A divisor's prime exponents must not exceed the given number's exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(144=2^4 \times 3^2\), which is fully contained in \(2^4 \times 3^3\).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, match each prime exponent separately. चरण 1: भाजक की अभाज्य घातें दी गई संख्या की घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(144=2^4 \times 3^2\), जो \(2^4 \times 3^3\) में पूरा मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता में हर अभाज्य की घात अलग-अलग मिलाएं।
For a divisor, its prime exponents must not exceed the available exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3 \times 3^2\), which is fully present in the given number.
Step 3
Exam Tip
To test divisibility, match each prime exponent separately. चरण 1: किसी भाजक के लिए उसकी अभाज्य घातें उपलब्ध घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(72=2^3 \times 3^2\), जो पूरी तरह दी गई संख्या में मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता जांचने में हर अभाज्य की घात अलग से मिलाएं।
A divisor must not need prime exponents greater than those available.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3 \times 3^2\), which is fully present in \(2^4 \times 3^2\).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, match the exponent of each prime separately. चरण 1: भाजक के अभाज्य गुणनखंड उपलब्ध घातों से अधिक नहीं होने चाहिए। चरण 2: \(72=2^3 \times 3^2\), जो \(2^4 \times 3^2\) में पूरी तरह मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता में हर अभाज्य की घात अलग-अलग मिलाएं।
A divisor must not require prime exponents higher than those available.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2 \times 5\), which is fully contained in \(3^2 \times 5^3\).
Step 3
Exam Tip
Compare exponents to test divisibility. चरण 1: कोई संख्या तभी अवश्य विभाज्य होगी जब उसके अभाज्य गुणनखंड उपलब्ध घातों से अधिक न हों। चरण 2: \(45=3^2 \times 5\), जो \(3^2 \times 5^3\) में पूरा मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता जांचते समय घातों की तुलना करें।
(336,672,1008,1344) are all divisible by (336), so none is actually not divisible.
Step 3
Exam Tip
In exams, read negative wording and test every option carefully. चरण 1: \(2^4 \times 3 \times 7=16 \times 21=336\) है। चरण 2: विकल्प (336) इस संख्या के बराबर है, इसलिए विभाज्य है; प्रश्न में नहीं है, तो ध्यान दें कि दिए गए सभी विकल्प विभाज्य प्रतीत होते हैं। सही चयन के लिए विकल्पों को जांचने पर कोई भी अविभाज्य नहीं मिलता। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में शब्द नहीं और विकल्प दोनों सावधानी से पढ़ें।
For divisibility, the exponents of the divisor must not exceed those in the number.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, all exponents are less than or equal to those in (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by that number. चरण 1: विभाज्यता के लिए भाजक की घातें संख्या की घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में सभी घातें (n) की घातों से कम या बराबर हैं। चरण 3: इसलिए (n) उस संख्या से अवश्य विभाज्य होगा।
Every prime power of a divisor must be available in the number.
Step 2
Why this answer is correct
(n) has power 2 of 5, but \(5^3\) needs power 3.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) is not divisible by \(5^3\). चरण 1: भाजक की हर अभाज्य घात संख्या में उपलब्ध होनी चाहिए। चरण 2: (n) में 5 की घात 2 है, पर \(5^3\) के लिए घात 3 चाहिए। चरण 3: इसलिए (n), \(5^3\) से विभाज्य नहीं होगा।
For divisibility, exponents in the divisor must not exceed those in the given number.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^9\), \(3^4\), \(7^3\), and 13 are all available in (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by the first option. चरण 1: विभाज्यता के लिए भाजक की घातें दी गई संख्या की घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(2^9\), \(3^4\), \(7^3\) और 13 सभी (n) में उपलब्ध हैं। चरण 3: इसलिए (n) पहले विकल्प से अवश्य विभाज्य होगा।
Every prime power of a divisor must be available in the number.
Step 2
Why this answer is correct
(n) has power 2 of 11, but \(11^3\) needs power 3.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) is not divisible by \(11^3\). चरण 1: भाजक की हर अभाज्य घात संख्या में उपलब्ध होनी चाहिए। चरण 2: (n) में 11 की घात 2 है, पर \(11^3\) के लिए घात 3 चाहिए। चरण 3: इसलिए (n), \(11^3\) से विभाज्य नहीं होगा।
Since \(10=2\times5\), the factor must contain at least one (2) and one (5).
