When the base is same, exponents are subtracted, so \(\frac{5^6}{5^2}=5^{6-2}=5^4\). For same-base division, subtract exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(5^4\). When the base is same, exponents are subtracted, so \(\frac{5^6}{5^2}=5^{6-2}=5^4\). For same-base division, subtract exponents.
Step 3
Exam Tip
एक ही आधार में भाग करने पर घातें घटती हैं इसलिए \(\frac{5^6}{5^2}=5^{6-2}=5^4\)। भाग में आधार समान हो तो घात घटाएँ।
When the base is same, exponents are added, so \(2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7\). In exams, add exponents for same-base multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^7\). When the base is same, exponents are added, so \(2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7\). In exams, add exponents for same-base multiplication.
Step 3
Exam Tip
एक ही आधार में गुणा करने पर घातें जुड़ती हैं इसलिए \(2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7\)। परीक्षा में आधार समान हो तो घात जोड़ें।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (9). In exams, use the larger exponent instead of adding exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (9) स्थान / (9) places. The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (9). In exams, use the larger exponent instead of adding exponents.
Step 3
Exam Tip
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (9) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की जगह बड़ी घात देखें।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (8). In exams, use the larger exponent, not the sum.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (8) स्थान / (8) places. The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (8). In exams, use the larger exponent, not the sum.
Step 3
Exam Tip
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (8) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों का योग नहीं बड़ी घात देखें।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (7). In exams, do not add the exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (7) स्थान / (7) places. The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (7). In exams, do not add the exponents.
Step 3
Exam Tip
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (7) होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की गलती न करें।
Since (a>b), the larger exponent is (a). For exactly (6) decimal places, (a=6).
Step 3
Exam Tip
When a comparison is given, identify the larger exponent immediately. चरण 1: हर में केवल (2) और (5) की घातें हैं। चरण 2: (a>b) होने से बड़ी घात (a) है। ठीक (6) स्थानों के लिए (a=6) होगा। चरण 3: तुलना दी हो तो बड़ी घात तुरंत पहचानें।
The denominator has only powers of (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The number of decimal places equals the larger of (a) and (b). For exactly (8) places, (\max(a,b)=8).
Step 3
Exam Tip
Remember the larger exponent in such questions. चरण 1: हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है, इसलिए दशमलव सांत है। चरण 2: दशमलव स्थानों की संख्या (a) और (b) में बड़ी घात के बराबर होती है। ठीक (8) स्थानों के लिए (\max(a,b)=8) होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्न में अधिकतम घात याद रखें।
The reduced denominator contains (3), a prime other than (2) and (5). Hence the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
When the numerator is (1), the denominator test is direct. चरण 1: अंश (1) है, इसलिए हर का \(3^c\) कट नहीं सकता। चरण 2: सरलतम हर में (3) बचता है, जो (2) और (5) से अलग अभाज्य गुणनखंड है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: अंश (1) हो तो हर की जाँच सीधी होती है।
A. \(r\leq 8\) और \(s\leq 8\)/\(r\leq 8\) and \(s\leq 8\)
Step 1
Concept
\(10^8=2^8\cdot 5^8\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator \(2^r5^s\) must divide \(10^8\), so \(r\leq 8\) and \(s\leq 8\).
Step 3
Exam Tip
When converting to denominator \(10^k\), remember the divisor condition. चरण 1: \(10^8=2^8\cdot 5^8\) है। चरण 2: हर \(2^r5^s\) को \(10^8\) का भाजक होना चाहिए, इसलिए \(r\leq 8\) और \(s\leq 8\)। चरण 3: हर को \(10^k\) में बदलते समय भाजक की शर्त याद रखें।
The number of decimal places is the larger of (4) and (n). For exactly (7) places, (n=7).
Step 3
Exam Tip
When the word exactly appears, match the larger exponent carefully. चरण 1: हर में केवल (2) और (5) की घातें हैं। चरण 2: दशमलव स्थानों की संख्या (4) और (n) में बड़ी घात होगी। ठीक (7) स्थानों के लिए (n=7) चाहिए। चरण 3: ठीक शब्द आए तो बड़ी घात को बराबर मिलाइए।
The denominator is \(2^6\cdot 5^3\), and the fraction is in lowest form because (37) does not cancel.
