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\(\cos x\) द्वितीय और तृतीय चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है। इसलिए \(x=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\)। / \(\cos x\) is negative in the second and third quadrants. Hence \(x=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\).
त्रिगुण कोण सूत्र \(\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x\) है। परीक्षा में इसे \(\sin 3x\) से confuse न करें। / The triple angle formula is \(\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x\). In exams, do not confuse it with \(\sin 3x\).
द्वितीय चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से \(\cos x=-\frac{12}{13}\)। / In the second quadrant, \(\cos x\) is negative. From \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), \(\cos x=-\frac{12}{13}\).
\(\cos ax\) का आवर्त \( \frac{2\pi}{|a|} \) होता है। इसलिए \(\cos 4x\) का आवर्त \( \frac{\pi}{2} \) है। / The period of \(\cos ax\) is \( \frac{2\pi}{|a|} \). Hence the period of \(\cos 4x\) is \( \frac{\pi}{2} \).
दुगुना कोण पहचान \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x\) है। परीक्षा में \(\cos 2x\) के तीनों रूप याद रखें। / The double angle identity is \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x\). In exams, remember all three forms of \(\cos 2x\).
\(\cos x\) का आवर्त \(2\pi\) और \(\cos 2x\) का \(\pi\) है। इनका सामान्य मूल आवर्त \(2\pi\) है। / The period of \(\cos x\) is \(2\pi\) and that of \(\cos 2x\) is \(\pi\). Their common fundamental period is \(2\pi\).
\(\cos x=\cos y\) के लिए कोण \(2n\pi\pm y\) के रूप में आते हैं। परीक्षा में cosine की सम प्रकृति याद रखें। / For \(\cos x=\cos y\), angles are of the form \(2n\pi\pm y\). In exams, remember the even nature of cosine.
यह (\cos\(80^\circ-20^\circ\)) है। इसलिए मान \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\) है। / This is (\cos\(80^\circ-20^\circ\)). Hence the value is \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\).
सूत्र \(\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\) है। इसलिए उत्तर \(-2\sin 3x\sin x\) है। / The formula is \(\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\). Hence the answer is \(-2\sin 3x\sin x\).
\(\pi+x\) तीसरे चतुर्थांश से जुड़ा रूप है जहाँ \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। इसलिए (\cos\(\pi+x\)=-\cos x)। / The form \(\pi+x\) is linked to the third quadrant where \(\cos x\) is negative. Hence (\cos\(\pi+x\)=-\cos x).
\(\cos 2x\) का न्यूनतम मान (-1) है, इसलिए (4+3(-1)=1)। परीक्षा में अधिकतम और न्यूनतम के लिए \(\cos x\) की सीमा याद रखें। / The minimum value of \(\cos 2x\) is (-1), so (4+3(-1)=1). In exams, remember the range of \(\cos x\) for maximum and minimum.
\(\cos k\theta\) का मूल period \(\frac{2\pi}{k}\) होता है, इसलिए यहां \(\frac{\pi}{2}\) मिलेगा। परीक्षा में coefficient को denominator में रखें। / The fundamental period of \( \cos k\theta\) is \( \frac{2\pi}{k}\), so here it is \( \frac{\pi}{2}\). In exams put the coefficient in the denominator.
\(\cos \theta=-1\) विषम गुणजों of \(\pi\) पर होता है। परीक्षा में \(\cos \theta=1\) और \(\cos \theta=-1\) के हल अलग पहचानें। / \( \cos \theta=-1\) occurs at odd multiples of \( \pi\). In exams distinguish the solutions of \( \cos \theta=1\) and \( \cos \theta=-1\).
\(\cot \theta=\frac{12}{5}\) में adjacent (12), opposite (5), hypotenuse (13) है। \(परीक्षा में (\cos \theta=\frac{\)adjacent}{hypotenuse}) लगाएं। \(/ In ( \cot \theta=\frac{12}{5}), adjacent is (12), opposite is (5), and hypotenuse is (13). In exams use ( \cos \theta=\frac{\)adjacent}{hypotenuse}).
