Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानकर (x-y=4) बनता है। परीक्षा में मूल संख्या (10x+y) और उलटी संख्या (10y+x) लिखें। / Let the tens digit be (x) and the units digit be (y), so (x-y=4). In exams, write the original number as (10x+y) and the reversed number as (10y+x).
यदि इकाई अंक (x) है, तो दहाई अंक (x-2) है। (x(x-2)=24) से (x=6), इसलिए संख्या (46) है। / If the units digit is (x), then the tens digit is (x-2). From (x(x-2)=24), (x=6), so the number is (46).
यदि इकाई अंक (x) है, तो दहाई अंक (x+3) है। (x(x+3)=18) से (x=3), इसलिए संख्या (63) है। / If the units digit is (x), then the tens digit is (x+3). From (x(x+3)=18), (x=3), so the number is (63).
(2) और (5) का एक जोड़ा (10) बनाता है, जो अंतिम शून्य देता है। / One pair of (2) and (5) makes (10), giving a trailing zero.
Step 2
Why this answer is correct
एक (5) के साथ एक (2) हटाएं, बचता है \(2^3 \times 3^2=8 \times 9=72\), इसलिए शून्य से अलग अंतिम अंक (2) है। / Remove one (2) with the (5), leaving \(2^3 \times 3^2=72\), so the last non-zero digit is (2).
Step 3
Exam Tip
अंतिम शून्य हटाने के बाद बची संख्या का अंतिम अंक देखें। / After removing trailing-zero pairs, check the last digit of the remaining product.
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानें। (x+y=9) और (x-y=3) से (x=6,\ y=3), इसलिए संख्या (63) है। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=9) and (x-y=3), (x=6,\ y=3), so the number is (63).
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=16), इसलिए (x=8) और (y=5)। अंकों के प्रश्न में दहाई और इकाई का क्रम न बदलें। / Adding both equations gives (2x=16), so (x=8) and (y=5). In digit problems, do not interchange tens and units.
दहाई अंक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=61)। इससे (x=5) और संख्या (56) है। / If the tens digit is (x), then (x-2+(x+1)2=61). Hence (x=5) and the number is (56).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानें। (10x+y=7(x+y)) और (x-y=3) से संख्या (63) है। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (10x+y=7(x+y)) and (x-y=3), the number is (63).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानें। (10x+y=7(x+y)) और (x-y=2) से (x=6,\ y=4)। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (10x+y=7(x+y)) and (x-y=2), (x=6,\ y=4).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानें। (x+y=12) और (x-y=4) से (x=8,\ y=4), इसलिए संख्या (84) है। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=12) and (x-y=4), (x=8,\ y=4), so the number is (84).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानें। (x+y=11) और (x-y=3) से (x=7,\ y=4), इसलिए संख्या (74) है। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=11) and (x-y=3), (x=7,\ y=4), so the number is (74).
(48) की उलटी संख्या (84) है और \(48 \times 84=4032\)। अंकों की समस्याओं में उलटी संख्या भी जाँचना जरूरी है। / The reverse of (48) is (84), and \(48 \times 84=4032\). In digit problems, checking the reversed number is essential.
दहाई अंक (x) हो तो इकाई अंक (11-x) है। संख्या (10x+11-x) है और जाँच से \(47 \times 74=3478\) नहीं बल्कि सही गुणनफल \(56 \times 65=3640\) होता है इसलिए कोई विकल्प नहीं बनता। / If the tens digit is (x), the units digit is (11-x). Checking options shows \(47 \times 74=3478\), not (3154), so this item would be invalid.
लॉर्ड माउंटबेटन भारत के अंतिम वायसराय थे। परीक्षा में अंतिम वायसराय और सत्ता हस्तांतरण याद रखें। / Lord Mountbatten was the last Viceroy of India. Exam tip: remember the last Viceroy and transfer of power.
\(7350=\frac{n}{2}\times420\) से (n=35) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं है। / From \(7350=\frac{n}{2}\times420\), (n=35). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
\(5780=\frac{n}{2}\times340\) से (n=34) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं होती। / From \(5780=\frac{n}{2}\times340\), (n=34). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
\(4160=\frac{n}{2}\times260\) से (n=32) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं होती। / From \(4160=\frac{n}{2}\times260\), (n=32). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
\(1800=\frac{n}{2}\times150\) से (n=24) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं है। / From \(1800=\frac{n}{2}\times150\), (n=24). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
(S_{19}=\frac{19}{2}(14+104)=1121)। पहला और अंतिम पद दिए हों तो (d) निकालना जरूरी नहीं है। / (S_{19}=\frac{19}{2}(14+104)=1121). When first and last terms are given, finding (d) is not necessary.