Step 2
Why this answer is correct
The larger exponent is (6), so the decimal terminates after (6) places.
Step 3
Exam Tip
Do not add the exponents for decimal places. चरण 1: हर \(2^6\cdot 5^3\) है और भिन्न सरलतम है क्योंकि (37) इनमें से किसी से नहीं कटता। चरण 2: बड़ी घात (6) है, इसलिए दशमलव (6) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: घातों को जोड़ने की गलती न करें।
The denominator is \(2^m5^n\), and the power of (5) is larger.
Step 2
Why this answer is correct
To make \(10^n=2^n5^n\), the power of (2) must be increased to (n). So multiply by \(2^{n-m}\).
Step 3
Exam Tip
First identify which prime power is short. चरण 1: हर \(2^m5^n\) है और (5) की घात अधिक है। चरण 2: \(10^n=2^n5^n\) बनाने के लिए (2) की घात (n) तक बढ़ानी होगी। इसलिए \(2^{n-m}\) से गुणा करेंगे। चरण 3: कमी किस अभाज्य घात में है, पहले वही पहचानें।
The denominator has only powers of (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The number of decimal places equals the larger of (a) and (b). For exactly (6) places, (\max(a,b)=6).
Step 3
Exam Tip
In such questions, use the larger exponent, not the sum. चरण 1: हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है, इसलिए दशमलव सांत होगा। चरण 2: दशमलव स्थानों की संख्या (a) और (b) में बड़ी घात के बराबर होती है। ठीक (6) स्थानों के लिए (\max(a,b)=6) चाहिए। चरण 3: ऐसी समस्याओं में योग नहीं, बड़ी घात देखें।
So it lacks \(5^4\), and we must multiply by \(5^4\). चरण 1: \(10^6\) बनाने के लिए \(2^6\times5^6\) चाहिए। चरण 2: हर में \(2^6\times5^2\) पहले से है। चरण 3: इसलिए \(5^4\) की कमी है और उसी से गुणा करना होगा।
The number of places is decided by the larger exponent of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (5) is (3), so for exactly (6) places the exponent of (2) must be (6).
Step 3
Exam Tip
Match the larger exponent with the required decimal places. चरण 1: स्थानों की संख्या (2) और (5) की बड़ी घात से तय होती है। चरण 2: (5) की घात (3) है, इसलिए ठीक (6) स्थानों के लिए (2) की घात (6) होनी चाहिए। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में बड़ी घात को आवश्यक दशमलव स्थान से मिलाइए।
The number of places in a terminating decimal is decided by the larger exponent of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Here the larger exponent is (7).
Step 3
Exam Tip
Therefore the decimal terminates after (7) places. चरण 1: समाप्त दशमलव के स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात से तय होती है। चरण 2: यहां बड़ी घात (7) है। चरण 3: इसलिए दशमलव (7) स्थानों पर समाप्त होगा।
For a terminating decimal, the number of places is decided by the larger exponent of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Here the exponent of (2) is (4), and the exponent of (5) is (6).
Step 3
Exam Tip
The larger exponent is (6), so the decimal terminates after (6) places. चरण 1: समाप्त दशमलव में स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात से तय होती है। चरण 2: यहां (2) की घात (4) और (5) की घात (6) है। चरण 3: बड़ी घात (6) है, इसलिए दशमलव (6) स्थानों पर समाप्त होगा।
The number of decimal places comes from the larger exponent of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is (2), so for exactly (6) places we need (x=6).
Step 3
Exam Tip
Match the larger exponent with the required places. चरण 1: दशमलव स्थानों की संख्या (2) और (5) की बड़ी घात से मिलती है। चरण 2: (2) की घात (2) है, इसलिए ठीक (6) स्थानों के लिए (x=6) चाहिए। चरण 3: घातों में बड़ी संख्या को स्थानों से मिलाइए।
The number of decimal places is decided by the larger exponent of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The larger exponent must be (4), so (n=4).