\(\cos \theta=\frac{1}{2}\) के लिए reference angle \(\frac{\pi}{3}\) है और cosine प्रथम व चतुर्थ चतुर्थांश में धनात्मक है। परीक्षा में \(2\pi\) तक के दोनों हल लिखें। / For \( \cos \theta=\frac{1}{2}\), the reference angle is \( \frac{\pi}{3}\), and cosine is positive in the first and fourth quadrants. In exams write both solutions up to \(2\pi\).
\(\cos \theta=\cos \alpha\) के लिए दोनों दिशाओं में कोण मिलते हैं। परीक्षा में \(\pm\alpha\) लगाना न भूलें। / For \( \cos \theta=\cos \alpha\), angles occur in both directions. In exams do not forget \( \pm\alpha\).
\(\cos \theta\) शून्य odd multiples of \(\frac{\pi}{2}\) पर होता है। परीक्षा में (\frac{(2n+1)\pi}{2}) पैटर्न याद रखें। / \( \cos \theta\) is zero at odd multiples of \( \frac{\pi}{2}\). In exams remember the pattern ( \frac{(2n+1)\pi}{2}).
\(\pi+\theta\) तृतीय चतुर्थांश में है और cosine ऋणात्मक होता है। परीक्षा में sign table तुरंत याद करें। / \( \pi+\theta\) is in the third quadrant and cosine is negative. In exams recall the sign table quickly.
\(\pi-\theta\) द्वितीय चतुर्थांश में है जहां cosine ऋणात्मक होता है। परीक्षा में चतुर्थांश का चिन्ह जरूर लगाएं। / \( \pi-\theta\) is in the second quadrant where cosine is negative. In exams always apply quadrant sign.
\(\cos^2 x\) का परिसर ([0,1]) है। इसलिए \(2-4\cos^2 x\) का परिसर ([-2,2]) होगा। / The range of \(\cos^2 x\) is ([0,1]). Therefore, the range of \(2-4\cos^2 x\) is ([-2,2]).
\(\cos x\) का मान ([-1,1]) में होता है। वर्ग करने पर परिसर ([0,1]) बनता है। / The value of \(\cos x\) lies in ([-1,1]). Squaring gives the range ([0,1]).
\(\cos kx\) का काल \(\frac{2\pi}{k}\) होता है। यहाँ \(k=\frac{1}{2}\), इसलिए काल \(4\pi\) है। / The period of \(\cos kx\) is \(\frac{2\pi}{k}\). Here \(k=\frac{1}{2}\), so the period is \(4\pi\).
हरों को मिलाने पर \(\frac{2}{1-\cos^2 x}\) मिलता है। यह \(\frac{2}{\sin^2 x}=2\cosec^2 x\) है। / Combining denominators gives \(\frac{2}{1-\cos^2 x}\). This is \(\frac{2}{\sin^2 x}=2\cosec^2 x\).
वर्ग करने पर \(1-2\sin x\cos x=\frac{1}{9}\) मिलता है। इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{4}{9}\) और \(\tan x+\cot x=\frac{9}{4}\)। / Squaring gives \(1-2\sin x\cos x=\frac{1}{9}\). Thus \(\sin x\cos x=\frac{4}{9}\) and \(\tan x+\cot x=\frac{9}{4}\).
वर्ग करने पर \(1+2\sin x\cos x=\frac{49}{25}\), इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{12}{25}\)। अब \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{25}{12}\)। / Squaring gives \(1+2\sin x\cos x=\frac{49}{25}\), so \(\sin x\cos x=\frac{12}{25}\). Now \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{25}{12}\).
वर्ग करने पर \(1+2\sin x\cos x=3\), इसलिए \(\sin x\cos x=1\) मिलता है। फिर \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\), इसलिए मान (1) नहीं बल्कि विकल्पों में कोई सही नहीं होता। / Squaring gives \(1+2\sin x\cos x=3\), so \(\sin x\cos x=1\). Then \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\), so the value is (1), but none of the options is correct.
