मिलता है। परीक्षा में लगातार संख्याओं को (x) और (x+1) लिखें। / Let the smaller integer be (x), then (x(x+1)=72) gives (x=8). In exams, write consecutive numbers as (x) and (x+1).
यहाँ (D=(a+b+1)2-4(ab+a+b)) है। सरल करने पर सही विविक्तकर ( (a-b)2+1-2(a+b) ) मिलता है। / Here (D=(a+b+1)2-4(ab+a+b)). On simplification the correct discriminant is ( (a-b)2+1-2(a+b) ).
A. हर वास्तविक \(a\) के लिए दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots for every real \(a\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-(2a+5)\) और \(C=(a+2)(a+3)\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(2a+5)^2-4(a+2)(a+3)=1\)। चूँकि \(D=1>0\) हर वास्तविक \(a\) के लिए, दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(a+2\) और \(a+3\) हैं, जिनका अंतर हमेशा 1 है। ध्यान दें कि उन्हें परिमेय तभी कहा जा सकता है जब \(a\) परिमेय हो। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से केवल वास्तविक और असमान मूल निश्चित होते हैं; परिमेयता के लिए गुणांकों की परिमेयता भी जाँचें। / Here, \(A=1\), \(B=-(2a+5)\), and \(C=(a+2)(a+3)\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=(2a+5)^2-4(a+2)(a+3)=1\). Since \(D=1>0\) for every real \(a\), the roots are real and distinct. In fact, the roots are \(a+2\) and \(a+3\), whose difference is always 1. They are rational only when \(a\) is rational. Exam tip: \(D>0\) guarantees real and distinct roots; rationality also requires checking whether the coefficients are rational.
एक संख्या-समस्या से समीकरण \(n^2-2pn+(p^2-11p)=0\) प्राप्त होता है। \(n\) के दो वास्तविक और भिन्न मान प्राप्त करने के लिए \(p\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है?
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-11p\), इसलिए \(D=(-2p)^2-4(p^2-11p)=44p\)। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, अतः \(44p>0\), यानी \(p>0\)। ध्यान रखें कि \(p=0\) पर \(D=0\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-11p\), so \(D=(-2p)^2-4(p^2-11p)=44p\). Two real and distinct roots require \(D>0\); hence \(44p>0\), which gives \(p>0\). Note that when \(p=0\), \(D=0\), so the roots are equal rather than distinct.
\\(L\\) के वास्तविक मान होने के लिए विविक्तकर \\(D\\ge0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। इसलिए \\(8(a+3)\ge0\\), अर्थात \\(a\ge-3\\)। विकल्प B में असमानता उलटी है; जबकि \\(a=-3\\) पर विविक्तकर शून्य होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में वास्तविक मूलों की शर्त के लिए हमेशा \\(D\ge0\\) लगाएँ। / For real values of \\(L\\), the discriminant must satisfy \\(D\ge0\\)। Here, \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। Thus, \\(8(a+3)\ge0\\), giving \\(a\ge-3\\)। Option B reverses the inequality; at \\(a=-3\\), the discriminant is zero and the equation has two equal real roots. In exams, use \\(D\ge0\\) whenever real roots are required.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर शून्य या धनात्मक होना चाहिए। यहाँ \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। अतः \\(D\ge0\\) से \\(a\ge-3\\) प्राप्त होता है। \\(a=-3\\) पर विविक्तकर शून्य है और दोनों मूल समान वास्तविक होते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \\(D\ge0\\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must be zero or positive. Here, \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। Thus, \\(D\ge0\\) gives \\(a\ge-3\\). At \\(a=-3\\), the discriminant is zero and the roots are equal and real, so option B is incorrect. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \\(D\ge0\\).
\(x\)-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए \(y=0\) रखना होगा, जिससे \(x^2-2kx+k^2-16=0\) प्राप्त होता है। इसका विवर्तक \(D=(-2k)^2-4(k^2-16)=64>0\) है। अतः हर वास्तविक \(k\) के लिए दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं और परवलय \(x\)-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) का अर्थ है दो भिन्न वास्तविक मूल। / To find intersections with the \(x\)-axis, set \(y=0\), giving \(x^2-2kx+k^2-16=0\). Its discriminant is \(D=(-2k)^2-4(k^2-16)=64>0\). Therefore, for every real value of \(k\), the equation has two distinct real roots, so the parabola intersects the \(x\)-axis at two distinct points. Exam tip: \(D>0\) indicates two distinct real roots.
