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((x-2)2\ge 0), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। / ((x-2)2\ge 0), so the minimum value is (3).
Step 2
Why this answer is correct
परास \([3,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (x=1) और (x=3) पर मान समान है, इसलिए एकैकी नहीं है। / The range is \([3,\infty\)), equal to the codomain. Hence the function is onto. But (x=1) and (x=3) give the same value, so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का शीर्ष परास बताता है। / The vertex of a quadratic tells the range.
A. क्योंकि (5) प्रतिबिंब नहीं बनता/Because (5) is not an image
Step 1
Concept
([0,2]) पर \(x^2\) का अधिकतम मान (4) है। / On ([0,2]), the maximum value of \(x^2\) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([0,5]) है, लेकिन (5) जैसे सदस्य प्राप्त नहीं होते। इसलिए परास ([0,4]) सहप्रांत से छोटा है। / The codomain is ([0,5]), but elements like (5) are not obtained. Thus the range ([0,4]) is smaller than the codomain.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के अतिरिक्त हिस्से को पहचानना आच्छादी प्रश्नों में मदद करता है। / Identify the extra part of the codomain in onto questions.
([0,2]) पर \(x^2\) का परास ([0,4]) है। / On ([0,2]), the range of \(x^2\) is ([0,4]).
Step 2
Why this answer is correct
यह सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। ([0,2]) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / This equals the codomain, so the function is onto. On ([0,2]), \(x^2\) is increasing, so different (x) values give different images.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल पर अंतिम बिंदुओं से परास जल्दी मिलता है। / On a closed interval, endpoints often help find the range quickly.
A. हाँ, हर \(y\ge 0\) के लिए (x=y+1) है/Yes, for every \(y\ge 0\), (x=y+1)
Step 1
Concept
(y=x-1) रखने पर (x=y+1) मिलता है। / Put (y=x-1), so (x=y+1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(y\ge 0\), तो \(x\ge 1\), इसलिए (x) प्रांत में है। अतः सहप्रांत का हर सदस्य प्रतिबिंब बनता है। / If \(y\ge 0\), then \(x\ge 1\), so (x) lies in the domain. Hence every codomain element is an image.
Step 3
Exam Tip
अंतराल आधारित फलन में निकला हुआ (x) प्रांत में है या नहीं, यह जरूर जाँचें। / For interval-based functions, always check whether the obtained (x) lies in the domain.
\(y=3x^3-2\) से \(x=\sqrt[3]{\frac{y+2}{3}}\) मिलता है। / From \(y=3x^3-2\), we get \(x=\sqrt[3]{\frac{y+2}{3}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यह हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है, इसलिए फलन आच्छादी है। घन फलन बढ़ता है, इसलिए एकैकी भी है। / This is real for every real (y), so the function is onto. The cubic function is increasing, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है। / Cube roots are defined for every real number.
इस फलन का परास ((0,1]) है। / The range of this function is ((0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ((0,1]) है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (f(1)=f(-1)=\frac{1}{2}), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / The codomain is also ((0,1]), so the function is onto. But (f(1)=f(-1)=\frac{1}{2}), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सम फलन में (x) और (-x) के मान मिलाकर एकैकीपन जाँचें। / For even functions, compare values at (x) and (-x).
\(1+x^2\ge 1\), इसलिए \(\frac{1}{1+x^2}\le 1\) और हमेशा धनात्मक है। / Since \(1+x^2\ge 1\), \(\frac{1}{1+x^2}\le 1\) and is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास ((0,1]) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। इसलिए कई वास्तविक संख्याएँ जैसे (2) और (-1) नहीं मिलतीं। / Its range is ((0,1]), while the codomain is \(\mathbb{R}\). So many real numbers such as (2) and (-1) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
हर बार परास को ठीक-ठीक पहचानें। / Always identify the exact range.
किसी भी \(y\ne 0\) के लिए \(y=\frac{1}{x}\) से \(x=\frac{1}{y}\) मिलता है। / For any \(y\ne 0\), from \(y=\frac{1}{x}\), we get \(x=\frac{1}{y}\).
Step 2
Why this answer is correct
यह (x) भी शून्य नहीं है, इसलिए प्रांत में है। अतः फलन आच्छादी है। अलग (x) अलग \(\frac{1}{x}\) देते हैं, इसलिए एकैकी भी है। / This (x) is also non-zero, so it lies in the domain. Hence the function is onto. Different (x) values give different reciprocals, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन में शून्य को प्रांत और सहप्रांत से हटाना जरूरी है। / For reciprocal functions, removing zero from domain and codomain is essential.
\(y=\frac{x+1}{x-1}\) रखें। / Put \(y=\frac{x+1}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
हल करने पर \(x=\frac{y+1}{y-1}\) मिलता है। यह तब परिभाषित है जब \(y\ne 1\), और यही सहप्रांत है। इसलिए हर \(y\in\mathbb{R}\setminus{1}\) का पूर्वप्रतिबिंब है। / Solving gives \(x=\frac{y+1}{y-1}\). This is defined when \(y\ne 1\), which is exactly the codomain condition. So every \(y\in\mathbb{R}\setminus{1}\) has a preimage.
