A. इसमें नियोजन संगठन नियुक्तिकरण निर्देशन और नियंत्रण जैसे लगातार कार्य होते हैं/It includes continuous functions like planning organising staffing directing and controlling
Step 1
Concept
Management is a continuous process of interrelated functions. In process questions look for linked functions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. इसमें नियोजन संगठन नियुक्तिकरण निर्देशन और नियंत्रण जैसे लगातार कार्य होते हैं / It includes continuous functions like planning organising staffing directing and controlling. Management is a continuous process of interrelated functions. In process questions look for linked functions.
Step 3
Exam Tip
प्रबंधन परस्पर जुड़े कार्यों की सतत प्रक्रिया है। प्रक्रिया वाले प्रश्नों में क्रमबद्ध कार्य देखें।
एक विद्यालय में प्रधानाचार्य शिक्षक और कार्यालय कर्मचारी अलग अलग कार्य करते हैं फिर भी सभी का लक्ष्य बेहतर परीक्षा परिणाम है। यह प्रबंधन की किस अवधारणा को सबसे अधिक दिखाता है?
Management integrates different efforts toward a common objective. In exams focus on goal and coordination.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सामूहिक लक्ष्य / Group goal. Management integrates different efforts toward a common objective. In exams focus on goal and coordination.
Step 3
Exam Tip
प्रबंधन अलग अलग प्रयासों को सामान्य उद्देश्य की ओर जोड़ता है। परीक्षा में लक्ष्य और समन्वय शब्द पर ध्यान दें।
In composition, apply the right-side function first. चरण 1: पहले (f(-3)) निकालें, (f(-3)=-1)। चरण 2: अब (g(-1)=(-1)2=1)। चरण 3: संयुक्त फलन में दाएँ वाले फलन को पहले लगाएँ।
While finding inverse, first write (y=f(x)), then isolate (x). चरण 1: (y=2x-5) मानिए। चरण 2: (x) के लिए हल करने पर \(x=\frac{y+5}{2}\) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम निकालते समय पहले (y) लिखें, फिर (x) को अलग करें।
A relation containing only such required diagonal pairs is the identity relation.
Step 3
Exam Tip
The identity relation does not contain pairs between distinct elements. चरण 1: ((a,a)) प्रकार के युग्म विकर्ण युग्म कहलाते हैं। चरण 2: केवल ऐसे ही युग्म रखने वाला संबंध पहचान संबंध होता है। चरण 3: पहचान संबंध में अलग-अलग अवयवों के बीच युग्म नहीं होते।
If a relation contains no ordered pair, it is empty.
Step 2
Why this answer is correct
Such a relation is called the empty relation.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse the empty relation with the universal relation, which contains all pairs. चरण 1: यदि संबंध में कोई क्रमित युग्म नहीं है, तो वह खाली है। चरण 2: ऐसे संबंध को रिक्त संबंध कहा जाता है। चरण 3: रिक्त संबंध को सार्वत्रिक संबंध से न मिलाएं, क्योंकि सार्वत्रिक में सभी युग्म होते हैं।
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If a relation contains all these pairs, it is called the universal relation.
Step 3
Exam Tip
In such questions, first check whether the relation is the whole Cartesian product. चरण 1: \(A\times A\) में सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: जब संबंध में ये सभी युग्म हों, तो उसे सार्वत्रिक संबंध कहते हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्न में पहले देखें कि संबंध पूरा कार्तीय गुणनफल है या नहीं।
Reversing twice brings each pair back to its original direction.
Step 3
Exam Tip
Therefore (\(R^{-1}\)^{-1}=R). चरण 1: प्रतिलोम लेने पर हर युग्म की दिशा बदलती है। चरण 2: दो बार दिशा बदलने पर युग्म अपनी मूल दिशा में लौट आता है। चरण 3: इसलिए (\(R^{-1}\)^{-1}=R) होता है।
(\gcd(2,3)=1), so ((2,3)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(\gcd(2,4)=2), so ((2,4)) does not belong.
Step 3
Exam Tip
(\gcd(5,6)=1), so ((5,6)) also belongs. चरण 1: (\gcd(2,3)=1), इसलिए ((2,3)) संबंध में है। चरण 2: (\gcd(2,4)=2), इसलिए ((2,4)) संबंध में नहीं है। चरण 3: (\gcd(5,6)=1), इसलिए ((5,6)) भी संबंध में है।
If symmetry and antisymmetry hold together, no off-diagonal pair can be included.
Step 2
Why this answer is correct
Only diagonal pairs may be chosen freely.