पहचान \(\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x\) लगाएँ। \(\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{16}\), इसलिए मान \(\frac{7}{8}\) है। / Use \(\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x\). Since \(\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{16}\), the value is \(\frac{7}{8}\).
(\sin-4 x+\cos-4 x=\(\sin^2 x+\cos^2 x\)2-2\sin-2 x\cos-2 x) लिखें। पहला वर्ग (1) है। / Write (\sin-4 x+\cos-4 x=\(\sin^2 x+\cos^2 x\)2-2\sin-2 x\cos-2 x). The first square is (1).
\(\frac{3\pi}{2}-x\) तीसरे चतुर्थांश से जुड़ा है। \(\cos\) बदलकर \(\sin\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक रहता है। / \(\frac{3\pi}{2}-x\) is related to the third quadrant. \(\cos\) changes to \(\sin\) with a negative sign.
\(2\pi-x\) चौथे चतुर्थांश में आता है और \(\cos x\) धनात्मक रहता है। इसलिए (\cos\(2\pi-x\)=\cos x)। / \(2\pi-x\) lies in the fourth quadrant and \(\cos x\) remains positive. Hence (\cos\(2\pi-x\)=\cos x).
चौथे चतुर्थांश में \(\cos x\) धनात्मक और \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। (7,24,25) त्रिक से \(\cos x=\frac{7}{25}\) है। / In the fourth quadrant, \(\cos x\) is positive and \(\sin x\) is negative. From the (7,24,25) triple, \(\cos x=\frac{7}{25}\).
ऊर्ध्व बदलाव और आयाम काल नहीं बदलते। \(\cos 3x\) का काल \(\frac{2\pi}{3}\) है। / Vertical shift and amplitude do not change the period. The period of \(\cos 3x\) is \(\frac{2\pi}{3}\).
\(\cos x\) का न्यूनतम मान (-1) होता है। इसलिए न्यूनतम मान (2+5(-1)=-3) है। / The minimum value of \(\cos x\) is (-1). Therefore, the minimum value is (2+5(-1)=-3).
अर्ध-कोण पहचान से \(\frac{\sin x}{1-\cos x}=\cot \frac{x}{2}\) होता है। ऐसे रूपों में हर देखकर पहचान करें। / By the half-angle identity, \(\frac{\sin x}{1-\cos x}=\cot \frac{x}{2}\). In such forms, identify the denominator carefully.
पहचान (\(\sin x+\cos x\)2+\(\sin x-\cos x\)2=2) का उपयोग करें। इसलिए मान \(2-\frac{36}{25}=\frac{14}{25}\) है। / Use the identity (\(\sin x+\cos x\)2+\(\sin x-\cos x\)2=2). Hence the value is \(2-\frac{36}{25}=\frac{14}{25}\).
मानक अर्ध कोण पहचान \(\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}\) है। ऐसे रूप में अर्ध कोण तुरंत पहचानें। / The standard half-angle identity is \(\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}\). Identify the half-angle form quickly.
अर्ध कोण पहचान के अनुसार \(\tan^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)। अर्ध कोण रूपों को अलग से याद रखें। / By the half-angle identity, \(\tan^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\). Remember half-angle forms separately.
\(\cos x\) का मान ([-1,1]) में होता है। इसलिए \(1-\cos x\) का परिसर ([0,2]) है। / The value of \(\cos x\) lies in ([-1,1]). Therefore, the range of \(1-\cos x\) is ([0,2]).
\(\cos x\) का अधिकतम मान (1) है। इसलिए \(-3\cos x\) का न्यूनतम मान (-3) होगा। / The maximum value of \(\cos x\) is (1). Therefore, the minimum value of \(-3\cos x\) is (-3).
\(\cos kx\) का काल \(\frac{2\pi}{k}\) होता है। यहाँ (k=5), इसलिए काल \(\frac{2\pi}{5}\) है। / The period of \(\cos kx\) is \(\frac{2\pi}{k}\). Here (k=5), so the period is \(\frac{2\pi}{5}\).