दिया गया समीकरण \(y=(x-(k+2))^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। \(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है, इसलिए \((x-(k+2))^2=0\), जिसका एक ही वास्तविक मूल \(x=k+2\) है। अतः परवलय प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए \(x\)-अक्ष को केवल स्पर्श करता है; यह केवल \(k=-2\) पर निर्भर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=0\) हो, तो ग्राफ अक्ष को एक ही बिंदु पर स्पर्श करता है। / The equation can be written as \(y=(x-(k+2))^2\). On the \(x\)-axis, \(y=0\), so \((x-(k+2))^2=0\), which has the single real root \(x=k+2\). Therefore, for every real value of \(k\), the parabola only touches the \(x\)-axis; it is not restricted to \(k=-2\). Exam tip: when the discriminant of the corresponding quadratic is \(D=0\), the graph touches the axis at exactly one point.
\(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है। अतः समीकरण \(x^2-2kx+k^2+9=0\) या \((x-k)^2+9=0\) बनेगा। चूँकि \((x-k)^2\geq 0\), इसलिए बायाँ पक्ष हमेशा कम-से-कम 9 रहेगा और शून्य नहीं हो सकता। समतुल्य रूप से, विविक्तकर \(D=(-2k)^2-4(k^2+9)=-36<0\) है। इसलिए कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \((x-k)^2+9\) के रूप में लिखने पर निष्कर्ष तुरंत मिल जाता है। / On the \(x\)-axis, \(y=0\). Therefore, the intersection equation is \(x^2-2kx+k^2+9=0\), or \((x-k)^2+9=0\). Since \((x-k)^2\geq 0\), the left side is always at least 9 and can never be zero. Equivalently, the discriminant is \(D=(-2k)^2-4(k^2+9)=-36<0\), so there are no real points of intersection. The tempting answers of one or two intersections are incorrect because they would require a zero or positive discriminant. Exam tip: completing the square gives the result immediately.
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2r\) और \(c=r^2+49\), इसलिए \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+49)=-196<0\)। अतः \(r\) के किसी भी वास्तविक मान के लिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना आवश्यक होता, जो यहाँ संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2r\), and \(c=r^2+49\), so \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+49)=-196<0\). Therefore, for every real value of \(r\), the equation has no real roots. Option B would require \(D=0\), which is not possible here. Exam tip: a quadratic equation with real coefficients has no real roots whenever its discriminant is negative.
A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
इस समीकरण का विविक्तकर \(D=(-2r)^2-4(r^2-81)=4r^2-4r^2+324=324=18^2\) है। चूँकि \(D>0\), इसलिए हर वास्तविक \(r\) के लिए दो वास्तविक और असमान मूल होंगे। वास्तव में मूल \(r+9\) और \(r-9\) हैं। इन्हें सदैव परिमेय नहीं कहा जा सकता, क्योंकि \(r\) स्वयं अपरिमेय हो सकता है; इसलिए विकल्प D सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / The discriminant is \(D=(-2r)^2-4(r^2-81)=4r^2-4r^2+324=324=18^2\). Since \(D>0\), the equation has two real and distinct roots for every real value of \(r\). In fact, the roots are \(r+9\) and \(r-9\). They cannot be called always rational because \(r\) itself may be irrational, so option D is not correct. Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(3+\sqrt{5})\) और \(c=14+6\sqrt{5}\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(3+\sqrt{5})^2-4(14+6\sqrt{5})=0\), क्योंकि \((3+\sqrt{5})^2=14+6\sqrt{5}\)। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(3+\sqrt{5}\) है, जो अपरिमेय है; इसलिए विकल्प D में दिया गया ‘असमान’ कथन गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के मूल हमेशा वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-2(3+\sqrt{5})\), and \(c=14+6\sqrt{5}\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(3+\sqrt{5})^2-4(14+6\sqrt{5})=0\), since \((3+\sqrt{5})^2=14+6\sqrt{5}\). Hence, the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(3+\sqrt{5}\), which is irrational; therefore, option D is incorrect because it says the roots are distinct. Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) always indicates two real and equal roots.
यहाँ विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=4(3-\sqrt{10})^2-64=12-24\sqrt{10}=12(1-2\sqrt{10})<0\\) है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B के लिए \\(D=0\\) होना चाहिए, जबकि यहाँ विविक्तकर ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \\(D<0\\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / The discriminant is \\(D=b^2-4ac=4(3-\sqrt{10})^2-64=12-24\sqrt{10}=12(1-2\sqrt{10})<0\\). Therefore, the equation has no real roots. Option B would require \\(D=0\\), but the discriminant here is negative. Exam tip: For a quadratic equation, \\(D<0\\) means that the roots are not real.
