Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि (k=0), तो फलन स्थिर (3) बन जाएगा और सभी वास्तविक मान नहीं देगा। / If (k=0), the function becomes the constant (3), so it cannot give all real values.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(k\ne0\), तो किसी भी (y) के लिए \(x=\frac{y-3}{k}\) मिल जाता है। / If \(k\ne0\), for any (y), \(x=\frac{y-3}{k}\) exists.
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में रैखिक फलन आच्छादी तभी होता है जब ढाल शून्य न हो। / A linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto exactly when its slope is non-zero.
आच्छादीपन जांचने के लिए (f(x)=y) रखें। / To test onto nature, put (f(x)=y).
Step 2
Why this answer is correct
(5x-11=y) से \(x=\frac{y+11}{5}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / From (5x-11=y), we get \(x=\frac{y+11}{5}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे सरल तरीका है। / For a linear function, solving (x) in terms of (y) is the easiest method.
((x+4)2\ge0), इसलिए (f(x)\ge9)। / Since ((x+4)2\ge0), (f(x)\ge9).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge9\) के लिए \(x=-4+\sqrt{y-9}\) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge9\), take \(x=-4+\sqrt{y-9}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का न्यूनतम मान सहप्रांत की शुरुआत से मेल खाए, तो फलन आच्छादी होता है। / When the minimum value of a quadratic matches the start of the codomain, the function is onto.
\(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-1\ge-1\)। / Since \(x^2\ge0\), we have \(x^2-1\ge-1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge-1\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge-1\), take \(x=\sqrt{y+1}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का न्यूनतम मान और सहप्रांत मिल जाएं, तो आच्छादीपन आसानी से जांचा जा सकता है। / If the minimum value of a quadratic matches the codomain start, onto nature is easy to verify.
आच्छादी होने के लिए सहप्रांत का हर मान मिलना चाहिए। / For onto nature, every value of the codomain must be obtained.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x=y+9) रखें, तब (f(x)=y) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take (x=y+9), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में गैर-शून्य ढाल वाला रैखिक फलन आच्छादी होता है। / A non-zero slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
आच्छादी होने के लिए सहप्रांत का हर मान फलन से मिलना चाहिए। / For onto nature, every value of the codomain must be obtained.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x=y-5) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take (x=y-5), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन (ax+b) में \(a\ne0\) हो तो \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A linear function (ax+b) with \(a\ne0\) is onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर तत्व किसी न किसी प्रांत तत्व की छवि होना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be an image of some domain element.
Step 2
Why this answer is correct
(A) के (5) तत्व अधिक से अधिक (5) अलग छवियाँ दे सकते हैं। / The (5) elements of (A) can cover at most (5) distinct elements.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (B) में अधिकतम (5) तत्व हो सकते हैं। / Hence the maximum possible size of (B) is (5).
B. ऐसा फलन संभव नहीं है/Such a function is not possible
Step 1
Concept
आच्छादी फलन में (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव से आना चाहिए। / For an onto function, every element of (B) must be hit by some element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (3) अवयव हैं पर (B) में (4), इसलिए सभी को ढकना संभव नहीं। / (A) has (3) elements but (B) has (4), so this is impossible.
Step 3
Exam Tip
आच्छादिता के लिए सीमित समुच्चयों में प्रांत का आकार सहप्रांत से कम नहीं होना चाहिए। / For finite sets, the domain must not be smaller than the codomain for onto functions.
हर \(y\geq 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) लेने पर (f(x)=y), इसलिए आच्छादी है। / For every \(y\geq 0\), choosing \(x=\sqrt{y}\) gives (f(x)=y), so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)), इसलिए एकैकी नहीं है। / Since (f(1)=f(-1)), it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
प्रांत और सहप्रांत बदलने से आच्छादिता बदल सकती है। / The codomain strongly affects onto behaviour.
A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ प्रान्त में (2) अवयव हैं और सहप्रान्त में (4) अवयव हैं। / Here the domain has (2) elements and the codomain has (4) elements.
Step 3
Exam Tip
दो आगत चार अलग अवयवों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा। / Two inputs cannot cover four different codomain elements, so no onto function exists.
A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ प्रान्त में (3) अवयव हैं, पर सहप्रान्त में (4) अवयव हैं। / Here the domain has (3) elements, but the codomain has (4).
Step 3
Exam Tip
तीन आगत चार अलग अवयवों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा। / Three inputs cannot cover four different codomain elements, so no onto function exists.
A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ प्रान्त में केवल (2) अवयव हैं, जबकि सहप्रान्त में (3) अवयव हैं। / Here the domain has only (2) elements, while the codomain has (3).
Step 3
Exam Tip
दो आगत तीन अलग छवियों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा। / Two inputs cannot cover three distinct codomain elements, so no onto function exists.