(\frac{n}{2}(11+71)=574) से (n=14) मिलता है। अंतिम पद दिए होने पर सार्व अंतर की जरूरत नहीं होती। / From (\frac{n}{2}(11+71)=574), (n=14). When the last term is given, the common difference is not needed.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से योग (350) आता है। जब अंतिम पद दिया हो तो यह सूत्र जल्दी काम करता है। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), the sum is (350). When the last term is given, this formula is faster.
जब पहला और अंतिम पद दिए हों तो (S_n=\frac{n}{2}(a+l))। (S_9=\frac{9}{2}(5+45)=225)। / When first and last terms are given use (S_n=\frac{n}{2}(a+l)). (S_9=\frac{9}{2}(5+45)=225).
(13n<600) में सबसे बड़ा (n=46) है इसलिए पद \(13\times46=598\)। सीमा से कम सबसे बड़ा पूर्णांक लें। / In (13n<600), the greatest (n=46) so the term is \(13\times46=598\). Take the greatest integer below the limit.
पद (7+5(n-1)) हैं। (180) से कम अंतिम पद (177) है क्योंकि अगला पद (182) होगा। / The terms are (7+5(n-1)). The last term less than (180) is (177) because the next term will be (182).
(11n<500) में सबसे बड़ा (n=45) है इसलिए पद \(11\times45=495\)। सीमा से कम सबसे बड़ा पूर्णांक लें। / In (11n<500), the greatest (n=45), so the term is \(11\times45=495\). Take the greatest integer below the limit.
संख्याएँ \(114,133,\ldots,988\) हैं और कुल (47) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें। / The numbers are \(114,133,\ldots,988\), and there are (47) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
संख्याएँ \(102,119,\ldots,986\) हैं और कुल (53) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें। / The numbers are \(102,119,\ldots,986\), and there are (53) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
संख्याएँ \(111,124,\ldots,995\) हैं और उनका योग (38157) है। शेष वाली श्रेढ़ी का सार्व अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(111,124,\ldots,995\), and their sum is (38157). A remainder-based AP has common difference equal to the divisor.
(24) के गुणजों के योग से (48) के गुणजों का योग घटाने पर (1027752) मिलता है। but not में बड़ी शर्त को घटाना होता है। / Subtracting the sum of multiples of (48) from the sum of multiples of (24) gives (1027752). In but-not cases, subtract the stricter condition.
पहली संख्या (1036), अंतिम (9990) और कुल (243) पद हैं, इसलिए योग (1339659) है। पहला और अंतिम गुणज सावधानी से चुनें। / The first number is (1036), the last is (9990), and there are (243) terms, so the sum is (1339659). Choose the first and last multiples carefully.
संख्याएँ \(17,28,\ldots,94\) हैं और (8) पदों का योग (444) है। शेष वाली श्रेढ़ी का अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(17,28,\ldots,94\), and the sum of (8) terms is (444). A remainder-based AP has common difference equal to the divisor.
संख्याएँ \(13,22,\ldots,94\) हैं और (10) पदों का योग (535) है। शेष वाले प्रश्न में सार्व अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(13,22,\ldots,94\), and the sum of (10) terms is (535). In remainder questions, the common difference equals the divisor.
संख्याएँ \(105,147,\ldots,987\) हैं और उनका योग (12012) है। ऐसी शर्त में नई श्रेढ़ी का अंतर (42) हो जाता है। / The numbers are \(105,147,\ldots,987\), and their sum is (12012). In this condition, the new AP has common difference (42).
पहली संख्या (114), अंतिम (988) और कुल (47) पद हैं, इसलिए योग (25897) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (114), the last is (988), and there are (47) terms, so the sum is (25897). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
संख्याएँ \(11,17,\ldots,95\) हैं और (15) पदों का योग (795) है। remainder वाली श्रेढ़ी का अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(11,17,\ldots,95\), and the sum of (15) terms is (795). A remainder-based AP has common difference equal to the divisor.
