Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
मान लें कि एक संख्या x है, तो दूसरी संख्या 25 − x होगी। इसलिए, x(25 − x) = 156, जिससे x² − 25x + 156 = 0 प्राप्त होता है। इसका गुणनखंडन (x − 12)(x − 13) = 0 करने पर संख्याएँ 12 और 13 मिलती हैं। अतः बड़ी संख्या 13 है। परीक्षा-युक्ति: योग और गुणनफल दिए हों, तो संबंधित द्विघात समीकरण बनाकर उसके मूल ज्ञात करें। / Let one number be x; then the other is 25 − x. Thus, x(25 − x) = 156, giving x² − 25x + 156 = 0. Factoring it as (x − 12)(x − 13) = 0 gives the two numbers 12 and 13. Therefore, the larger number is 13. Exam tip: When the sum and product are given, form the corresponding quadratic equation and find its roots.
संख्याएँ (x) और (21-x) हों, तब (x(21-x)=110) से (10) और (11) मिलते हैं। छोटी संख्या (10) है। / If the numbers are (x) and (21-x), then (x(21-x)=110) gives (10) and (11). The smaller number is (10).
\(x^2=144\) से भुजा (12) सेमी है और परिमाप (4x=48) सेमी है। परिमाप पूछे जाने पर केवल भुजा लिखकर न रुकें। / \(x^2=144\) gives side (12) cm and perimeter (4x=48) cm. If perimeter is asked, do not stop after finding the side.
भुजा (x) हो तो \(x^2=64\), इसलिए (x=8) है। वर्ग में क्षेत्रफल भुजा के वर्ग के बराबर होता है। / If the side is (x), then \(x^2=64\), so (x=8). In a square, area equals the square of the side.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब लंबाई \(x+7\) मीटर होगी। क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+7)=260\), अर्थात \(x^2+7x-260=0\)। इसका गुणनखंड \((x-13)(x+20)=0\) है, इसलिए \(x=13\) या \(x=-20\)। लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, अतः चौड़ाई 13 मीटर है। परीक्षा में आयत के क्षेत्रफल के लिए लंबाई × चौड़ाई अवश्य लगाएँ। / Let the breadth be \(x\) metres. Then the length is \(x+7\) metres. Using area, \(x(x+7)=260\), so \(x^2+7x-260=0\). Factoring gives \((x-13)(x+20)=0\), hence \(x=13\) or \(x=-20\). Since a length cannot be negative, the breadth is 13 metres. Exam tip: for a rectangle, always use area = length × breadth.
चौड़ाई (x) लेने पर (x(x+1)=30), इसलिए (x=5) है। छोटे अंकों में भी समीकरण बनाना जरूरी है। / Taking breadth as (x), (x(x+1)=30), so (x=5). Even with small numbers, forming the equation is important.
छोटी संख्या (x) और बड़ी (x+3) रखने पर (x(x+3)=108) है, जिससे (x=9) है। अंतर को सही दिशा में लिखें। / Putting the smaller number as (x) and larger as (x+3), (x(x+3)=108), giving (x=9). Write the difference in the correct direction.
छोटी संख्या (x) और बड़ी (x+5) हो, तब (x(x+5)=84) से संख्याएँ (7) और (12) हैं। बड़ी संख्या (12) है। / Let the smaller number be (x) and the larger be (x+5), then (x(x+5)=84) gives (7) and (12). The larger number is (12).
बड़ी संख्या (x) हो तो (x(x-6)=112), जिससे (x=14) है। कम मान लिखते समय (x-6) का प्रयोग करें। / If the larger number is (x), then (x(x-6)=112), giving (x=14). Use (x-6) for less than the number.
मान लें संख्या \(x\) है। तब दूसरी संख्या \(x+4\) होगी और \(x(x+4)=165\)। इसलिए \(x^2+4x-165=0\), अर्थात \((x-11)(x+15)=0\)। मूल \(x=11\) या \(x=-15\) मिलते हैं, लेकिन संख्या धनात्मक है, इसलिए सही उत्तर 11 है। परीक्षा-युक्ति: “संख्या से 4 अधिक” को \(x+4\) लिखें, \(4x\) नहीं। / Let the number be \(x\). The other number is \(x+4\), so \(x(x+4)=165\). Thus, \(x^2+4x-165=0\), which factors as \((x-11)(x+15)=0\). The roots are \(x=11\) and \(x=-15\), but the number is specified as positive; therefore, the correct answer is 11. Exam tip: “4 more than a number” means \(x+4\), not \(4x\).
