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For eight distinct real zeroes, the degree must be at least (8). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (8). For eight distinct real zeroes, the degree must be at least (8). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
आठ अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (8) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती।
For seven distinct real zeroes, the degree must be at least (7). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (7). For seven distinct real zeroes, the degree must be at least (7). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
सात अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (7) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती।
For six distinct real zeroes, the degree must be at least (6). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (6). For six distinct real zeroes, the degree must be at least (6). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
छह अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (6) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती।
For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4). For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
चार अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (4) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती।
For three distinct real zeroes, the degree must be at least (3). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (3). For three distinct real zeroes, the degree must be at least (3). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
तीन अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (3) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती।
The factors (3), (7), and (13) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 13=273\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (273). The factors (3), (7), and (13) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 13=273\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर से (3), (7) और (13) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 7\cdot 13=273\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं।
The factors \(3^4\) and (19) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(81\cdot 19=1539\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1539). The factors \(3^4\) and (19) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(81\cdot 19=1539\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर से \(3^4\) और (19) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(81\cdot 19=1539\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं।
The factors \(3^3\) and (23) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(27\cdot 23=621\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (621). The factors \(3^3\) and (23) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(27\cdot 23=621\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर से \(3^3\) और (23) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(27\cdot 23=621\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं।
To form \(10^k=2^k5^k\), both powers must reach at least the larger exponent. Therefore the minimum (k=\max(r,s)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (\max(r,s)). To form \(10^k=2^k5^k\), both powers must reach at least the larger exponent. Therefore the minimum (k=\max(r,s)).
Step 3
Exam Tip
\(10^k=2^k5^k\) बनाने के लिए दोनों घातें कम से कम बड़ी घात तक पहुँचनी चाहिए। इसलिए न्यूनतम (k=\max(r,s)) है।
The factors \(3^2\) and (17) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3^2\cdot 17=153\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (153). The factors \(3^2\) and (17) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3^2\cdot 17=153\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर से \(3^2\) और (17) हटने चाहिए, इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3^2\cdot 17=153\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं।
For a terminating decimal, (3) and (19) must cancel. So the minimum factor is \(3\cdot 19=57\).
Step 3
Exam Tip
Only (2) and (5) may remain in the denominator. चरण 1: हर में (2), (5), (3), और (19) हैं। चरण 2: सांत दशमलव के लिए (3) और (19) कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 19=57\) है। चरण 3: केवल (2) और (5) हर में रह सकते हैं।
For a terminating decimal, \(3^3\) must cancel completely from the denominator. So (x) must contain (27).
Step 3
Exam Tip
(2) and (5) may remain, but (3) must not. चरण 1: \(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\) है। चरण 2: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर से \(3^3\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (x) में (27) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: (2) और (5) रह सकते हैं, पर (3) नहीं।
For a terminating decimal, (3), (7), and (11) must cancel from the denominator. So the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 11=231\).
Step 3
Exam Tip
(2) and (5) may remain, but other prime factors must not. चरण 1: \(2310=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\) है। चरण 2: सांत दशमलव के लिए (3), (7), और (11) हर से कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 7\cdot 11=231\) है। चरण 3: (2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं।
For a terminating decimal, (3) and \(7^2\) must not remain in the reduced denominator. So (m) must contain \(3\cdot 7^2=147\).
Step 3
Exam Tip
The factor (5) may remain, but (3) and (7) must cancel. चरण 1: \(735=3\cdot 5\cdot 7^2\) है। चरण 2: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (3) और \(7^2\) नहीं बचने चाहिए। इसलिए (m) में \(3\cdot 7^2=147\) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: (5) हर में रह सकता है, पर (3) और (7) कटने चाहिए।
For a terminating decimal, (13) must not remain in the reduced denominator. So (a) must contain the factor (13).
Step 3
Exam Tip
Powers of (2) and (5) may remain, but other prime factors must cancel. चरण 1: हर में (2), (5), और (13) हैं। चरण 2: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (13) नहीं बचना चाहिए। इसलिए (a) में (13) का गुणनखंड अवश्य होना चाहिए। चरण 3: (2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड कटने चाहिए।
Since \(10^k=2^k\cdot 5^k\), the powers must become equal. The larger power is (3), so (k=3).