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलनों में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे साफ तरीका है। / For rational functions, solve for (x) in terms of (y).
(x) कितना भी बड़ा हो, \(\frac{x}{1+|x|}\) का मान (1) से कम रहता है। ऋणात्मक दिशा में यह (-1) से बड़ा रहता है। / However large (x) is, \(\frac{x}{1+|x|}\) remains less than (1). In the negative direction, it remains greater than (-1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास ((-1,1)) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। / So the range is ((-1,1)), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में सीमा जैसे मान अक्सर परास से बाहर रह जाते हैं। / In rational-type functions, limiting values often stay outside the range.
कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। / Total functions are \(2^3=8\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी नहीं होने वाले फलन केवल दो हैं, जिनमें सभी सदस्य (a) पर या सभी (b) पर जाते हैं। इसलिए आच्छादी फलन (8-2=6) हैं। / Only two functions are not onto: all elements map to (a), or all map to (b). Hence onto functions are (8-2=6).
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में गिनती करते समय पहले कुल फलन निकालें। / In small finite sets, first count total functions.
(B) के तीनों सदस्य (p,q,r) कम से कम एक बार प्रतिबिंब के रूप में आते हैं। / All three elements (p,q,r) of (B) appear at least once as images.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (2) और (3) दोनों (q) पर जाते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। / Hence the function is onto. But (2) and (3) both map to (q), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सीमित फलन में आच्छादी जाँचने के लिए सहप्रांत के सभी सदस्यों को चिह्नित करें। / For finite functions, mark all elements of the codomain while checking onto.
A. इसका परास \([1,\infty\)) है/Its range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^4\ge 0\), इसलिए \(x^4+1\ge 1\)। / \(x^4\ge 0\), so \(x^4+1\ge 1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है, लेकिन (0) और ऋणात्मक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं। इसलिए यह आच्छादी नहीं है। / The codomain is \(\mathbb{R}\), but (0) and negative numbers are not images. Therefore it is not onto.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले बहुपद में न्यूनतम मान पर ध्यान दें। / For even-degree polynomials, check the minimum value.
A. हाँ, क्योंकि घन बहुपद का परास \(\mathbb{R}\) है/Yes, because this cubic polynomial has range \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(x^3-x\) सतत घन बहुपद है। / \(x^3-x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए हर वास्तविक (y) के लिए कोई न कोई (x) मिलता है। / As \(x\to\infty\), its value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Therefore every real (y) is obtained.
Step 3
Exam Tip
विषम घात के प्रमुख पद वाले बहुपद अक्सर \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होते हैं। / Polynomials with odd leading degree are often onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
इस अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। / On this interval, \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
(x) जब \(-\frac{\pi}{2}\) के पास जाता है तो मान बहुत छोटा होता है और \(\frac{\pi}{2}\) के पास बहुत बड़ा होता है। इसलिए परास \(\mathbb{R}\) है। / As (x) approaches \(-\frac{\pi}{2}\), the value becomes very small, and near \(\frac{\pi}{2}\), it becomes very large. Hence the range is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
उचित अंतराल चुनने से त्रिकोणमितीय फलन आच्छादी और एकैकी बन सकता है। / Choosing a suitable interval can make a trigonometric function onto and one-one.
A. हाँ, क्योंकि \(\cos x\) का परास ([-1,1]) है/Yes, because the range of \(\cos x\) is ([-1,1])
Step 1
Concept
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी यही दिया गया है, इसलिए हर सहप्रांत सदस्य किसी न किसी (x) का प्रतिबिंब है। अतः फलन आच्छादी है। / The codomain is the same, so every codomain element is the image of some (x). Hence the function is onto.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी होने के लिए परास और सहप्रांत बराबर होने चाहिए। / For onto, the range must equal the codomain.
A. (f) आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं/(f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
\(\sin x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर \(\sin 0=\sin \pi=0\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / The codomain is also ([-1,1]), so the function is onto. But \(\sin 0=\sin \pi=0\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तता के कारण एकैकीपन अक्सर टूटता है। / Periodicity often breaks one-one nature in trigonometric functions.
\(\ln x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। / The range of \(\ln x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) मिलता है, जो प्रांत में है। इसलिए फलन आच्छादी है। \(\ln x\) बढ़ता हुआ है, इसलिए एकैकी भी है। / For any real (y), \(x=e^y>0\), which lies in the domain. So the function is onto. Since \(\ln x\) is increasing, it is also one-one.
Step 3
Exam Tip
\(\ln x\) और \(e^x\) के परास-प्रांत संबंध को याद रखें। / Remember the domain-range link between \(\ln x\) and \(e^x\).
\(e^x\) का मान हमेशा धनात्मक होता है और इसका परास (\(0,\infty\)) है। / \(e^x\) is always positive and its range is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए सहप्रांत के हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) वास्तविक है। इसलिए फलन आच्छादी है और बढ़ता हुआ होने से एकैकी भी है। / For every (y>0) in the codomain, \(x=\ln y\) is real. So the function is onto and also one-one because it is increasing.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन का परास याद रखें। / Remember the range of exponential functions.