संख्या को \(x\) मानने पर समीकरण \(x(x+2)=63\) होगा, अर्थात \(x^2+2x-63=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-7)(x+9)=0\) है, इसलिए \(x=7\) या \(x=-9\)। प्रश्न में धनात्मक संख्या माँगी गई है, अतः सही उत्तर 7 है। ध्यान दें कि 9 लेने पर \(9\times11=99\), 63 नहीं मिलता। परीक्षा-टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले अज्ञात संख्या को \(x\) मानकर उसके अनुसार दूसरी संख्या लिखें। / Let the number be \(x\). Then \(x(x+2)=63\), so \(x^2+2x-63=0\). Factoring gives \((x-7)(x+9)=0\), yielding \(x=7\) or \(x=-9\). Since the question asks for a positive number, the correct answer is 7. For comparison, choosing 9 gives \(9\times11=99\), not 63. Exam tip: In word problems, first represent the unknown number by \(x\) and express the related number in terms of \(x\).
चौड़ाई (x) लेने पर (x(x+9)=400), जिससे (x=16) मिलता है। गलत ऋणात्मक मान को आयाम में स्वीकार न करें। / Taking breadth as (x), (x(x+9)=400), giving (x=16). Do not accept the wrong negative value as a dimension.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \(x+10\) सेमी होगी और क्षेत्रफल के आधार पर \(x(x+10)=375\), अर्थात् \(x^2+10x-375=0\)। इसका गुणनखंड \((x-15)(x+25)=0\) है। इसलिए \(x=15\) या \(x=-25\); लंबाई-चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए चौड़ाई 15 सेमी है। 25 सेमी इस प्रश्न में लंबाई है, चौड़ाई नहीं। परीक्षा-युक्ति: प्राप्त उत्तर को \(15\times25=375\) से जाँचें। / Let the breadth be \(x\) cm. Then the length is \(x+10\) cm, so the area condition gives \(x(x+10)=375\), or \(x^2+10x-375=0\). Factoring gives \((x-15)(x+25)=0\). Thus \(x=15\) or \(x=-25\); a dimension cannot be negative, so the breadth is 15 cm. The value 25 cm is the length, not the breadth. Exam tip: verify the result using \(15\times25=375\).
चौड़ाई (x) हो तो (x(x+8)=240), जिससे (x=12) है। आयामों की जाँच \(12 \times 20=240\) से करें। / If breadth is (x), then (x(x+8)=240), giving (x=12). Check dimensions by \(12 \times 20=240\).
मान लें कि छोटी संख्या \(x\) है। तब अगली लगातार सम संख्या \(x+2\) होगी। इसलिए \(x(x+2)=224\), अर्थात \(x^2+2x-224=0\)। इसे \((x-14)(x+16)=0\) के रूप में लिखने पर \(x=14\) या \(x=-16\) मिलता है। धनात्मक संख्या होने के कारण \(x=14\) सही है और संख्याएँ 14 तथा 16 हैं। परीक्षा-युक्ति: लगातार सम संख्याओं के बीच का अंतर हमेशा 2 होता है। / Let the smaller number be \(x\). The next consecutive even number is \(x+2\). Thus, \(x(x+2)=224\), giving \(x^2+2x-224=0\). Factoring gives \((x-14)(x+16)=0\), so \(x=14\) or \(x=-16\). Since the numbers are specified as positive, \(x=14\) is valid, and the numbers are 14 and 16. Exam tip: consecutive even numbers always differ by 2.
(x(x+2)=195) से (x=13), इसलिए बड़ी संख्या (15) है। विषम संख्याओं के लिए (x) और (x+2) सही रूप है। / (x(x+2)=195) gives (x=13), so the larger number is (15). For odd numbers, (x) and (x+2) is the correct form.
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) लें, तब (x(x+2)=168) से (x=12) है। इसलिए बड़ी संख्या (14) है। / Take consecutive even numbers as (x) and (x+2), then (x(x+2)=168) gives (x=12). Hence the larger number is (14).
लगातार विषम संख्याएँ (x) और (x+2) होंगी, इसलिए (x(x+2)=143) से (x=11) मिलता है। विषम लगातार संख्याओं में अंतर (2) होता है। / Consecutive odd numbers are (x) and (x+2), so (x(x+2)=143) gives (x=11). Consecutive odd numbers differ by (2).
\(x^2+x=110\) से \(x^2+x-110=0\), जिसका धनात्मक हल (10) है। गुणनखंड बनाते समय (110) के गुणनखंड देखें। / \(x^2+x=110\) gives \(x^2+x-110=0\), whose positive solution is (10). While factoring, check factors of (110).
\(x^2+x=42\) से \(x^2+x-42=0\), इसलिए (x=6) है। संख्या और वर्ग के योग को सीधे समीकरण में बदलें। / \(x^2+x=42\) gives \(x^2+x-42=0\), so (x=6). Convert the sum of number and square directly into an equation.
