Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) होता है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी (\(0,\infty\)) है, इसलिए हर धनात्मक (y) के लिए \(x=\ln y\) मिलता है। / The codomain is also (\(0,\infty\)), so every positive (y) has preimage \(x=\ln y\).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में (0) परास का भाग नहीं होता, इसलिए सहप्रांत ध्यान से पढ़ें। / In exponential functions, (0) is not in the range, so read the codomain carefully.
\(x\ge 0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}) और (x<0) पर (f(x)=\frac{x}{1-x}) है। / For \(x\ge 0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), and for (x<0), (f(x)=\frac{x}{1-x}).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in(-1,1)\) के लिए उपयुक्त \(x=\frac{y}{1-y}\) जब \(y\ge0\), और \(x=\frac{y}{1+y}\) जब (y<0) लिया जा सकता है। / For any \(y\in(-1,1)\), choose \(x=\frac{y}{1-y}\) when \(y\ge0\), and \(x=\frac{y}{1+y}\) when (y<0).
Step 3
Exam Tip
टुकड़ों में दिए फलन में चिन्ह के अनुसार पूर्वप्रतिबिंब खोजें। / For piecewise-looking expressions, find the preimage according to sign.
A. क्योंकि (1) का पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (1) has no preimage
Step 1
Concept
(f(x)=x-2+2) का मान हमेशा (2) या उससे बड़ा होता है। / The value of (f(x)=x-2+2) is always at least (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है, पर कोई वास्तविक (x) ऐसा नहीं कि \(x^2+2=1\)। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), but no real (x) satisfies \(x^2+2=1\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँच में एक भी छूटा हुआ सहप्रांत तत्व पर्याप्त है। / For onto checking, one missing codomain element is enough.
\(x\ge0\) पर \(x^2\) से सभी अरिणात्मक वास्तविक मान मिलते हैं। / For \(x\ge0\), \(x^2\) gives all non-negative real values.
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर \(-x^2\) से सभी ऋणात्मक वास्तविक मान मिलते हैं और (0) पहले भाग से मिल जाता है। / For (x<0), \(-x^2\) gives all negative real values, and (0) is obtained from the first part.
Step 3
Exam Tip
खंडों में दिए फलन में हर खंड का परास अलग निकालकर उनका सम्मिलित परास देखें। / For a piecewise function, find the range of each part and then take their union.
\(x\to-\infty\) पर \(x^3\) के कारण मान \(-\infty\) की ओर जाता है और \(x\to\infty\) पर दोनों पद मिलकर \(\infty\) की ओर जाते हैं। / As \(x\to-\infty\), the \(x^3\) term makes the value go to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), both terms make it go to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
जब सतत फलन दोनों दिशाओं में असीम जाता है तो वह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है। / When a continuous function goes unbounded in both directions, it is onto \(\mathbb{R}\).
हर \(y\ge0\) के लिए \(x=1-\sqrt{y}\) लेने पर \(x\le1\) और (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge0\), taking \(x=1-\sqrt{y}\) gives \(x\le1\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन की अलग शाखा भी सही सहक्षेत्र पर आच्छादक हो सकती है। / A different branch of a quadratic can also be onto for a suitable codomain.
\(x\ge1\) होने पर \(x-1\ge0\) और हर \(y\ge0\) के लिए \(x=1+\sqrt{y}\) लिया जा सकता है। / Since \(x\ge1\), \(x-1\ge0\), and for every \(y\ge0\), take \(x=1+\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत की सीमा को ध्यान में रखकर पूर्वप्रतिबिंब चुनें। / Choose the preimage while respecting the domain restriction.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([1,\infty\)) है/Not onto because range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^2+1\ge1\) इसलिए \(\sqrt{x^2+1}\ge1\)। / Since \(x^2+1\ge1\), \(\sqrt{x^2+1}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन में अंदर की न्यूनतम मात्रा परास तय करती है। / For square-root functions, the minimum of the inside expression determines the range.
इस मापांक योग का न्यूनतम मान (4) है। / The minimum value of this modulus sum is (4).
Step 2
Why this answer is correct
(|x|) बड़ा होने पर मान अनंत तक बढ़ सकता है इसलिए (4) से ऊपर के सभी मान मिलते हैं। / As (|x|) becomes large, the value can grow without bound, so all values above (4) are obtained.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक परास सहक्षेत्र के बराबर हो तो फलन आच्छादक है। / If the actual range equals the codomain, the function is onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([4,\infty\)) है/Not onto because range is \([4,\infty\))
Step 1
Concept
दो बिंदुओं (-2) और (2) से दूरी का योग कम से कम (4) होता है। / The sum of distances from (-2) and (2) is at least (4).
Step 2
Why this answer is correct
([-2,2]) के बीच मान (4) और बाहर जाने पर इससे बड़े मान मिलते हैं। / Between (-2) and (2), the value is (4), and outside this interval larger values are obtained.
