So whenever ((a,b)) is in the relation, ((b,a)) is also in it.
Step 3
Exam Tip
But pairs such as ((1,1)) are absent, so it is not reflexive. चरण 1: यदि (a+b=5), तो (b+a=5) भी होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: लेकिन ((1,1)) जैसे विकर्ण युग्म नहीं मिलते, इसलिए प्रतिवर्ती न मानें।
None of these diagonal pairs is present in the given relation.
Step 3
Exam Tip
Therefore, all three diagonal pairs must be added. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। चरण 2: दिए गए संबंध में इनमें से कोई भी विकर्ण युग्म नहीं है। चरण 3: इसलिए तीनों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे।
Symmetry requires ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
Since ((1,2)) is present, ((2,1)) must be added.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs are their own reverses, but the missing reverse pair is the key issue here. चरण 1: सममितता में हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) चाहिए। चरण 2: यहां ((1,2)) है, इसलिए ((2,1)) जोड़ना जरूरी है। चरण 3: विकर्ण युग्म सममितता के लिए अपने आप उल्टे होते हैं, पर यहां मुख्य कमी उल्टा युग्म है।
In such questions, match the middle element and connect the first element to the third. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) एक श्रृंखला बनाते हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए इससे ((1,3)) का होना जरूरी है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में बीच वाला अवयव समान देखकर पहला और तीसरा अवयव जोड़ें।
In (A), the numbers with remainder (2) are (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
While forming an equivalence class, include only elements from the given set. चरण 1: (2) को (3) से भाग देने पर शेष (2) मिलता है। चरण 2: (A) में जिन संख्याओं का शेष (2) है, वे (2) और (5) हैं। चरण 3: समतुल्यता वर्ग बनाते समय केवल उसी समुच्चय के अवयव लिखें।
(|a-b|) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
Thus one class is ({1,3}) and the other is ({2,4}).
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the hidden grouping first. चरण 1: (|a-b|) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की समता समान है। चरण 2: इसलिए एक वर्ग विषम संख्याओं ({1,3}) का और दूसरा सम संख्याओं ({2,4}) का बनेगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले छिपे हुए समूह पहचानें।
The condition demands a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
This is exactly the definition of transitivity.
Step 3
Exam Tip
In exams, whenever you see ((a,b)) and ((b,c)), immediately check for ((a,c)). चरण 1: यह शर्त दो जुड़े युग्मों से तीसरे युग्म की मांग करती है। चरण 2: यही संक्रामकता की मूल पहचान है। चरण 3: परीक्षा में ((a,b)) और ((b,c)) देखकर तुरंत ((a,c)) खोजें।
From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
Other possible chains either have the required pair or do not form a chain.
Step 3
Exam Tip
Since ((3,3)) is missing, do not call it reflexive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: बाकी संभावित संक्रामी स्थितियों में भी जरूरी युग्म उपलब्ध हैं या शर्त बनती ही नहीं। चरण 3: ((3,3)) नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती न मानें।
Every relation can be any subset of these \(n^2\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the total number of relations is \(2^{n^2}\). चरण 1: \(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: हर संबंध इन \(n^2\) युग्मों का कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है। चरण 3: कुल संबंधों के लिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n^2}\) याद रखें।
((1,2)) appears with ((2,1)), and ((2,3)) appears with ((3,2)).
Step 2
Why this answer is correct
Every present pair has its reverse present, so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Since diagonal pairs are missing, do not call it reflexive or equivalence. चरण 1: ((1,2)) के साथ ((2,1)) है और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है। चरण 2: हर मौजूद युग्म का उल्टा युग्म मौजूद है, इसलिए सममित है। चरण 3: विकर्ण युग्म नहीं हैं, इसलिए इसे प्रतिवर्ती या समतुल्यता न मानें।
C. न प्रतिवर्ती, न सममित, पर संक्रामी/neither reflexive nor symmetric but transitive
Step 1
Concept
(a<a) is never true, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(2<3) is true but (3<2) is false, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
If (a<b) and (b<c), then (a<c), so it is transitive. चरण 1: (a<a) कभी सही नहीं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। चरण 2: (2<3) सही है पर (3<2) गलत, इसलिए सममित नहीं है। चरण 3: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), इसलिए संक्रामी है।
(a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b) is even, then (b+a) is even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
If two numbers have the same parity as a middle number, they have the same parity with each other, so it is transitive. चरण 1: (a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: (a+b) सम हो तो (b+a) भी सम है, इसलिए सममित है। चरण 3: समान समता वाले दो संबंध जुड़ें तो पहला और तीसरा भी समान समता वाले होंगे, इसलिए संक्रामी है।
The class of (0) contains integers that leave remainder (0) on division by (4).
Step 2
Why this answer is correct
These are exactly the multiples of (4).
