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स्थिर फलन (f(x)=5) हमेशा केवल (5) देता है। / The constant function (f(x)=5) always gives only (5).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) के बाकी मान जैसे (4) और (6) नहीं मिलते। / Other codomain values such as (4) and (6) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
यदि परास में केवल एक मान हो और सहक्षेत्र बड़ा हो तो फलन आच्छादक नहीं होगा। / If the range has only one value and the codomain is larger, the function is not onto.
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए समीकरण (y=2x+7) हल करें। / For any \(y\in\mathbb{R}\), solve (y=2x+7).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{y-7}{2}\) हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / \(x=\frac{y-7}{2}\) is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
शून्येतर ढाल वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है। / A non-zero-slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(|x|) का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / (|x|) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (-3) जैसे मान हैं जो (|x|) से नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-3), which cannot be obtained from (|x|).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन में ऋणात्मक लक्ष्य मान तुरंत आच्छादकता तोड़ देते हैं। / Negative target values quickly show that the modulus function is not onto over \(\mathbb{R}\).
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र भी (\(0,\infty\)) दिया है इसलिए हर लक्ष्य मान (y>0) के लिए \(x=\ln y\) मिल जाता है। / The codomain is also (\(0,\infty\)), so for every (y>0), \(x=\ln y\) exists.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में दिए गए सहक्षेत्र को अनदेखा न करें। / Never ignore the given codomain in onto problems.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) हमेशा (0) से बड़ा होता है। / \(e^x\) is always greater than (0).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ और (0) हैं जो परास में नहीं आतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers and (0), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में परास को याद रखना आच्छादकता के लिए बहुत जरूरी है। / Remembering the range of exponential functions helps in onto questions.
(f(n)=n+1) से मान \(2,3,4,\ldots\) मिलते हैं। / (f(n)=n+1) gives values \(2,3,4,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{N}\) में (1) है पर (1) किसी (n) से प्राप्त नहीं होता। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1), but (1) has no preimage.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रश्नों में पहला मान अलग से जाँचना उपयोगी होता है। / In natural-number questions, checking the first few codomain values is very helpful.
आच्छादक होने के लिए हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई \(x\in\mathbb{R}\) मिलना चाहिए। / For onto, every \(y\in\mathbb{R}\) must have some preimage \(x\in\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y=x^3-1\) से \(x=\sqrt[3]{y+1}\) मिलता है जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / From \(y=x^3-1\), we get \(x=\sqrt[3]{y+1}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में घन फलनों का परास ध्यान से देखें क्योंकि वे अक्सर पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं। / In exams, cubic functions often cover all real values.
किसी पूर्णांक को (3) से भाग देने पर शेष (0,1,2) में से ही एक होता है। / When an integer is divided by (3), the remainder is one of (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
ये तीनों शेष मिलते हैं, जैसे (f(3)=0), (f(4)=1), (f(5)=2)। इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन कई पूर्णांक समान शेष देते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। / All three remainders are obtained, for example (f(3)=0), (f(4)=1), and (f(5)=2). Hence the function is onto. But many integers give the same remainder, so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाले प्रश्नों में सभी संभव शेषों की सूची बनाइए। / In remainder-based questions, list all possible remainders.
A. क्योंकि (-1) और (1) प्रतिबिंब नहीं बनते/Because (-1) and (1) are not images
Step 1
Concept
\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) का मान (-1) से बड़ा और (1) से छोटा रहता है। / The value of \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) remains greater than (-1) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बहुत बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है, पर (1) बनता नहीं। इसी तरह (-1) भी नहीं मिलता। / For very large (x), the value approaches (1), but never becomes (1). Similarly, (-1) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
सीमा तक पहुँचना और सीमा मान प्राप्त करना अलग बातें हैं। / Approaching a limiting value and attaining it are different ideas.
इस फलन का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / The value of this function always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in(-1,1)\) के लिए \(x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\) वास्तविक है, इसलिए हर सहप्रांत सदस्य का पूर्वप्रतिबिंब है। यह फलन बढ़ता भी है, इसलिए एकैकी है। / For any \(y\in(-1,1)\), \(x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\) is real, so every codomain element has a preimage. The function is also increasing, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
भिन्न और वर्गमूल वाले फलन में पहले परास की सीमा पहचानें। / For fractional square-root functions, first identify the limiting range.
A. क्योंकि (2) प्रतिबिंब नहीं बनता/Because (2) is not an image
Step 1
Concept
([-1,1]) पर \(x^2\) का सबसे बड़ा मान (1) है। / On ([-1,1]), the greatest value of \(x^2\) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास ([0,1]) है, जबकि सहप्रांत ([0,2]) दिया गया है। सहप्रांत का सदस्य (2) किसी भी (x) से प्राप्त नहीं होता। / So the range is ([0,1]), while the codomain is ([0,2]). The codomain element (2) is not obtained from any (x).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँचते समय अधिकतम और न्यूनतम मान ध्यान से देखें। / While checking onto, observe maximum and minimum values carefully.
([-1,1]) पर \(x^2\) का परास ([0,1]) है। / On ([-1,1]), the range of \(x^2\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
यह दिए गए सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (f(-1)=f(1)=1), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / This equals the given codomain, so the function is onto. But (f(-1)=f(1)=1), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सम फलन में (x) और (-x) के मान जरूर मिलाएँ। / For even functions, compare values at (x) and (-x).
इस फलन का परास ([0,1)) है। / The range of this function is ([0,1)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([0,1)) है, इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (f(2)=f(-2)), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / The codomain is also ([0,1)), so the function is onto. But (f(2)=f(-2)), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
परास सही चुनने पर वही फलन आच्छादी बन सकता है। / With the correct codomain, the same function can become onto.