Step 3
Exam Tip
मापांक योग में दूरी का अर्थ समझना परास निकालने में मदद करता है। / Interpreting modulus as distance helps find the range.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/Not onto because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lceil x\rceil\) का मान हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lceil x\rceil\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
मंजिल या छत फलन में सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) हो तो आच्छादकता सावधानी से देखें। / For floor or ceiling functions with codomain \(\mathbb{R}\), check onto carefully.
\(\lceil x\rceil\) हर (x) के लिए कोई पूर्णांक देता है। / \(\lceil x\rceil\) gives an integer for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) लेने पर \(\lceil x\rceil=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), taking (x=k) gives \(\lceil x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
छत फलन का सहक्षेत्र \(\mathbb{Z}\) हो तो हर पूर्णांक प्राप्त होता है। / When the codomain of the ceiling function is \(\mathbb{Z}\), every integer is obtained.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि हर अरिणात्मक पूर्णांक वर्ग नहीं होता/Not onto because every non-negative integer is not a square
Step 1
Concept
\(n^2\) केवल पूर्ण वर्ग देता है जैसे (0,1,4,9)। / \(n^2\) gives only perfect squares such as (0,1,4,9).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र में (2) और (3) जैसे अरिणात्मक पूर्णांक हैं जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / The codomain contains non-negative integers like (2) and (3), which are not perfect squares.
Step 3
Exam Tip
सहक्षेत्र अरिणात्मक होने पर भी सभी मान मिलें यह जरूरी नहीं। / Even with a non-negative codomain, not every value must be obtained.
C. आच्छादक है क्योंकि हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) है/Onto because for every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt[3]{y}\) works
Step 1
Concept
सहक्षेत्र ([0,1]) है इसलिए केवल (0) से (1) तक के लक्ष्य मान जाँचने हैं। / The codomain is ([0,1]), so only target values from (0) to (1) must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) भी ([-1,1]) में है। / For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt[3]{y}\) also lies in ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता सहक्षेत्र पर जाँची जाती है पूरे संभावित परास पर नहीं। / Onto is checked against the codomain, not against extra values outside it.
\(x^3\) ([-1,1]) पर लगातार बढ़ता है। / \(x^3\) is continuously increasing on ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
(x=-1) पर (-1) और (x=1) पर (1) मिलता है इसलिए बीच के सभी मान भी मिलते हैं। / At (x=-1), it gives (-1), and at (x=1), it gives (1), so all intermediate values are obtained.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल पर सतत बढ़ते फलन का परास सिरों से मिल जाता है। / For a continuous increasing function on a closed interval, the range comes from endpoint values.
\(x^5-x\) सतत विषम घात बहुपद है। / \(x^5-x\) is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
बीच में मोड़ हों तो भी सततता और अंत व्यवहार पूरे \(\mathbb{R}\) को ढक सकते हैं। / Even with turning points, continuity and end behavior can cover all of \(\mathbb{R}\).
यह सतत विषम घात का बहुपद है। / This is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अवकलज \(5x^4+3x^2+1>0\) है इसलिए यह लगातार बढ़ता है और दोनों अनंत दिशाएँ ढकता है। / Its derivative \(5x^4+3x^2+1>0\), so it is strictly increasing and covers both infinite directions.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते हुए बहुपद में परास पहचानना आसान हो जाता है। / For increasing polynomials, identifying the range becomes easier.
\(g\circ f\) आच्छादक होने से (g) का पर्याप्त भाग (C) को ढकता है। / If \(g\circ f\) is onto, a sufficient part of (g)'s domain covers (C).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (f) का पूरा (B) ढकना जरूरी नहीं सिद्ध होता। / This does not prove that (f) covers the whole of (B).
Step 3
Exam Tip
संयोजन के उल्टे निष्कर्षों में केवल वही बात मानें जो तर्क से अनिवार्य हो। / In reverse conclusions about composition, accept only what is logically forced.
\(g\circ f\) आच्छादक है तो हर \(c\in C\) के लिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(f(a))=c)। / If \(g\circ f\) is onto, then for every \(c\in C\), there is \(a\in A\) such that (g(f(a))=c).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (f(a)) कोई (B) का सदस्य है इसलिए (g) से (c) मिल रहा है। / Here (f(a)) is an element of (B), so (g) produces (c).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (C) का हर सदस्य (g) के परास में है और (g) आच्छादक है। / Hence every element of (C) is in the range of (g), so (g) is onto.
(C) के किसी भी (c) के लिए (g) आच्छादक होने से कोई \(b\in B\) है जिससे (g(b)=c)। / For any \(c\in C\), since (g) is onto, there is \(b\in B\) such that (g(b)=c).
Step 2
Why this answer is correct
(f) आच्छादक होने से उस (b) के लिए कोई \(a\in A\) है जिससे (f(a)=b)। / Since (f) is onto, for that (b), there is \(a\in A\) such that (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
तब (g(f(a))=c) इसलिए संयोजन आच्छादक है। / Then (g(f(a))=c), so the composition is onto.