Step 3
Exam Tip
When writing remainder classes, include both negative and positive multiples. चरण 1: (0) के वर्ग में वे संख्याएं आएंगी जिनका (4) से भाग देने पर शेष (0) हो। चरण 2: ऐसी संख्याएं (4) के गुणज हैं। चरण 3: शेषफल वर्ग लिखते समय ऋणात्मक और धनात्मक दोनों गुणजों को ध्यान में रखें।
B. वे (A) को असंयुक्त भागों में बांटते हैं/they partition (A) into disjoint parts
Step 1
Concept
An equivalence relation is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
These properties make every element belong to exactly one class, and distinct classes do not overlap.
Step 3
Exam Tip
The classes need not have equal size, so remember the partition idea. चरण 1: समतुल्यता संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। चरण 2: इन गुणों से हर अवयव ठीक एक वर्ग में आता है और अलग वर्ग आपस में नहीं मिलते। चरण 3: वर्गों का आकार समान होना जरूरी नहीं, इसलिए भागों की बात याद रखें।
D. यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है/it is reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
The universal relation contains every pair in \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore all diagonal, reverse, and transitivity-required pairs are present.
Step 3
Exam Tip
When all pairs are present, the relation automatically satisfies these three properties. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए विकर्ण, विपरीत और संक्रामकता के लिए जरूरी युग्म सब मौजूद रहते हैं। चरण 3: सभी युग्म होने का अर्थ यह नहीं कि यह कठिन है; गुण सीधे पूरे कार्तीय गुणनफल से मिलते हैं।
A reflexive relation must contain each element paired with itself.
Step 2
Why this answer is correct
The smallest such relation contains only the required diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
Adding extra pairs keeps it reflexive but no longer smallest. चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध में हर अवयव का अपने साथ युग्म होना चाहिए। चरण 2: सबसे छोटा संबंध केवल आवश्यक विकर्ण युग्म रखेगा। चरण 3: अतिरिक्त युग्म जोड़ने से संबंध प्रतिवर्ती तो रहेगा, पर न्यूनतम नहीं रहेगा।
All three diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is accompanied by ((2,1)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present; hence transitivity also holds. चरण 1: तीनों विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममितता बनी रहती है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है; इसलिए संक्रामी भी है।
C. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर सममित नहीं/reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
Since \(1\mid 2\) is true but \(2\mid 1\) is false, it is not symmetric. चरण 1: हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\), इसलिए संक्रामी है। चरण 3: \(1\mid 2\) सही है पर \(2\mid 1\) गलत, इसलिए सममित नहीं।
Reflexivity forces all three diagonal pairs to be present.
Step 2
Why this answer is correct
Outside the diagonal, only the three reverse-pair groups are independent.
Step 3
Exam Tip
Therefore the total number is \(2^3\); do not count the diagonal choices again. चरण 1: प्रतिवर्ती होने के कारण तीनों विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: विकर्ण से बाहर केवल तीन विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र हैं। चरण 3: इसलिए कुल चुनाव \(2^3\) हैं; विकर्ण युग्मों को दोबारा न गिनें।
The three diagonal pairs are independently optional.
Step 2
Why this answer is correct
The (6) off-diagonal pairs form (3) reverse-pair groups, and each group is chosen together or not chosen.
Step 3
Exam Tip
Thus there are (3+3=6) independent choices, giving \(2^6\). चरण 1: तीन विकर्ण युग्म अपने आप स्वतंत्र रहते हैं। चरण 2: विकर्ण से बाहर के (6) युग्म (3) जोड़ों में बंटते हैं, हर जोड़ा साथ में चुना जाता है या छोड़ा जाता है। चरण 3: सममित संबंध के लिए स्वतंत्र चुनाव (3+3=6) हैं, इसलिए \(2^6\)।
A reflexive relation must contain the (4) diagonal pairs, so the remaining (12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
For reflexive relation counts, subtract the compulsory diagonal pairs. चरण 1: \(A\times A\) में (16) युग्म होते हैं। चरण 2: प्रतिवर्ती संबंध में (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य होते हैं, इसलिए बाकी (12) युग्मों को चुनना या न चुनना स्वतंत्र है। चरण 3: प्रतिवर्ती संबंधों की गिनती में हमेशा अनिवार्य विकर्ण युग्म घटाएं।
A relation is any subset of \(A\times A\), so the number of relations is \(2^9\).
Step 3
Exam Tip
In exams, count the ordered pairs first and then use the subset count. चरण 1: \(A\times A\) में \(3\times 3=9\) क्रमित युग्म होंगे। चरण 2: कोई भी संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है, इसलिए कुल संबंध \(2^9\) होंगे। चरण 3: परीक्षा में पहले कार्तीय गुणनफल के युग्म गिनें, फिर उपसमुच्चय लगाएं।
A. पहले विलेय का प्रकार, विलायक, ताप और दाब अलग पहचानना/First identify type of solute, solvent, temperature, and pressure separately
Step 1
Concept
Solubility changes according to solid, gas, and nature of solvent.
Step 2
Why this answer is correct
Effects of temperature and pressure may also differ.