A. \(h=\frac{7}{4}\) या \(h=-\frac{7}{4}\)/\(h=\frac{7}{4}\) or \(h=-\frac{7}{4}\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए \(49-16h^2=0\) चाहिए। इससे \(h^2=\frac{49}{16}\), अतः \(h=\pm\frac{7}{4}\)। / For equal roots \(49-16h^2=0\) is needed. This gives \(h^2=\frac{49}{16}\), hence \(h=\pm\frac{7}{4}\).
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। इसलिए \(20n-80>0\), अर्थात \(20n>80\), जिससे \(n>4\) प्राप्त होता है। \(n=4\) पर \(D=0\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं; अतः वह विकल्प B नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति के लिए पहले \(D\) का संकेत जाँचें—\(D>0\) पर मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Thus, \(20n-80>0\), so \(20n>80\) and hence \(n>4\). At \(n=4\), \(D=0\), which gives two equal real roots, not distinct roots. Exam tip: check the sign of the discriminant first—\(D>0\) indicates real and distinct roots.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर D < 0 होना चाहिए। अतः (z − 9)(z + 1) < 0। इस गुणनफल का मान दोनों शून्यकों −1 और 9 के बीच ऋणात्मक होता है, इसलिए −1 < z < 9। विकल्प B में D > 0 होता है, जिससे दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं; जबकि सिरों z = −1 और z = 9 पर D = 0 होता है और समान वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: गुणनफल के दो रैखिक गुणकों के बीच का अंतराल जाँचने के लिए किसी एक मान, जैसे z = 0, पर चिन्ह अवश्य जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies D < 0. Therefore, (z − 9)(z + 1) < 0. This product is negative between its zeros, −1 and 9, so −1 < z < 9. In option B, D > 0, which gives two distinct real roots; at z = −1 or z = 9, D = 0, which gives equal real roots. Exam tip: For a product of two linear factors, test a value such as z = 0 to confirm the sign in the interval between the zeros.
द्विघात समीकरण के समान मूल तभी होते हैं जब उसका विविक्तकर \(D=0\) हो। अतः \((m-8)^2=0\), जिससे \(m-8=0\) और \(m=8\) प्राप्त होता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक \(m\) के लिए \((m-8)^2\) शून्य नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) रखें। / A quadratic equation has equal roots only when its discriminant is \(D=0\). Therefore, \((m-8)^2=0\), which gives \(m-8=0\) and hence \(m=8\). Option D is incorrect because \((m-8)^2\) is not zero for every real value of \(m\). Exam tip: For equal-root questions, begin by setting the discriminant equal to zero.
यदि किसी द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर के दो संभावित मान \\(D_1=(y+5)^2\\) और \\(D_2=-(y+5)^2\\) हों तथा \\(y\neq -5\\) हो, तो दो असमान वास्तविक मूल किस स्थिति में प्राप्त होंगे?
क्योंकि \\(y\neq -5\\), इसलिए \\(y+5\neq 0\\) और \\(D_1=(y+5)^2>0\\) होगा। विविक्तकर \\(D>0\\) होने पर द्विघात समीकरण के दो असमान वास्तविक मूल होते हैं। दूसरी ओर, \\(D_2=-(y+5)^2<0\\) होने से कोई वास्तविक मूल नहीं मिलता। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Since \\(y\neq -5\\), we have \\(y+5\neq 0\\), so \\(D_1=(y+5)^2>0\\). A quadratic equation has two distinct real roots when its discriminant satisfies \\(D>0\\). In contrast, \\(D_2=-(y+5)^2<0\\), which gives no real roots. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k-3)\) और \(c=k^2\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=[-2(k-3)]^2-4(1)(k^2)=4(k-3)^2-4k^2=36-24k\)। विकल्प B में ऋणात्मक पद का चिह्न गलत है, जबकि विकल्प C और D में वर्ग खोलने या गुणांक लेने में त्रुटि है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(b\) को पूरा पहचानें और फिर \(b^2-4ac\) में रखें। / Here, \(a=1\), \(b=-2(k-3)\), and \(c=k^2\). Thus, \(D=b^2-4ac=[-2(k-3)]^2-4(1)(k^2)=4(k-3)^2-4k^2=36-24k\). Option B has the wrong sign for the linear term, while options C and D result from errors in expanding the square or handling its coefficients. Exam tip: identify the complete coefficient \(b\) before substituting into \(b^2-4ac\).