Step 3
Exam Tip
With (4) diagonal pairs, the count is \(2^4\). चरण 1: सममितता और प्रतिसममितता साथ हों तो अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं रखा जा सकता। चरण 2: केवल विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 3: (4) विकर्ण युग्मों से \(2^4\) संबंध बनते हैं।
For composition, we need linked pairs of the form ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) and ((2,3)) combine to give ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
No other linked chain exists, so (R\circ R={(1,3)}). चरण 1: संयोजन के लिए ((a,b)) और ((b,c)) जैसे जुड़े युग्म चाहिए। चरण 2: यहां ((1,2)) और ((2,3)) जुड़कर ((1,3)) देते हैं। चरण 3: कोई और जुड़ी हुई शृंखला नहीं है, इसलिए (R\circ R={(1,3)})।
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)) for transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
((4,4)) only requires itself, which is already present.
Step 3
Exam Tip
Hence the minimal new pair is ((1,3)). चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((4,4)) केवल अपने साथ वही युग्म मांगता है, जो पहले से है। चरण 3: इसलिए न्यूनतम नया युग्म ((1,3)) है।
Total pairs are (5+4+3+2+1=15). चरण 1: (a=1) पर (5) विकल्प मिलते हैं। चरण 2: (a=2,3,4,5) पर क्रमशः (4,3,2,1) विकल्प मिलते हैं। चरण 3: कुल (5+4+3+2+1=15) युग्म होंगे।
For (a=1), (5) values work; for (a=2), (4); and for (a=3), (3).
Step 2
Why this answer is correct
Similarly, for (a=4), (2) values work, and for (a=5), (1) value works.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (5+4+3+2+1=15). चरण 1: (a=1) पर (5) मान, (a=2) पर (4) मान, (a=3) पर (3) मान मिलते हैं। चरण 2: इसी तरह (a=4) पर (2) और (a=5) पर (1) मान मिलता है। चरण 3: कुल (5+4+3+2+1=15) युग्म होंगे।
One class is ({1,3,5}) and the other is ({2,4,6}).
Step 3
Exam Tip
The number of possible remainders often gives the number of classes, but do not count empty classes. चरण 1: समान शेष का अर्थ यहां समान समता है। चरण 2: एक वर्ग विषम संख्याओं ({1,3,5}) का और दूसरा सम संख्याओं ({2,4,6}) का बनेगा। चरण 3: शेषफल की संख्या अक्सर वर्गों की संख्या बताती है, पर खाली वर्ग न गिनें।
\(\frac{3}{5}\) is rational, so \(\frac{3}{5}-0\) is rational and both are in the same class.
Step 3
Exam Tip
An irrational representative usually gives a different class unless the difference is rational. चरण 1: ([0]) में सभी परिमेय संख्याएं आती हैं। चरण 2: \(\frac{3}{5}\) परिमेय है, इसलिए \(\frac{3}{5}-0\) परिमेय है और दोनों एक ही वर्ग में हैं। चरण 3: अपरिमेय प्रतिनिधि सामान्यतः अलग वर्ग देता है, जब तक अंतर परिमेय न हो।
For (a=2), (3) values work; for (a=3), (2); and for (a=4), (1).
Step 3
Exam Tip
The total number of pairs is (4+3+2+1=10). चरण 1: (a=1) पर (b=1,2,3,4) मिलते हैं। चरण 2: (a=2) पर (3), (a=3) पर (2), और (a=4) पर (1) मान मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+3+2+1=10) युग्म होंगे।
On (3) elements, the total number of symmetric relations is \(2^6\).
Step 2
Why this answer is correct
Among these, reflexive symmetric relations are \(2^3\).
Step 3
Exam Tip
Hence symmetric but not reflexive relations are \(2^6-2^3\). चरण 1: (3) अवयवों पर कुल सममित संबंध \(2^6\) हैं। चरण 2: इनमें से प्रतिवर्ती और सममित संबंध \(2^3\) हैं। चरण 3: प्रतिवर्ती नहीं वाले सममित संबंधों की संख्या \(2^6-2^3\) है।
A least element is related to every element of the set.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\le 1,2,3,4\) is true for all elements.
Step 3
Exam Tip
Hence (1) is the least element. चरण 1: न्यूनतम अवयव वह है जो हर दूसरे अवयव से संबंध रखता है। चरण 2: \(1\le 1,2,3,4\) सभी सही हैं। चरण 3: इसलिए (1) न्यूनतम अवयव है।
In an inverse relation, every ordered pair is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2),(2,3),(1,3)) become ((2,1),(3,2),(3,1)).
