quadratic equations se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
2217 questions tagged with quadratic equations.
C. (15)
समीकरण \(x^2-9x=90\) है, यानी \(x^2-9x-90=0\), जिससे (x=15) मिलता है। अंतर वाले वाक्य में घटाव का क्रम सही रखें। / The equation is \(x^2-9x=90\), or \(x^2-9x-90=0\), which gives (x=15). Keep the subtraction order correct in difference statements.
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C. (17)
((x-7)2=100) और (x-7=10), इसलिए (x=17) है। वर्ग वाले प्रश्नों में शर्त ध्यान से पढ़ें। / ((x-7)2=100) and (x-7=10), so (x=17). In square-based questions, read the condition carefully.
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B. (10)
((x+5)2=225) और (x+5=15), इसलिए (x=10) है। धनात्मक मूल दिया हो तो ऋणात्मक मूल नहीं लेना है। / ((x+5)2=225) and (x+5=15), so (x=10). If the positive root is given, do not take the negative root.
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C. 12
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, \(x^2+(x+4)^2=20^2\)। इसे सरल करने पर \(2x^2+8x-384=0\), अर्थात् \(x^2+4x-192=0\) मिलता है। इसका गुणनखंड \((x-12)(x+16)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-16\)। चूँकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=12\) मीटर सही उत्तर है। परीक्षा-युक्ति: ज्यामितीय लंबाइयों वाले प्रश्नों में बीजगणितीय समीकरण से प्राप्त ऋणात्मक हल को अस्वीकार करें। / By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+4)^2=20^2\). Simplifying gives \(2x^2+8x-384=0\), or \(x^2+4x-192=0\). Factoring yields \((x-12)(x+16)=0\), so \(x=12\) or \(x=-16\). Since a side length cannot be negative, \(x=12\) m is the correct answer. Exam tip: In geometry word problems, reject any negative algebraic root when it represents a length.
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B. (15) सेमी(15) cm
पाइथागोरस से (x-2+(x+5)2=252), जिससे (x=15) है। कर्ण को हमेशा सबसे बड़ी भुजा मानें। / By Pythagoras, (x-2+(x+5)2=252), giving (x=15). Always take the hypotenuse as the largest side.
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C. (25) सेमी(25) cm
(x(x+13)=300) से चौड़ाई (12) और लंबाई (25) मिलती है। उत्तर पूछे गए भाग के अनुसार चुनें। / (x(x+13)=300) gives breadth (12) and length (25). Choose the answer according to the part asked.
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B. (16) मीटर(16) m
चौड़ाई (x) हो तो (x(x+12)=448), जिससे (x=16) है। आयाम की इकाई उत्तर में लिखना न भूलें। / If breadth is (x), then (x(x+12)=448), giving (x=16). Do not forget to write the unit of dimension in the answer.
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The sum of two numbers is 31 and their product is 238. What is the larger number?
C. 17
मान लीजिए एक संख्या \(x\) है, तो दूसरी संख्या \(31-x\) होगी। इसलिए \(x(31-x)=238\), अर्थात् \(x^2-31x+238=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-14)(x-17)=0\) है, इसलिए संख्याएँ 14 और 17 हैं तथा बड़ी संख्या 17 है। परीक्षा-युक्ति: योग और गुणनफल दिए हों, तो ऐसी दो संख्याएँ खोजें जिनका योग और गुणनफल दोनों दिए गए मानों के बराबर हों। / Let one number be \(x\); then the other number is \(31-x\). Thus, \(x(31-x)=238\), which gives \(x^2-31x+238=0\). Factoring, \((x-14)(x-17)=0\), so the two numbers are 14 and 17, and the larger number is 17. Exam tip: When the sum and product are given, look for a pair of numbers satisfying both conditions; the larger member of the pair is the answer.
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The sum of two numbers is (29) and their product is (204). What is the smaller number?
B. (12)
संख्याएँ (x) और (29-x) हों, तब (x(29-x)=204) से (12) और (17) मिलते हैं। छोटी संख्या (12) है। / If the numbers are (x) and (29-x), then (x(29-x)=204) gives (12) and (17). The smaller number is (12).
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The square of a positive number is (120) more than (2) times the number. What is the number?
C. (12)
\(x^2=2x+120\) से \(x^2-2x-120=0\) और (x=12) मिलता है। वाक्य को सही क्रम में समीकरण में बदलें। / \(x^2=2x+120\) gives \(x^2-2x-120=0\) and (x=12). Convert the sentence into an equation in the correct order.
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The square of a positive number is (70) more than (3) times the number. What is the number?
B. (10)
\(x^2=3x+70\) से \(x^2-3x-70=0\) बनता है और धनात्मक हल (10) है। धनात्मक संख्या पूछी हो तो ऋणात्मक हल न लें। / \(x^2=3x+70\) gives \(x^2-3x-70=0\), and the positive solution is (10). If a positive number is asked, do not take the negative root.
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A number and (9) more than it have product (340). What is the larger number?
