Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल फलन \(2^5=32\) हैं। / Total functions are \(2^5=32\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जिनमें सभी (5) सदस्य एक ही लक्ष्य पर जाएँ ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions send all (5) elements to just one target; there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादक फलन (32-2=30) हैं। / Therefore onto functions are (32-2=30).
यह फलन हमेशा (0) और (1) के बीच मान देता है। / This function always gives a value between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in(0,1)\) के लिए (x=\ln\left\(\frac{y}{1-y}\right\)) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\in(0,1)\), taking (x=\ln\left\(\frac{y}{1-y}\right\)) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
कठिन आच्छादकता में लक्ष्य (y) से (x) निकालना बहुत उपयोगी है। / In hard onto questions, solving for (x) from target (y) is very useful.
C. आच्छादक है क्योंकि हर धनात्मक लक्ष्य (y) के लिए \(x=e^y\) है/Onto because for every positive target (y), \(x=e^y\) works
Step 1
Concept
सहक्षेत्र केवल (\(0,\infty\)) है इसलिए धनात्मक लक्ष्य मान ही जाँचने हैं। / The codomain is only (\(0,\infty\)), so only positive target values must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
हर (y>0) के लिए \(x=e^y>0\) और \(\ln x=y\) होता है। / For every (y>0), \(x=e^y>0\) and \(\ln x=y\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में सहक्षेत्र के बाहर के मानों की चिंता नहीं की जाती। / For onto, values outside the codomain do not matter.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([1,\infty\)) है/Not onto because range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\) इसलिए \(e^{x^2}\ge1\)। / Since \(x^2\ge0\), \(e^{x^2}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में घात का न्यूनतम मान परास तय करता है। / For exponential functions, the minimum of the exponent decides the range.
\(x^3+a x\) विषम घात का बहुपद है। / \(x^3+a x\) is an odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
अग्र पद \(x^3\) होने से \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) जाता है। / Since the leading term is \(x^3\), the value goes to \(\infty\) as \(x\to\infty\) and to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\).
Step 3
Exam Tip
सतत विषम घात बहुपद \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है। / A continuous odd-degree polynomial from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
B. किसी भी वास्तविक (a) के लिए आच्छादक नहीं है/Not onto for any real (a)
Step 1
Concept
(a=0) पर फलन स्थिर है। / If (a=0), the function is constant.
Step 2
Why this answer is correct
(a>0) पर परास \([1,\infty\)) और (a<0) पर परास (\(-\infty,1]\) होता है। / If (a>0), the range is \([1,\infty\)), and if (a<0), the range is (\(-\infty,1]\).
Step 3
Exam Tip
इनमें से कोई भी परास पूरे \(\mathbb{R}\) के बराबर नहीं है। / None of these ranges equals all of \(\mathbb{R}\).
\(t=x^2\ge0\) रखने पर फलन \(\frac{t+1}{t+2}\) बनता है। / Put \(t=x^2\ge0\), so the function becomes \(\frac{t+1}{t+2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(t=0) पर \(\frac{1}{2}\) और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं आता। / At (t=0), the value is \(\frac{1}{2}\), and as \(t\to\infty\), it approaches (1) without reaching it.
Step 3
Exam Tip
\(x^2\) को (t) मानकर कठिन परास प्रश्न सरल हो जाते हैं। / Replacing \(x^2\) by (t) simplifies hard range questions.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है/Not onto because range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\))
Step 1
Concept
(x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। / As (x) becomes large, the value approaches (1) but never becomes (1).
Step 3
Exam Tip
भिन्न में सीमा और वास्तविक प्राप्त मान दोनों अलग-अलग जाँचें। / In rational expressions, check both the limiting value and the actually attained values.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता/Not onto because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x+1}{x+2}=1\) मानने पर (x+1=x+2) मिलता है जो असंभव है। / If \(\frac{x+1}{x+2}=1\), then (x+1=x+2), which is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (1) परास में नहीं है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। / Thus (1) is not in the range, while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक भिन्न फलन में क्षैतिज सीमा अक्सर छूटा हुआ मान बताती है। / In linear fractional functions, the horizontal limiting value often indicates the missing value.
\(x+\frac{1}{x}\) का न्यूनतम मान (2) है जो (x=1) पर मिलता है। / The minimum value of \(x+\frac{1}{x}\) is (2), attained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to0^+\) या \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है इसलिए \([2,\infty\)) पूरा मिलता है। / As \(x\to0^+\) or \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), so all of \([2,\infty\)) is obtained.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान मिलने के बाद सहक्षेत्र से तुलना करें। / After finding the minimum, compare it with the codomain.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([2,\infty\)) है/Not onto because range is \([2,\infty\))
Step 1
Concept
(x>0) के लिए \(x+\frac{1}{x}\ge 2\) होता है। / For (x>0), \(x+\frac{1}{x}\ge 2\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (1) और ऋणात्मक संख्याएँ हैं जो नहीं मिलतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1) and negative numbers, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
\(x+\frac{1}{x}\) में न्यूनतम मान पहचानना परीक्षा में बहुत उपयोगी है। / Identifying the minimum of \(x+\frac{1}{x}\) is very useful in exams.
\(\cos x\) सीमित है और (x) असीम दिशा में बढ़ता या घटता है। / \(\cos x\) is bounded, while (x) grows without bound in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x-\cos x\) का मान भी दोनों दिशाओं में असीम जाता है और फलन सतत है। / Hence \(x-\cos x\) also goes without bound in both directions and is continuous.
Step 3
Exam Tip
सततता और अंत व्यवहार मिलकर आच्छादकता सिद्ध कर सकते हैं। / Continuity plus end behavior can prove onto.
\(x+\sin x\) सतत फलन है। / \(x+\sin x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर यह \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है क्योंकि (x) वाला भाग प्रमुख है। / As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), because the (x)-term dominates.
Step 3
Exam Tip
सीमित त्रिकोणमितीय भाग के साथ (x) जुड़ा हो तो अंत व्यवहार देखें। / When a bounded trigonometric term is added to (x), check end behavior.
इसका परास \([-4,\infty\)) है और वही सहक्षेत्र दिया गया है। / Its range is \([-4,\infty\)), exactly the given codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में सूत्र से अधिक महत्वपूर्ण परास और सहक्षेत्र की बराबरी है। / For onto, the equality of range and codomain is more important than the formula alone.
यह विषम घात का बहुपद है जिसका अग्र गुणांक धनात्मक है। / This is an odd-degree polynomial with positive leading coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है इसलिए हर वास्तविक लक्ष्य मान मिल जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), so every real target value is obtained.
Step 3
Exam Tip
कठिन प्रश्नों में भी विषम घात बहुपद का अंत व्यवहार जल्दी पहचानें। / In hard questions, first check the end behavior of odd-degree polynomials.
\(x\in[-2,2]\) होने पर \(x^2\) का मान (0) से (4) तक होता है। / When \(x\in[-2,2]\), \(x^2\) takes values from (0) to (4).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in[0,4]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) लेने पर \(x\in[-2,2]\) और (f(x)=y) मिल जाता है। / For any \(y\in[0,4]\), taking \(x=\sqrt{y}\) gives \(x\in[-2,2]\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में प्रांत और सहक्षेत्र दोनों देखकर ही आच्छादकता तय करें। / In exams, decide onto only after checking both the domain and the codomain.