Step 3
Exam Tip
To form \(10^k\), make the powers of (2) and (5) equal. चरण 1: हर \(2^2\cdot 5^3\) है। चरण 2: \(10^k=2^k\cdot 5^k\) बनाने के लिए दोनों घात बराबर करनी होती हैं। बड़ी घात (3) है, इसलिए (k=3)। चरण 3: \(10^k\) बनाते समय दोनों अभाज्य घातों को समान करने का विचार रखें।
यदि \(\frac{n}{180}\) का दशमलव प्रसार सांत है और \(\frac{n}{180}\) सरलतम रूप में नहीं दिया गया है, तो (n) में कम से कम कौन-सा गुणनखंड अवश्य होना चाहिए?
For a terminating decimal, \(3^2\) must cancel completely from the denominator. So (n) must contain \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
Focus on removing denominator primes other than (2) and (5). चरण 1: \(180=2^2\cdot 3^2\cdot 5\) है। चरण 2: सांत दशमलव के लिए सरलतम रूप में हर से \(3^2\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (n) में \(3^2\) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: हर के (2) और (5) नहीं, बल्कि अन्य अभाज्य गुणनखंडों को हटाना जरूरी होता है।
D. जब पक्षों की सहमति और न्यूनतम सहयोग मिले/When parties give consent and minimum cooperation
Step 1
Concept
Consent and cooperation of parties are important in peacekeeping. Exam tip: remember consent impartiality and limited use of force.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. जब पक्षों की सहमति और न्यूनतम सहयोग मिले / When parties give consent and minimum cooperation. Consent and cooperation of parties are important in peacekeeping. Exam tip: remember consent impartiality and limited use of force.
Step 3
Exam Tip
शांति स्थापना में पक्षों की सहमति और सहयोग महत्वपूर्ण होते हैं। परीक्षा में सहमति निष्पक्षता और सीमित बल प्रयोग याद रखें।
A. दलित वर्गों की राजनीतिक आवाज को कुछ सुनिश्चित प्रतिनिधित्व मिला/Depressed classes got some assured political representation
Step 1
Concept
Reserved seats gave a minimum basis of representation. Exam tip: understand roles of Gandhi and Ambedkar.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दलित वर्गों की राजनीतिक आवाज को कुछ सुनिश्चित प्रतिनिधित्व मिला / Depressed classes got some assured political representation. Reserved seats gave a minimum basis of representation. Exam tip: understand roles of Gandhi and Ambedkar.
Step 3
Exam Tip
आरक्षित सीटों ने प्रतिनिधित्व का न्यूनतम आधार दिया। परीक्षा में गांधी और आंबेडकर की भूमिकाएं समझें।
The factors \(7^3\) and (11) must be removed from the reduced denominator, so \(n=7^3\cdot 11=3773\). For the least value, do not cancel (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3773). The factors \(7^3\) and (11) must be removed from the reduced denominator, so \(n=7^3\cdot 11=3773\). For the least value, do not cancel (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर से \(7^3\) और (11) हटने चाहिए इसलिए \(n=7^3\cdot 11=3773\) होगा। न्यूनतम मान में (2) और (5) को काटना जरूरी नहीं है।
For termination, \(3^2\) and \(17^2\) must cancel completely, so (n=2601). For the least value, cancel only the factors other than (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (2601). For termination, \(3^2\) and \(17^2\) must cancel completely, so (n=2601). For the least value, cancel only the factors other than (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव के लिए \(3^2\) और \(17^2\) पूरी तरह कटने चाहिए इसलिए (n=2601) होगा। न्यूनतम मान में केवल (2) और (5) के अलावा गुणनखंड काटें।
For termination, \(3^2\) and \(7^2\) must cancel completely, so (n=441). For the least value, cancel only the factors other than (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (441). For termination, \(3^2\) and \(7^2\) must cancel completely, so (n=441). For the least value, cancel only the factors other than (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव के लिए \(3^2\) और \(7^2\) पूरी तरह कटने चाहिए इसलिए (n=441) होगा। न्यूनतम मान में केवल (2) और (5) के अलावा गुणनखंड काटें।
For a terminating decimal, \(3^4\) and (13) must cancel completely, so \(n=3^4\cdot 13=1053\). For the least value, cancel only the unwanted prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (1053). For a terminating decimal, \(3^4\) and (13) must cancel completely, so \(n=3^4\cdot 13=1053\). For the least value, cancel only the unwanted prime factors.