पहचान से \(|\cos x|=\frac{24}{25}\) मिलता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। / The identity gives \(|\cos x|=\frac{24}{25}\). In the second quadrant, \(\cos x\) is negative.
\(\frac{\pi}{2}+x\) वाले रूप में \(\cos\) बदलकर \(\sin\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए \(-\sin x\) मिलता है। / In the form \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\cos\) changes to \(\sin\) with a negative sign. Hence it becomes \(-\sin x\).
(\cos\(\pi+x\)=-\cos x) और (\cos\(\pi-x\)=-\cos x) होते हैं। इसलिए योग \(-2\cos x\) है। / (\cos\(\pi+x\)=-\cos x) and (\cos\(\pi-x\)=-\cos x). Therefore, the sum is \(-2\cos x\).
\(\cot x=\frac{5}{12}\) में आसन्न (5) और सामने (12) मानें। कर्ण (13) होगा, इसलिए \(\cos x=\frac{5}{13}\)। / For \(\cot x=\frac{5}{12}\), take adjacent as (5) and opposite as (12). The hypotenuse is (13), so \(\cos x=\frac{5}{13}\).
\(\cos x\) का परिसर ([-1,1]) है। (2) से गुणा करने पर परिसर ([-2,2]) हो जाता है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]). Multiplying by (2) changes the range to ([-2,2]).
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(1+2\sin x\cos x=2\) मिलता है। इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{1}{2}\); ऐसे प्रश्नों में वर्ग करना उपयोगी है। / Squaring both sides gives \(1+2\sin x\cos x=2\). Hence \(\sin x\cos x=\frac{1}{2}\); squaring is useful in such questions.
\(\pi+x\) तीसरे चतुर्थांश में है और वहाँ \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। इसलिए (\cos\(\pi+x\)=-\cos x)। / \(\pi+x\) is in the third quadrant and \(\cos x\) is negative there. Therefore, (\cos\(\pi+x\)=-\cos x).
\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से \(\cos x=\frac{4}{5}\) मिलता है। प्रथम चतुर्थांश में \(\cos x\) धनात्मक होता है। / Using \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), \(\cos x=\frac{4}{5}\). In the first quadrant, \(\cos x\) is positive.
पूरक कोण पहचान से (\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)=\sin x) होता है। ऐसे प्रश्नों में \(\sin x\) और \(\cos x\) आपस में बदलते हैं। / By the complementary angle identity, (\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)=\sin x). In such questions, \(\sin x\) and \(\cos x\) interchange.
पूरक कोण पहचान से (\sin\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cos x) होता है। \(\frac{\pi}{2}\) के साथ फलन बदलता है। / By the complementary angle identity, (\sin\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cos x). With \(\frac{\pi}{2}\), the function changes.
दूसरे चतुर्थांश में केवल \(\sin x\) और \(\cosec x\) धनात्मक होते हैं। इसलिए \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। / In the second quadrant, only \(\sin x\) and \(\cosec x\) are positive. Therefore, \(\cos x\) is negative.
\(\cos x\) सम फलन है, इसलिए (\cos(-x)=\cos x)। ऋण कोण वाले प्रश्नों में सम-विषम गुण लगाएँ। / \(\cos x\) is an even function, so (\cos(-x)=\cos x). Use even-odd properties for negative angle questions.
दूसरे चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। इसलिए (\cos\(\pi-x\)=-\cos x)। / In the second quadrant, \(\cos x\) is negative. Therefore, (\cos\(\pi-x\)=-\cos x).
\(\frac{\pi}{2}\) पर \(\cos x\) का मान (0) है। मानक कोणों की तालिका से गलती कम होती है। / At \(\frac{\pi}{2}\), the value of \(\cos x\) is (0). A standard angle table reduces mistakes.
(x=0) पर \(\cos 0=1\) होता है। मानक कोणों के मान याद रखना आसान प्रश्नों में मदद करता है। / At (x=0), \(\cos 0=1\). Remembering standard angle values helps in easy questions.
क्योंकि (\cos(-x)=\cos x), इसलिए \(\cos x\) सम फलन है। सम फलन में (f(-x)=f(x)) होता है। / Since (\cos(-x)=\cos x), \(\cos x\) is an even function. For an even function, (f(-x)=f(x)).