\(x^2=7x+18\) से \(x^2-7x-18=0\) और धनात्मक हल (9) है। वाक्य में अधिक का अर्थ जोड़ना होता है। / \(x^2=7x+18\) gives \(x^2-7x-18=0\), and the positive solution is (9). The phrase more than means addition.
समीकरण \(x^2-6x=16\) है, यानी \(x^2-6x-16=0\), जिससे (x=8) है। अंतर वाले प्रश्न में क्रम ध्यान से पढ़ें। / The equation is \(x^2-6x=16\), or \(x^2-6x-16=0\), giving (x=8). In difference questions, read the order carefully.
मूल संख्या को \(x\) मानें। तब \((x-4)^2=81\), इसलिए \(x-4=9\) या \(x-4=-9\)। इससे \(x=13\) या \(x=-5\) प्राप्त होता है। मूल संख्या धनात्मक होने के कारण सही उत्तर 13 है। परीक्षा में वर्ग समीकरण से मिलने वाले दोनों संभावित मान अवश्य जाँचें। / Let the original number be \(x\). Then \((x-4)^2=81\), so \(x-4=9\) or \(x-4=-9\). Hence, \(x=13\) or \(x=-5\). Since the original number is positive, the correct answer is 13. Exam tip: always check both possible signs when solving a squared equation.
मान लें संख्या \(x\) है। तब \((x+3)^2=100\)। धनात्मक वर्गमूल लेने पर \(x+3=10\), इसलिए \(x=7\)। ऋणात्मक वर्गमूल लेने पर \(x=-13\) मिलता, लेकिन प्रश्न में धनात्मक वर्गमूल मांगा गया है। परीक्षा-टिप: वर्ग वाले समीकरण में दोनों मूलों पर विचार करें और प्रश्न की शर्त के अनुसार सही मूल चुनें। / Let the number be \(x\). Then \((x+3)^2=100\). Taking the positive square root gives \(x+3=10\), so \(x=7\). The negative square root would give \(x=-13\), but the question specifically asks for the positive square root. Exam tip: When solving a squared equation, consider both roots and then apply the condition given in the question.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, \(x^2+(x+2)^2=10^2\)। इसे सरल करने पर \(2x^2+4x-96=0\), अर्थात् \(x^2+2x-48=0\) मिलता है। अतः \((x+8)(x-6)=0\), इसलिए \(x=-8\) या \(x=6\)। भुजा की लंबाई धनात्मक होती है, इसलिए सही उत्तर \(x=6\) है। परीक्षा में लंबाई से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+2)^2=10^2\). Simplifying gives \(2x^2+4x-96=0\), or \(x^2+2x-48=0\). Thus, \((x+8)(x-6)=0\), so \(x=-8\) or \(x=6\). Since a side length must be positive, the correct value is \(x=6\). In length-based problems, always reject a negative root.
पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+(x+1)^2=25\) मिलता है। अतः \(2x^2+2x-24=0\), यानी \(x^2+x-12=0\), इसलिए \((x-3)(x+4)=0\)। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=3\) सेमी और छोटी भुजा 3 सेमी है। 4 सेमी दूसरी लम्ब भुजा है, छोटी भुजा नहीं। परीक्षा-युक्ति: उत्तर मिलने पर \(3,4,5\) समकोण त्रिभुज की जाँच अवश्य करें। / By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+1)^2=25\). This gives \(2x^2+2x-24=0\), or \(x^2+x-12=0\), which factors as \((x-3)(x+4)=0\). Since a side length cannot be negative, \(x=3\) cm, so the shorter side is 3 cm. The value 4 cm is the other perpendicular side, not the shorter one. Exam tip: verify the result using the familiar \(3,4,5\) right-triangle relationship.
पाइथागोरस से (x-2+(x+7)2=132), जिससे (x=5) है। समकोण त्रिभुज में हमेशा कर्ण को सबसे बड़ी भुजा लें। / By Pythagoras, (x-2+(x+7)2=132), giving (x=5). In a right triangle, always take the hypotenuse as the largest side.
(x(x+5)=150) से चौड़ाई (10) और लंबाई (15) मिलती है। उत्तर पूछे गए आयाम के अनुसार दें। / (x(x+5)=150) gives breadth (10) and length (15). Give the answer according to the dimension asked.
चौड़ाई (x) हो तो (x(x+2)=120), जिससे (x=10) है। केवल धनात्मक मान ही आयाम के लिए मान्य होता है। / If breadth is (x), then (x(x+2)=120), giving (x=10). Only the positive value is valid for a dimension.
चौड़ाई (x) लेने पर (x(x+4)=96) है, जिससे (x=8) मिलता है। क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में इकाई जरूर ध्यान रखें। / Taking breadth as (x), (x(x+4)=96), giving (x=8). In area questions, always note the unit.