\(\frac{x^2}{1+x^2}\) हमेशा (0) या उससे अधिक और (1) से कम होता है। / \(\frac{x^2}{1+x^2}\) is always at least (0) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर (0) मिलता है, पर (1) किसी भी वास्तविक (x) से नहीं मिलता। इसलिए परास ([0,1)) है, सहप्रांत ([0,1]) नहीं। / At (x=0), we get (0), but (1) is not obtained for any real (x). So the range is ([0,1)), not the codomain ([0,1]).
Step 3
Exam Tip
सीमा मान और प्राप्त मान में अंतर रखें। / Distinguish between a limiting value and an attained value.
\(e^x>0\), इसलिए \(e^x+1>1\)। / Since \(e^x>0\), \(e^x+1>1\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (y>1) के लिए (x=\ln(y-1)) मिलता है, जो वास्तविक है। इसलिए फलन आच्छादी है। यह बढ़ता हुआ है, इसलिए एकैकी भी है। / For any (y>1), (x=\ln(y-1)), which is real. Hence the function is onto. It is increasing, so it is also one-one.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में ऊपर या नीचे खिसकाव से परास बदलता है। / Vertical shifts change the range of exponential functions.
सहप्रांत सभी विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। / The codomain is the set of all odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
हर विषम संख्या (y=2k-1) के रूप में लिखी जा सकती है, इसलिए (k) उसका पूर्वप्रतिबिंब है। अलग (n) अलग विषम संख्याएँ देते हैं। / Every odd number can be written as (y=2k-1), so (k) is its preimage. Different (n) values give different odd numbers.
Step 3
Exam Tip
जब सहप्रांत ठीक परास के बराबर हो, फलन आच्छादी होता है। / When the codomain exactly equals the range, the function is onto.
A. सम प्राकृतिक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं/Even natural numbers are not images
Step 1
Concept
(2n-1) हमेशा विषम प्राकृतिक संख्या देता है। / (2n-1) always gives an odd natural number.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (2,4,6) जैसी सम प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जो प्रतिबिंब नहीं बनतीं। इसलिए फलन आच्छादी नहीं है। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains even natural numbers such as (2,4,6), which are not images. Therefore the function is not onto.
Step 3
Exam Tip
सूत्र से मिलने वाले मानों के प्रकार को पहचानें। / Identify the type of values produced by the formula.
सहप्रांत केवल सम पूर्णांक हैं। / The codomain contains only even integers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी सम पूर्णांक (y) को (y=2k) लिखा जा सकता है, जहाँ \(k\in\mathbb{Z}\)। तब (f(k)=y), इसलिए फलन आच्छादी है। अलग (n) अलग (2n) देते हैं। / Any even integer (y) can be written as (y=2k), where \(k\in\mathbb{Z}\). Then (f(k)=y), so the function is onto. Different (n) values give different (2n).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से वही नियम आच्छादी बना सकता है। / Changing the codomain can make the same rule onto.
\(x^3+3x\) हर जगह बढ़ता हुआ है, क्योंकि (x) बढ़ने पर मान भी बढ़ता है। / \(x^3+3x\) is increasing everywhere, because as (x) increases, the value increases.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए हर वास्तविक (y) मिलता है और फलन आच्छादी है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Hence every real (y) is obtained and the function is onto.
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ घन फलन अक्सर आच्छादी और एकैकी दोनों होता है। / An increasing cubic is often both onto and one-one.
A. इसका परास \([1,\infty\)) है/Its range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2-4x+5=(x-2)2+1)। / (x-2-4x+5=(x-2)2+1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए न्यूनतम मान (1) है और परास \([1,\infty\)) है। सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। / So the minimum value is (1) and the range is \([1,\infty\)). The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूर्ण करने की विधि परास निकालने में बहुत उपयोगी है। / Completing the square is very useful for finding range.
दिए गए प्रांत में \(x\ge 4\), इसलिए (|x-4|=x-4)। / In the given domain, \(x\ge 4\), so (|x-4|=x-4).
Step 2
Why this answer is correct
फलन (f(x)=x-3) बन जाता है, जिसका परास \([1,\infty\)) है। यह सहप्रांत के बराबर है और बढ़ता हुआ भी है। / The function becomes (f(x)=x-3), whose range is \([1,\infty\)). This equals the codomain and is increasing.
Step 3
Exam Tip
मापांक हटाने से पहले प्रांत की शर्त देखें। / Before removing modulus, check the domain condition.
\(|x-4|\ge 0\), इसलिए (f(x)\ge 1)। / \(|x-4|\ge 0\), so (f(x)\ge 1).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge 1\) के लिए (|x-4|=y-1) का हल मिल जाता है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (x=3) और (x=5) पर मान समान है। / For every \(y\ge 1\), the equation (|x-4|=y-1) has a solution, so the function is onto. But (x=3) and (x=5) give the same value.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन अक्सर आच्छादी हो सकता है, पर एकैकी नहीं। / A modulus function can be onto but often not one-one.
A. हाँ, इसका परास (\(-\infty,4]\) है/Yes, its range is (\(-\infty,4]\)
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(4-x^2\le 4\)। / Since \(x^2\ge 0\), \(4-x^2\le 4\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान बहुत छोटे ऋणात्मक हो सकते हैं, इसलिए परास (\(-\infty,4]\) है। यह सहप्रांत के बराबर है। / For large (x), values become very negative, so the range is (\(-\infty,4]\). This equals the codomain.
Step 3
Exam Tip
नीचे खुलने वाले द्विघात में अधिकतम मान देखें। / For a downward-opening quadratic, check the maximum value.