Step 3
Exam Tip
Do not add any new diagonal pair automatically while finding the inverse. चरण 1: प्रतिलोम संबंध में हर क्रमित युग्म की दिशा बदलती है। चरण 2: ((1,2),(2,3),(1,3)) से क्रमशः ((2,1),(3,2),(3,1)) मिलते हैं। चरण 3: प्रतिलोम निकालते समय कोई नया विकर्ण युग्म अपने आप न जोड़ें।
Therefore all diagonal pairs remain in \(R^{-1}\). चरण 1: प्रतिवर्ती (R) में हर ((a,a)) मौजूद है। चरण 2: ((a,a)) का प्रतिलोम फिर ((a,a)) ही होता है। चरण 3: इसलिए सभी विकर्ण युग्म \(R^{-1}\) में भी रहेंगे।
Reflexivity makes all (5) diagonal pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
For every pair of distinct elements, antisymmetry gives three choices. There are \(\frac{5\cdot 4}{2}=10\) such pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore the number of relations is \(3^{10}\). चरण 1: प्रतिवर्ती होने के कारण सभी (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग अवयवों के प्रत्येक जोड़े पर प्रतिसममितता के कारण तीन चुनाव हैं। ऐसे जोड़े \(\frac{5\cdot 4}{2}=10\) हैं। चरण 3: इसलिए कुल संबंध \(3^{10}\) होंगे।
((1,2)) and ((2,1)) show that (1) and (2) are in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) is related only to itself, so it forms the separate class ({3}).
Step 3
Exam Tip
While forming equivalence classes, group elements connected by the relation. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) बताते हैं कि (1) और (2) एक ही वर्ग में हैं। चरण 2: (3) केवल स्वयं से संबंधित है, इसलिए उसका अलग वर्ग ({3}) बनेगा। चरण 3: समतुल्यता वर्ग बनाते समय जुड़े हुए अवयवों को एक समूह में रखें।
A. हाँ, क्योंकि कोई विपरीत गैर-विकर्ण जोड़ा साथ नहीं है/yes, because no reverse off-diagonal pair occurs together
Step 1
Concept
Antisymmetry only forbids two-way pairs between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, and ((1,3)) is present but ((3,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs do not violate antisymmetry. चरण 1: प्रतिसममितता केवल अलग अवयवों के बीच दोनों दिशाओं के साथ होने को रोकती है। चरण 2: यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, और ((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं। चरण 3: विकर्ण युग्म प्रतिसममितता में बाधा नहीं बनते।
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
When a relation contains all these pairs, it is called the universal relation.
Step 3
Exam Tip
The identity relation contains only diagonal pairs, so keep the two ideas separate. चरण 1: \(A\times A\) में संभव सभी क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: जब संबंध में ये सभी युग्म शामिल हों, तो उसे सार्वत्रिक संबंध कहते हैं। चरण 3: पहचान संबंध में केवल विकर्ण युग्म होते हैं, इसलिए दोनों में अंतर रखें।
The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has (4) elements, it has (4) diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse identity relation with the universal relation, which would have (16) pairs. चरण 1: पहचान संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। चरण 2: (A) में (4) अवयव हैं, इसलिए (4) विकर्ण युग्म होंगे। चरण 3: पहचान संबंध को सार्वत्रिक संबंध से अलग रखें; सार्वत्रिक में (16) युग्म होते।
In an equivalence relation, elements of the same group have the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
Equivalence classes are either identical or disjoint. चरण 1: (aRb) का अर्थ है कि (a) और (b) एक ही समूह में हैं। चरण 2: समतुल्यता संबंध में एक ही समूह के अवयवों के वर्ग समान होते हैं। चरण 3: वर्गों के लिए याद रखें कि दो वर्ग या तो पूरी तरह समान होते हैं या पूरी तरह अलग।
C. ((3,12)) है पर ((12,3)) नहीं है/((3,12)) is present but ((12,3)) is absent
Step 1
Concept
(3) divides (12), so ((3,12)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(12) does not divide (3), so ((12,3)) does not belong.
Step 3
Exam Tip
This is why the divisibility relation is generally not symmetric. चरण 1: (3) संख्या (12) को विभाजित करती है, इसलिए ((3,12)) संबंध में है। चरण 2: (12) संख्या (3) को विभाजित नहीं करती, इसलिए ((12,3)) संबंध में नहीं है। चरण 3: इसी कारण विभाज्यता संबंध सामान्यतः सममित नहीं होता।
Every number has the same parity as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) have the same parity, then (b) and (a) also have the same parity.
Step 3
Exam Tip
Same parity passes through a middle element, so the relation is transitive. चरण 1: हर संख्या अपने जैसी ही समता रखती है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि (a) और (b) की समता समान है, तो (b) और (a) की भी समान है। चरण 3: समान समता का संबंध आगे भी समान समता देता है, इसलिए संक्रामी है।
C. न प्रतिवर्ती, न सममित, पर संक्रामी/neither reflexive nor symmetric but transitive
Step 1
Concept
(a-a=0), which is not greater than (0), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(3R2) holds but (2R3) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
If (a>b) and (b>c), then (a>c), so it is transitive. चरण 1: (a-a=0), जो (0) से बड़ा नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। चरण 2: (3R2) सही है पर (2R3) गलत है, इसलिए सममित नहीं है। चरण 3: यदि (a>b) और (b>c), तो (a>c), इसलिए संक्रामी है।