\(\cos x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। परिसर में अंतिम मान भी शामिल होते हैं। / The value of \(\cos x\) always lies between (-1) and (1). The end values are included in the range.
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) में \(\cos \theta=0\) रखने पर \(\sin^2 \theta=1\) आता है। ज्ञात मान को सूत्र में रखें। / Putting \(\cos \theta=0\) in \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) gives \(\sin^2 \theta=1\). Substitute the known value in the formula.
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) में \(\sin \theta=0\) रखने पर \(\cos^2 \theta=1\) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में पहचान सूत्र लगाएँ। / Putting \(\sin \theta=0\) in \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) gives \(\cos^2 \theta=1\). Use the identity in such questions.
(\cos\(2\pi-\theta\)=\cos \theta) होता है। चौथे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) धनात्मक होता है। / (\cos\(2\pi-\theta\)=\cos \theta). In the fourth quadrant, \(\cos \theta\) is positive.
(\cos\(\theta-\pi\)=-\cos \theta) होता है। \(\pi\) का अंतर \(\cos \theta\) का चिह्न बदल देता है। / (\cos\(\theta-\pi\)=-\cos \theta). A difference of \(\pi\) changes the sign of \(\cos \theta\).
(\cos\(\theta+\pi\)=-\cos \theta) होता है। आधा चक्र जोड़ने से \(\cos \theta\) का चिह्न बदलता है। / (\cos\(\theta+\pi\)=-\cos \theta). Adding half a cycle changes the sign of \(\cos \theta\).
\(\cos \theta\) का काल \(2\pi\) होता है। इसलिए (\cos\(\theta+2\pi\)=\cos \theta) है। / The period of \(\cos \theta\) is \(2\pi\). Therefore (\cos\(\theta+2\pi\)=\cos \theta).
(\cos\left\(\frac{3\pi}{2}+\theta\right\)=\sin \theta) होता है। चौथे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) धनात्मक माना जाता है। / (\cos\left\(\frac{3\pi}{2}+\theta\right\)=\sin \theta). In the fourth quadrant, \(\cos \theta\) is taken as positive.
\(\frac{3\pi}{2}\) के साथ \(\cos \theta\) सह-फलन \(\sin \theta\) में बदलता है। तीसरे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) ऋणात्मक होता है। / With \(\frac{3\pi}{2}\), \(\cos \theta\) changes to the cofunction \(\sin \theta\). In the third quadrant, \(\cos \theta\) is negative.
चौथे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) और \(\sec \theta\) धनात्मक होते हैं। संकेत नियम को छोटी तालिका से याद करें। / In the fourth quadrant, \(\cos \theta\) and \(\sec \theta\) are positive. Remember sign rules using a small table.
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) से \(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta\) मिलता है। परीक्षा में मूल सर्वसमिका को पहले लिखें। / From \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\), we get \(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta\). In exams, write the basic identity first.
\(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\) होता है। \(\sin 30^\circ\) और \(\cos 60^\circ\) बराबर होते हैं। / \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\). \(\sin 30^\circ\) and \(\cos 60^\circ\) are equal.
(\cos\left\(\frac{\pi}{2}-\theta\right\)=\sin \theta) होता है। सह-फलन संबंध में \(\sin \theta\) और \(\cos \theta\) आपस में बदलते हैं। / (\cos\left\(\frac{\pi}{2}-\theta\right\)=\sin \theta). In cofunction relations, \(\sin \theta\) and \(\cos \theta\) interchange.
(\sin\left\(\frac{\pi}{2}-\theta\right\)=\cos \theta) सह-फलन संबंध है। \(\frac{\pi}{2}\) वाले रूपांतरण में फलन बदलता है। / (\sin\left\(\frac{\pi}{2}-\theta\right\)=\cos \theta) is a cofunction relation. In transformations with \(\frac{\pi}{2}\), the function changes.