B. (20)
(x(x+9)=340) से (x=11) है, इसलिए बड़ी संख्या (20) है। अंत में दोनों संख्याओं का गुणनफल जाँचें। / (x(x+9)=340) gives (x=11), so the larger number is (20). Check the product of both numbers at the end.
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B. 12
छोटी संख्या को \(x\) मानें। तब बड़ी संख्या \(x+8\) होगी और \(x(x+8)=240\)। अतः \(x^2+8x-240=0\), अर्थात् \((x-12)(x+20)=0\)। इसलिए \(x=12\) या \(x=-20\); धनात्मक संख्याओं के लिए \(x=12\) सही है। जाँच: \(12\times20=240\)। ध्यान रखें कि 20 बड़ी संख्या है, छोटी संख्या नहीं। / Let the smaller number be \(x\). Then the larger number is \(x+8\), so \(x(x+8)=240\). This gives \(x^2+8x-240=0\), or \((x-12)(x+20)=0\). Thus, \(x=12\) or \(x=-20\); since the numbers are positive, \(x=12\) is the valid answer. Check: \(12\times20=240\). Remember that 20 is the larger number, not the smaller one.
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A square stage has area (289) square m. What is its perimeter?
C. (68) मीटर(68) m
\(x^2=289\) से भुजा (17) मीटर है और परिमाप (4x=68) मीटर है। पहले भुजा निकालें और फिर परिमाप लगाएँ। / From \(x^2=289\), the side is (17) m and perimeter is (4x=68) m. First find the side and then apply perimeter.
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A square park has an area of \(196\) square metres. What is the length of each side?
C. 14 मीटर14 m
यदि वर्ग की भुजा \(x\) मीटर है, तो उसका क्षेत्रफल \(x^2\) होता है। इसलिए \(x^2=196\), अर्थात \(x=\pm14\)। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=14\) मीटर सही उत्तर है। परीक्षा में वर्ग का क्षेत्रफल दिया हो तो भुजा ज्ञात करने के लिए उसका वर्गमूल लें। / If the side of the square is \(x\) metres, its area is \(x^2\). Thus, \(x^2=196\), giving \(x=\pm14\). Since a length cannot be negative, \(x=14\) metres. Exam tip: when the area of a square is given, find its side by taking the positive square root.
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C. (20) सेमी(20) cm
चौड़ाई (x) हो तो (x(x+11)=180), जिससे (x=9) और लंबाई (20) है। प्रश्न में पूछा गया आयाम ही उत्तर में लिखें। / If breadth is (x), then (x(x+11)=180), giving (x=9) and length (20). Write only the dimension asked in the question.
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A rectangle has length (6) cm more than its breadth and area (135) square cm. What is the breadth?
A. (9) सेमी(9) cm
चौड़ाई (x) लेने पर (x(x+6)=135), जिससे (x=9) मिलता है। आयत में क्षेत्रफल के लिए लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल लें। / Taking breadth as (x), (x(x+6)=135), giving (x=9). For a rectangle, take the product of length and breadth for area.
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The product of two consecutive positive integers is (210). What is the larger integer?
C. (15)
संख्याएँ (x) और (x+1) मानें, तब (x(x+1)=210) से (x=14) है। इसलिए बड़ा पूर्णांक (15) है। / Let the numbers be (x) and (x+1), then (x(x+1)=210) gives (x=14). So the larger integer is (15).
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The product of two consecutive positive integers is (182). What is the smaller integer?
B. (13)
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x(x+1)=182), जिससे (x=13) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखना सही तरीका है। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=182), which gives (x=13). Writing consecutive integers as (x) and (x+1) is the correct method.
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A. \(-1<r<5\)
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। इसलिए \((r-2)^2-9<0\), अर्थात \((r-2)^2<9\)। इससे \(-3<r-2<3\) और अतः \(-1<r<5\) प्राप्त होता है। सीमांत मान \(r=-1\) और \(r=5\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ एक समान वास्तविक मूल होता है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Thus, \((r-2)^2-9<0\), or \((r-2)^2<9\). This gives \(-3<r-2<3\), and hence \(-1<r<5\). At the endpoints \(r=-1\) and \(r=5\), \(D=0\), so the equation has one repeated real root; therefore option C is not correct. Exam tip: use \(D<0\) for no real roots, \(D=0\) for equal real roots, and \(D>0\) for two distinct real roots.
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If \\(m+4)x^2-2(m+2)x+m=0\\) with \\(m\ne -4\\), what will be the nature of its roots?