संख्याएँ \(11,19,\ldots,99\) हैं और (12) पदों का योग (660) है। शेष वाले प्रश्न में सार्व अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(11,19,\ldots,99\), and the sum of (12) terms is (660). In remainder questions, the common difference equals the divisor.
संख्याएँ \(105,135,\ldots,975\) हैं और उनका योग (16200) है। ऐसी शर्त में नई श्रेढ़ी का अंतर (30) हो जाता है। / The numbers are \(105,135,\ldots,975\), and their sum is (16200). In this condition, the new AP has common difference (30).
पहली संख्या (102), अंतिम (986) और कुल (53) पद हैं, इसलिए योग (28832) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (102), the last is (986), and there are (53) terms, so the sum is (28832). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
संख्याएँ \(16,23,\ldots,93\) हैं और (12) पदों का योग (654) है। remainder वाली श्रेढ़ी का सार्व अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(16,23,\ldots,93\), and the sum of (12) terms is (654). A remainder-based AP has common difference equal to the divisor.
संख्याएँ \(102,114,\ldots,990\) हैं और उनका योग (40950) है। ऐसी शर्त में (12) के अंतर वाली नई श्रेढ़ी बनती है। / The numbers are \(102,114,\ldots,990\), and their sum is (40950). In such a condition, a new AP with common difference (12) is formed.
संख्याएँ \(11,16,\ldots,96\) हैं और (18) पदों का योग (963) है। शेष वाले प्रश्न में पहला मान सही पहचानना जरूरी है। / The numbers are \(11,16,\ldots,96\), and the sum of (18) terms is (963). In remainder questions, identifying the first value correctly is important.
संख्याएँ \(117,135,\ldots,999\) हैं और (50) पदों का योग (27900) है। विषम गुणजों में अंतर (18) होगा। / The numbers are \(117,135,\ldots,999\), and the sum of (50) terms is (27900). For odd multiples, the common difference is (18).
पहली संख्या (104), अंतिम (988) और कुल (69) पद हैं, इसलिए योग (37674) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (104), the last is (988), and there are (69) terms, so the sum is (37674). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
श्रेढ़ी \(108,117,\ldots,999\) है जिसमें (100) पद हैं, इसलिए योग (55350) नहीं बल्कि (55350) होगा। अंतिम पद और पदों की संख्या सावधानी से निकालें। / The AP is \(108,117,\ldots,999\) with (100) terms, so the sum is (55350), not (60984). Find the last term and number of terms carefully.
तीन अंकों वाली पहली संख्या (100) है जो (7) से विभाज्य नहीं है, लेकिन \(105,112,119,\ldots\) तीन अंकों वाली (7) की गुणज AP है। इस AP का (50)वां पद क्या होगा?
इस AP में (a=105), (d=7), इसलिए \(a_{50}=105+49\times7=448\)। गुणजों की AP में पहला सही गुणज चुनें। / In this AP, (a=105), (d=7), so \(a_{50}=105+49\times7=448\). In an AP of multiples, choose the first correct multiple.
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) लें। (x+y=13) और (9(x-y)=45) से (x=9), (y=4)। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=13) and (9(x-y)=45), (x=9), (y=4).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) लें। (x+y=11) और (10x+y-(10y+x)=27) से (x=7,y=4)। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=11) and (10x+y-(10y+x)=27), (x=7,y=4).
A. क्षेत्रीय हितों और राजनीतिक विभाजनों के कारण/Because of regional interests and political divisions
Explanation
Simple Explanation
बोलिवार स्वतंत्र दक्षिण अमेरिका की एकता चाहते थे लेकिन क्षेत्रीय विभाजन मजबूत रहे। परीक्षा में आदर्श और वास्तविकता का अंतर समझें। / Bolivar wanted unity in independent South America but regional divisions remained strong. Exam tip: understand the gap between ideal and reality.
मिखाइल गोर्बाचोव सोवियत संघ के अंतिम प्रमुख नेताओं में थे। परीक्षा में उन्हें पेरेस्त्रोइका और ग्लासनोस्त से जोड़ें। / Mikhail Gorbachev was among the last major leaders of the Soviet Union. For exams, connect him with perestroika and glasnost.
जार निकोलस द्वितीय रूस के अंतिम सम्राट थे। परीक्षा में उन्हें रूसी क्रांति से पहले के शासन से जोड़ें। / Tsar Nicholas II was the last emperor of Russia. For exams, connect him with rule before the Russian Revolution.
