Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
([0]) में सभी परिमेय संख्याएं आती हैं। / ([0]) contains all rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{3}{5}\) परिमेय है, इसलिए \(\frac{3}{5}-0\) परिमेय है और दोनों एक ही वर्ग में हैं। / \(\frac{3}{5}\) is rational, so \(\frac{3}{5}-0\) is rational and both are in the same class.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय प्रतिनिधि सामान्यतः अलग वर्ग देता है, जब तक अंतर परिमेय न हो। / An irrational representative usually gives a different class unless the difference is rational.
प्रतिवर्ती होने के कारण सभी (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity makes all (5) diagonal pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
अलग अवयवों के प्रत्येक जोड़े पर प्रतिसममितता के कारण तीन चुनाव हैं। ऐसे जोड़े \(\frac{5\cdot 4}{2}=10\) हैं। / For every pair of distinct elements, antisymmetry gives three choices. There are \(\frac{5\cdot 4}{2}=10\) such pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंध \(3^{10}\) होंगे। / Therefore the number of relations is \(3^{10}\).
A. हाँ, क्योंकि कोई विपरीत गैर-विकर्ण जोड़ा साथ नहीं है/yes, because no reverse off-diagonal pair occurs together
Step 1
Concept
प्रतिसममितता केवल अलग अवयवों के बीच दोनों दिशाओं के साथ होने को रोकती है। / Antisymmetry only forbids two-way pairs between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, और ((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, and ((1,3)) is present but ((3,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म प्रतिसममितता में बाधा नहीं बनते। / Diagonal pairs do not violate antisymmetry.
\(A\times A\) में संभव सभी क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all possible ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
जब संबंध में ये सभी युग्म शामिल हों, तो उसे सार्वत्रिक संबंध कहते हैं। / When a relation contains all these pairs, it is called the universal relation.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध में केवल विकर्ण युग्म होते हैं, इसलिए दोनों में अंतर रखें। / The identity relation contains only diagonal pairs, so keep the two ideas separate.
पहचान संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। / The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (4) अवयव हैं, इसलिए (4) विकर्ण युग्म होंगे। / Since (A) has (4) elements, it has (4) diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को सार्वत्रिक संबंध से अलग रखें; सार्वत्रिक में (16) युग्म होते। / Do not confuse identity relation with the universal relation, which would have (16) pairs.
(aRb) का अर्थ है कि (a) और (b) एक ही समूह में हैं। / (aRb) means (a) and (b) belong to the same group.
Step 2
Why this answer is correct
समतुल्यता संबंध में एक ही समूह के अवयवों के वर्ग समान होते हैं। / In an equivalence relation, elements of the same group have the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
वर्गों के लिए याद रखें कि दो वर्ग या तो पूरी तरह समान होते हैं या पूरी तरह अलग। / Equivalence classes are either identical or disjoint.
सममितता में हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) चाहिए। / Symmetry requires ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) है, इसलिए ((2,1)) जोड़ना जरूरी है। / Since ((1,2)) is present, ((2,1)) must be added.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म सममितता के लिए अपने आप उल्टे होते हैं, पर यहां मुख्य कमी उल्टा युग्म है। / Diagonal pairs are their own reverses, but the missing reverse pair is the key issue here.
((1,2)) और ((2,3)) एक श्रृंखला बनाते हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) form a chain.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए इससे ((1,3)) का होना जरूरी है। / Transitivity then requires ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में बीच वाला अवयव समान देखकर पहला और तीसरा अवयव जोड़ें। / In such questions, match the middle element and connect the first element to the third.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
बाकी संभावित संक्रामी स्थितियों में भी जरूरी युग्म उपलब्ध हैं या शर्त बनती ही नहीं। / Other possible chains either have the required pair or do not form a chain.
Step 3
Exam Tip
((3,3)) नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती न मानें। / Since ((3,3)) is missing, do not call it reflexive.
(a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम हो तो (b+a) भी सम है, इसलिए सममित है। / If (a+b) is even, then (b+a) is even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान समता वाले दो संबंध जुड़ें तो पहला और तीसरा भी समान समता वाले होंगे, इसलिए संक्रामी है। / If two numbers have the same parity as a middle number, they have the same parity with each other, so it is transitive.
(0) के वर्ग में वे संख्याएं आएंगी जिनका (4) से भाग देने पर शेष (0) हो। / The class of (0) contains integers that leave remainder (0) on division by (4).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी संख्याएं (4) के गुणज हैं। / These are exactly the multiples of (4).
Step 3
Exam Tip
शेषफल वर्ग लिखते समय ऋणात्मक और धनात्मक दोनों गुणजों को ध्यान में रखें। / When writing remainder classes, include both negative and positive multiples.
B. वे (A) को असंयुक्त भागों में बांटते हैं/they partition (A) into disjoint parts
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। / An equivalence relation is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
इन गुणों से हर अवयव ठीक एक वर्ग में आता है और अलग वर्ग आपस में नहीं मिलते। / These properties make every element belong to exactly one class, and distinct classes do not overlap.
Step 3
Exam Tip
वर्गों का आकार समान होना जरूरी नहीं, इसलिए भागों की बात याद रखें। / The classes need not have equal size, so remember the partition idea.
D. यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है/it is reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। / The universal relation contains every pair in \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए विकर्ण, विपरीत और संक्रामकता के लिए जरूरी युग्म सब मौजूद रहते हैं। / Therefore all diagonal, reverse, and transitivity-required pairs are present.
Step 3
Exam Tip
सभी युग्म होने का अर्थ यह नहीं कि यह कठिन है; गुण सीधे पूरे कार्तीय गुणनफल से मिलते हैं। / When all pairs are present, the relation automatically satisfies these three properties.