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव के लिए \(3^4\) और (13) पूरी तरह कटने चाहिए, इसलिए \(n=3^4\cdot 13=1053\)। न्यूनतम मान में केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंड काटें।
For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The factors \(3^3\) and (11) must be cancelled, so the least (n) is \(3^3\cdot 11=297\).
Step 3
Exam Tip
For the smallest value, cancel only the unwanted prime factors. चरण 1: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में केवल (2) और (5) रहने चाहिए। चरण 2: हर में \(3^3\) और (11) हटाने होंगे, इसलिए \(n=3^3\cdot 11=297\) न्यूनतम है। चरण 3: सबसे छोटा मान पूछे तो केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंड काटिए।
For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator has extra prime factors \(3^2\) and (7), so (n) must contain \(3^2\cdot 7=63\).
Step 3
Exam Tip
When the smallest value is asked, cancel only the unwanted prime factors. चरण 1: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में केवल (2) और (5) बचने चाहिए। चरण 2: हर में \(3^2\) और (7) अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड हैं, इसलिए (n) में \(3^2\cdot 7=63\) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: सबसे छोटा मान पूछे जाने पर केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंडों को काटिए।
The second number has \(2^7\), so (a=5) makes the smaller power (5).
Step 3
Exam Tip
Apply the minimum-power condition in HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में (2) की छोटी घात (5) चाहिए। चरण 2: दूसरी संख्या में \(2^7\) है, इसलिए पहली संख्या में (a=5) होने पर छोटी घात (5) बनेगी। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में न्यूनतम घात की शर्त लगाएँ।
The second number has \(2^6\), so (a=4) makes the smaller power (4).
Step 3
Exam Tip
Apply the minimum-power condition in HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में (2) की छोटी घात (4) चाहिए। चरण 2: दूसरी संख्या में \(2^6\) है, इसलिए पहली संख्या में (a=4) होने पर छोटी घात (4) बनेगी। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में न्यूनतम घात की शर्त लगाएँ।
The second number has \(2^5\), so (a=3) makes the smaller power (3).
Step 3
Exam Tip
Apply the minimum-power condition directly in HCF questions. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में (2) की छोटी घात (3) होनी चाहिए। चरण 2: दूसरी संख्या में \(2^5\) है, इसलिए पहली संख्या में (a=3) होने पर छोटी घात (3) बनेगी। चरण 3: अज्ञात घात में छोटी घात की शर्त सीधे लागू करें।
A. (a=2) और (b=2) संभव हैं/(a=2) and (b=2) are possible
Step 1
Concept
In HCF, the smaller power of each common prime is used.
Step 2
Why this answer is correct
For prime (2), the smaller power must be (2), so (a=2) is possible; for prime (3), (b=2) is possible.
Step 3
Exam Tip
In unknown power questions, focus on the minimum-power condition. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में प्रत्येक समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (2) के लिए छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (a=2) संभव है; (3) के लिए छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) संभव है। चरण 3: अज्ञात घातों वाले प्रश्न में छोटी घात की शर्त पर ध्यान दें।
The common factors are (2) and (3), and the smaller powers are \(2^2\) and \(3^2\), so the HCF is (36).
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that HCF uses the minimum powers of common primes. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड (2) और (3) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं, इसलिए मान \(4\times9=36\) है। चरण 3: परीक्षा में महत्तम समापवर्तक के लिए छोटी घात चुनना याद रखें।
In HCF, take the smaller exponent of a common prime.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents of (3) are (2) and (4), so the smaller exponent is (2).
Step 3
Exam Tip
For HCF, remember the minimum exponent rule. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (4) हैं, इसलिए छोटी घात (2) होगी। चरण 3: महत्तम समापवर्तक के लिए न्यूनतम घात याद रखें।
In HCF, take the smaller exponent of a common prime.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents of (2) are (4) and (2), so the smaller exponent is (2).
Step 3
Exam Tip
For HCF, remember the minimum exponent rule. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: (2) की घातें (4) और (2) हैं, इसलिए छोटी घात (2) होगी। चरण 3: महत्तम समापवर्तक के लिए न्यूनतम घात याद रखें।
Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The number of pairs equals the smaller exponent of (a) and (b), so (\min(a,b)=4).