मिखाइल गोर्बाचेव सोवियत संघ के अंतिम नेता थे। परीक्षा में उन्हें ग्लासनोस्त पेरेस्त्रोइका और शीत युद्ध के अंत से जोड़ें। / Mikhail Gorbachev was the last leader of the Soviet Union. Exam tip: connect him with Glasnost Perestroika and the end of the Cold War.
C. क्योंकि क्षेत्रीय हित नेतृत्व संघर्ष और भौगोलिक कठिनाइयां थीं/Because regional interests leadership conflicts and geographic difficulties existed
Explanation
Simple Explanation
राजनीतिक एकता का सपना स्थानीय हितों और सत्ता संघर्षों से कमजोर हुआ। परीक्षा में विचार और व्यवहार का अंतर लिखें। / The dream of political unity weakened due to local interests and power struggles. For exams write the gap between idea and practice.
निकोलस द्वितीय रूस का अंतिम जार था। परीक्षा में जारशाही के अंत को 1917 की क्रांति से जोड़ें। / Nicholas II was the last Tsar of Russia. For exams connect the end of Tsardom with the 1917 revolution.
A. मित्र राष्ट्रों की पश्चिमी रेखा को विभाजित कर उनकी गति रोकना/To split the Allied western line and stop their momentum
Explanation
Simple Explanation
जर्मनी ने पश्चिम में अंतिम बार रणनीतिक पहल लेने की कोशिश की। परीक्षा में इसे संसाधन संकट के संदर्भ में समझें। / Germany tried one last time to regain strategic initiative in the west. For exams understand it in the context of resource crisis.
A. क्योंकि जर्मनी ने पश्चिमी मोर्चे पर अंतिम बड़ा आक्रमण किया/Because Germany launched its last major offensive on the Western Front
Explanation
Simple Explanation
बुल्ज के बाद जर्मनी की आक्रामक क्षमता बहुत कमजोर हो गई। परीक्षा में इसे युद्ध के अंतिम चरण से जोड़ें। / After the Bulge Germany's offensive capacity became very weak. For exams connect it with the final stage of the war.
1963 में पी वी काणे और डॉ जाकिर हुसैन सम्मानित हुए तथा इस अवधि के अंत में आते हैं। परीक्षा में 1954 से 1963 का कालखंड क्रम से पढ़ें। / In 1963 P V Kane and Dr Zakir Husain were honoured and come at the end of this period. Study the 1954 to 1963 period in order.
शाहजहां को आगरा किले में कैद रखा गया था और मुसम्मन बुर्ज से यह प्रसंग जुड़ा है। मुगल स्मारकों में जीवन घटनाएं भी याद रखें। / Shah Jahan was confined in Agra Fort and this episode is linked with Musamman Burj. Remember life events also in Mughal monuments.
सफदरजंग का मकबरा दिल्ली में मुगल मकबरा परंपरा के अंतिम बड़े उदाहरणों में गिना जाता है। परीक्षा में कालक्रम से स्मारकों को पढ़ें। / Safdarjung's Tomb in Delhi is counted among the last major examples of the Mughal tomb tradition. For exams study monuments chronologically.
शाहजहां को आगरा किले के मुसम्मन बुर्ज में बंदी रखा गया माना जाता है। परीक्षा में किले के भीतर प्रमुख भागों को पहचानें। / Shah Jahan is believed to have been confined in Musamman Burj of Agra Fort. For exams identify important parts inside forts.
जीनत महल बहादुरशाह जफर के दरबार से जुड़ी थीं। परीक्षा में बहादुरशाह जफर को 1857 और अंतिम मुगल से जोड़ें। / Zeenat Mahal was associated with the court of Bahadur Shah Zafar. Link Bahadur Shah Zafar with 1857 and the last Mughal in exams.
प्रतापरुद्र देव काकतीय वंश के अंतिम प्रमुख शासकों में थे। परीक्षा में उन्हें दिल्ली सल्तनत के दक्षिणी अभियानों से जोड़ें। / Prataparudra Deva was among the last major Kakatiya rulers. Link him with the southern campaigns of the Delhi Sultanate in exams.
पुष्यमित्र शुंग ने बृहद्रथ को हटाकर शुंग सत्ता शुरू की। परीक्षा में मौर्य पतन के बाद शुंग वंश याद रखें। / Pushyamitra Shunga began Shunga rule after removing Brihadratha. Remember the Shunga dynasty after Mauryan decline in exams.
