Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दोनों समुच्चयों में समान (2) सदस्य हैं। / Both sets have (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक होने के लिए दोनों लक्ष्य सदस्य मिलने चाहिए इसलिए फलन वास्तव में एक-एक मेल होगा। / To be onto, both target elements must be hit, so the function is a one-to-one pairing.
Step 3
Exam Tip
ऐसे मेलों की संख्या (2!=2) होती है। / The number of such pairings is (2!=2).
कुल फलनों की संख्या \(2^3=8\) है। / Total functions are \(2^3=8\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जिनका परास केवल एक सदस्य है ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions use only one codomain element, so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
अतः आच्छादक फलन (8-2=6) हैं और छोटे समुच्चयों में पूरक विधि तेज रहती है। / Therefore onto functions are (8-2=6); complement counting is quick for small sets.
B. नहीं क्योंकि (B) में अधिक सदस्य हैं/No because (B) has more elements
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में (B) के हर सदस्य को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every element of (B) needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (3) सदस्य हैं पर (B) में (4) सदस्य हैं इसलिए चारों को ढकना असंभव है। / (A) has (3) elements while (B) has (4), so all four elements cannot be covered.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में यदि (|A|<|B|) हो तो आच्छादक फलन नहीं बन सकता। / For finite sets, if (|A|<|B|), an onto function cannot exist.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/Not onto because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हर (x) के लिए सबसे बड़ा पूर्णांक देता है जो (x) से बड़ा नहीं होता। / \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer not greater than (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास \(\mathbb{Z}\) है \(\mathbb{R}\) नहीं। / Hence its range is \(\mathbb{Z}\), not \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
मंजिल फलन में दशमलव लक्ष्य मान कभी नहीं मिलते। / For the floor function, decimal target values are never obtained.
(x=0) पर मान (1) मिलता है। / At (x=0), the value (1) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता इसलिए परास ((0,1]) है। / As (x) grows large, the value approaches (0) but never becomes (0), so the range is ((0,1]).
Step 3
Exam Tip
सीमा पर मिले या न मिले यह आच्छादकता में महत्वपूर्ण है। / Whether a boundary value is attained matters in onto questions.
\(1+x^2\ge 1\) इसलिए \(\frac{1}{1+x^2}\) (0) से बड़ा और (1) तक होता है। / Since \(1+x^2\ge 1\), \(\frac{1}{1+x^2}\) is greater than (0) and at most (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास ((0,1]) है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। / Its range is ((0,1]), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न फलन में हर का न्यूनतम मान परास समझने में मदद करता है। / For rational functions, the minimum denominator helps determine the range.
(2n-1) सभी विषम प्राकृतिक संख्याएँ देता है। / (2n-1) gives all odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र भी विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। / The codomain is also the set of odd natural numbers.
Step 3
Exam Tip
यदि लक्ष्य समुच्चय वही है जो सूत्र वास्तव में देता है तो फलन आच्छादक होता है। / If the target set is exactly what the formula produces, the function is onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि सम प्राकृतिक संख्याएँ नहीं मिलतीं/Not onto because even natural numbers are not obtained
Step 1
Concept
(2n-1) हमेशा विषम प्राकृतिक संख्या देता है। / (2n-1) always gives an odd natural number.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{N}\) में \(2,4,6,\ldots\) जैसे सम मान भी हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{N}\) also contains even values \(2,4,6,\ldots\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
जब सूत्र केवल विषम या सम मान देता हो तो आच्छादकता सावधानी से जाँचें। / When a formula gives only odd or even values, check onto carefully.
\(2\mathbb{Z}\) सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय है। / \(2\mathbb{Z}\) is the set of all even integers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी सम पूर्णांक (y) के लिए (y=2k) होगा और (x=k) लेने पर (f(x)=y)। / Any even integer (y) can be written as (y=2k), and taking (x=k) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
सहक्षेत्र को सम पूर्णांकों तक रखने पर यह फलन आच्छादक हो जाता है। / With codomain restricted to even integers, this function is onto.
(f(x)=\left\(x-\frac{1}{2}\right\)2-\frac{1}{4}) है। / (f(x)=\left\(x-\frac{1}{2}\right\)2-\frac{1}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास \(\left[-\frac{1}{4},\infty\right\)) है और यही सहक्षेत्र दिया गया है। / Its range is \(\left[-\frac{1}{4},\infty\right\)), exactly the given codomain.
Step 3
Exam Tip
परास और सहक्षेत्र बराबर मिलते ही आच्छादकता सिद्ध हो जाती है। / Once range and codomain match, onto is proved.
\(\tan x\) इस खुले अंतराल पर परिभाषित है। / \(\tan x\) is defined on this open interval.
Step 2
Why this answer is correct
(x) जैसे-जैसे सिरों के पास जाता है मान \(-\infty\) से \(\infty\) तक सभी वास्तविक मान लेता है। / As (x) approaches the ends, the values cover all real numbers from \(-\infty\) to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन में चुना गया अंतराल बहुत महत्वपूर्ण होता है। / The chosen interval is very important for trigonometric functions.
A. यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर परिभाषित नहीं है/It is not defined on all of \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(\tan x\) \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\) पर परिभाषित नहीं होता। / \(\tan x\) is not defined at \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसे \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) तक फलन की तरह सीधे नहीं माना जा सकता। / So it cannot directly be treated as a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता से पहले यह जाँचें कि दिया गया नियम पूरे प्रांत पर परिभाषित है या नहीं। / Before testing onto, check whether the rule is defined on the entire domain.
\(x^3+x\) एक सतत बढ़ता हुआ फलन है क्योंकि \(3x^2+1>0\)। / \(x^3+x\) is a continuous increasing function because \(3x^2+1>0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to \infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to -\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to \infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to -\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं। / Such cubic functions cover all real values.
A. हर \(b\in B\) के लिए कोई \(a\in A\) हो जिससे (f(a)=b)/For every \(b\in B\), there exists \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
आच्छादकता सहक्षेत्र के हर सदस्य से जुड़ी शर्त है। / Onto is a condition about every element of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
यदि हर \(b\in B\) किसी \(a\in A\) का प्रतिबिंब है तो परास (B) के बराबर है। / If every \(b\in B\) is the image of some \(a\in A\), then range equals (B).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा वाले प्रश्नों में (B) से शुरू होने वाली शर्त पहचानें। / In definition questions, identify the statement that starts from the codomain.
सहक्षेत्र (B) के सदस्य (p) और (q) हैं। / The codomain (B) has elements (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
(p) भी मिलता है और (q) भी मिलता है इसलिए कोई सदस्य छूटा नहीं। / Both (p) and (q) are obtained, so no codomain element is missed.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता के लिए अलग-अलग पूर्वप्रतिबिंब जरूरी नहीं बस हर सहक्षेत्र सदस्य मिलना चाहिए। / Onto does not require distinct preimages, only that every codomain element is hit.