(\cos\(\pi-\theta\)=-\cos \theta) होता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) ऋणात्मक होता है। / (\cos\(\pi-\theta\)=-\cos \theta). In the second quadrant, \(\cos \theta\) is negative.
\(\cos \theta\) का काल \(2\pi\) है। इसलिए (\cos\(2\pi+\theta\)=\cos \theta) होता है। / The period of \(\cos \theta\) is \(2\pi\). Therefore (\cos\(2\pi+\theta\)=\cos \theta).
(\cos\(\pi+\theta\)=-\cos \theta) होता है। तीसरे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) का चिह्न ऋण होता है। / (\cos\(\pi+\theta\)=-\cos \theta). In the third quadrant, \(\cos \theta\) is negative.
\(\cos \theta\) का परिसर ([-1,1]) है। \(\sin \theta\) और \(\cos \theta\) का परिसर समान होता है। / The range of \(\cos \theta\) is ([-1,1]). \(\sin \theta\) and \(\cos \theta\) have the same range.
\(cos \theta\) सम फलन है इसलिए \(cos(-\theta)=\cos \theta\)। सम फलन में ऋण चिह्न से मान नहीं बदलता। / \(cos \theta\) is an even function, so \(cos(-\theta)=\cos \theta\). In an even function, the negative sign does not change the value.
\(\cos \theta\) का मूल काल \(2\pi\) होता है। \(\sin \theta\) और \(\cos \theta\) का काल समान है। / The fundamental period of \(\cos \theta\) is \(2\pi\). \(\sin \theta\) and \(\cos \theta\) have the same period.
\(\cos 0^\circ=1\) होता है। आधारभूत कोणों की सारणी से उत्तर जल्दी मिलता है। / \(\cos 0^\circ=1\). The table of standard angles helps you answer quickly.
\(\cos0=1\), इसलिए \(-\cos0=-1\)। ऋण चिह्न ग्राफ को (x)-अक्ष में परावर्तित करता है। / Since \(\cos0=1\), \(-\cos0=-1\). The negative sign reflects the graph in the (x)-axis.
\(\cos x\) का न्यूनतम मान (-1) होता है, जो \(x=\pi\) पर है। ग्राफ पढ़ते समय अधिकतम और न्यूनतम बिंदु अलग पहचानें। / The minimum of \(\cos x\) is (-1), which occurs at \(x=\pi\). When reading graphs, identify maximum and minimum points separately.
\(\cos x\) इस अंतराल पर (1) से (-1) तक घटता है। इसलिए परिसर ([-1,1]) है। / On this interval, \(\cos x\) decreases from (1) to (-1). Therefore the range is ([-1,1]).
A. यह एकैकी और आच्छादी दोनों है/It is both one-one and onto
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos \pi=-1\), इसलिए सभी मान ([-1,1]) में मिलते हैं। / \(\cos 0=1\) and \(\cos \pi=-1\), so all values in ([-1,1]) occur.
Step 3
Exam Tip
घटता या बढ़ता फलन एकैकी होता है और पूरा सहप्रांत ढकने पर आच्छादी भी। / A strictly monotonic function is one-one and becomes onto when its range equals the codomain.
\(x-\cos x\) सतत फलन है। / \(x-\cos x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
(x) का भाग \(\pm\infty\) की ओर जाता है और \(\cos x\) केवल ([-1,1]) में रहता है, इसलिए कुल मान हर वास्तविक स्तर को पार करता है। / The (x) part goes to \(\pm\infty\), while \(\cos x\) stays in ([-1,1]), so the total expression crosses every real level.
Step 3
Exam Tip
bounded trigonometric part के साथ linear part हो तो limits जाँचें। / With a bounded trigonometric part and a linear part, check limits.
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से गुणा करने पर परास ([-2,2]) बनता है, जो दिए गए सहप्रांत के समान है। / Multiplying by (2) gives the range ([-2,2]), the same as the given codomain.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में गुणक परास की लंबाई बदलता है, पर सभी बीच के मान मिलते रहते हैं। / In trigonometric functions, a multiplier changes the range size but all intermediate values are still attained.