धनानंद नंद वंश का अंतिम शासक माना जाता है। चंद्रगुप्त मौर्य ने नंद सत्ता को समाप्त किया। / Dhana Nanda is considered the last ruler of the Nanda Dynasty. Chandragupta Maurya ended Nanda power.
प्रतापरुद्र काकतीय वंश का अंतिम प्रमुख शासक माना जाता है। उसे वारंगल के इतिहास से जोड़ें। / Prataparudra is considered the last major ruler of the Kakatiya Dynasty. Link him with the history of Warangal.
A. क्योंकि उनके बाद भारत गणराज्य बना और गवर्नर जनरल पद समाप्त हुआ/Because after him India became a republic and the post ended
Explanation
Simple Explanation
सी राजगोपालाचारी स्वतंत्र भारत के पहले भारतीय और अंतिम गवर्नर जनरल थे। परीक्षा में 1950 से पहले की व्यवस्था याद रखें। / C Rajagopalachari was the first Indian and last Governor-General of independent India. Exam tip is to remember the system before 1950.
लॉर्ड माउंटबेटन अंतिम वायसराय और स्वतंत्र भारत के पहले गवर्नर जनरल थे। परीक्षा में उन्हें सत्ता हस्तांतरण से जोड़ें। / Lord Mountbatten was the last Viceroy and the first Governor-General of independent India. Exam tip is to link him with transfer of power.
लॉर्ड माउंटबेटन भारत के अंतिम ब्रिटिश वायसराय थे। परीक्षा में उन्हें सत्ता हस्तांतरण से जोड़ें। / Lord Mountbatten was the last British Viceroy of India. Exam tip is to link him with the transfer of power.
इब्राहिम लोदी दिल्ली सल्तनत का अंतिम शासक था। वह 1526 में बाबर से पराजित हुआ। / Ibrahim Lodi was the last ruler of the Delhi Sultanate. He was defeated by Babur in 1526.
लोधी वंश दिल्ली सल्तनत का अंतिम वंश था। परीक्षा में इब्राहिम लोधी को अंतिम सुल्तान याद रखें। / The Lodi dynasty was the last dynasty of the Delhi Sultanate. For exams, remember Ibrahim Lodi as the last Sultan.
बृहद्रथ अंतिम मौर्य शासक माना जाता है जिसे पुष्यमित्र ने हटाया। परीक्षा में मौर्य से शुंग सत्ता परिवर्तन याद रखें। / Brihadratha is considered the last Mauryan ruler removed by Pushyamitra. For exams, remember the transition from Mauryas to Shungas.
देवभूति को शुंग वंश का अंतिम शासक माना जाता है। परीक्षा में शुंग से कण्व सत्ता परिवर्तन याद रखें। / Devabhuti is considered the last ruler of the Shunga dynasty. For exams, remember the transition from Shunga to Kanva power.
(2208=\frac{n}{2}(8+176)) से (n=24) है। परीक्षा में प्रथम और अंतिम पद हों तो (a+l) वाला सूत्र लगाएं। / From (2208=\frac{n}{2}(8+176)), (n=24). Exam tip: use the (a+l) form when first and last terms are known.
(1264=\frac{n}{2}(7+151)) से (n=16) है। परीक्षा में प्रथम और अंतिम पद हों तो (a+l) वाला सूत्र लगाएं। / From (1264=\frac{n}{2}(7+151)), (n=16). Exam tip: use the (a+l) form when first and last terms are known.
(901=\frac{n}{2}(3+103)) से (n=17) है। परीक्षा में प्रथम और अंतिम पद मिलें तो (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) लगाएं। / From (901=\frac{n}{2}(3+103)), (n=17). Exam tip: when first and last terms are known, use (S_n=\frac{n}{2}(a+l)).
(999=9(13+l)) से (l=98) मिलता है। परीक्षा में (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) सबसे छोटा तरीका है। / From (999=9(13+l)), (l=98). Exam tip: (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) is the shortest method here.
पहले (n=13) मिलता है और अंतिम पद (5+12(4)=53) नहीं बल्कि \(S_n\) की जांच से (n=17) तथा अंतिम पद (69) नहीं आता इसलिए विकल्पों में सही गणना (n=13) पर (53) है। परीक्षा में योग और अंतिम पद दोनों की दोबारा जांच करें। / Solving gives (n=13), so the last term is (5+12(4)=53). Exam tip: verify both the sum and the last term after finding (n).