Step 3
Exam Tip
In exams, first separate the clues, then apply formula or principle. चरण 1: विलेयता ठोस, गैस और विलायक के स्वभाव के अनुसार बदलती है। चरण 2: ताप और दाब के प्रभाव भी अलग-अलग हो सकते हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले दिए गए संकेत अलग करें, फिर सूत्र या सिद्धांत लगाएं।
A. कम हेनरी स्थिरांक वाली गैस/Gas with lower Henry's law constant
Step 1
Concept
At the same temperature and pressure, comparison can be made using Henry's law constant.
Step 2
Why this answer is correct
Lower Henry's law constant means higher mole fraction and higher solubility.
Step 3
Exam Tip
In comparisons, connect lower constant with higher solubility. चरण 1: समान ताप और समान दाब पर तुलना हेनरी स्थिरांक से की जा सकती है। चरण 2: कम हेनरी स्थिरांक का अर्थ अधिक मोल अंश और अधिक विलेयता है। चरण 3: तुलना में कम स्थिरांक को अधिक घुलनशीलता से जोड़ें।
In Henry's law, a higher Henry's law constant indicates less dissolved gas at the same pressure.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, a gas with higher constant has lower solubility.
Step 3
Exam Tip
In comparisons, connect higher Henry's law constant with lower solubility. चरण 1: हेनरी नियम में अधिक हेनरी स्थिरांक समान दाब पर कम घुली गैस को दिखाता है। चरण 2: इसलिए अधिक स्थिरांक वाली गैस की विलेयता कम मानी जाती है। चरण 3: तुलना में अधिक हेनरी स्थिरांक को कम विलेयता से जोड़ें।
A. जिसका हेनरी स्थिरांक कम हो/The gas with lower Henry's law constant
Step 1
Concept
From Henry's law form \(p = K_H x\), at the same pressure a lower \(K_H\) gives a higher (x).
Step 2
Why this answer is correct
Higher mole fraction means more gas is dissolved.
Step 3
Exam Tip
In comparison questions, connect lower Henry's law constant with higher solubility. चरण 1: हेनरी नियम के रूप \(p = K_H x\) से पता चलता है कि समान दाब पर \(K_H\) कम होने पर (x) अधिक होगा। चरण 2: अधिक मोल अंश का अर्थ अधिक गैस का घुलना है। चरण 3: तुलना वाले प्रश्नों में कम हेनरी स्थिरांक को अधिक विलेयता से जोड़कर याद रखें।
A. विलेय और विलायक की प्रकृति फिर ताप और दाब देखें/Check nature of solute and solvent then temperature and pressure
Step 1
Concept
Solubility is strongly affected by the nature of substances.
Step 2
Why this answer is correct
Temperature and pressure affect solids and gases differently.
Step 3
Exam Tip
While solving, underline all given conditions. चरण 1: विलेयता पदार्थों की प्रकृति से बहुत प्रभावित होती है। चरण 2: ताप और दाब विशेषकर ठोस और गैसों के लिए अलग अलग प्रभाव डालते हैं। चरण 3: प्रश्न हल करते समय दी गई सभी स्थितियों को रेखांकित करें।
A. विलेय का प्रकार, विलायक, ताप और दाब/Type of solute, solvent, temperature, and pressure
Step 1
Concept
Solubility depends on nature of substances and conditions.
Step 2
Why this answer is correct
Type of solute, solvent, temperature, and pressure are the key clues.
Step 3
Exam Tip
In exams, identify these clues before solving. चरण 1: विलेयता पदार्थ के स्वभाव और दशाओं पर निर्भर करती है। चरण 2: विलेय का प्रकार, विलायक, ताप और दाब सबसे जरूरी संकेत हैं। चरण 3: परीक्षा में हल शुरू करने से पहले इन संकेतों को अलग कर लें।
A. विलेय, विलायक, ताप और दाब की दी हुई जानकारी/Given information about solute, solvent, temperature and pressure
Step 1
Concept
Solubility depends on both the substance and the conditions.
Step 2
Why this answer is correct
So identify solute, solvent, temperature and pressure first.
Step 3
Exam Tip
Before calculation, underline the given conditions. चरण 1: विलेयता पदार्थ और परिस्थिति दोनों पर निर्भर करती है। चरण 2: इसलिए विलेय, विलायक, ताप और दाब की जानकारी पहले पहचानना जरूरी है। चरण 3: गणना शुरू करने से पहले दी गई शर्तों को रेखांकित करें।
A. यह केवल स्थिर ताप पर लागू किया जाता है/It is applied at constant temperature only
Step 1
Concept
Henry's law is considered at constant temperature.
Step 2
Why this answer is correct
It explains the relation between gas solubility and gas pressure.
Step 3
Exam Tip
Always remember the constant temperature condition while applying the law. चरण 1: हेनरी नियम में ताप को स्थिर रखा जाता है। चरण 2: इस नियम में गैस की विलेयता और उसके दाब का संबंध समझाया जाता है। चरण 3: नियम लिखते समय स्थिर ताप की शर्त अवश्य याद रखें।
