Here divisibility by (3), not evenness, is the main point. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) होगा। चरण 3: यहाँ समपन नहीं, बल्कि (3) से विभाज्यता मुख्य है।
A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है/Because (5) is a prime number
Step 1
Concept
If a prime factor appears in a square, it appears in the original number too.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, \(5\mid x^2\) implies \(5\mid x\).
Step 3
Exam Tip
This rule is the main base of the proof for \(\sqrt{5}\). चरण 1: किसी वर्ग में अभाज्य गुणनखंड आए तो वह मूल संख्या में भी होता है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए \(5\mid x^2\) से \(5\mid x\) मिलता है। चरण 3: यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण का मुख्य आधार है।
A. \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)/\(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) shows that \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This shows the common factor in (p) and (q). चरण 1: \(q^2=3k^2\) बताता है कि \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है।
A. यदि \(2\mid p^2\), तो \(2\mid p\)/If \(2\mid p^2\), then \(2\mid p\)
Step 1
Concept
(2) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime factor divides \(p^2\), it must divide (p).
Step 3
Exam Tip
Writing this rule makes the proof logical. चरण 1: (2) अभाज्य संख्या है। चरण 2: अभाज्य गुणनखंड यदि \(p^2\) को भाग देता है, तो वह (p) को भी भाग देता है। चरण 3: इस नियम को लिखना प्रमाण को तार्किक बनाता है।
Write the form according to the prime divisor involved. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(3\mid p\), और (p=3k) लिखा जा सकता है। चरण 3: किस अभाज्य से भाग जा रहा है, उसी के अनुसार रूप लिखें।
If \(5\mid a^2\), then \(5\mid a\), because a prime factor in a square must occur in the base.
Step 3
Exam Tip
This rule is the backbone of the proof for \(\sqrt{5}\). चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: यदि \(5\mid a^2\), तो \(5\mid a\) होगा, क्योंकि वर्ग में आने वाला अभाज्य गुणनखंड आधार में भी होता है। चरण 3: यही नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की रीढ़ है।
A. \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\)/\(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)
Step 1
Concept
The equation \(a^2=5b^2\) shows that \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (a) must also be divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
In the proof, write the conclusion about (a) first and then move to (b). चरण 1: समीकरण \(a^2=5b^2\) बताता है कि \(a^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: प्रमाण में जल्दबाजी न करें, पहले (a) पर निष्कर्ष लिखें फिर (b) पर।
C. \(m^2\) (5) से विभाज्य है/\(m^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(m^2=5n^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(m^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
First write divisibility of the square, then conclude divisibility of (m). चरण 1: \(m^2=5n^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(m^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर (m) की विभाज्यता निकालें।
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य कहने में/In saying (p) is divisible by (5) when \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The prime-number rule is the backbone of the proof. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: अभाज्य संख्या वाला नियम प्रमाण की रीढ़ है।
This leads to (q) being divisible by (3). चरण 1: \(9k^2=3q^2\) के दोनों पक्षों को (3) से भाग दें। चरण 2: \(3k^2=q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\) मिलेगा। चरण 3: इसी से (q) के (3) से विभाज्य होने का रास्ता बनता है।
After divisibility, write (p=5k), where (k) is an integer. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) (5) से विभाज्य है। चरण 3: विभाज्यता मिलने पर (p=5k) लिखें, जहां (k) पूर्णांक है।
Having (5) in both (p) and (q) contradicts the coprime condition. चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: दोनों (p) और (q) में (5) आना सहअभाज्य शर्त से टकराता है।
So \(p^2\) has factor (3) and is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the factor on the right side. चरण 1: समीकरण के दाईं ओर \(3q^2\) है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) में (3) गुणनखंड है और वह (3) से विभाज्य है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में दाईं ओर का गुणनखंड पहचानें।
If the square of an integer is even, the integer itself is even.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(p^2\) is divisible by (2), then (p) is also divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
This is the key rule in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) (2) से विभाज्य होने पर (p) भी (2) से विभाज्य होगा। चरण 3: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यही मुख्य नियम है।
A. (a=5k), जहां (k) पूर्णांक है/(a=5k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (a) is also divisible by (5), so (a=5k).
Step 3
Exam Tip
After divisibility, write the number using that factor. चरण 1: \(a^2=5b^2\) से \(a^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य है और (a=5k) लिखा जा सकता है। चरण 3: विभाज्यता मिलने पर संख्या को उसी गुणनखंड के रूप में लिखें।
So \(a^2\) has factor (2) and is divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
Use the factor to decide divisibility. चरण 1: समीकरण में दाईं ओर \(2b^2\) है। चरण 2: इसलिए \(a^2\) में (2) गुणनखंड है और वह (2) से विभाज्य है। चरण 3: गुणनखंड देखकर विभाज्यता का निष्कर्ष लें।
A. \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में/In the proof of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{5}\), we get \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The common factor (5) breaks the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: साझा गुणनखंड (5) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है।
A. \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में/In the proof of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), we get \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
The prime under the root becomes the common factor. चरण 1: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: संख्या के नीचे जो अभाज्य है, वही साझा गुणनखंड बनता है।
The smallest number exactly divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(121=11^2\), \(144=2^4\times3^2\), and \(250=2\times5^3\), so LCM \(=2^4\times3^2\times5^3\times11^2=2178000\).