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, count the minimum exponent, not the sum. चरण 1: अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़ों से बनते हैं। चरण 2: जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है, इसलिए (\min(a,b)=4)। चरण 3: अंतिम शून्य में योग नहीं, छोटी घात गिनी जाती है।
In HCF, take the smaller exponent of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents of (3) are (2) and (4), so the smaller one is (2).
Step 3
Exam Tip
For HCF, always choose the minimum exponent. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (4) हैं, इसलिए छोटी घात (2) होगी। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में हमेशा न्यूनतम घात चुनें।
Since \(15=3\times5\), the factor must contain both (3) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Power choices are (2:4) choices, (3:2) choices, (5:2) choices, and (7:2) choices. Total \(=4\times2\times2\times2=32\).
Step 3
Exam Tip
Start restricted prime powers from the minimum required value. चरण 1: \(15=3\times5\), इसलिए गुणनखंड में (3) और (5) दोनों होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (0) से (3) तक (4) तरीके, (3) की घात (1) से (2) तक (2) तरीके, (5) की घात (1) से (2) तक (2) तरीके, और (7) की (2) तरीके। कुल \(4\times2\times2\times2=32\)। चरण 3: विभाज्यता में जरूरी अभाज्य गुणनखंड की न्यूनतम घात से शुरुआत करें।
Since \(10=2\times5\), the factor must contain at least one (2) and one (5).
Step 2
Why this answer is correct
Powers of (2): (1,2,3) give (3) choices; powers of (3): (0,1,2) give (3) choices; powers of (5): (1,2) give (2) choices. Total (=18).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, check the required minimum prime powers. चरण 1: \(10=2\times5\), इसलिए गुणनखंड में (2) और (5) दोनों कम से कम एक बार होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके; (5) की घात (1,2) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times3\times2=18\)। चरण 3: किसी संख्या से विभाज्यता में उसके अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात देखें।
For the least value, the remainder is 0, so the number is \(143\times23=3289\).
Step 3
Exam Tip
In least-value questions, taking the remainder as zero is the clearest method. चरण 1: संख्या \(143\times23+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 होगा, इसलिए संख्या \(143\times23=3289\) है। चरण 3: न्यूनतम मान वाले प्रश्न में शेषफल शून्य लेना सबसे साफ तरीका है।
For the least value, take remainder 0, so the number is \(118\times19=2242\).
Step 3
Exam Tip
For least value questions, using remainder zero is the most direct method. चरण 1: संख्या \(118\times19+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 लें, इसलिए संख्या \(118\times19=2242\) है। चरण 3: न्यूनतम मान के प्रश्न में शेषफल शून्य रखना सबसे सीधा तरीका है।
For the least value, the remainder is 0, so the number is \(91\times28=2548\).
Step 3
Exam Tip
In minimum value questions, taking remainder zero gives the answer quickly. चरण 1: संख्या \(91\times28+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 होगा, इसलिए संख्या \(91\times28=2548\) है। चरण 3: न्यूनतम मान वाले प्रश्न में शेषफल शून्य लेने से उत्तर तुरंत मिलता है।
For the least value, (r=0), so the number is \(57\times18=1026\).
Step 3
Exam Tip
For a minimum value, start with remainder zero. चरण 1: संख्या \(57\times18+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए (r=0), इसलिए संख्या \(57\times18=1026\) है। चरण 3: न्यूनतम मान में शेषफल हमेशा शून्य मानकर शुरू करें।
For the least value, take remainder 0, so the number is \(46\times19=874\).
Step 3
Exam Tip
For minimum value questions, taking remainder zero is the safest method. चरण 1: संख्या \(46\times19+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 लें, इसलिए संख्या \(46\times19=874\) है। चरण 3: न्यूनतम मान में शेषफल शून्य लेना सबसे सुरक्षित तरीका है।
For the least value, take (r=0), so the number is \(21\times31=651\).
Step 3
Exam Tip
For the least possible number, use remainder zero. चरण 1: संख्या \(=21\times31+r\), जहाँ \(0\le r<21\)। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए (r=0), इसलिए संख्या \(21\times31=651\) है। चरण 3: सबसे छोटा मान निकालते समय शेषफल शून्य लें।