A. हाँ, क्योंकि परास \([-1,\infty\)) है/Yes, because the range is \([-1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2-1\ge -1\)। / Since \(x^2\ge 0\), \(x^2-1\ge -1\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge -1\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लिया जा सकता है। अतः हर सहप्रांत सदस्य का पूर्वप्रतिबिंब है। / For any \(y\ge -1\), we can take \(x=\sqrt{y+1}\). Hence every codomain element has a preimage.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान देखकर द्विघात फलन का परास जल्दी मिल जाता है। / For quadratics, find the minimum value to get the range quickly.
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in[0,\infty\)) के लिए \(x=\sqrt{y}\) उसी प्रांत में है, इसलिए फलन आच्छादी है। अलग (x) अलग \(x^2\) देते हैं, इसलिए एकैकी भी है। / For any \(y\in[0,\infty\)), \(x=\sqrt{y}\) is in the domain, so the function is onto. Different (x) values give different squares, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से फलन की प्रकृति बदल सकती है। / Changing the domain can change the nature of a function.
(|x|) का परास \([0,\infty\)) है। / The range of (|x|) is \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यह दिए गए सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (|2|=|-2|), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / This equals the given codomain, so the function is onto. But (|2|=|-2|), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन में धनात्मक और ऋणात्मक मानों की जोड़ी देखना उपयोगी है। / For modulus functions, compare positive and negative input pairs.
स्थिर फलन में हर (x) का प्रतिबिंब केवल (5) होता है। / In a constant function, every (x) has the image (5).
Step 2
Why this answer is correct
परास ({5}) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। सहप्रांत के बाकी सदस्य जैसे (0) और (2) नहीं मिलते। / The range is ({5}), while the codomain is \(\mathbb{R}\). Other codomain elements such as (0) and (2) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर सामान्यतः आच्छादी नहीं होता। / A constant function is usually not onto over a large codomain.
A. हाँ, क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{y+7}{2}\) वास्तविक है/Yes, because for every real (y), \(x=\frac{y+7}{2}\) is real
Step 1
Concept
आच्छादी जाँचने के लिए (y=2x-7) लिखें। / To check onto, write (y=2x-7).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{y+7}{2}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। इसलिए सहप्रांत का हर सदस्य प्राप्त हो जाता है। / We get \(x=\frac{y+7}{2}\), which is real for every real (y). Thus every codomain element is obtained.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में ढाल शून्य न हो तो \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A linear function with non-zero slope is onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
A. क्योंकि (1) किसी भी (n) का प्रतिबिंब नहीं है/Because (1) is not the image of any (n)
Step 1
Concept
यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\) है, तो (n+1) का सबसे छोटा मान (2) है। / If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), the smallest value of (n+1) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का सदस्य (1) किसी भी (n) से नहीं मिलता। इसलिए परास सहप्रांत के बराबर नहीं है। / The codomain element (1) is not obtained from any (n). Hence the range is not equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं में सबसे छोटे मान पर विशेष ध्यान दें। / For natural numbers, check the smallest possible value carefully.
किसी भी पूर्णांक (y) के लिए (y=n+5) रखें। / For any integer (y), put (y=n+5).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (n=y-5), जो फिर से पूर्णांक है। इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है और फलन आच्छादी है। साथ ही अलग (n) अलग (n+5) देते हैं। / Then (n=y-5), which is also an integer. So every (y) has a preimage and the function is onto. Different (n) values also give different images.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों में जोड़ या घटाव वाले फलन अक्सर आच्छादी होते हैं। / Addition or subtraction functions on integers are often onto.
सहप्रांत (B) के दोनों सदस्य (a) और (b) प्रतिबिंब के रूप में मिल रहे हैं। / Both elements (a) and (b) of the codomain appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए फलन आच्छादी है। पर (2) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (b) है, इसलिए यह एकैकी नहीं है। / Hence the function is onto. But (2) and (3) have the same image (b), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में सहप्रांत के हर सदस्य को सूची में खोजें। / For finite sets, check whether every codomain element appears in the image list.
आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर सदस्य किसी न किसी प्रांत सदस्य का प्रतिबिंब होना चाहिए। / For onto, every element of the codomain must have a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
\(y=x^3+1\) से \(x=\sqrt[3]{y-1}\), जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। साथ ही \(x^3+1\) बढ़ता हुआ है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / From \(y=x^3+1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\), which is real for every real (y). The function is also increasing, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले (y=f(x)) लिखकर (x) को (y) के रूप में निकालें। / In exams, solve (y=f(x)) for (x).
\(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(f(a))=c)। यहां \(f(a)\in B\), इसलिए (c) का पूर्वप्रतिबिंब (g) के अंतर्गत मौजूद है। / Since \(g\circ f\) is onto, there is some \(a\in A\) such that (g(f(a))=c). Here \(f(a)\in B\), so (c) has a preimage under (g).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (g) आच्छादी होना जरूरी है। / Hence (g) must be onto.