Step 3
Exam Tip
Multiply the highest powers carefully. चरण 1: सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। चरण 2: \(121=11^2\), \(144=2^4\times3^2\), \(250=2\times5^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^2\times5^3\times11^2=2178000\) है। चरण 3: बड़ी घातों का गुणन सावधानी से करें।
The smallest number exactly divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(81=3^4\), \(96=2^5\times3\), and \(125=5^3\), so LCM \(=2^5\times3^4\times5^3=324000\).
Step 3
Exam Tip
Multiply the highest powers carefully. चरण 1: सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। चरण 2: \(81=3^4\), \(96=2^5\times3\), \(125=5^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^4\times5^3=324000\) है। चरण 3: बड़ी घातों का गुणन सावधानी से करें।
The smallest number exactly divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(64=2^6\), \(72=2^3\times3^2\), and \(125=5^3\), so LCM \(=2^6\times3^2\times5^3=72000\).
Step 3
Exam Tip
Keeping the highest powers correctly gives the right answer. चरण 1: सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। चरण 2: \(64=2^6\), \(72=2^3\times3^2\), \(125=5^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^6\times3^2\times5^3=72000\) है। चरण 3: बड़ी घातों को सही रखने से उत्तर सही आता है।
Such a smallest number is the LCM of the three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
Take the highest power of each prime. चरण 1: ऐसी सबसे छोटी संख्या तीनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। चरण 2: \(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), \(150=2\times3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। चरण 3: हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लें।
\(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
Always verify the final multiplication before choosing an option. चरण 1: सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। चरण 2: \(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), \(150=2\times3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। चरण 3: विकल्प चुनने से पहले अंतिम गुणन अवश्य जाँचें।
The smallest number exactly divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(54=2\times3^3\), \(72=2^3\times3^2\), and \(90=2\times3^2\times5\), so LCM \(=2^3\times3^3\times5=1080\).
Step 3
Exam Tip
Choose the highest powers carefully. चरण 1: सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। चरण 2: \(54=2\times3^3\), \(72=2^3\times3^2\), \(90=2\times3^2\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^3\times5=1080\) है। चरण 3: बड़ी घातों को ध्यान से चुनें।
\(25=5^2\), \(40=2^3\times5\), and \(64=2^6\), so LCM \(=2^6\times5^2=1600\).
Step 3
Exam Tip
Do not miss \(2^6\) because of (64). चरण 1: सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। चरण 2: \(25=5^2\), \(40=2^3\times5\), \(64=2^6\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^6\times5^2=1600\) है। चरण 3: (64) के कारण \(2^6\) लेना न भूलें।
\(27=3^3\), \(45=3^2\times5\), and \(63=3^2\times7\), so LCM \(=3^3\times5\times7=945\).
Step 3
Exam Tip
Calculate before choosing, because larger options can mislead. चरण 1: सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। चरण 2: \(27=3^3\), \(45=3^2\times5\), \(63=3^2\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(3^3\times5\times7=945\) है। चरण 3: विकल्पों में गणना के बाद ही चुनें, क्योंकि बड़े विकल्प भ्रमित कर सकते हैं।
The smallest number divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), and \(80=2^4\times5\), so LCM \(=2^5\times3\times5=480\).
Step 3
Exam Tip
Do not forget the highest power of each prime. चरण 1: सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालते हैं। चरण 2: \(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), \(80=2^4\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3\times5=480\) है। चरण 3: हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लेना न भूलें।
The smallest number divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(24=2^3\times3\), \(36=2^2\times3^2\), and \(54=2\times3^3\), so LCM \(=2^3\times3^3=216\).
Step 3
Exam Tip
For the smallest exactly divisible number, find the LCM. चरण 1: ऐसी सबसे छोटी संख्या उन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होती है। चरण 2: \(24=2^3\times3\), \(36=2^2\times3^2\), \(54=2\times3^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^3=216\) है। चरण 3: सबसे छोटी विभाज्य संख्या के प्रश्न में लघुत्तम समापवर्त्य निकालें।
The smallest such number is the LCM of the three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2\times 5\), \(54=2\times 3^3\), and \(72=2^3\times 3^2\). The LCM is \(2^3\times 3^3\times 5=1080\).
Step 3
Exam Tip
Remainder (0) means exact divisibility by all numbers. चरण 1: सबसे छोटी ऐसी संख्या इन तीनों का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। चरण 2: \(45=3^2\times 5\), \(54=2\times 3^3\), और \(72=2^3\times 3^2\)। लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times 3^3\times 5=1080\) है। चरण 3: शेषफल (0) का अर्थ है संख्या सभी से पूरी तरह विभाजित हो।
\(36=2^2\times 3^2\), \(48=2^4\times 3\), \(60=2^2\times 3\times 5\), so the LCM is \(2^4\times 3^2\times 5=720\). The smallest multiple greater than (1000) is (1440).
Step 3
Exam Tip
Find the LCM first, then choose its multiple according to the limit. चरण 1: पहले (36), (48), और (60) का लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। चरण 2: \(36=2^2\times 3^2\), \(48=2^4\times 3\), \(60=2^2\times 3\times 5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times 3^2\times 5=720\) है। (1000) से बड़ा सबसे छोटा गुणज (1440) है। चरण 3: पहले लघुत्तम समापवर्त्य, फिर सीमा के अनुसार उसका गुणज लें।