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the larger exponent directly. चरण 1: दशमलव स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात से तय होती है। चरण 2: यहां बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (n=4) होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में बड़ी घात को सीधे पहचानें।
HCF takes the smaller exponents of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The HCF is \(2^4\times 3^2\). Counting repetition, the total number of prime factors is (4+2=6).
Step 3
Exam Tip
First form the HCF, then add its exponents. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक आते हैं। चरण 2: महत्तम समापवर्तक \(2^4\times 3^2\) होगा। पुनरावृत्ति सहित कुल अभाज्य गुणनखंड (4+2=6) हैं। चरण 3: पहले महत्तम समापवर्तक बनाइए, फिर घातांकों का योग लीजिए।
The HCF is \(2^3\times 3^2\times 5\) and the LCM is \(2^5\times 3^4\times 5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(On division, subtract exponents, so (\frac{\)LCM}{HCF\(}=2^2\times 3^2\times 5).\)
Step 3
Exam Tip
In such ratios, subtract smaller exponents from larger exponents. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^3\times 3^2\times 5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^4\times 5^2\) होगा। \(चरण 2: भाग देने पर घातांक घटेंगे, इसलिए (\frac{\)लघुत्तम समापवर्त्य}{महत्तम समापवर्तक}=22\times 32\times 5)। चरण 3: अनुपात में बड़े घातांक से छोटे घातांक घटाएँ।
यदि दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक \(2^2\times 3\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^3\times 5\) है, तो दोनों संख्याओं के गुणनफल में (2) का घातांक कितना होगा?
For two numbers, their product equals HCF times LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) in the product is (2+5=7).
Step 3
Exam Tip
If only one prime exponent is asked, add only that prime's exponents. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (2) का घातांक (2+5=7) होगा। चरण 3: केवल पूछे गए अभाज्य का घातांक जोड़कर जल्दी उत्तर मिल सकता है।
LCM takes the greatest exponent of every prime factor present.
Step 2
Why this answer is correct
The greatest exponent of (2) is (4), of (3) is (5), and of (5) is (2). So the answer is \(2^4\times 3^5\times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Any prime appearing in at least one number must appear in the LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों के सबसे बड़े घातांक लिए जाते हैं। चरण 2: (2) का बड़ा घातांक (4), (3) का (5), और (5) का (2) है। इसलिए उत्तर \(2^4\times 3^5\times 5^2\)। चरण 3: जो अभाज्य संख्या किसी एक संख्या में भी हो, वह लघुत्तम समापवर्त्य में आती है।
When the product is asked, you need not find HCF and LCM separately. चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: घातांक जोड़ने पर \(2^{3+2}\times 3^{2+4}\times 5\times 7=2^5\times 3^6\times 5\times 7\)। चरण 3: जब गुणनफल पूछा हो, तो अलग-अलग महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य निकालना जरूरी नहीं।
\(2^4 \times 5^2=16 \times 25=400\), and it has no factor (3).
Step 3
Exam Tip
Check the exponent of every prime before choosing. चरण 1: शर्त के अनुसार संख्या \(2^4 \times 5^2\) होनी चाहिए। चरण 2: \(2^4 \times 5^2=16 \times 25=400\), इसमें (3) नहीं है। चरण 3: विकल्प चुनने से पहले हर अभाज्य की घात जांचें।
For (a=2,\ b=5), we get ((3)(6)=18). The other options do not give (18).
Step 3
Exam Tip
In option-based questions, substitute values into the rule quickly. चरण 1: कुल गुणनखंड ((a+1)(b+1)) होंगे। चरण 2: (a=2,\ b=5) रखने पर ((3)(6)=18) मिलता है। बाकी विकल्प (18) नहीं देते। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में विकल्पों को नियम में रखकर जल्दी जांचें।
\(2^6\) becomes \(2^3\), \(3^4\) becomes \(3^2\), and \(5^2\) becomes (5).
Step 3
Exam Tip
This direct method works when all exponents are even. चरण 1: वर्गमूल लेते समय हर अभाज्य गुणनखंड की घात आधी हो जाती है। चरण 2: \(2^6\) से \(2^3\), \(3^4\) से \(3^2\), और \(5^2\) से (5) मिलेगा। चरण 3: यह विधि तभी सीधे लागू होती है जब सभी घातें सम हों।