Step 2
Why this answer is correct
Powers of (2): (1,2,3) give (3) choices; powers of (3): (0,1,2) give (3) choices; powers of (5): (1,2) give (2) choices. Total (=18).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, check the required minimum prime powers. चरण 1: \(10=2\times5\), इसलिए गुणनखंड में (2) और (5) दोनों कम से कम एक बार होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके; (5) की घात (1,2) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times3\times2=18\)। चरण 3: किसी संख्या से विभाज्यता में उसके अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात देखें।
For divisibility, exponents in the divisor must not exceed those in the number.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\), (3), \(5^4\), and 11 are all available in (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by this number. चरण 1: विभाज्यता के लिए भाजक की घातें संख्या की घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(2^5\), (3), \(5^4\) और 11 सभी (n) में उपलब्ध हैं। चरण 3: इसलिए (n) इस संख्या से अवश्य विभाज्य होगा।
Every prime power of a divisor must be available in the number.
Step 2
Why this answer is correct
(n) has power 5 of 2, but \(2^6\) needs 6.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) is not divisible by \(2^6\). चरण 1: किसी भाजक की हर अभाज्य घात संख्या में उपलब्ध होनी चाहिए। चरण 2: (n) में 2 की घात 5 है, लेकिन \(2^6\) के लिए 6 चाहिए। चरण 3: इसलिए (n), \(2^6\) से विभाज्य नहीं होगा।
For divisibility, each exponent in the divisor must be less than or equal to the corresponding exponent in the number.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^7\), \(3^2\), and \(5^4\) are all available in (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by \(2^7\times3^2\times5^4\). चरण 1: भाज्य होने के लिए भाजक की हर घात दी गई संख्या में बराबर या कम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^7\), \(3^2\) और \(5^4\) सभी (n) में उपलब्ध हैं। चरण 3: इसलिए (n), \(2^7\times3^2\times5^4\) से अवश्य विभाज्य होगा।
For divisibility, every prime power of the divisor must be available in the number.
Step 2
Why this answer is correct
(n) has power 4 of 3, but \(3^5\) needs power 5.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) is not divisible by \(3^5\). चरण 1: किसी भाजक के लिए उसकी हर अभाज्य घात संख्या में पर्याप्त होनी चाहिए। चरण 2: (n) में 3 की घात 4 है, पर \(3^5\) के लिए घात 5 चाहिए। चरण 3: इसलिए (n), \(3^5\) से विभाज्य नहीं होगा।
In (n), the powers are \(2^{10}\), \(3^6\), and \(5^4\).
Step 2
Why this answer is correct
\(28125=3^2\times5^5\), which needs power 5 of 5.
Step 3
Exam Tip
Since (n) has only \(5^4\), (n) is not divisible by 28125. चरण 1: (n) में 2 की घात 10, 3 की घात 6 और 5 की घात 4 है। चरण 2: \(28125=3^2\times5^5\), जिसमें 5 की घात 5 चाहिए। चरण 3: (n) में 5 की घात केवल 4 है, इसलिए (n), 28125 से विभाज्य नहीं होगा।
Both prime factors are present in (n) with sufficient powers.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by 502929. चरण 1: \(502929=3^7\times23\) है। चरण 2: ये दोनों अभाज्य गुणनखंड (n) में पर्याप्त घातों के साथ मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए (n), 502929 से अवश्य विभाज्य होगा।
In (n), the powers are \(2^9\), \(3^5\), and \(5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(16875=3^3\times5^4\), which needs power 4 of 5.
Step 3
Exam Tip
Since (n) has only \(5^3\), (n) is not divisible by 16875. चरण 1: (n) में 2 की घात 9, 3 की घात 5 और 5 की घात 3 है। चरण 2: \(16875=3^3\times5^4\), जिसमें 5 की घात 4 चाहिए। चरण 3: (n) में 5 की घात केवल 3 है, इसलिए (n), 16875 से विभाज्य नहीं होगा।
All these prime factors are present in (n) with sufficient powers.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by 69255. चरण 1: \(69255=3^6\times5\times19\) है। चरण 2: ये सभी अभाज्य गुणनखंड (n) में पर्याप्त घातों के साथ मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए (n), 69255 से अवश्य विभाज्य होगा।
In (n), the powers are \(2^8\), \(3^4\), and \(5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3375=3^3\times5^3\), which needs power 3 of 5.
Step 3
Exam Tip
Since (n) has only \(5^2\), (n) is not divisible by 3375. चरण 1: (n) में 2 की घात 8, 3 की घात 4 और 5 की घात 2 है। चरण 2: 3375 का अभाज्य गुणनखंडन \(3^3\times5^3\) है, जिसमें 5 की घात 3 चाहिए। चरण 3: (n) में 5 की घात केवल 2 है, इसलिए (n), 3375 से विभाज्य नहीं होगा।
All these prime factors are present in (n) with sufficient powers.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by 20655. चरण 1: \(20655=3^5\times5\times17\) है। चरण 2: ये सभी अभाज्य गुणनखंड (n) में पर्याप्त घातों के साथ मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए (n), 20655 से अवश्य विभाज्य होगा।
In (n), the powers are \(2^6\), \(3^2\), and \(5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(675=3^3\times5^2\), which needs power 3 of 3.