धनानंद नंद वंश का अंतिम प्रमुख शासक माना जाता है। परीक्षा में नंद के बाद मौर्य वंश का उदय याद रखें। / Dhana Nanda is considered the last important ruler of the Nanda dynasty. For exams remember that the Mauryas rose after the Nandas.
धनानंद नंद वंश का अंतिम प्रमुख शासक माना जाता है। परीक्षा में नंद वंश के बाद मौर्य वंश का उदय याद रखें। / Dhana Nanda is considered the last major ruler of the Nanda dynasty. Remember that the Mauryan dynasty rose after the Nandas.
चंद्रगुप्त मौर्य को श्रवणबेलगोला और जैन परंपरा से जोड़ा जाता है। परीक्षा में यह तथ्य मौर्य इतिहास में महत्वपूर्ण है। / Chandragupta Maurya is associated with Shravanabelagola and Jain tradition. For exams, this is an important fact in Mauryan history.
(S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से \(S_{18}=\frac{18}{2}\times144=1296\)। (a+l) सीधे दिया हो तो उसे तुरंत उपयोग करें। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), \(S_{18}=\frac{18}{2}\times144=1296\). If (a+l) is directly given, use it immediately.
(912=\frac{12}{2}(18+l)) से (l=134)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी परीक्षा में आता है। / From (912=\frac{12}{2}(18+l)), (l=134). Using the sum formula in reverse also appears in exams.
(S_{18}=\frac{18}{2}(85+0)=765)। अंतिम पद शून्य हो तब भी सूत्र वही रहता है। / (S_{18}=\frac{18}{2}(85+0)=765). The formula remains the same even when the last term is zero.
(S_{24}=\frac{24}{2}(9+147)=1872)। औसत विधि में \(\frac{a+l}{2}\) को (n) से गुणा करें। / (S_{24}=\frac{24}{2}(9+147)=1872). In the average method, multiply \(\frac{a+l}{2}\) by (n).
(S_{19}=\frac{19}{2}(18+126)=1368)। पहला और अंतिम पद दिए हों तो छोटा सूत्र लगाएँ। / (S_{19}=\frac{19}{2}(18+126)=1368). If the first and last terms are given, use the shorter formula.
(456=\frac{12}{2}(8+l)) से (l=68)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी जरूरी कौशल है। / From (456=\frac{12}{2}(8+l)), (l=68). Using the sum formula in reverse is also an important skill.
(S_{13}=\frac{13}{2}(11+83)=611)। जब अंतिम पद दिया हो तो (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) तेज रहता है। / (S_{13}=\frac{13}{2}(11+83)=611). When the last term is given, (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) is faster.
(S_7=\frac{7}{2}(31+13)=154)। पहला पद बड़ा और अंतिम पद छोटा हो सकता है। / (S_7=\frac{7}{2}(31+13)=154). The first term can be larger and the last term smaller.
(310=\frac{10}{2}(a+49)) से (a=13)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी परीक्षा में आता है। / From (310=\frac{10}{2}(a+49)), (a=13). Using the sum formula in reverse also appears in exams.
(S_{16}=\frac{16}{2}(11+71)=656)। पहला और अंतिम पद मिले हों तो छोटा सूत्र लगाएँ। / (S_{16}=\frac{16}{2}(11+71)=656). If the first and last terms are given, use the shorter formula.
(S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से \(S_{10}=350\)। अंतिम पद दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं होती। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), \(S_{10}=350\). If the last term is given, finding (d) is not needed.
(S_{13}=\frac{13}{2}(2+50)=338)। पहला और अंतिम पद जोड़कर आधे पदों से गुणा करें। / (S_{13}=\frac{13}{2}(2+50)=338). Add the first and last terms and multiply by half the number of terms.
(S_{13}=\frac{13}{2}(15+51)=429)। पहले और अंतिम पद का औसत लेकर भी योग मिल जाता है। / (S_{13}=\frac{13}{2}(15+51)=429). You can also get the sum using the average of the first and last terms.
(S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से \(S_{10}=330\)। अंतिम पद मिले तो (d) निकालना जरूरी नहीं। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), \(S_{10}=330\). If the last term is given, finding (d) is not necessary.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से \(S_{10}=250\) आता है। जब अंतिम पद दिया हो तो यह सूत्र तेज है। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), we get \(S_{10}=250\). When the last term is given, this formula is faster.