A. दो वास्तविक और असमान मूलTwo real and distinct roots
यहाँ \(a=m+4\), \(b=-2(m+2)\) और \(c=m\) हैं। शर्त \(m\ne-4\) से \(a\ne0\), इसलिए समीकरण वास्तव में द्विघात है। इसका विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=4(m+2)^2-4m(m+4)=16\) है। चूँकि \(\Delta>0\), मूल दो वास्तविक और असमान होंगे। समान मूलों के लिए \(\Delta=0\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\) और \(\Delta<0\) क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / Here, \(a=m+4\), \(b=-2(m+2)\), and \(c=m\). The condition \(m\ne-4\) ensures that \(a\ne0\), so the equation is genuinely quadratic. Its discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=4(m+2)^2-4m(m+4)=16\). Since \(\Delta>0\), the roots are real and distinct. Equal roots would require \(\Delta=0\), so option B is incorrect. Exam tip: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\), and \(\Delta<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
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A. a > −2
द्विघात समीकरण में कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर Δ < 0 होना चाहिए। यहाँ Δ = [−2(a + 1)]² − 4(a² + 4a + 5) = −8(a + 2)। अतः −8(a + 2) < 0 से a + 2 > 0, इसलिए a > −2। a = −2 पर Δ = 0 होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले Δ का सरलीकरण करें और फिर उसके चिह्न की शर्त लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies Δ < 0. Here, Δ = [−2(a + 1)]² − 4(a² + 4a + 5) = −8(a + 2). Thus, −8(a + 2) < 0 gives a + 2 > 0, so a > −2. When a = −2, Δ = 0, giving two equal real roots. Exam tip: simplify the discriminant completely before applying its sign condition.
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B. (11)
(x(x+3)=154) से (x=11) मिलता है। शब्द समस्या में चर का अर्थ साफ लिखना सबसे पहला कदम है। / (x(x+3)=154) gives (x=11). In a word problem, clearly writing what the variable means is the first step.
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B. 11
कुल पौधों की संख्या से \(x(x+5)=176\), अर्थात् \(x^2+5x-176=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-11)(x+16)=0\) है, इसलिए \(x=11\) या \(x=-16\)। कतारों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः सही उत्तर 11 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में केवल धनात्मक मूल को स्वीकार करें। विकल्प 16 ऋणात्मक मूल \(-16\) का परिमाण लेने के कारण गलत है। / The total number of plants gives \(x(x+5)=176\), or \(x^2+5x-176=0\). Factoring, \((x-11)(x+16)=0\), so \(x=11\) or \(x=-16\). Since the number of rows cannot be negative, the answer is 11. Exam tip: In such application problems, retain only the positive root. Option 16 is incorrect because it uses the magnitude of the negative root \(-16\).
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B. 9
कुल विद्यार्थियों के आधार पर \(x(x-1)=72\), अर्थात \(x^2-x-72=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-9)(x+8)=0\) है, इसलिए \(x=9\) या \(x=-8\)। बेंचों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः सही उत्तर 9 है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को व्यावहारिक अर्थ के कारण अस्वीकार करना याद रखें। / The total number of students gives \(x(x-1)=72\), or \(x^2-x-72=0\). Factoring, \((x-9)(x+8)=0\), so \(x=9\) or \(x=-8\). Since the number of benches cannot be negative, \(x=9\) is the valid answer. In word problems, remember to reject roots that have no practical meaning.
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B. (8)
(x(x+4)=96) से (x=8) है। व्यवस्था के प्रश्नों में कुल (=) पंक्तियाँ \(\times\) प्रति पंक्ति विद्यार्थी होता है। / (x(x+4)=96) gives (x=8). In arrangement questions, total (=) rows \(\times\) students per row.
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B. (10)
समीकरण (x(x+2)=120) है, जिससे (x=10) मिलता है। कुल मात्रा में समूहों की संख्या और प्रति समूह संख्या गुणा करें। / The equation is (x(x+2)=120), giving (x=10). For total quantity, multiply number of groups by number in each group.
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C. (11)
कुल अंक \(x \times x=x^2\) हैं, इसलिए \(x^2=121\) और (x=11)। संदर्भ में प्रश्नों की संख्या धनात्मक होती है। / Total marks are \(x \times x=x^2\), so \(x^2=121\) and (x=11). In context, the number of questions is positive.
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A positive number and (5) more than it have product (204). What is the larger number?
C. (17)
(x(x+5)=204) से (x=12) है, इसलिए बड़ी संख्या (17) है। उत्तर देते समय पूछा गया मान ही लिखें। / (x(x+5)=204) gives (x=12), so the larger number is (17). While answering, write only the value asked.
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B. 12
मान लें कि छोटी संख्या \(x\) है। तब दूसरी संख्या \(x+3\) होगी और \(x(x+3)=180\), अर्थात् \(x^2+3x-180=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-12)(x+15)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-15\)। धनात्मक संख्या होने के कारण \(x=12\) सही है। जाँच: \(12\times15=180\)। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में छोटी संख्या को \(x\) मानकर दूसरी संख्या को दिए गए अंतर के अनुसार \(x+3\) लिखें। / Let the smaller number be \(x\). The other number is \(x+3\), so \(x(x+3)=180\), or \(x^2+3x-180=0\). Factoring gives \((x-12)(x+15)=0\), so \(x=12\) or \(x=-15\). Since the number is positive, \(x=12\) is the valid answer. Check: \(12\times15=180\). Exam tip: In such word problems, represent the smaller number by \(x\) and express the other using the given difference, here \(x+3\).
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