Step 3
Exam Tip
Since (n) has only \(3^2\), (n) will not be divisible by 675. चरण 1: (n) में 2 की घात 6, 3 की घात 2 और 5 की घात 2 है। चरण 2: 675 का अभाज्य गुणनखंडन \(3^3\times5^2\) है, जिसमें 3 की घात 3 चाहिए। चरण 3: (n) में 3 की घात केवल 2 है, इसलिए (n), 675 से विभाज्य नहीं होगा।
All these factors are present in the prime factorisation of (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by 5265. चरण 1: \(5265=3^4\times5\times13\) है। चरण 2: ये सभी गुणनखंड (n) के अभाज्य गुणनखंडन में मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए (n), 5265 से अवश्य विभाज्य होगा।
In (n), the powers are \(2^4\), \(3^2\), and \(5^1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(75=3\times5^2\), which needs power 2 of 5.
Step 3
Exam Tip
Since (n) has only \(5^1\), (n) will not be divisible by 75. चरण 1: (n) में 2 की घात 4, 3 की घात 2 और 5 की घात 1 है। चरण 2: 75 का अभाज्य गुणनखंडन \(3\times5^2\) है, जिसमें 5 की घात 2 चाहिए। चरण 3: (n) में 5 की घात केवल 1 है, इसलिए (n), 75 से विभाज्य नहीं होगा।
All these factors are present in the prime factorisation of (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by 1485. चरण 1: \(1485=3^3\times5\times11\) है। चरण 2: ये सभी गुणनखंड (n) के अभाज्य गुणनखंडन में मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए (n), 1485 से अवश्य विभाज्य होगा।
In (n), the powers are \(2^4\), \(3^1\), and \(5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(48=2^4\times3\), so divisibility by 48 is possible.
Step 3
Exam Tip
\(80=2^4\times5\), \(75=3\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\) are also present; hence all given options divide (n). चरण 1: (n) में 2 की घात 4, 3 की घात 1 और 5 की घात 2 है। चरण 2: 48 का गुणनखंडन \(2^4\times3\) है, इसलिए 48 से विभाज्यता संभव है। चरण 3: 80 का गुणनखंडन \(2^4\times5\), 75 का \(3\times5^2\), और 150 का \(2\times3\times5^2\) भी मौजूद हैं; इसलिए दिए गए सभी विभाज्य हैं।
The prime factorisation of 315 is \(3^2\times5\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
All these factors are present in the prime factorisation of (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by 315. चरण 1: 315 का अभाज्य गुणनखंडन \(3^2\times5\times7\) है। चरण 2: ये सभी गुणनखंड (n) के अभाज्य गुणनखंडन में मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए (n), 315 से अवश्य विभाज्य है।
\(2\times3\times5=30\), so the number must be divisible by 30.
Step 3
Exam Tip
Identify divisibility quickly from prime factors. चरण 1: गुणनखंडन में 2, 3 और 5 तीनों मौजूद हैं। चरण 2: \(2\times3\times5=30\), इसलिए संख्या 30 से विभाज्य होगी। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड देखकर विभाज्यता जल्दी पहचानें।
The product of 2 and 5 is 10, so the number must be divisible by 10.
Step 3
Exam Tip
Divisibility can be quickly identified from prime factors. चरण 1: \(2^3\) और \(5^2\) में 2 और 5 दोनों गुणनखंड मौजूद हैं। चरण 2: 2 और 5 का गुणनफल 10 है, इसलिए संख्या 10 से विभाज्य होगी। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड देखकर विभाज्यता जल्दी पहचानी जा सकती है।
A number divisible by both 2 and 5 is also divisible by 10.
Step 2
Why this answer is correct
70 ends in 0, so it is divisible by 10.
Step 3
Exam Tip
Divisibility checks help in prime factorisation. चरण 1: 2 और 5 दोनों से विभाज्य संख्या 10 से भी विभाज्य होती है। चरण 2: 70 का अंतिम अंक 0 है, इसलिए यह 10 से विभाज्य है। चरण 3: विभाज्यता की जांच अभाज्य गुणनखंडन में मदद करती है।
A number divisible by both 3 and 5 is divisible by 15.
Step 2
Why this answer is correct
The digit sum of 45 is 9, so it is divisible by 3, and it ends in 5, so it is also divisible by 5.
Step 3
Exam Tip
Small divisibility rules help in factorisation. चरण 1: 3 और 5 दोनों से विभाज्य संख्या 15 से विभाज्य होती है। चरण 2: 45 का अंकों का योग 9 है, इसलिए यह 3 से विभाज्य है और अंतिम अंक 5 है, इसलिए 5 से भी विभाज्य है। चरण 3: विभाज्यता के छोटे नियम गुणनखंडन में मदद करते हैं।
